锐角三角函数(培优)
湘教版 九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与答案
湘教版2020—2021学年九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答一．选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．如图，ABC∆中，90B∠=︒，2BC AB=，则sin(C=)A．52B．12C ．255D ．552．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，4BC=，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若4sin5BDC∠=，则AC的长是()A．43B．26C．10D．83．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:5，堤高4BC m=，则迎水坡宽度AC的长为()A．5m B．45m C．26m D．46m4．已知ABC∆是锐角三角形，若AB AC>，则()A．sin sinA B<B．sin sinB C<C．sin sinA C<D．sin sinC A<5．如图，在Rt ACB∆中，90C∠=︒，sin0.5B=，若6AC=，则BC的长为() A．8B．12C．63D．1236．已知A，B都是锐角、且sin sinA B<，则下列关系正确的是()A．A B∠>∠B．tan tanA B>C．cos cosA B>D．以上都不正确7．如图，在ABC∆中，30A∠=︒，3tan B，23AC=AB的长是()第1题图第2题图第3题图第5题图第7题图A ．4B ．33+C ．5D ．223+8．在Rt ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，1tan 2A =，则sin (B = ) A ．12B ．32C ．55D ．2559．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角AOA α∠'=，则栏杆A 端升高的高度为( ) A ．4sin α米 B ．4sin α米 C ．4cos α米 D ．4cos α米10．如图，A ，B 两景点相距20km ，C 景点位于A 景点北偏东60︒方向上，位于B 景点北偏西30︒方向上，则A ，C 两景点相距( ) A ．10kmB ．103kmC ．102kmD ．2033km 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知3tan(15)α+︒=，则锐角α的度数为 ︒． 12．比较大小：cos45︒ cos55︒（用“>”或“<”填空） 13．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 14．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，3tanC =，3AB =，则AC 的长为 ．15．已知A ∠为锐角，且1cos 2A，那么A ∠的范围是 ． 16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3tan 4B =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE BC ⊥，垂足为点E ，则DE = ．17．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的第9题图第10题图第14题图第16题图俯角α是45︒，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度41:3BCi=，则大楼AB的高为米．18．如图，在菱形ABCD中，AE BC⊥，E为垂足，若4cos5B=，2EC=，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．三．解答题（共6小题，满分46分，其中19、20每小题6分，21、22每小题7分，23、24每小题10分）19．已知032a b=≠，求代数式3cot60(2)cos30tan45a ba b+︒-︒︒的值．20．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，3tan3A=，ABC∠的平分线BD交AC于点D，3CD=，求AB的长？21．如图，AD是ABC∆的中线，1tan3B=，2cos C=，2AC=．求：（1）BC的长；（2）sin ADC∠的值．22．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的长度是19.5米，MN是二楼楼顶，//MN PQ，点C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC MN⊥，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角CAQ∠为45︒，坡角BAQ∠为37︒，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈第17题图第18题图23．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈24．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45︒的防洪大堤（横断面为梯形)ABCD 急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF 的坡比1:3i =． （1）求加固后坝底增加的宽度AF ；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）湘教版2020—2021学年九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．D ． 2．D ． 3．B ． 4．B ． 5．C ． 6．C ． 7．C ． 8．D ． 9．B ． 10．B ． 二．填空题（共8小题）11． 15 ︒． 12． > ． 13． 4 ． 14．21． 15． 6090A ︒<︒ ． 16．87． 17． 27 ． 18． 4.8 ． 三．解答题（共6小题）19．已知032a b=≠，求代数式3cot 60(2)cos30tan 45a b a b +︒-︒︒的值． 【解】：032a b=≠， 23a b ∴=，∴23b a =， 原式323323..22322332(2).a a a===-．20．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan A =，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，3CD =，求AB 的长？【解】：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan A =， 30A ∴∠=︒， 60ABC ∴∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，30CBD ABD ∴∠=∠=︒，又3CD =，3tan30CDBC ∴==︒，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒， 6sin30BCAB ∴==︒． 答：AB 的长为6．21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cosC =，2AC =．求：（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．【解】：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，2cos C 45C ∴∠=︒，在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即13AE BE =，33BE AE ∴==，4BC BE CE ∴=+=；（2）AD 是ABC ∆的中线，122CD BC ∴==， 1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，2sin ADC ∴∠=． 22．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的长度是19.5米，MN 是二楼楼顶，//MN PQ ，点C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC MN ⊥，在自动扶梯底端点A 处测得C 点的仰角CAQ ∠为45︒，坡角BAQ ∠为37︒，求二楼的层高BC （精确到0.1米）．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈【解】：延长CB 交AQ 于点D ，则CD AQ ⊥，在Rt BAD ∆中，sin BD BAD AB ∠=，cos ADBAD AB∠=， sin 19.50.611.7BD AB BAD ∴=∠≈⨯=，cos 19.50.815.6AD AB BAD =∠≈⨯=，在Rt CAD ∆中，45CAD ∠=︒， 15.6CD AD ∴==， 3.9BC CD BD ∴=-=，答：二楼的层高BC 约为3.9米．23．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈【解】：设MC x=，30MAC∠=︒，∴在Rt MAC∆中，3tan3MCAC xMAC===∠．45MBC∠=︒，∴在Rt MCB∆中，MC BC x==，又40AB DE==，40AC BC AB∴-==，即340x x-=，解得：2020354.6x=+≈，54.6 1.556.1MF MC CF∴=+=+=（米)，答：楼MF的高56.1米．24．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45︒的防洪大堤（横断面为梯形)ABCD急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比1:3i=．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【解】：（1）分别过点E、D作EG AB⊥、DH AB⊥交AB于G、H．四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，DH ∴平行且等于EG ．故四边形EGHD 是矩形． ED GH ∴=．在Rt ADH ∆中，tan 10tan4510AH DH DAH =÷∠=÷︒=（米)．在Rt FGE ∆中， 3EGi FG==， 33FG EG ∴=（米)．1033101037AF FG GH AH ∴=+-=-=（米)；（2）加宽部分的体积AFED V S =⨯梯形坝长 1(31037)105002=⨯+⨯⨯ 25000310000=-（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF 为(1037)米； （2）完成这项工程需要土石310000)立方米．。
杭州市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(专题培优)
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题1．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是（）A．3B．33C．2 D．322．如图，O是ABC的外接圆，60BAC∠=︒，若O的半径OC为1，则弦BC的长为（）A．12B．32C．1 D．33．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )A．31)m B．31)mC．31)m D．31)m4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB5tan∠B＝2，则AC的长为（）A．1 B．2 C5D．55．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）A．34m B．13m C．23m D．12m6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC7．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100m B．1002m C．1003m D．2003m38．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角BCD∠的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°9．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝12，则sinB＝（）A．12B3C5D2510．点E在射线OA上，点F在射线OB 上，AO⊥BO，EM平分∠AEF，FM平分∠BFE，则tan∠EMF的值为( )A ．12B ．33C ．1D ．311．如图，在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，连接A 1C ，取A 1C 的三等分点Q （CQ ＜A 1Q ），当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为（ ）A ．πB ．23πC ．433πD ．233π 12．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．4813．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（ ）A ．12πB ．2πC ．4πD ．24π14．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝3△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题15．如图，点O 为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接DA 、DB ，则=ADB ∠______度；若4OA =，则该正八边形的面积为______．16．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 所成的锐角为60,10AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值为_______________________．17．已知菱形ABCD 的边长为6，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为点E ，AC ＝4，那么sin ∠AOE ＝_____．18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．19．如图，长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，BC’交AD于点E，则线段DE的长为____.20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．21．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 ________ 米（结果保留根号）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD=6，sin∠ADB=1010，若△AEF的周长为18，则S△BOE=_____．23．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2016的坐标是______．24．如图，ABCD 中，∠DAB =30°，AB =8，BC =3，P 为边CD 上的一动点，则PB +12PD 的最小值等于__________.25．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，已知3BE =，33BC =，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）26．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．三、解答题27．2）0+cos60°﹣|13|．28．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC =5，求tan ∠ABD 的值．参考答案29．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，//,BC AD BE AD⊥，斜坡AB长为51062m，坡度9:5i=．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE．（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米? 30．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．【参考答案】一、选择题1．B2．D3．A4．B5．D6．C7．A8．D9．D10．C11．D12．C13．A14．C二、填空题15．225【分析】连接OAOB由正八边形的性质求出得到过A作于K可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB∵ABCDEFGH是正八边形∴∴过A作于K16．【分析】根据四边形面积公式S＝AC×BD×sin60°根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×再利用二次函数最值求出即可【详解】解：∵AC与BD所成的锐角为60°∴根据四边形面积公式得四边形ABC17．【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD根据∠OAE＝∠BAO∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO进而得到∠AOE＝∠BAO再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值【详解】∵菱形对角线18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x则AE=6﹣x∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC∴∠EDB=∠DBC由题意得20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点21．【分析】过C作CE⊥AB于EDF⊥AB于F分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解【详解】解：过C作CE⊥AB于EDF⊥AB于F可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA∵BC=6∴22．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt△ABF中利用勾股定理可求得求出DF=10可求出S△BDF由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=6∠BAD=9023．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B24．4【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E由锐角三角函数可得EP＝即PB+=PB+PE则当点B点P点E三点共线且BE⊥AD时PB+PE有最小值即最小值为BE【详解】解：如图过点P作PE⊥AD交25．【分析】设圆弧与AC交于F连接BF过F作FH⊥BC于H解直角三角形得到∠BAC＝60°求得△ABF是等边三角形得到∠ABF＝60°推出∠FBE＝30°然后根据S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△A26．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a －x然后利用锐角三角函数求出PM和P三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．B解析：B【分析】设AC=AB=x，求得tan3ACCDD===，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：设AC=AB=x，则tanACCDD===，∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴BE ABCE CD===故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB∴BC＝2BD＝故答案是【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．3．A解析：A【解析】设MN=xm，在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx=3√3，解得：3，则建筑物MN的高度等于3 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.4．B解析：B【分析】根据正切的定义得到BC=12AC，根据勾股定理列式计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，∴ACBC=2，∴BC=12AC，由勾股定理得，AB2=AC2+BC252=AC2+（12AC）2，解得，AC=2，故选B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．5．D解析：D【分析】设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB＝22AC BC+＝5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．【详解】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为34，∴设AC＝3k，BC＝4k，∴AB＝22AC BC+＝5k＝5，∴k＝1，∴AC＝3m，BC＝4m，∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，∴A′C＝12A′B′＝52，∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣52＝12m，故梯子下滑的距离AA'的长度是12 m，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．6．C解析：C【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．7．A解析：A【分析】根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．【详解】解：由已知得，∠AOB=90°-60°=30°，OA=200m．则AB=12OA=100m．故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．8．D解析：D【分析】作AE⊥BC于E，根据平行四边形的面积=矩形面积的一半，得出AE=12AB，再由三角函数即可求出∠ABC的度数，即可得到答案．【详解】解：作AE⊥BC于E，如图所示：则∠AEB=90°，根据题意得：平行四边形的面积=BC•AE=12 BC•AB，∴AE=12AB，∴sinB=12AE AB =， ∴∠ABC=30°，∴∠BCD=150°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．9．D解析：D【分析】作出草图，根据∠A 的正切值设出两直角边分别为k ，2k ，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．【详解】解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12， ∴设AC ＝2k ，BC ＝k ，则AB ＝22(2k)k +＝5k ，∴sinB ＝AC AB＝2k 5k ＝255． 故选：D ．【点睛】考核知识点：勾股定理，三角函数．理解正弦、正切定义是关键．10．C解析：C【分析】根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．【详解】如图，∵AO ⊥BO∴∠AOB=90°∴∠OEF+∠OFE=90°∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°∴tan ∠EMF=tan45°=1故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．11．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．【详解】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =AD ＝9， ∴3tan AB ADB AD ∠==30ADB ︒∠=，∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ， ∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==， 当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长1203231803ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．12．C解析：C【分析】分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．【详解】解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，ACD ∆为等边三角形，160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒=== sin 60,DH AD ∴︒=33,22DH AD AC ∴== 2113,24S AC DH AC ∴=•=同理：222333,,44S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=如图2，同理可得：456S S S =+，∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．13．A解析：A【分析】如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．【详解】解：如图作OH ⊥AB 于H ．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63∵OH ⊥AB ，∴BH ＝AH ＝33∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 3AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=， 故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．14．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝3△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF 3EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2 ∵BC ＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC∴EB＝EC ＝即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF＝CF EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF 5∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB即()2225R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题15．225【分析】连接OAOB 由正八边形的性质求出得到过A 作于K 可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK 由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB ∵ABCDEFGH 是正八边形∴∴过A 作于K解析：22.5 322【分析】连接OA 、OB ，由正八边形的性质求出45AOB ∠=︒，得到22.5ADB ∠=︒，过A 作AK OB ⊥于K ，可证得AKO ∆是等腰直角三角形，利用正弦的定义求出AK ，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：连接OA 、OB ，∵ABCDEFGH 是正八边形，∴360845AOB ∠=︒÷=︒，∴122.52ADB AOB ∠=∠=︒， 过A 作AK OB ⊥于K ，∴90AKO ∠=︒，∵45AOB ∠=︒，，∴AKO ∆是等腰直角三角形，∵4OA =，∴422AK ===∴11422OAB S OB AK ∆=⋅=⨯⨯=∴正八边形ABCDEFGH 88OAB S ∆==⨯=故答案为：22.5，．【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算以及锐角三角函数，掌握正多边形的中心角的计算方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．【分析】根据四边形面积公式S ＝AC×BD×sin60°根据sin60°＝得出S ＝x（10−x ）×再利用二次函数最值求出即可【详解】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°∴根据四边形面积公式得四边形ABC【分析】根据四边形面积公式，S ＝12AC×BD×sin60°，根据sin60°＝2得出S ＝12x （10−x ）【详解】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积S ＝12AC×BD×sin60°， 设AC ＝x ，则BD ＝10−x ，所以S ＝12x （10−x ）x−5）2所以当x ＝5，S【点睛】 此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．17．【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC ⊥BD 根据∠OAE ＝∠BAO ∠OEA ＝∠AOB 可以判定△OAE ∽△ABO 进而得到∠AOE ＝∠BAO 再由AO 和AB 的值即可求得sin ∠AOE 的值【详解】∵菱形对角线解析：13【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC ⊥BD ，根据∠OAE ＝∠BAO ，∠OEA ＝∠AOB 可以判定△OAE ∽△ABO ，进而得到∠AOE ＝∠BAO ，再由AO 和AB 的值即可求得sin ∠AOE 的值．【详解】∵菱形对角线互相垂直，∴∠OEA ＝∠AOB ，∵∠OAE ＝∠BAO ，∴△OAE ∽△ABO ，∴∠AOE ＝∠ABO ，∵AO ＝12AC ＝2，AB ＝6， ∴sin ∠AOE ＝sin ∠ABO ＝AO AB ＝13． 故答案为：13． 【点睛】 考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO ．18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH 表示出AHBH 的长然后计算出AB 的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C解析：)12001 【解析】【分析】在Rt ACH 和Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【详解】由于CD//HB ， CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 12001200HB tan B tan303∠∴====米)， )AB HB HA 120012001∴=-==米，故答案为()120031-. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x 则AE=6﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB=∠DBC 由题意得 解析：3.75【分析】首先根据题意得到BE =DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED =x ，则AE =6﹣x ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ．由题意得：∠EBD =∠DBC ，∴∠EDB =∠EBD ，∴EB =ED =x ．由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=9+（6﹣x ）2，解得：x =3.75，∴ED =3.75．故答案为3.75．【点睛】本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：2+3．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，222221OA AC -=-3∴BC=OB ﹣OC=2﹣3， ∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=123AC BC =-=2+3． 故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ∵BC=6∴解析：62【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ， ∵BC=6，∴CE=2sin 456322BC ︒=⨯=， ∴DF=CE=32，∴62sin 30DF AD ==︒， 故答案为：62．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．22．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt △ABF 中利用勾股定理可求得求出DF=10可求出S △BDF 由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD=6∠BAD=90解析：152【分析】根据题意求出AD=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求得8a =，求出DF=10，可求出S △BDF ，由三角形中位线定理可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=6，∠BAD=90°，OB=OD ，∵sin ∠ADB=10，∴610AB BD BD ==， ∴BD =∴18DA ===，∵E 为BF 中点，∴AE=BE=EF ，∵△AEF 的周长为18，∴AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，AB 2+AF 2=BF 2，∴62+a 2=(18a -)2，解得：8a =，∴DF=18-8=10．∵E 为BF 中点，O 为BD 的中点， ∴OE ∥DF ，OE=12DF ， ∴△BOE ∽△BDF ， ∴BOE BDF 14SS =， ∵BDF 12S =DF•AB=12×6×10=30， ∴S △BOE =BDF 111530442S =⨯=． 故答案为：152． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，中位线定理，三角形的面积等知识，熟练掌握几何基本图形的性质是解题的关键．23．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x 进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x 轴作垂线B1C 垂足为C 由题意可得：A （10）AO ∥A1B解析：（1009，10083） 【分析】 根据题意得出直线OB 1的解析式为y=3x ，进而得出O ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C ，垂足为C ，由题意可得：A （1，0），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC ＝30°，∴CB 1＝OB 1cos30°＝32， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1的纵坐标为：32， ∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝3x 上，∴B 1（12，32）， 同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，32n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．24．4【分析】过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E 由锐角三角函数可得EP ＝即PB+=PB+PE 则当点B 点P 点E 三点共线且BE ⊥AD 时PB+PE 有最小值即最小值为BE 【详解】解：如图过点P 作PE ⊥AD 交解析：4【分析】过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，由锐角三角函数可得EP ＝12PD ，即PB+12PD =PB+PE ，则当点B,点P ,点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为BE ．【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD∴∠EDP ＝∠DAB ＝30°，∴sin ∠EDP ＝12EP DP = ∴EP ＝12PD ∴PB ＋12PD ＝PB ＋PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB ＋PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠DAB ＝12BE AB = ∴BE ＝12AB =4 故答案为:4【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】设圆弧与AC 交于F 连接BF 过F 作FH ⊥BC 于H 解直角三角形得到∠BAC ＝60°求得△ABF 是等边三角形得到∠ABF ＝60°推出∠FBE ＝30°然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF−S △A解析：34π 【分析】 设圆弧与AC 交于F ，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，解直角三角形得到∠BAC ＝60°，求得△ABF 是等边三角形，得到∠ABF ＝60°，推出∠FBE ＝30°，然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE计算即可．2【详解】解：设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝BE＝3，BC＝33∴tan∠BAC333=∴∠BAC＝60°，∵BA＝BF＝3，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∴∠FBH＝30°，∴FH＝12BF＝32，∴S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE 22603303333360360244，故答案为：34π．【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a－x然后利用锐角三角函数求出PM和P3【分析】连接PM、PN，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x，则PB=2a－x，然后利用锐角三角函数求出PM和PN，然后利用勾股定理求出MN2与x的函数关系式，化为顶点式即可求出MN2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ） 在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2 ∴MN 的最小值为32a 3． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．三、解答题27．532【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】 2）0+cos60°﹣|13|＝1+1231）＝1+12＝52 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键． 28．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO ，∵∠EDC=90°，F 是EC 的中点，∴DF=FC ，∴∠FDC=∠FCD ，∵OD=OC ，∴∠OCD=∠ODC ，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙O 的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD ，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E ，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE ∽△ADC ， ∴DC DE AD DC， ∴DC 2=AD•DE ∵，∴设DE=x ，则，则AC 2﹣AD 2=AD•DE ，期（）2﹣AD 2=AD•x ，整理得：AD 2+AD•x ﹣20x 2=0，解得：AD=4x 或﹣4.5x （负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x -=，故tan ∠ABD=tan ∠ACD=422AD x DC x==． 29．（1）452m ；（2）10米 【分析】 （1）根据坡度设9BE x =，5AE x =，利用勾股定理得222BE AE AB +=，列出方程求出x 的值，可以求出BE 的长；（2）连接AF ，过点F 作FH AD ⊥于点H ，根据FAH ∠是45︒，利用它的正切值得到FH 和AH 的比值，设BF xm =，列式求出x 的值． 【详解】（1）∵坡度9:5i =， ∴95BE AE =，设9BE x =，5AE x =， 根据勾股定理，222BE AE AB +=，则222581251062x x +=，解得52x =， ∴545922BE m =⨯=； （2）如图，连接AF ，过点F 作FHAD ⊥于点H ， 由（1）得525522AE m =⨯=， 设BF xm =，∵tan tan 451FH FAH AH=∠=︒=， ∴4521252x =+，解得10x =， ∴BF 至少是10米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法． 30．（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3，AC ＝32DC 2；（2）E （1，0）；（32【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）分别代入抛物线y ＝ax 2+bx +3可解的a ，b 的值，从而得到解析式，tan ∠DAC ＝DC AC，可根据表达式求出C ，D 的坐标然后计算DC 和AC 的长度计算；（2）可取一点E ，过E 作EF 平行于x 轴，交AC 于F 此时可表示出S △ACE ，根据类方程S △ACE ＝2S △ACD ，求E 点坐标即可；（3）根据题能得到Q 的运动轨迹为直线，且当P 在A 处时Q 在C 处，当P 运动到C 处时，可以得到△ADC ∽PQD ，根据形似性质可得到PQ 长度即为Q 的运动路径长．【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）分别代入抛物线y ＝ax 2+bx +3可得： 093303a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩； ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴D （﹣1，4），C （0，3）；∴AC ＝32DC 2；∴tan ∠DAC ＝21=332DC AC ． （2）如图1所示，过E 作EF //x 轴交AC 于点F ，设点E （m ，﹣m 2﹣2m +3），直线AC 的表达式为y ＝kx +n ，将A （﹣3，0），C （0，3）分别代入y ＝kx +n 可得：033k n n =-+⎧⎨=⎩，解得13k n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 表达式为y ＝x +3，。
中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)及答案
中考数学锐角三角函数培优练习(含答案)及答案一、锐角三角函数1．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②123【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.2．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC 2＝2CD•OE ；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数3．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB 于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.【解析】试题分析：（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可证∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．试题解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB 与OD相交于点M，连接OB，∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=，∴，∴，∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当QH=时，∴QD=，∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=时，∴QD=∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴，∴EG=RG，∴RG=，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.4．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．6．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴∵三角板是等腰直角三角形，∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分（2）存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和此时，点分别在点和点，满足·························· 7分当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中，∴∴∴点的横坐标为：点的纵坐标为：∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时，点在第四象限，同理可求：点的坐标为综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．7．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴= 在Rt CEF V 中，30ECF ∠=︒ tan EFECF CF∴∠= 312EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.8．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D 从点A 出发，在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动，连结CD ，作点A 关于直线CD 的对称点E ，设点D 运动时间为t （s ）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=23【答案】（133；（23秒或3秒；（3）6﹣3【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t 的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据3t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴22633∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴t=AD=332；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴AB=3t=33，∴t=3；②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan ∠ACD=tan15°=t3=2﹣3， ∴t=6﹣33，由图形可知：0＜t ＜6﹣33时，△BCE 的BH 越来越小，则面积越来越小， ②当△BCE 在BC 的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE ⊥ED ， 此时S △BCE =12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3， 综上所述，当S △BCE ≤92时，t 的取值范围是6﹣33≤t≤3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠， ∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠， tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t =+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y . 故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233384y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--.【解析】 【分析】（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0） ∴y ＝a （x+2）（x ﹣4） 把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3 ∴a ＝﹣38∴抛物线解析式为y ＝﹣38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP ＝∠COB ＝90°∵∠DCP ＝∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴PC PDBC OB= ∵B （4，0），C （0，3）∴OB＝4，OC ＝3，BC ∴PD ＝45PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小 ∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC ∴S △ABC ＝12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18∴5PA+4PC 的最小值为18．（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3 ∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ = ∴FG ＝35FQ ＝95∴x Q ＝1﹣9455=-，QG 125==①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，）设直线l解析式为：y＝kx+b∴40 412 55 k bk b-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得：343kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线l：334y x=+②若点Q在x轴下方，则Q（41255--，）∴直线l：334y x=--综上所述，直线l的解析式为334y x=+或334y x=--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论11．如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的¶BD 交y轴正半轴于点D，¶BD与BC有交点时，交点为E，P为¶BD上一点．（1）若c＝3，①BC＝，¶DE的长为；②当CP＝2时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①65；②65（3）答案见详解【解析】【分析】（1）①先求出AB，AC，进而求出BC和∠ABC，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC是直角三角形，即可得出结论；（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．【详解】（1）①如图1，∵c＝3+2，∴OC＝3，∴AC＝3﹣2＝3∵AB＝6，在Rt△BAC中，根据勾股定理得，BC＝12，tan∠ABC＝ACAB3∴∠ABC＝60°，∵AE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝30°，∴»DE的长为306180π⨯＝π， 故答案为12，π； ②CP 与⊙A 相切．证明：∵AP ＝AB ＝6，AC ＝OC ﹣OA ＝63， ∴AP 2+CP 2＝108， 又AC 2＝（63）2＝108， ∴AP 2+PC 2＝AC 2．∴∠APC ＝90°，即：CP ⊥AP ． 而AP 是半径， ∴CP 与⊙A 相切．（2）若c ＝10，即AC ＝10﹣2＝8，则BC ＝10．①若点P 在»BE上，AP ⊥BE 时，点P 与BC 的距离最大，设垂足为F ， 则PF 的长就是最大距离，如图2，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12BC ×AF ， ∴AF ＝AB AC BC ⋅＝245，∴PF ＝AP ﹣AF ＝65；②如图3，若点P 在»DE上，作PG ⊥BC 于点G ，当点P 与点D 重合时，PG 最大． 此时，sin ∠ACB ＝PG AB CP BC=， 即PG ＝AB CP BC ⋅＝65∴若c＝10，点P与BC距离的最大值是65；（3）当c＝1时，如图4，过点P作PM⊥BC，sin∠BCP＝AB PM BC CD=∴PM＝67423737AB CDBC⋅⨯===423737；当c＝6时，如图5，同c＝10的①情况，PF＝6﹣1213=1213613-，当c＝9时，如图6，同c＝10的①情况，PF＝4285685 -，当c＝11时，如图7，点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c＝10时②情况，DG 18117．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键．12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m在Rt△ADC中，tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用13．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D．（1）求证：QA＝QD；（2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长；（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连结QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连结AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值．【答案】（1）证明见解析（2）PC的长为37或32（3）8【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性质得出∠BAC＝∠D，即可得出结论；（2）过点P作PH⊥AB于H，设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意知tanα＝1或12，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，与勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝57，即可求出PC长；当tanα＝12时，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝12，即可求出PC长；（3）设QQ′与AD交于点O，由轴对称的性质得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四边形AQDQ′是菱形，由菱形的性质得出QQ′⊥AD，AO＝12AD，证出四边形BEQ'Q是平行四边形，得出QQ′＝BE，设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，由三角函数得出MOAO＝tan∠PAC＝PCAC，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵PQ＝BQ，∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，∵∠ACB＝∠PCD＝90°，∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，∴∠BAC＝∠D，∴QA＝QD；（2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示：设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意得：tan∠BAC＝43，∠BAP＜∠BAC，∴2tanα是正整数时，tanα＝1或12， 当tanα＝1时，HA ＝PH ＝3x ， ∴3x+4x5， ∴x ＝57， 即PC ＝4﹣5x ＝37； 当tanα＝12时，HA ＝2PH ﹣6x ， ∴6x+4x ＝5，∴x ＝12， 即PC ＝4﹣5x ＝32； 综上所述，PC 的长为37或32； （3）解：设QQ′与AD 交于点O ，如图2所示： 由轴对称的性质得：AQ′＝AQ ＝DQ ＝DQ′， ∴四边形AQDQ′是菱形， ∴QQ′⊥AD ，AO ＝12AD ， ∵BC ⊥AC ， ∴QQ′∥BE ， ∵BQ ∥EQ′，∴四边形BEQ'Q 是平行四边形， ∴QQ′＝BE ，设CD ＝3m ，则PC ＝4m ，AD ＝3+3m ， 即QQ′﹣BE ＝4m+4，PE ＝8m ， ∵MO AO ＝tan ∠PAC ＝PCAC， ∴332MOm +＝43m，即MN ＝2MO ＝4m （1+m ），∴k ＝PE QQ MNg ′＝8(44)4(1)m m m m ++＝8．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键．15．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．【答案】（1）2，sin∠BEC=35；（2）754【解析】【分析】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，2，设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出y，继而可求得答案.【详解】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，又∵点C是OB中点，∴OC=BC=6，CF=BF=32，设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，故可得sin∠BEC=35CFCE，AE=52；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，解得：y=152，即AD=152，故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.。
数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=.在Rt ADM △中，tan MDDAM AM∠=，所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2491716=，解得617v=.经检验，617v=是原方程的解.答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．4．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3∵∠MCF＝30°∴FC3MF，即x＋33－20)解得：x ＝40331- ＝60＋203≈95m答：电视塔MN 的高度约为95m ．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCMS =.【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒，∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CMy 轴， ∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BMOC ， ∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=.故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－x －与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 : 2，求cos ∠QHC 的值；（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得8．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+【解析】【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解.【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中，45ACF ∠=︒tan 1AF ACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中，30ECF ∠=︒tan EF ECF CF∴∠= 3123EF ∴= 43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.9．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，3PA 的长；(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD=+=2，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．10．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =，12∴∠=∠.312∠=∠+∠，321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥，OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径，CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==， 解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．。
人教版九年级数学下锐角三角函数单元培优教师版
第二十八章 锐角三角函数1. 锐角三角函数（一）预习归纳在直角三角形中，锐角a 的 对边 与 斜边 的比叫做角ɑ的正弦，记作sin ɑ ． 例题讲解 【例】（2014·兰州）如图，在Rt △ABC 中，∠C 90°，BC ＝3，AC ＝4，那么sin A 的值等于( C ) A ．43 B ． 54 C ． 53 D ． 34基础题训练1 ．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，则AC ：BC ：AB ＝2:3:12 ．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则∠A ＝ 30° ．3 ．已知△ABC 中，∠A ＝∠B ＝21∠C ，则BC ：AC ：AB4 ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的正弦是（ A ） A ．AB BC B ． AB AC C ． AC BC D ． BCAB5 ．计算2·sin45°的结果等于（ B ）A ．2 B ． 1 C ．22D ． 32 6 ．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，则sinA 的值为（ C ） A ．552 B ． 2 C ． 55D ． 32 7 ． 把Rt △ABC 的三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值（ A ）A ． 不变B ． 缩小为3倍C ． 扩大3倍D ． 不能确定 8 ．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13， BC ＝5，求sinB 的值．ABCABC解：sin B＝13129．（2015·包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB＝14，求线段AC的长．解：2中档题训练10 ．△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝31，则BC等于（ B ）A ．45B ．5C ．51D ．45111 ．(2014·威海）如图，在右边网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( D )A．310B．12C．13D．1012．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sinB＝135，求菱形的周长．解：设AE＝5x，AB＝13x，∴BE＝12x，∴12x＋1＝13x，x＝1∴AB＝13，∴菱形的周长为52 ．ABDCE13 ．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD ⊥AB 于D ，sinA ＝54，AC ＝5，求sinB 及BC 的长．解：sin B ＝53 BC ＝32014 ．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c ＝35，若关于x 的方程（35＋b ）x 2＋2ax ＋35－b ＝0，有两个相等的实数根． （1）试判断△ABC 的形状； （2）若sin A ＝53，求△ABC 的面积． 解：（1）由题意知：（a ＋b ）x 2＋2ax ＋c －b ＝0，△＝0，可知a 2＋b 2＝c 2，∴∠C ＝90°． （2）S △ABC ＝18 ．综合题训练15 ．（2014·上海）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．求sin B 的值．解：可证∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ，又AC 5CH ，故sinB 5．ADC2. 锐角三角函数（二）预习归纳1．在直角三角形中，锐角a 的 邻边 与 斜边 的比叫做角a 的余弦，记作 cosa 2．在直角三角形中，锐角a 的 对边 与 邻边 的比叫做角a 的正切，记作tana 例题讲解【例】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，则sinA ＝513；cosA ＝1213 ；tanA ＝ 512 ；sinB ＝ 1213 ；cosB ＝ 513；tanB ＝ 125 ．基础训练1 ．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，tanA ＝43，则BC ＝ 6 ；AB ＝ 10 ；sinB ＝45 ；cosB ＝ 35；tanB ＝ 43 ． 2 ． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝3，则sinAcosA ＝ ；sinB ＝；、cosB tan ＝ 13． 3．（2015·天津）cos45°的结果等于（ B ）A ．12 B ．C ． 23 D ．4 ．（2014·巴中） 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝513，则tanB 的值是（ D ） A ．1213 B ． 512 C ． 1312 D ． 1255 ．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝54，则tanB 的值为（ A ） A ． 34 B ． 43 C ． 53 D ． 546 ．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5， AC ＝6，则tanB 的值是( C ) A ． 54B ． 53C ． 43D ． 34A7 ．在△ABC 中，∠C ＝90°∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列式子一定成立的是（ B ） A ． a ＝c ·sin B B ． a ＝c ·cosB C ． a ＝c ·tanB D ． a ＝Bccos 8 ．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，求tanA 、tanB 的值．解：tanA ＝3；tan B33 9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝1，BD ＝4． (1)求CD 的长； (2)求sin A 、tan B 的值． 解：(1)2 (2)255，12中档题训练10．(2014·苏州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5， BC ＝8．若∠BPC＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝ 43． 11．(2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )． A ．2 B ．255 C ．55 D ．12第10题图 第11题图 第12题图 12．如图，△ABC 中，cos B ＝2，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是多少？ 解：AD ⊥BC ，∵△ABC 中，cos B ＝2，sin C ＝35．AC ＝5，∴cos B ＝2＝BDAB，∴∠B ＝ 45°，∵sin C ＝35＝AD AC ＝5AD ，∴AD ＝3，CD ＝4，∴BD ＝3，则△ABC 的面积是：12×AD ×BC ＝12×3×(3＋4)＝21213．如图，正方形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 为BC 上一点，BN ＝3CN ，求tan ∠MAN 的值．解：连MN ，易证△ADM ≌△MCN ，知∠AMN ＝90°，∴tan ∠MAN ＝MN AM ＝CM AD ＝12．综合题训练14．如图，直线y＝－3x＋b与x轴、y轴分别交于点D、A，与双曲线y＝kx在第一象限交于B、C两点，且AB·AC＝4．(1)求tan∠ADO的值；(2)求k的值．解：(1)过B作BM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵A (0，b)，D (3b，0)，∴tan∠ADO＝3b ＝3．(2)设点B和点C的横坐标分别为m，n，则AB＝23m，AC＝23n，∴AB·AC＝23m·23n＝4，∴mn＝3，又m，n为方程－3x＋b＝kx的两根，∴mn＝k，∴3＝3k，∴k＝33．锐角三角函数(三)预习归纳锐角α30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313(1)α的值逐渐增大，α的值逐渐减小，α的值逐渐增大．(2)sin30°＝cos60°，sin30°＝cos60°；(3) sin230°＋cos230°＝1；(4)sin30cos30︒︒＝tan30°；(5)若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．例题讲解【例】计算：1－2sin30°·cos30°＝232-．基础题训练1．计算: sin30°·cos30°＋cos60°·sin45°＝32+．2．计算：3tan30°·tan45°＋2cos60°＝3＋1．3．若α为锐角，且tanα＝1，则α＝45°，cosα＝22．4．计算：cos601+1+sin60tan30︒︒︒＝2．5．(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A＝3，co sB＝12，则∠C＝60°．6．计算：(1) (2011－1)0＋18sin45°－22．(2) (2015·长沙) (12)－1＋4cos60°－|－3|＋9．解：原式＝0解:原式＝4(3)27－(4－π)0－6cos30°＋|－2| (4)(2015·福州) (－1)2015＋sin30°＋(2－3)(2＋3)．解：原式＝1解：原式＝1 2中档题训练7．(2014·凉山州)在△ABC中，若|cos A－12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是( C)A．45°B．60°C．75°D．105°8．反比例函数y＝kx的图象经过点(tan45°，cos60°)，则k＝12．9．在△ABC中，∠A＝30°，sin B＝3，AC＝23，则AB＝4．10．已知2＋3是方程x2－5x sinθ＋1＝0的一个根，且0°＜θ＜90°，求sinθ的值．解：sinθ＝4 511．(2014·连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，求tan∠ANE的值．解：设正方形的边长为2a，DH＝x，则CH＝2a－x，由翻折的性质，DE＝12AD＝12×2a＝a．EH＝CH＝2a－x，在Rt△DEH中，DE2＋DH2＝EH2，即a2＋x2＝(2a－x)2，解得x＝34a，∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝90°∵∠ANE＋∠AEN＝90°∴∠ANE＝∠DEH，∴tan∠ANE＝tan∠DEH＝DHDE＝34aa＝34综合题训练12．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD 上．(1)求证：△ABF≌△DFE；(2)若sin∠DFE＝13，求tan∠EBC的值．(1)略(2) Rt△DFF中，sin∠DFE＝DEEF＝13，∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝22EF DE＝22a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，又由(1)△ABF≌△DFE，∴EFBF＝DFAB＝224aa＝22，∴tan∠EBF＝EFBF＝2，tan∠EBC＝tan∠EBF＝24. 解直角三角形（一）预习归纳在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有：(1)三边的关系（勾股定理）是__________ a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系是__________∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系是：sin A__________ac；sin B__________bc；cos A__________bc；cos B__________ac；tan A__________ab；tan B _________ba.例题讲解【例】在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cos B的值是（B）.A.3B. 13C. 33D.23基础题训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若c＝12，sin A＝13，则a＝__________4，b＝__________；（2）若∠A＝30°，a＝8，则∠B＝__________60°，c＝__________16，b＝__________；（3）若a＝，b＝，则∠A＝__________60°，∠B＝__________30°，c＝__________（4）若a＝c＝4，则∠A＝__________45°，∠B＝__________45°，b＝__________.2. （2015·兰州）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝（D）CA.B.12C. D.3. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，给出下列四个结论：①a＝c·sin A；②a＝b·tan A；③c＝a·sin C；④sincosAA＝tan A，其中正确的结论是（B）BA. ①②③B. ①②④C. ①③④D.②③④4. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，∠CBD＝a，AB＝3，BC＝4.（1）求sinα的值；（2）求AD的长.解：（1）4 5（2）9 55.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a－b1，求斜边c的长.解：tan A＝ababb－b1，b＝1，c＝2.中档题训练6.如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝45°，BC，求AC 的长.解：作BD ⊥AC 于D ，CD ＝BD ＝1，ADAC＋1. 7.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果BD ＝9，BC ＝5，cos B ＝35，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值.解：sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝1213. 8.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC的角平分线，若AC ，求线段AD 的长.解：∵△ABC 中,∠C ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠BAC ＝60°，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD ＝30°，∴在Rt △ADC 中，AD ＝cos30AC＝2.9.如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CE ，求sin ∠ACE .E解：过E 作EH ⊥AC ，∴AH ＝3CH ，∴sin ∠ACE .综合题训练10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，（1）求ACBC的值；（2）求sin A的值.解：（1）在AC上取点E，使AE＝BE，则∠CEB＝30°，设BC＝1，则BE＝2，CE，AC＝2AB2＝（2）2＋1＝8＋AB1，ACBC＝2（2）sin A＝BCAB5. 解直角三角形（二）预习归纳视线与视平线的夹角叫做__________视角；当视线在视平线之上时，此视角叫做__________仰角；当视线在视平线之下时，此视角叫做__________俯角.例题讲解【例】如图，飞机于空中A处探测地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角∠α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（B）A.1200米B. 2400米米米基础题训练1.如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（A）A. 34B.43C.45D.352.（2014·孝感）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交所成的锐角为a ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则ABCD 的面积是（ A ）A. 12ab sinαB. ab sinαC. ab cosαD. 12ab cosα 3. 如图，是意大利著名的比萨斜塔，塔身的中心线与垂直中心线的夹角A 约为5°28＇，塔身的长为54.5m ，则塔顶中心偏离垂直中心线的距离BC 是（ A ）A. 54.5×sin5°28＇mB. 54.5×cos 5°28＇mC. 54.5×tan5°28＇mD.o 54.5m sin528'4. （2015·长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ C ）OAA. 30tan α米 B.30sinα米 C. 30tanα 米 D.30cosα米5. （2015·哈尔滨）如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1200m ，从飞机上看到地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为（ D ）1200mαBCAA.1200 m 2 m 3 D.2400 m中档题训练6.如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆20米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝22°，求电线杆AB 的高.（精确到0.1）（sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）.α解：AB ＝20×tan22°＋1.20≈9.3.7.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度，已知在离地面1500 m 高的C 处有一架飞机，飞行员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.CD解：∵OA ＝1500×tan30°＝1500×33＝5003，OB ＝OC ＝1500， ∴AB ＝1500－5003≈1500－865＝635（m ）.8.如图，教室窗户的高度AF 为2.5米，遮阳篷外端一点D 到窗户上椽距离为AD ，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC 为30°，PE 为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为3米，试求AD 的长度.（结果带根号）B F PA D解：AD ＝332米. 综合题训练 9. （2015·天津）如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上，小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°.已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC ＝21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位）.参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90.47°42°F A BD解：如图，根据题意，DE ＝1.56，EC ＝21，∠ACE ＝90°，∠DEC ＝90°，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，则∠DFC ＝90°，∠ADF ＝47°，∠BDF ＝42°，可得四边形DECF 为矩形，∴DF ＝EC ＝21，FC ＝DE ＝1.56，在Rt △DF A 中，tan ∠ADF ＝AFDF，∴AF ＝DF ·tan47°≈21×1.07＝22.47，在Rt △DFB 中，tan ∠BDF ＝BFDF，∴BF ＝DF ·tan42°≈21×0.90＝18.90，于是，AB ＝AF －BF ≈22.47－18.90＝3.57≈3.6，BC ＝BF ＋FC ≈18.90＋1.56＝20.46≈20.5. 答：旗杆AB 的高度约为3.6m ，建筑物BC 的高度约为20.5m.6. 解直角三角形（三）预习归纳在一斜坡上，升高的高度h与水平前进的距离l的比叫坡度，用字母i表示，即i＝hl.例题讲解【例】如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，测得斜坡的坡度为1:2.4，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（C）A.6.2米B.6.4米C. 6.5米D.7.2米基础题训练1. 如图，已知某斜坡的坡度为13，则斜坡的坡角α是（A）i=1:3αA.30°B. 45°C. 60°D.0°＜α＜30°2. 一艘海轮位于灯塔的北偏红65°方向，那么灯塔位于这艘海轮的（A）A. 南偏西65°方向B. 南偏西25°方向C. 北偏西65°方向D. 北偏西25°方向3. （2014·上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1:2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为__________26米.4. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡的坡比是3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比），则AC的长是（）ABA. 5米B. 10米C. 15米3米5. 如图，某人从A 点出发，沿着西南方向行了个单位，到达B 后观察到原点O 在它的南偏东60°方向上，则原来A 点的坐标为__________（04）.（结果保留根号）6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为个坡面的坡度为__________1：2.7.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB：1，坡长AB m ，为加强水坝强度，将坝底从A 处向后延伸到F 处，使新的背水坡BF 的坡度为1:1，求AF 的长度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）.解：过B 作BE ⊥AD 于E ，在Rt △ABE中，tan ∠BAE ＝BEAE则∠BAE ＝60°，∴AE＝3BE ＝BE ＝30，tan ∠BFE ＝BEEF＝1，∴BE ＝EF ＝30，∴AF ＝EF －AE ＝30－13 m中档题训练8.如图，斜坡AC 的坡度为1:3，AC ＝10米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与点A 有一条彩带AB 相连，AB ＝14米，试求旗杆BC 的高度. 解：BC ＝6米9.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积.(结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732≈，2 1.414≈) 解：52.010.（2015 南京）如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO ＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h 和36km/h .经过0.1h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO ＝58°,此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈）解：设B 处距离码头O 有x km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°.∵tan COCAO AO∠=. ∴()tan 450.1tan 45 4.5CO AO CAO x x ︒=∠=⨯+=+，在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°， ∵tan DODBO BO∠=，∴tan tan 58DO BO DBO x ︒=∠=，∵DC DO CO =-， ∴()360.1tan 58 4.5x x ︒⨯=-+，∴360.1 4.5360.1 4.513.51.601tan 581x ︒⨯+⨯+=≈=--，因此，B 处距离码头O 大约13.5km .综合题训练11.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离 AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米. (1)求坡角∠D 的度数.(结果精确到1°)（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？ (参考数据：cos 200.94︒≈，sin 200.34︒≈，sin180.31︒≈，cos180.95︒≈)解：（1）4cos cos 0.944.25AB D ABC BC ∠=∠==≈，∴0.94D ∠≈. (2) sin 85sin 20850.3428.9EF DE D ︒=∠=≈⨯=米，共需台阶28.910017170⨯÷=级.专题三角函数与圆 利用圆转化角求三角函数1.如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ A ）A ．OM 的长B .2OM 的长C .CD 的长 D .2CD 的长2.如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则 sin ∠BAC 的值等于线段（ B ）A ．BC 的长B .DE 的长C .AD 的长 D .AE 的长3.如图⊙O是△ABC外接圆，AD是⊙O的直径，连CD，若⊙O的半径32r=，AC＝2，则cos B的值是（B）.A.12B.53C.52D.234.如图，直角梯形ABME中，∠M＝90°，BM∥AE，以AB为直径的⊙O与EM切于点C，连BE,若AE＝6,AB＝10，则tan∠BEM的值为（D）.A.12B.2C.13D.65.如图，⊙O与矩形ABCD的边CD切于点E，交BC于点F，M为BF上一点，若7CE=，7AD=，则tan∠M的值为（A）.A.7B.34C.7D.356.如图，已知⊙O的半径为10，AB＝6，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于D，则sin∠CBD 的值等于（B）.A.13B.10C.310D.37.如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相较于P点，BPC a∠=，则CDAB的值为（B）.A.sin aB.cos aC.tan aD.1 cos a专题 三角函数与圆 圆中三角函数的综合运用1.（2011武汉中考）如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与P A 的延长线交于点E . (1)求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若1tan 2ABE ∠=，求sin E 的值.证：（1）连OA ，证△PBO ≌△P AO .(2)连接AD ，证AD ∥OP ，∴△ADE ∽△POE ，∵EA ADEP OP=由AD ∥OC 得AD ＝2OC ， ∵1tan 2ABE ∠=，∴12OC BC =，设OC t =，则2BC t =，2AD t =，由△PBC ∽△BOC ，得 24PC BC t ==，5OP t =，∴25EA AD EP OP ==，可设2EA m =，5EP m =，则3PA m =， ∴3sin 5PB E EP ==. 2.（2012 武汉中考）在锐角△ABC 中，5BC =，4sin 5A =. (1)如图1，求△ABC 外接圆的直径；（2）如图2，点I 为△ABC 的内心，BA BC =，求AI 的长.解：（1）作直径CD ，连BD ，∴254CD =. (2)延长BI 交AC 于D ，则BD ⊥AC ，IE ⊥BC 于F .∴4BD =，3AD AE CD ===，2BE BF ==，设ID IE IF x ===，在△BIF 中有 ()22224x x +=-，32x =，∴35AI =3.(2013武汉4月调考)在⊙O 中，AB 为直径，PC 为弦，且P A ＝PC . (1)如图1，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，DE 切⊙O 于点C ，若DE ∥AB ，求tan ∠A 的值.解：（1）证△POA ≌△POC ，∠BCP ＝∠A ＝∠APO ＝∠CPO .(2)设PC 交AB 于M ，证△APB ∽△COM ，BP OM AP OC =，∴2BM BC BCOM OP OC===，设OM x =，2BM x =，∴212OM OC x x==-+，∴21BPAP =-.4.(2015 乌鲁木齐)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E . (1)求证：DC ＝DE ；（2）若1tan 2CAB ∠=，3AB =，求BD 的长.解：（1）连OC ，证∠DCE ＝∠E 即可. (2)1BD =.5.如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，P AB 是经过圆心O 的割线. （1）求证：∠PTA ＝∠BTO ；（2）若4PT =，2PA =，求sin B 的值.解：（1）90PTO ATB ︒∠==∠，∴PTA BTO ∠=∠；（2）在Rt △POT 中，222OP OT PT +=，∴()22242r r +=+，3r =， 由△P AT ∽△PTB ，∴12AT PA TB PT ==，设AT x =，2BT x =，∴5AB x =，∴5sin 5AT B AB ==.6.如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，ACD ABC ∠=∠.(1)求证：CA 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知6BE =，2tan 3ABC ∠=，5tan 3AEC ∠=，求圆的直径. 解：（1）略； （2）5tan 3AC AEC EC ∠==，∴35EC AC =，2tan 3AC ABC BC ∠==，∴32BC AC = 6BE BC EC =-=，∴203AC =，∴3201023BC =⨯=. 7.如图，AB 为⊙O 的直径，CD CB =，CE ⊥AD 于E ，连BE .(1)求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若6AE =，⊙O 的半径为5，求tan BEC ∠的值.证：（1）连OC 、BD 交于M ，证四边形EDMC 为矩形.(2)设OM x =，则2AD x =，5CM DE x ==-，∴()256x x +-=，1x =，∴26BM =，46BD =6tan tan 46DE BEC DBE BD ∠=∠==.。
锐角三角函数全章培优
锐角三角函数全章培优 1.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD ，4cos 5DCA ∠=，BC=10，则AB 的值是（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．32. 如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，，与交于点，于点， 则的值为 ． 3．(贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）AB ．C ．D ．4. （攀枝花）如图４，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ） A ．B ．C ． Ｄ． 5. 如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．6.（兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m 6.（济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。
7.（湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。
他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_______________m ．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）8．(扬州)如图，一艘巡逻艇航行至海面B 处时，得知正北方向上距B 处20海里的C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救．已知C 处位于A 处的北偏东45°的方向上，港口A 位于B 的北偏西30°的方向上．求A 、C 之间的距离 ．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)9．（安顺）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出CD（精确到个位，≈1.7）．ABC D E AB BC AD BE =AE CDF AG CD ⊥G AGAF43539854971l 2l 3l 4l sin α= A BCD α1l 3l 2l 4l10. 如图，将边长为的等边折叠，折痕为，点与点重合，和分别交于点、，，垂足为,.设的面积为，则重叠部分的面积为 .(用含的式子表示)11．(连云港)已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km ，一艘货轮从B 港口以40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min 后达到C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长 (精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)12.（上海）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)13.如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）33+ABC ∆DE B F EF DF AC M N AB DF ⊥D 1=AD DBE ∆S S DNEF M CBA14.如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)5.关于三角函数有如下的公式：利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案
中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案一、锐角三角函数1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E e 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BGCF的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.【解析】 【分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12BG CF ≤，从而得解. 【详解】（1）证明：连接DE ，则：∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为E e 的切线.（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ∆∆∴11NF AF AN AB BC AC== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531AF x ==1504333131OF =-=即143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25x =∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆∴8BG MG MGCF BC == ∵MG ≤半径4=∴41882BG MG CF =≤= ∴BG CF的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH =（t ﹣3）2cm 2∴S 关于t 的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC 时，易知此时N 点为DC 的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s 的时候，△CPD 为等腰三角形； ②当DC=PC 时，DC=PC=12cm ∴NC=6cm∴EN=16cm ﹣1cm ﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s 时，△CPD 为等腰三角形．综上所述，当t=9s 或t=（15﹣6）s 时，△CPD 为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.5．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米． 【解析】 【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BNDN =≈o米，∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】 （1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴¶¶AD AC=，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG5 6 =，GD23 =，∴PD＝PG+GD【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．8．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ），∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上，∴BG ＝DG ，∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，∴∠CGF+∠AGB ＝90°，∴∠AGD+∠CGF ＝90°，∴∠DGF ＝90°，∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6，∴DF 2DG ＝3在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．10．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE=15cm，AD=14cm．（1）求半径OA的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）（2）求扇形BOC的面积（π取3.14，结果精确到1cm）822cm．【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm；(2)扇形BOC的面积约为2【解析】【分析】(1)在Rt△ODE中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE的余弦值，即可求得OD长，减去AD 即为OA．(2)用扇形面积公式即可求得.【详解】(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=︒． ∵cos DE ODE DO ∠=， ∴150.39OD ≈， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ．(2)∵67ODE ∠=︒，∴157BOC ∠=︒，∴2360BOC n r S π=扇形 2157 3.1424.52360⨯⨯≈ ()2822cm ≈．答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．11．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFH ≌△ABE （AAS ），∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ，∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FHAB BE CH==；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝8463 FH EHCH AB===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AQ=AC，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°∴AC= , AD=∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC时，Q与C重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．14．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，tan63.4°≈2)【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，∵斜坡的坡度i＝5:12，设PF＝5x，CF＝12x，∵四边形BFPE为矩形，∴BF＝PEPF＝BE.在RT△ABC中，BC＝90，tan∠ACB＝AB BC，∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.在RT△AEP中，tan∠APE＝1805490123 AE xEP x-≈＝＋，∴x＝207，∴PF＝5x＝10014.37≈.答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP＝13x，∴CP＝13×207≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.答：从P到点B的路程约为127.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析；（2）y＝18x2（x＞0）；（3）①163π或8π或（17+2）π；．【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC=解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EFAC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH 垂直平分线段AD ，∴FA ＝FD ，∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝83， ∴⊙O 的面积为163π． 如图2中，当AF ＝AO 时，∵AB 22AC BC +216x +∴OA ＝2162x +， ∵AF 22EF AE +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴216x +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得x ＝4（负根已经舍弃），∴AB ＝2∴⊙O 的面积为8π．如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2164x+，∵△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴16＝x•2164x+，解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，∴⊙O的面积＝π•14•AB2＝（217+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF ＝18x 2＝98， ∴FG＝2﹣98，AF158，AH， ∵∠CFG ＝∠AFH ，∠FCG ＝∠AHF ，∴△CFG ∽△HFA ， ∴GF CG AF AH=，∴928158-= ∴CG，∴＝．故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案一、锐角三角函数1．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置2．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l 过点D且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．(1)点B 的坐标是 ，∠CAO ＝ º，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标 为 ；(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5S {23x 1235x 93543x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）． （2）当0≤x≤3时， 如图1，OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ； 由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，可得EF PE DC31==OQ PO DO333==，∴EF=13（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14343S S EF OQ OC3x x43 233==+⋅=+=+梯形（）（）当3＜x≤5时，如图2，()HAQEFQO EFQO221S S S S AH AQ243331333x43x3=x x32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。
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知识要点1、锐角三角函数定义？斜边的对边αα∠=sin 斜边的邻边αα∠=cos的邻边的对边ααα∠∠=t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300、450、600、的记忆规律：3、 角度变化与锐角三角函数的关系当锐角α在00∽900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。
4、 同角三角函数之间有哪些关系式平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tanB ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900－A ）＝ctan A ； 一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ．21B ．33C ．1D ．33．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的51，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小51B ．都不变C ．都扩大5倍D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 435．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）．A ．423sin =A B ．31cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90︒，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）．A ．sinAB ．cosAC ．tanAD ．1tan A7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A.513B.1213 C.1013D.5128．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG =B. sin EH G EF =C. sin GH G FG =D. sin FHG FG= 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．ACBA ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高10．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于（ ）．A ．43B ．34 C ．53 D ．35第4题 第8题 第10题二、填空题 11．32可用锐角的正弦表示成__________. 12．如图表示甲、乙两山坡情况，其中t a n α_____t a n β，_____坡更陡. (前一空填“>”“<”或“＝”，后一空填“甲”“乙”)13．在Rt △ABC 中，若∠C ＝900，∠A ＝300，AC ＝3，则BC ＝__________． 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a ＝2， sinA ＝13， 则c ＝______． 15．如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900- α）＝_______. 16．已知tan α·tan30°＝1，且α为锐角，则α＝______． 17．在△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则∠A ＝ ，若BC ＝4，则AB ＝ ．18．已知直角三角形的两直角边的比为1:7，则最小角的正弦值为__________. 三、解答题19．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5， 求A sin ， A cos ，A tan ． 20．计算： （1）︒⨯︒45cos 2260sin 21（2）tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° （3）0000tan 60tan 45tan 60tan 45-＋2sin 60° CBAEF D αβ 1213 34甲乙21．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝32，求cosA 、tanB ．22．已知α为锐角，求下列各题中α的度数： （1）tan(α＋12°)＝33 （2）24cos 10α-= 23．在△ABC 中，内角∠A 、∠B 满足|sinA －23|＋(1－tanB)2＝0，请说出△ABC 的至少三个特征．24．在△ABC 中，∠C ＝900，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，试证明sin 2A ＋cos 2A ＝1；并利用这个公式计算：若sinA ＝71，求cosA 的值（∠A 为锐角）． 25． 如图，△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC＝BD ＝3. （1）求cosA（2）求BC 的长及△ABC 的面积．26．在△ABC 中，∠A ＝1200，AB ＝12，AC ＝6．求sinB ＋sinC 的值．(提示：过C 点作CE ⊥BA 交BA 的延长线于E ，过点B 作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ．)ABCED1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈).3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；东l (2题图)（第3题）锐角三角函数复习2017/10/4ABEFQ P（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49， sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB 与地面EH 平行，测得A 点到楼顶D 点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE 、BF 、CH 都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH 的长．8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？ （2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin 60°≈0.866,cos60°=0.5,tan 60°≈1.732）9． 为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．AB(第19题10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（精确到0.1）．（参考数据：414.12≈732.13≈）82.011. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB1.732， 结果保留整数）．13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．第19题图A45°60° 第（12）题（第11题图）14. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）15.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第15题图B 37° 48°DC A。