2018年西城二模

北京市西城区2018年初三二模试卷数 学 2018. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数 D．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2018年初三二模试卷数学答案及评分标准 2018.6三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分 （2）∵2k <，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分 17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2）∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-． ∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分 点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3）∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =， ∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =， ∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分 ∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3， ∴4DM =． ∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥， ∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒， ∴ ∠F =∠DMN . ∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =， ∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分 ∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分 21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分 又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分∴ AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分 （2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分 ∵ BD 为⊙O 的直径， ∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线， ∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒. ∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分 23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分 （2）2ca．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数． 理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2ca，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2ca＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数． ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5） ∴ A M B x x x <<，即22cm a<<．∴5572c m a +<+<，即572N c x a+<<． 以下判断52ca+与B x 的大小关系：∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0， ∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a+-+-+-=+-===>． ∴B x ac>+52． ∴ 52N B cx x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分 24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8， ∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ． 即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形．（3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=， 384D H D F F H t=-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+． 解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），ta n 2PFPBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-． 此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ．∴ 728tan 1124PS tPBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩（以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C．………………………………………………………3分 （2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ， 两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE=∴ m=4． ……………………………4分 ∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE = ∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2my =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4． ∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。