0-1规划中并行隐枚举法的实现方式

收稿日期: 2008- 12- 17。曾艳, 本科生, 主研领 域: 高性 能计算 及 并行数值软件。
第 7期
曾艳: 0 1规划中并行隐枚举法的实现方式
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2 0 1规划问题并行算法设计
3 应用实例
2. 1 算法设计基本原理
0 1 规划问 题中 各个 状态的 处理 计算是 唯一 的, 本文中 以
隐枚举法 ( Im plic it Enum eration M ethod) 是 Ba las E 在 1965 年提出的, 是以 0 1整 数规划 为背 景建 立的。它 只检查 一部 分 变量组合, 在这 过程中根据已 有信息自 动舍弃 许多不 可能成 为 最优解的组合, 求得最优解, 从 而大大 减少了 工作量 [ 4, 5] 。隐 枚 举法只需比较目标函数在一小部分组合点上的取 值大小就能求 得最优解和最优值。弥补了完全枚举法迭代次数过大的缺 点。
各个状态为对象, 每个节点 (或 从进程 ) 处理等 量的状态 数。假
设有 n个变量, 即个 2n 状 态, 有 m + 1个进程。
算法基本原理如 下:
1) 程序初始化生成 m + 1个进程 , 每 个进 程 ID 号分 别为
0, 1, !, m - 1, m。
2) 进程 0作为主处理 器, 其操作 包括 两个方 面的 内容: ∀
分析: 这个问题转换成数学模型为:
M = 3x1 + 6x2 + 2x3 + 3x4 + 7x5 + x6∃ 15 求:
Z = M ax{ 4x1 + 7x2 + 5x 3 + 7x 4 + 8x5 + 15x 6 } 式中, x 1, x2, x3, x4, x5, x6 的取值为 0或 1。 这个实例中一共有 6个变量, 共有 64个状态。 ( 1) 用串行完全枚举法求解 目标函数需要计算 64次, 约束条件需要计算 64 次, 总共 需 要计算 128次。当 { x1, x2, x3, x 4, x 5, x6 } = { 1 1 1 1 0 1}时, m = 15, Z = 38。 ( 2) 用并行隐枚举法进行求解 设从处理器数目为 4。 S tep 1 将状态数进行分组, 先试探 性求一 个可行 解, 易 看 出 { x 1, x 2, x 3, x4, x5, x 6 } = { 0, 0, 0, 0, 0, 1} 满足约束 条件, 故 为一个可行解, 且相应的目标函数值为 Z = 15, 将 4x1 + 7x2 + 5x3 + 7x 4 + 8x5 + 15x6 % 15 作为过 滤条件, 在 从进程 中计算 出每 个 状态的目标函数值, 如表 1所示。
1 并行计算与隐枚举法
并行计算是 指同 时使 用多 种计 算资 源解 决计 算问 题的 过
程。它是相对于串行计算 而言的, 所谓 的并行 计算分 为时间 上 的并行和空间上的并行, 时间上的并行就是指流水线技术, 而 空 间上的并行则是指用多个处理器并发的执行计算。集群系统 逐 渐成为高性能并行计算的 主要硬 件平台, 它是 将一组 相互独 立 的计算机通过高速 的通 信 网络 而组 成的 一个 单一 的计 算机 系 统, 并 以单一系统 的模 式进 行管 理 [ 1] 。并 行计 算的 主要 目的: 一是为了提供比传统计算 机快的 计算速 度; 二 是解决 传统计 算 机无法解决的问题。
第 27卷第 7期 2010年 7月
计算机应用与软件 Com puter ApplicatioJu.l 2010
0 1规划中并行隐枚举法的实现方式
曾艳
( 华中师范大学计算机科学与技术系 湖北 武汉 430079 )
摘 要 0 1规划中, 当变量较大时, 状态数 过多、时间耗费较大, 隐枚举法是目前解 决 0- 1规划问 题最有效 的方法, 并行计算 的 特点是快速解决大型 且复杂的计算问题。结合并行计算和隐枚举法来解决这个问题, 并且对隐枚举法做了一定的改进, 使得在串 行 计算中难以实现的问 题在并行计算机上得到了解决, 并用实例验证了算法 的可行性和优越性。 关键词 0 1规划 并行 计算 隐枚举法
M P I(M essage P assing Interface) 是消 息传 递并 行程 序设 计 的标准之一, 是目前最主要的并行环境。它适用 于基于分布 内 存的并行计算机系统的 消息 传递模 型, 具有 移植性 好、功能 强 大、效 率高等多种特点, 而且 有多种 不同 的免费、高 效、实用 的 实现版本, 几乎所有的并行计算机厂商 都提供 对它的 支持, 这 是其他并行环境无法比拟的 [ 2, 3] 。
{ part_b est[ i] = z[ k] ; }
break; }
state[ i] = 0; If( part_best[ i] > glo_best) glo_b est= p art_best[ i] ; / /将局部 最优解 和全局最优解进行比较
} 主进程输出最后结果, 程序结束。
一个旅行者有一个最多能装 15公斤的背包, 现在有 6件 物 品, 它们的重量 分别是 3, 6, 2, 3, 7, 1; 它们的价 值分别为 4, 7, 5, 7, 8, 15; 若每种物品只有一件, 求旅行者能获得最大总价值 Z。
39
{ 1, 1, 0, 0, 0, 0}
11
4
!!
!!
{ 1, 1, 1, 1, 1, 1}
46
S tep 2 在各个从进程中根据过 滤条件删 除目标 函数值 小 于 15 的状 态, 然后 按照目 标函 数值从 大到 小将状 态进 行排 序 (各从进程最终结果数如表 2所示 ), 并且计算约 束条件, 如表 3 所示。
核心算法如下: 初始化: 将 2n个状态划分成 m 个状态组, 并分配给各个从进程, state
[ i] = 1 试探性求一个满足约 束条件 的可 行解, 计算出 相应 的目 标函 数值
为Z W h ile(存在 s tate[ i] = = 1)
{ 对于从进程 ,i 寻找局部最优解 For( j= 1; j< = 2n /m; j+ + ) { 求出所有状态的目标值 z[ j] ; If(状态 j的目标函数值小于 Z) {删除相应的状态; } } 将目标函数值大于等于 Z的状态数按照目标值进行从大到小排序 For( j= 1; j< = s; j+ + ) { / / s为目标函数值大于等于 Z的状态数 If( 状态 j满足约束条件 )
K eywords 0 1prog ramm ing P ara lle l computing Im plic it enum eration me thod
0引 言
对于有 n 个变量 的 0 1规划 问题, 由 于每个 变量 只取 0、1 两个值, 故 n 个变量所有可能的 0 1组合数 有 2n 个。在现 实生 活中, 很多问题 都可 以 转换 成 0 1规 划 问题, 比 如 席位 分配 问 题、排序问题、资源配置问题等 , 而对于 0 1规划的问 题, 目 前最 普遍的解 法就是枚 举法, 即检查变量 取值为 0 或 1的每一 种组 合, 比较目标函数值以求 得最优 解。在此基 础上人 们采用 了隐 枚举法、遗传 算法、动态规划 法等方法, 虽然在 一定程度上 加快 了求解速度、缩短了问题的解决时间, 但 这些方法都是基于串行 计算来实现的, 只能当变 量较小 时来达 到优化 的目的。但 是当 n较大时, 比如: 当 n= 64时, 264 1. 845 1019, 以每秒 解决 107 种状态的速度, 则需要 5. 85 104年, 用串行 计算根 本是不 可能 的。并行计算能同时使 用多种 计算资 源解决 计算问 题, 能 快速 解决大型且复杂的计 算问题, 是当前 世界上 主要用 于解决 大规 模、高精度问题的 方法, 它 能解 决很 多串 行计 算不 能解 决的 问 题。目前国内外对用并行算法 来解决 0 1规划 问题的研究 并不 多, 基于 0 1规划问题在 生活 中的重 要性 以及并 行算 法的 高效 性, 本文对用并行隐枚举 法来 解决 0 1规 划的问 题进 行了 一定 的探讨。
将 2n 个状态划分为 m 个状态组, 并且将这 m 个状态组分配给 m
个相应的从进程; # 检查是 否有从进 程向其 发送满 足条件 的局
部 最 优解, 若 有则 接 受 消 息, 并 且 与当 前 的 全 局最 优 解 进 行
比较。
3) 进程 1, 2, !, m, 作为从进程, 其操作包 括两个方面 的内 容: ∀ 接受主 进程发送 来的状态组, 在局 部区域内进 行搜索, 得 到一个局部最 优解; # 将局 部最 优解 发送 给主 进程, 等 待新 的 任务。
4) 直到所有的从进程计算完毕, 将局部最优解发送给 主进 程, 主进程得到最后的全局最优解。
2. 2 算法具体实现
设有 2n个状态, m 个从进程, g lo _best为 主进程 中记录 全局 最优解的变量, part_best[ i] ( i= 1 to m )为相对应的 m 个从进程 中的记录局部最优解的变量, state[ i] ( i= 1 to m ) 记录从进 程的 状态, sta te[ i] = 0表 示从进 程 i空 闲, group [ i] 记录从 进程 i中 所接受到需要 处理 的状 态。假 设所 需要 求的 最优 解是 极大 值 问题。
进程号
表 1 从进程状态分配情况
各个进程的状态
目标函数值
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0}
0
1
!!
!!
{ 0, 0, 1, 1, 1, 1}
35
{ 0, 1, 0, 0, 0, 0}
22
2
!!
!!
{ 0, 1, 11, 1, 1}