初中培优竞赛 第12讲 函数与图象

一、选择题1.（2007年浙江省竞赛题）抛物线y=x2+x+P(P≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是()A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)2.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛题）设0<k<1，关于x的一次函数y=kx+1k(1−x)，当1≤x≤2时的最大值是()3.（2007浙江省竞赛题）直线l：y=Px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有( )A.6条B.7条C.8条D.无数条4.（2007浙江省竞赛题）若ab+c =bc+a=ca+b=t，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是()A.第一、二象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限D.第三、四象限5.（2007浙江省竞赛题）函数y=−1|x|图象的大致形状是( )6.（2006年全国初中数学竞赛海南赛区初赛题）如图12 -6所示，正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是( )7.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区赛题）作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2再将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2−1，则抛物线C l所对应的函数解析式是( )A.y=2(x+3)2−2B.y=−2(x+3)2+2C.y=2(x−1)2−2D.y=−2(x−1)2+28.（2007年山东省竞赛题）如图12 -7所示，一次函数y=kx+b的图象过点P(l，4)，且分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点O为坐标原点.当△AOB面积最小时，k，b 的值为( )A.k=−4,b=8B.k=−4,b=4C.k=−2,b=4D.k=−2,b=29.（2006年全国初中数学竞赛题）若函数y=(k+1)x2+x+k2+3k−2的图象与y 轴交点的纵坐标为-4，则k的值是()A.-1B.-2C.-1或2D.-1或-210.（2006年全国初中数学竞赛题）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h，则()A.h<1B.ℎ=1C.1<ℎ<2D.ℎ>211.（第41届美国高中数学考试题）已知f x=ax2−2,a为一个正常数，如果f(f(2))=−2，则a的值为()A.2−2B.1C.2− 2D.2E.2+2二、填空题12.（1996年上海市初中数学竞赛题）已知函数y=(a−2)x−3a−1，当自变量x的取值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围为______________13.（2006年太原市初中数学竞赛题）不论m取何值，抛物线y=x2+2mx+m2+m−1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是__________ .14.（1999年黄冈初中数学竞赛题）如图12 -8所示，直线y=−2x+10与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是____ .15.（2007年周报杯竞赛题）已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y=x2+(a−3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是______________ 16.（2007年数学周报杯竞赛题）如图12 -9所示，点A，C都在函数y=33x(x>0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为___________17.（2006年全国初中数学竞赛题）函数y=x2−2006|x|+2008的图象与x轴交点的横坐标之和为________________18.（2005年全国初中数学竞赛题）在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−43m2(m>0)与x轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m=________________19.（1999年全国初中数学竞赛题）如图12 - 10所示，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP 与AB的交点为F.设DP=x cm，△EFB与四边形AFPD的面积和为y cm2，那么y与x之间的函数关系式是________(0<x<10).三、解答题20.（1997年江苏省初中数学竞赛题）求证：不论k为何值，一次函数(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0的图象恒过一定点.21.（1993年江苏省初中数学竞赛题）已知mm是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.(1)求证：0<m2−4n≤4;22.（2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）已知二次函数y=a(a+1)x2−(2a+1)x+1，其中a为正整数.(1)若函数y的图象与x轴相交于A，B两点，求线段AB的长；(2)若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A1B1,A2B2，…，A2005B2005，试求这2005条线段长之和.23.（2006年黑龙江竞赛题）甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为2. 6km的高山，甲、乙两个登山队选择了不同的登山路线，图12 - 11为登山高度不超过2km时，两个登山队登山的高度h(km)与登山时间t（小时）的函数图象.根据图象回答下列问题：(1)求出乙登山队登山高度与登山时间的函数关系式；(2)在两个登山队登山高度不超过2km时，问：经过多长时间两队登山的高度相同？(3)若登山的高度超过2km时，这两个登山队继续按原行进速度登山，那么能否确定哪个登山队先到达山顶？若能确定，请求出先到达山顶的那个登山队所用的时间；若不能，请说明理由.24.（2005年太原市初中数学竞赛题）已知两个二次函数y A=x2+3mx−2和y B=2x2+6mx−2，其中m>0.构造函数y;当y A>y B时，设y=y A；当y A≤y B时，设y=y B.若自变量x在−2≤x≤1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值.25.（2005年全国初中数学联赛题）设点A，B是抛物线y=2x2+4x−2上的点，原点位于线段AB的中点处.试求A，B两点的坐标.26.（2007年全国初中数学竞赛题）设m，n为正整数，且m≠2.如果对一切实数t二次函数y=x2+(3−mt)x−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值.答案与解析1.D 由题意得P2+P+P=0，解得P1=−2,P2=0（舍去）.当P=−2时，抛物线是y=x2+x−2，求得顶点坐标是(−12,−94)⋅2.A y=(k−1k )x+1k.因为0<k<1，所以k−1k=(k+1)(k−1)k<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k−1k +1k=k.3.B 解方程组y=pxy=x+10得x=10P−1因为x和p都是整数，所以p−1=±10,±5，±2，±1，即P=11，-9，6，-4，3，-1，2，0，共8个值，p=0舍去.4.A 由已知可得a+b+c=2(a+b+c)t，当a+b+c≠0时，t=12,y=12x+14，直线过第一、二、三象限；当a+b+c=0时，t=−1,y=−x+1，直线过第一、二、四象限.综上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限.5.D 当x>0时，y=−1x ，图象在第四象限；当x<0时，y=1x，图象在第三象限.所以原函数的图象在第三、四象限.6.B s=1−4×12x(1−x)=2x2−2x+1(0<x<1).本题也可从选项来判断，选项A中AE为负是不可能的，从而排除选项A；如果从极端情况看，当E无限接近于点A时，S=1而不是s=0，从而排除选项C；对于如图所示的面积显然是关于x的二次函数，而选项D的图象是折线段而不是二次函数的图象，从而排除选项D.7.D 将抛物线C再变回到抛物线Cl，即将抛物线y=2(x+1)2−1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y = 2(x-l)2 -2 ，其关于x轴对称的抛物线是y=−2(x−1)2+2.SΔBOA=SΔBOP+SΔPOA=11×4−k+1×4×k−4=4−1k+16.显然，k<0，令u=−k,v=−16k，则u>0,v>0，且uv=16.所以SΔBOA=4+12(u+v)=4+12[(u−v)2+2uv]当且仅当u=v，即k=−u=−4时.上式取等号，SΔBOA取最小值8.此时b=4−(−4)=8.9.D 由函数图象与y轴交点的纵坐标为-4，可知k2+3k−2=−4，进而求得k的值为-1或-2.本题易错之处：学生往往认为它是一个二次函数而人为约定k+1≠0,从而错误地选择B，忽略了它作为一个一次函数也符合题意.10.B 设点A的坐标为(a,a2)，点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|)，则点B的坐标为(−a,a2).由勾股定理得AC2=(c−a)2+(c2−a2)2,BC2=(c+a)2+(c2−a2)2,AC2+BC2=AB2.所以(a2−c2)2=a2−c2.由于a2>c2，所以a2−c2=1，即斜边AB上高h=a2−c2=1.11.D因为f(x)=ax2−2，所以f(2)=2a− 2.f(f(2))=f(2a−2)=a(2a−2)2−2.又因为f(f(2))=−2，所以a(2a−2)2=0.因为a为正常数，所以2a−=0，即a=22⋅12. a>8(1)当a>2时，一次函数y随x的增大而增大，由题意得(a−2)×3−3a−1<3(a−2)×5−3a−1>5，解得a>8.(2)当a<2时，y随x的增大而减小，由题意(a−2)×3−3a−1>5(a−2)×5−3a−1>3.解集为∅集所以a的取值范围是a>8.13. y=−x−1将二次函数变形为y=(x+m)2+m−1，可知抛物线的顶点坐标为x=−my=m−1，消去m得x+y=−1,所以y=−x−1.说明对于二次函数，其中基本认识之一是函数的标准写法.14.(8，4) 直线y=−2x+10与x轴交点A的坐标为A(5，0)，与y轴交点B的坐标为B(0，10)，则OA=5,OB=10.连结OC交AB于M，则AB垂直平分OC.在Rt△AOB中，易得OM=25,因为OB：OA =2:1，所以M到y轴的距离等于到x轴距离的2倍，所以可以得M(4，2)，由中点坐标公式得C(8，4).15.分两种情况：(1)因为二次函数y=x2+(a−3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)，所以[12+(a−3)×1+3]×[22+(a−3)×2+3]<0.解得−1<a<−12.由12+(a−3)×1+3=0得a=−1.此时x1=1,.令x=0，得B（0，4-k），令y=0，得A(k−4,0)⋅连结PO（见图1-3）.x2=3,符合题意.由22+(a−3)×2+3=0得a=−12⋅此时x1=2,x2=32，不符合题意.(2)今x2+(a−3)x+3=0，由判别式Δ=0得a=3±23.当a=3+23时，x1=x2=−3，不合题意；当a=3−23时,x1=x2=3,符合题意.综上所述，a的取值范围是−1≤a<12或a=3−2 3.16.(26,0)如图1-4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F.设OE=a,BF=b,则AE=3a,CF=3b,所以点A，C的坐标分别为(a,3a),(2a+b,3b).所以3a2=333b2a+b=33解得a=3b=6−3.因此点D的坐标为(26,0).17.0 原问题可转化为求方程x2−2006|x|+2008=0⋯①的所有实根之和.若实数x0为方程①的根，则其相反数一x0也为方程①的根.所以方程的所有实根之和为0，即函数的图象与x轴交点的横坐标之和等于0.18.2 设方程x2+mx−34m2=0的两根分别为x1，x2，且x1<x2，则有x1+x2=−m<0,x1x2=−34m2<0.所以x1<0,x2>0.由1OB−1OA=23可知OA>OB.又因为m>0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x1|=−x1,OB=x2⋅所以1 x2+1x1=23,x1+x2x1x2=23，故−m−34m2=23，解得 m=2.19.由DP=x得PC=10−x,FB=12(10−x)，所以y=12×10×12(10−x)+1 2[10−12(10−x)+x]×10.即y=5x+50,0<x<10.20.解法1 既然不论k取何值，于是我们取k=1,k=2得x−4y+10=03x−5y+9=0，解得x=2y=3.把x=2,y=3代人(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0，发现(2，3)就是该一次函数图象上的点，即该一次函数恒过定点(2，3).解法2 把(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0表达成(2x−y−1)k=x+3y−11⋯①因为k可取任何值，即关于k的方程①有无穷多解，故2x−y−1=0x+3y−11=0，解得x=2y=3⋅因为点(2，3)是①的解，当然也适合原一次函数，故2k−1x−k+3y−(k−11)=0恒过定点(2，3).21.(1)设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),x1≠x2,则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同的实根，所以x1+x2=−m,x1x2=n.又因为0<|x1−x2|≤2,即0<(x1+x2)2−4x1x2≤4,也即0<m2−4n≤4.(2)因为m，n为数码(m≠0)，所以m2−4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1，故m2−4n被4除也余0或1，从而只能有m2−4n=1或m2−4n=4.解这两个不定方程得m=1n=0或m=2n=2或m=5n=6或m=2n=0或m=4n=3或m=6n=8，所以所求的两位数mn为10，32,56,20,43,68.22.(1)设函数y的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程a(a+ 1)x2−(2a+1)x+1=0的两个实根.由a(a+1)x2−(2a+1)x+1=0得(ax−1)[(a+1)x−1]=0，所以x1=1a ,x2=1a+1⋅所以|AB|=|x1−x2|=1a−1a+1=1a(a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)（a为正整数）(2)当a依次取1，2，…，2005时，所截得的线段长分别为|A1B1|=1−12,|A2B2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|=(1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅23.(1)当0≤t≤1时，ℎ乙=0.5t；当1<t≤5时，h乙=0.5；当5<t≤10时，设ℎ乙=kt+b，把(5，0.5)，(10，2)代人得{10k+b=25k+b=0.解得{b=−1k=0.3所以ℎ乙=0.3t−1.(2)设甲登山队登山高度与登山时间之间的函数关系为ℎ甲=kt,所以2=12k,k=1 6⋅所以ℎ甲=16t.当ℎ甲=0.5时，t=3.解方程组ℎ=16tℎ=0.3t−1得ℎ=1.25t=7.5，所以经过3小时或经过7.5小时，两登山队登山的高度相同.(3)不确定.因为两个登山队在2km以上时，到达山顶的路程不确定，所以不能确定登山高度与时间的关系（如有其他答案，符合题意即可）.24.依题意得y=x2+3mx−2(y A>y B)2x2+6mx−2(y A≤y B).易看出，已知的两个二次函数的图象皆开口向上，有共同的对称轴x=−32m<0，在直线y=−2上有两个交点，其中一点坐标为（0，-2），描绘函数y A=x2+3mx−2与y B=2x2+6mx−2的图象，则两曲线中数值相对较大部分组成的曲线（即两交点左右两虚线及中间实线）就是所求函数的图象（如图1-5）.讨论函数y在−2≤x≤1时的最值.(1)当−32m≤−2，即m≥43时，y min=y A|x=−2=2−6m,y max=y B|x=1=6m;(2)当−2<−23m<−12，即13<m<43时，y min=y A|x=−3m=−94m2−2,y max=y B|x=1=6m;(3)当−12≤−32m<0时，即0<m≤13时，y min=y A|x=−32m=−94m2−2,y max=y B|x=−2=6−12m.25.因为原点是线段AB的中点，所以点A和点B关于原点对称，设点A的坐标为(a，b)，则点B的坐标为（-a，-b）.又因为A，B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式得b=2a2+4a−2−b=2a2−4a−2，解得a=1,b=4或者a=−1,b=−4.故A(l，4)，B(-l,-4)或A(-l,-4),B(l,4).26.因为x2+(3−mt)x−3mt=(x−mt)(x+3)，则方程x2+(3−mt)x−3mt=0的解是x1=mt,x2=−3，所以二次函数y=x2+(3−mt)x−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1−x2|=|mt+3|.由题意得|mt+3|≥|2t+n|，即(mt+3)2≥(2t+n)2，即(m2−4)t2+(6m−4n)t+9−n2≥0.又由题意可知m2−4≠0，且上式对一切实数t恒成立，所以m2−4>0Δ=(6m−4n)2−4(m2−4)(9−n2)≤0，即m>24(mn−6)2≤0,则m>2mn=6.所以m=3n=2或m=6n=1。