反比例函数对称性研究
反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称 为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像，可以判断其单调性。当比例系数大于0时，函数图像在第一、三象限内单调递 减；当比例系数小于0时，函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函 数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的 综合应用
在解决某些实际问题时，可以将反比例函数 与一次函数结合起来，例如分段函数中的一 部分为反比例函数，另一部分为一次函数。 通过比较和分析这两个函数的图像和性质， 可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的 综合应用
在某些复杂的问题中，可能需要同时考虑反 比例函数和二次函数的性质。例如，在经济 学中研究成本、收益与产量之间的关系时， 可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数 的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即 如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上，那么点(y, x)和(-y, -x)也在 图像上。
反比例函数的图象与性质应(对称性)3
①在图9—5中画出函数图象上的点Ａ （４，－２），找出点Ａ关于原点Ｏ 的对称点Ａ’，点Ａ’在这个图象上 吗？ ②画出函数图象上的任意一点Ｂ，找 出点Ｂ关于原点Ｏ的对称点Ｂ’，点 Ｂ’在这个图象上吗？
如果将反比例函数的图象绕原点旋 转180°后，能与原来的图象重合吗？
如果将反比例函数的图象沿着某条 直线对折，两条双曲线能重合吗？
3.根据所画图象填写下表
k 正比例函数y=kx 反比例函数 y x
0
k<0
k>0
k<0
图象所在 象限
增减性
根据图象分组探讨 反比例函数的性质
反比例函数y= k 线．
(k为常数，k≠0)的图象是双曲
x 当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三 象限，在每一个象限内，y随x的增大而减 小； 当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四 象限，在每一个象限内，y随x的增大而增 大
反比例函数的图象是一个以原点为 对称中心的中心对称图形； 反比例函数也是一个以y=±x 为对 称轴的轴对称图形。
例2．已知反比例函数y= 的图象上有两点 P(1,a), Q(b,2.5). (1) 求a、b的值； (2) 过点P作y轴的垂线交于点M，求△PMO的面积； (3) 过点Q作x轴的垂线交于点N，求△QNO的面积； (4)过双曲线上任意一点A（m,n）作x轴(或y轴) y 的垂线，垂足为B，求△ABO的面积； (5)你发现了什么规律？ M (2010年中考题）
k ( k 0) x
双曲线 一、三象限 随x的增大 而减少
双曲线 二、四象限 随x的增大 而增大
对称性
与x、y轴 是否相交
即是轴对称， 又是中心对称
不相交
即是轴对称， 又是中心对称
反比例函数反比例函数的图象与性质
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数关于直线对称
反比例函数关于直线对称反比例函数是一种特殊的函数类型，又称为倒数函数。
它的定义域为实数集，但其值域则不包含0。
反比例函数的图像为一个双曲线。
对于任意反比例函数f(x)，设其表达式为f(x)=k/x，其中k为常数且不等于0。
设一条直线为y=a（a为常数）。
若f(x)对称于直线y=a，则有：f(x)-a=-[f(2a-x)-a]由此可以推导出：整理得到：x=(k/a+2a-k/x)/2通过移项和通分，得到：化简得到：更进一步，得到：由此，我们得到了关于反比例函数关于直线y=a的对称公式。
这个公式可以帮助我们求出反比例函数在对称轴y=a处的对称点坐标，具有实际的应用价值。
需要注意的是，在反比例函数定义域内，函数值随着自变量的增大而减小。
对于不同的对称轴y=a，反比例函数的图像在对称轴左侧和右侧的形态并不相同。
通过对反比例函数和直线的对称性进行分析，我们可以得到反比例函数关于直线对称的公式，并进一步应用到具体实践当中。
这对于理解和解决相关问题具有重要意义。
反比例函数在实际应用中具有广泛的应用。
在电学中，电路中电阻与电流的关系、电动势与电流的关系都可以表示为反比例函数。
再在经济学中，多种经济指标之间的关系也可以表示为反比例函数。
反比例函数对于经济学和环境学的研究尤为重要。
在资源分配和环境治理方面，反比例函数经常被用来研究经济增长与环境保护之间的关系。
在这个领域中，反比例函数表示了经济增长和环境破坏之间的关系，通过调节其参数可以平衡经济发展与环境保护之间的矛盾。
反比例函数还可以解决诸如汽车保险费用计算、员工工资计算等与相对大小相关的问题。
在这些问题中，反比例函数可以表达出各因素间的等比关系，帮助我们快速准确地计算出相应的数值。
在高中数学教学中，反比例函数也占有重要地位。
反比例函数的图像为双曲线，这对于学生的直观理解十分重要。
反比例函数的定义、性质和应用也是高中数学课程的重要内容之一。
在教学实践中，借助于反比例函数的对称性，可以对学生进行练习和测试，提高学生的数学分析能力。
函数图象对称性
函数图象对称性一、课程目标知识目标：1. 学生能理解函数图象对称性的概念，掌握对称轴、对称中心等基本术语。
2. 学生能运用对称性对给定的函数图象进行分类，并判断其对称性质。
3. 学生能运用对称性质简化计算，解决与函数图象有关的问题。
技能目标：1. 学生能够运用数形结合的思想，通过绘制函数图象，观察和分析图象的对称性。
2. 学生能够运用所学知识，解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 学生能够通过合作交流，提高团队协作和表达能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过探索函数图象的对称性，培养对数学美的欣赏和热爱。
2. 学生在解决问题的过程中，培养勇于尝试、善于思考的学习态度。
3. 学生通过小组合作，学会尊重他人意见，提高沟通能力和团队意识。
课程性质：本课程为高中数学课程，以函数图象对称性为主题，旨在帮助学生掌握函数图象的基本性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。
学生特点：高中学生具备一定的数学基础，具有较强的逻辑思维能力和空间想象力，但对函数图象对称性的理解可能不够深入。
教学要求：结合学生特点，课程设计应注重启发式教学，引导学生通过观察、思考、实践，掌握函数图象对称性的相关知识，提高解决问题的能力。
同时，注重培养学生的团队合作精神和情感态度价值观。
通过分解课程目标为具体学习成果，为后续教学设计和评估提供依据。
二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分：1. 函数图象对称性的概念及分类- 对称轴、对称中心的概念及其在函数图象中的应用- 奇函数、偶函数的图象特点及其对称性2. 常见函数图象的对称性质- 一次函数、二次函数、反比例函数的图象对称性- 三角函数图象的对称性3. 函数图象对称性的应用- 利用对称性质简化计算- 解决与函数图象有关的问题教学大纲安排如下：第一课时：函数图象对称性的概念及分类1. 引入对称性的概念，解释对称轴、对称中心等术语2. 分析奇函数、偶函数的图象特点，探讨其对称性质第二课时：常见函数图象的对称性质1. 研究一次函数、二次函数、反比例函数的图象对称性2. 探索三角函数图象的对称性第三课时：函数图象对称性的应用1. 利用对称性质简化计算，解决实际问题2. 结合具体例子，让学生体会对称性在解决问题中的应用教学内容与教材关联性：本节内容以教材中关于函数图象对称性的章节为基础，结合实际教学需求，对相关知识进行系统梳理和拓展，确保学生能够掌握函数图象对称性的核心概念和应用。
反比例函数对称性
反比例函数的定义域为除去使分母为 0的点外的所有实数，即{ x | x ≠ 0 } 。
VS
反比例函数的值域同样为所有非零实 数，即{ y | y ≠ 0 }。
函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调的。具体来说，在第一、三象限内，随着x的 增大，y值逐渐减小；在第二、四象限内，随着x的增大，y值逐渐增大。
反比例函数对称性
汇报人：XXX
汇报时间：2024-01-22
目录
• 引言 • 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的对称性 • 反比例函数的应用 • 总结与展望
01
引言
函数的定义
01
02
函数是一种特殊的关系，它使得每个输入值对应一个且仅一个输出值 。
函数通常表示为 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f 表示对 应关系。
推导了反比例函数对称性的数学表达式
基于反比例函数的定义和性质，我们推导出了其对称性的数学表达式。该表达式不仅描述了函数图像关于原点的对称 性，还揭示了函数值在对称点处的数量关系。
探讨了反比例函数对称性的应用
结合实例，我们探讨了反比例函数对称性在解决实际问题中的应用。例如，在物理学、工程学等领域中 ，反比例函数的对称性可用于描述某些物理量之间的关系，从而简化问题的分析和求解过程。
01
工程学
在工程学中，反比例函数可用 于描述某些物理量之间的关系 ，如电阻、电容和电感之间的
关系。
02
生物学
生物学中的一些现象也可以用 反比例函数来描述，如生物体 的新陈代谢速率与生物体大小
之间的关系。
03
社会学
在社会学中，反比例函数可以 描述一些社会现象，如城市人 口密度与生活质量之间的关系
反比例函数图像的对称性
数学实验：反比例函数图像的对称性教学背景：《反比例函数》是苏科版数学八年级下学期的重要内容之一，对于反比例函数图像对称性的学习，学生往往局限于初步的感性认识，对称性结论的了解，缺乏推理证明和深入的思考，一方面是教材中没有对应的教学内容，可以不花过多精力学习；另一方面证明有一定的难度，需要一定的教学时间，所以教学时往往是一带而过。
这就导致学生对反比例函数图像的对称性只能停留在了解的层面上，遇到问题很难与对称性相结合，快速简便的解决问题。
数学实验的意义：数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。
数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。
借助于计算机的技术和数学软件包的应用，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作。
教学目标：借助于透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观。
教学重点难点：借助于几何画板软件和平面直角坐标系内对称点的坐标的特点证明反比例函数图像的对称性。
教学用具：透明纸片、大头针（或图钉）、剪刀、几何画板软件的多媒体教学一体机、苏科版八年级数学《实验手册》.教学过程：1.提出问题：反比例函数图像具有对称性吗？2.数学实验：苏科版八年级数学《实验手册》P39（1）验证反比例函数图像的中心对称图形；（2）验证反比例函数图像是轴对称图形.3.几何画板验证中心对称性：4.推理证明：（1）为什么反比例函数的图像是中心对称图形？（2）为什么反比例函数的图像是轴对称图形？5.结论：反比例函数既是中心对称图形，又是中心对称图形.6.实验感受：遇到问题时，要敢于提出问题，经历大胆猜想，操作验证，理论证明等探索过程，最终解决问题.7.典型应用例题1：求点的坐标如图，直线与双曲线的一个交点A是（3，2），则它们的另一个交点B的坐标是.例题2：求面积如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点.分别以A、B为圆心紧挨着x轴画圆，点A的坐标为（2，1）,求图中两个阴影部分面积的和是.例题3：代数式求值如图，直线y=kx(k＞0)与双曲线y=(2/x)交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x[1],y[1]),B(x[2],y[2]),则x[1]y[2]+x[2]y[1]的值.【点评：反比例函数图像中心对称性的应用】延伸拓展：如图，已知直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点A、B，与双曲线y=(k/x)(k＜0)交于C、D两点，且AB=2CD,求△COD的面积.【辅助线】【点评：反比例函数图像轴对称性的应用】。
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反比例函数对称性研究万安中学侯来合
2011/11/1反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。
【反比例函数中心对称性研究】中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O成中心对称，点O叫做对称中心。
在平面直角坐标系中，任意一点M（a,b）关于原点的中心对称点坐标为N（-a,-b）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。
在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上任意一点M（a,b），那么它关于原点的中心对称点坐标为N（-a,-b）也一定在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上，由中心对称定义可知，反比例函数y=xk(k≠0)的图象双曲线关于点O成中心对称，对称中心是坐标原点o,
【例1】已知反比例函数y=xk(k﹥0)的图象与y=mx和y=nx相交与A B C D四点，那么四边形ABCD是（）A梯形B平行四边形C矩形D正方形分析：因为反比例函数y=xk(k﹥0)，y=mx，y=nx均关于点O成中心对称，所以交点A与C，B与D，关于点O成中心对称，所以AO=OC OB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形故选（B）
【例2】已知：反比例函数y=xk1与直线y=k2x相交与A（-1，m）B(n,3)求：(1)mn(2)反比例函数和正比例函数的解析式解：∵y=xk1与y=k2x均关于原点O中心对称∴A关于原点O中心对称与B∴m=-3n=1∴mn=-3∴A(-1,-3)∴-3=11 k-3=k2x(-1)∴k1=k2=3∴两函数的解析式为y=x3和y=3x
【反比例函数轴对称性研究】现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。
在平面直角坐标系中，任意一点M（a,b）关于y=x的对称点坐标为N(b,a)关于y=-x的对称点坐标为H(-b,-a)
证明如下：如图，连接OM ON并过M做MP⊥Y轴MQ⊥X轴在⊿OPM和⊿OQN中OP=OQ=b PM=NQ=a∠MPO=∠NQO=900 ∴⊿OPM≌⊿OQN∴OM=ON∠MOP=∠NOQ又因为Y=X平分∠XOY所以∠XOR=∠YOR=45度所以∠MOR=∠NOR由等腰三角
形三线合一性质可知直线y=x垂直平分MN所以点M点N关于直线y=x对称同理可证M与S关于直线Y=-X对称在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上任意一点M（a,b），那么它关于y=x对称点坐标为N （b,a）也一定在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上，由轴对称定义可知，反比例函数y=xk(k≠0)的图象双曲线关于y=X轴对称，同理可证
反比例函数y=xk(k≠0)的图象双曲线关于y=-X轴对称
，【拓展训练】如图，直线y=-x+b与反比例函数y=xk(k≠0)相交与M（m,3）N(n,-1)，直线y=-x+b与Y轴,X轴相交与A B两点，点C（b,b）在第一象限（1）直接写出m和n的值（2）求直线y=-x+b与反比例
函数y=xk的解析式（3）求⊿MON的面积（4）直接写出x为何值时反比例函数值大于一次函数值（5）四边形OACB是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形。