(2018春)北师大版九年级数学下册阶段方法技巧专训：专训1 二次函数的图象与系数的七种关系 (共15张PPT)
九下第二章二次函数全章热门考点整合专训作业新版北师大版
全章热门考点整合专训
点击显示本课时答案
1
2
3
4
提示：点击 进入习题
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是( ) A．y＝3x＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x2＋1
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (1)求二次函数的表达式；
解：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，
∴y＝x2＋2x－2.
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (2)求△BCD的面积；
D
2．【荣德原创题】若y＝ 是关于x的二次函数，则该函数的最小值为________．
3．【2023·河南】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：由图象知抛物线在直线上方时，x<－3或x>0， ∴不等式x2＋bx＋c>－x－2的解集为x<－3或x>0.
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a，b， c是常数，a≠0)，
(3)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)且通过点(1，10)．
解：设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－2， 将(1，10)代入得，a(1＋1)2－2＝10，解得a＝3， 所以该二次函数的表达式为y＝3(x＋1)2－2.
北师大数学九年级下册二次函数知识点总结
二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：2-3222y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题， 如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题， 如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学-二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数第5讲 二次函数的图象和性质【板块一】二次函数的图象和性质题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y ＝－12(x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的 上 方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12(x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。
【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。
题型二 抛物线的开口大小【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( )A .14≤a ≤1B ．12≤a ≤2C .12≤a ≤1D .14≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2，14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ．【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－12x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① .【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。
故抛物线I 的解析式为y ＝－12x ²，抛物线Ⅱ的解析式为y ＝﹣2x ²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y ＝x ².故填②③① 题型三 抛物线的对称性 【例4】抛物线y ＝ax ²＋bx ＋5经过A (2,5).B (﹣1,2)两点。
专训1 平行投影、中心投影、正投影间的关系
4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯 下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？ (3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
解：(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下 的情形．
(2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点， 符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的 情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行， 符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的 情形．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021 /8/620 21/8/6F riday, August 06, 出 的人谈 话。202 1/8/62 021/8/6 2021/8 /68/6/2 021 4:44:34 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/ 8/6202 1/8/620 21/8/6 Aug-21 6-Aug-2 1
(3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为 AB；阳光下小丽的影子 如图②所示，表示影子 的线段为CD.
误区诊断：平行投影和中心投影对应的光线是不同的，形 成平行投影的光源发出的光线是平行光线，而 形成中心投影的光源发出的光线交于一点；同 一时刻，平行投影下的影子的方向总是在同一 方向，而中心投影下的影子可能在同一方向， 也可能在不同方向．
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021 年8月6 日星期 五2021/ 8/6202 1/8/620 21/8/6
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2 021年8 月2021 /8/620 21/8/62 021/8/ 68/6/20 21
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021/8/ 62021/ 8/6Aug ust 6, 2021
专训二次函数的图象与系数的六种关系 公开课精品课件
∴m－3＜0，m＋n＜－2.
∴ (m－3)2＋n2 －|m＋n|
＝3－m－n＋m＋n＝3.
关系 6 a, b, c与图象的关系
10．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0， c＜0，则符合条件的图象是( D )
同类变式
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，对称轴为直线x＝－ 1 ，下列结论中正确 2 的是( ) A．abc＞0 B．a＋c＝0 C．b＝2a D．4a＋c＝2b
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训1 二次函数的图象与 系数的六种关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与 图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开 口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c的取值决 定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个 系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以 根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．
同类变式
2．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞ n＞0，则开口向上的抛物线是________，开口 较大的抛物线是________．
关系 2 b与图象的关系
3．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所 示，则b的值是( C ) A．－5 B．0 C．3 D．4
∵二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象关于y 轴对称，
6．若将ห้องสมุดไป่ตู้物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位 长度后得到的图象如图所示，则c＝________．
关系 4 a, b与图象的关系
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下 列说法中不正确的是( D ) A．a＞0 B．b＜0 C．3a＋b＞0 D．b＞－2a
2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 专题训练(一)与二次函数图像有关的三种
专题训练(一) 与二次函数图像有关的三种常见题型► 题型一 根据系数的符号确定函数的图像1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图像可能是( )图1－ZT －12．设a ，b 是常数，且a <0<b ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－5a －6的图像可能是( )图1－ZT －23．2018·德州如图1－ZT －3，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a (a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )图1－ZT －3► 题型二 根据某一函数的图像确定其他函数的图像4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －4所示，则反比例函数y ＝bx与一次函数y ＝cx ＋a 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( )图1－ZT －4图1－ZT －55．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －6所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是( )图1－ZT－6图1－ZT－76．如果一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx 的图像可能是( )图1－ZT－8►题型三根据函数图像确定系数及其代数式的符号7．如图1－ZT－9，在平面直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为y＝－2(x＋h)2＋k，则下列结论正确的是( )图1－ZT－9A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜08．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－10所示，则下列结论正确的是( )图1－ZT－10A．a<0，b<0，c>0 B．a＞0，b<0，c>0C．a<0，b＞0，c<0 D．a<0，b＞0，c>09．2018·上海黄浦区一模已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像大致如图1－ZT－11所示，则下列关系式中成立的是( )图1－ZT－11A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b＋2a＞010．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－12所示，下列结论错误的是( )图1－ZT－12A．b>2a B．abc<0C．b＋c>3a D．a<b11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图像如图1－ZT－13所示，则有下列结论：①2a－b＝0；②a＋b＋c＜0；③点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2.其中正确结论的个数是( )图1－ZT－13A．0 B．1 C．2 D．312．2018·威海二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－14所示，下列结论错误的是( )图1－ZT－14A．abc＜0 B．a＋c＜bC．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞013．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－15，则a________0；b________0；c ________0；a ＋b ＋c ________0；a －b ＋c ________0；2a －b ________0.(填“＞”“＜”或“＝”)图1－ZT －1514．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －16所示，则下列结论：①c ＝2；②abc ＞0；③当x ＝1时，y 取得最小值为a ＋b ＋c .其中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．图1－ZT －16 15．2017·玉林已知抛物线：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过A (－1，1)，B (2，4)两点，顶点坐标为(m ，n )，有下列结论：①b ＜1；②c ＜2；③0＜m ＜12；④n ≤1.则所有正确结论的序号是________．16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴是直线x ＝1，其图像的一部分如图1－ZT －17所示．对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③3a ＋c ＜0；④a －b ＋c ＜0.其中正确的是________(把正确说法的序号都填上)．图1－ZT －1717．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －18所示，直线x ＝32是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a ，b ，c 的四条结论，并简单说明理由．图1－ZT－18详解详析1．[解析] C ∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴－b2a＞0，∴二次函数的图像开口向上，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的负半轴相交． 故选C .2．[解析] D ∵a ＜0，∴抛物线开口向下． 又∵b ＞0，∴抛物线的对称轴在y 轴的右边． 故选D .3．[解析] B 抛物线y ＝ax 2－2x ＋1过点(0，1)，对称轴为直线x ＝1a .当a ＞0时，选项A 与B 符合题意；此时直线y ＝ax －a 经过第一、三、四象限，故选项B 符合题意；当a ＜0时，选项D 不符合题意．4．[解析] B 根据二次函数图像与y 轴的交点可得c ＞0，根据抛物线开口向下可得a ＜0，由对称轴在y 轴右边可得a ，b 异号，故b ＞0，则反比例函数y ＝bx 的图像在第一、三象限，一次函数y ＝cx ＋a 的图像经过第一、三、四象限．故选B .[点评] 此题主要考查了二次函数图像、一次函数图像及反比例函数图像，关键是根据二次函数图像确定出系数a ，b ，c 的正负．5．[解析] A ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上， ∴a ＞0.∵二次函数图像的对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第一、二、三象限． 故选A .6．[解析] C ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，∴a ＜0，b ＜0，∴二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝－b2a＜0，在y 轴左边．故选C .7．[解析] B ∵抛物线y ＝－2(x ＋h)2＋k 的顶点坐标为(－h ，k)，由题图可知，抛物线的顶点在第一象限，∴－h ＞0，k ＞0， ∴h<0，k>0.故选B .8．[解析] D ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0. ∵抛物线的对称轴在y 轴右边，∴a ，b 异号，即 b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c>0.故选D .9．[解析] D ∵抛物线开口向下，对称轴在直线x ＝1的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，－b2a ＞1，c ＞0，∴b ＞－2a ＞0， ∴b ＋2a ＞0. 故选D .10．[解析] D 因为抛物线开口向下，所以a<0.因为抛物线对称轴在y 轴左侧，直线x ＝－1的右侧，所以－1＜－b2a＜0，所以2a ＜b ＜0，故A 选项正确，不符合题意；因为抛物线与y 轴交于负半轴，所以c<0.因此abc<0，故B 选项正确，不符合题意；由题意可知，a －b ＋c>0.又因为b ＞2a ，所以a －b ＋c ＋2b>4a ，即b ＋c>3a ，故C 选项正确，不符合题意．D 选项错误，符合题意．11．[解析] C 二次函数图像的对称轴是直线x ＝－1，即－b2a ＝－1，则b ＝2a ，2a －b＝0，故①正确；因为函数图像的对称轴为直线x ＝－1，所以x ＝1和x ＝－3时的函数值相等． 因为x ＝－3时，函数图像上对应的点在x 轴下方，所以a ＋b ＋c ＜0，故②正确； y 1和y 2的大小无法判断，故③错误．故选C .12．[解析] D 由函数图像开口向下，得a ＜0；由函数图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，得c ＞0；由对称轴在y 轴的右侧，得－b2a ＞0，所以b>0，所以abc ＜0，A 结论正确，不符合题意；当x ＝－1时，函数值为负值，即a －b ＋c ＜0，所以a ＋c ＜b ，B 结论正确，不符合题意；由图像知，顶点的纵坐标大于2，所以4ac －b24a >2.又因为a<0，所以4ac－b 2<8a ，所以b 2＋8a>4ac ，故C 正确，不符合题意；因为－b 2a ＜1，且a<0，所以－b ＞2a ，即2a ＋b ＜0，故D 结论错误．故选D .13．[答案] ＞ ＜ ＜ ＝ ＞ ＞ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＞0，其中a ＞0，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0.∵点(1，0)是抛物线与x 轴的一个交点， ∴把x ＝1代入表达式，得a ＋b ＋c ＝0. 由a ＋b ＋c ＝0可得a ＋c ＝－b ， ∴a －b ＋c ＝－b －b ＝－2b ， 由b ＜0，得a －b ＋c ＞0. ∵a ＞0，b ＜0，∴2a －b ＞0. 14．[答案] ①[解析] 由题图可知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y 轴的交点坐标是(0，2)．令x ＝0，则y ＝c ＝2，即c ＝2.故①正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，对称轴在y 轴右侧， ∴a ＜0，b ＞0，∴abc ＜0.故②错误；∵x ＝0与x ＝2所对应的y 值都是2，即点(0，2)与点(2，2)关于对称轴对称， ∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1. ∵抛物线的开口向下，∴当x ＝1时，y 取得最大值为a ＋b ＋c. 故③错误．15．[答案] ①②④[解析] ∵抛物线过点A(－1，1)，B(2，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝4， ∴b ＝－a ＋1，c ＝－2a ＋2. ∵a ＞0，∴b ＜1，c ＜2， ∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为(m ，n)， ∴m ＝－b 2a ＝－－a ＋12a ＝12－12a ，∴m ＜12，∴结论③不正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过A(－1，1)，顶点坐标为(m ，n)， ∴n ≤1，∴结论④正确．综上所述，正确的结论为①②④. 故答案为①②④. 16．[答案] ①③④[解析] 根据图像可得a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则abc ＜0，故①正确；当－1＜x ＜3时，图像上有的点在x 轴的上方，有的点在x 轴的下方，故②错误； 根据图像知，该抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b2a ＝1，则b ＝－2a.那么当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜0，故③正确；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c 一定在x 轴的下方，因而a －b ＋c ＜0，故④正确． 17．解： 答案不唯一，如： ①∵抛物线开口向上，∴a ＞0；②∵图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0；③∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＞0，∴a ，b 异号，即b ＜0；④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0； ⑤当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.结论有a ＞0，c ＞0，b ＜0，a ＋b ＋c ＜0，a －b ＋c ＞0等．。
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
4．[2018·安顺] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3－ ZT－5，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c
＞0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的结论有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图3－ZT－5
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
0，所以 ac＞0，选项 A 错误；由对称轴直线 x＝－2ba>0，知 b＜0，选项 B 正确； 由抛物线与 x 轴有两个不同的交点，知 b2－4ac＞0，选项 C 错误；当 x＝1 时， y＞0，即 a＋b＋c＞0，选项 D 错误．
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
2．[2018·青岛] 已知一次函数 y＝bax＋c 的图象如图 3－ZT－2，则 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( A )
特殊 若a－b＋c>0，则x＝－1时，y>0
关系 当对称轴为直线x＝1时，2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1
时，2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝
1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝
－1的位置关系
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
类型之一 利用二次函数图象考查以上表格中的问题
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
5．[2017·广安]如图3－ZT－6所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶
点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，
以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a
＝3.其中正确结论的个数是( B )
二次函数的图象与系数的六种关系
同类变式
m 2 8．如果抛物线y＝ x ＋(n＋2)x－5的对称轴 3 2 2n＋4 2 是直线x＝－ ，则(3m－2n) － 的 3m 2 值为________．
关系
5
a, c与图象的关系
9．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图象如图所 示，试求
同类变式
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 1 示，对称轴为直线x＝－ ，下列结论中正确 2 的是( )
A．abc＞0 B．a＋c＝0
C．b＝2a
D．4a＋c＝2b
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训1
二次函数的图象与系数的六种关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与 图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开 口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c的取值决
定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个
系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以 根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．
c与图象的关系
5．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是( D )
同类变式
6．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位 长度后得到的图象如图所示，则c＝________．
关系
4
a, b与图象的关系
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下 列说法中不正确的是( D )
A．a＞0
关系
1
a与图象的关系
1．如图所示，四个函数的图象分别对应的是 ①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，
b，c，d的大小关系为( A )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专训1
二次函数的图象与 系数的七种关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与 图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开 口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c的取值决
定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个
系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以 根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．
关系
1
a与图象的关系
1．如图所示，四个函数的图象分别对应的是 ①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，
b，c，d的大小关系为( A )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ ax2中，|a|越大，其图象的开口越小，所以①，
②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞
b＞c＞d，故选A.
关系
2
b与图象的关系
2．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所 示，则b的值是( C ) A．－5
B．0
C．3 D．4
∵二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象关于y 轴对称， ∴b－3＝0，b＝3.
同类变式
3．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，
∴ ( m－3)2＋n2 －|m＋n|
＝3－m－n＋m＋n＝3.源自关系6b, c与图象的关系
8 【2017· 六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象如图所示，则( B )
A．b＞0，c＞0
B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
关系
7
a, b, c与图象的关系
9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0， c＜0，则符合条件的图象是( D )
n______0 ；当对称轴在y轴左侧时，n______0 ＝ ＜ ； 当对称轴在y轴右侧时，n______0.( 填“＞”“＜” ＞ 或“＝”)
关系
3
c与图象的关系
4．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是( D )
同类变式
5．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位 长度后得到的图象如图所示，则c＝________．
关系
4
a, b与图象的关系
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下 列说法中不正确的是( D )
A．a＞0
B．b＜0 C．3a＋b＞0 D．b＞－2a
关系
5
a, c与图象的关系
7．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图象如图所 示，试求
( m－3)2＋n2 －|m＋n|的值．
ì 3－m＞0， ï ï 解：由图象知 í ï ï î n＋5＜0， ì m＜3， ï ï 解得 í ï ï î n＜－5. ∴m－3＜0，m＋n＜－2.
同类变式
10．【2017· 枣庄】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论： ①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2 ＜0. 其中正确的结论有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个