电磁学 北大 王稼军 讲义 ppt 3.3自感与互感

2012-3-7 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈系统总磁能
1 1 2 2 Wm = L1 I1 + L2 I 2 + MI 1 I 2 2 2
总 磁 能 1、2的自 感磁能， 感磁能， 大于零 互感磁能， 互感磁能， 可正可负 对 称 形 式
推广到k个线圈的普遍情况 推广到k
1 1 1 1 2 2 Wm = L1 I1 + L2 I 2 + M 12 I1 I 2 + M 21 I1 I 2 2 2 2 2 i、j线圈 、 线圈 1 k 1 k 第i个线 个线 2 之间的M 之间的 圈的自感 Wm = ∑ Li I i + ∑ M ij I i I j 2 i =1 2 i =1 系数
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趋肤效应
为什么在电流变化时会有趋肤 效应产生？ 定性分析） 效应产生？（定性分析） I变——B变——I’ (涡电流) 涡电流) 变 变 在一个周期内大部分时间里轴 线附近I 线附近I与I’方向相反 方向相反 而表面附近I 而表面附近I和I’同向 同向 所以轴线附近的电流被削弱 表面附近的电流被加强 基本机制在第五、 基本机制在第五、六章再讨论
无漏磁 漏磁 无耦合
= k1k 2 L1 L2
令k = k1k 2 ⇒ M = k1k 2 L1 L2 = k L1 L2
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耦合系数
两个线圈串联的自感系数
L1＋L2 =?L 一般情况不等， 一般情况不等，与串联方式有关 串联方式
串联顺接： 尾与2 串联顺接：1尾与2头接 L =L1＋L2 +2M 串联反接： 尾与2 串联反接：1尾与2尾接 L =L1＋L2 -2M 无漏磁时
可以证明
互感系数
M = − ε 12
M 21 = M 12 = M
dI1 dI 2 = N 2 Φ12 = N1Φ 21 = − ε 21 I2 I1 dt dt
例题7:先算 例题 先算 ψ 再算 M —— ε
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证明:以单匝线圈为例 证明 以单匝线圈为例
线圈1 线圈 激发 的磁 场通 过2的 的 通量
L
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磁能 p196/213
自感磁能
开关接通1 开关接通1 I 增加 Ф增 方向与I 加εL方向与I方向相反 电源做功
线圈中 电流从 0增到 I过程 中，电 源由于 L中出 现感应 电动势 而多做 的功的 总和
dA = −ε L (t )i(t )dt
• 产生焦耳热 Q • 因抵消感应电流多做功 ， 因抵消感应电流多做功， 使电路中电流达到I 使电路中电流达到I值 • 电源克服感应电动势所做 ∴ dA = L 的功
耦合系数
几何尺 寸相同
Φ12 = k 2Φ1 0 ≤ k2 ≤ 1 Φ 21 = k1Φ 2 0 ≤ k1 ≤ 1 (a) Φ12 = Φ1 Φ 21 = Φ 2 k 2 = k1 = k = 1 (b) Φ12 < Φ1 Φ 21 < Φ 2 k2 = k1 = k < 1 (c) Φ12 = 0 Φ 21 = 0 k 2 = k1 = 0 N1 N 2 k1k 2 Φ1 Φ 2 2 Q M 12 = M 21 = M ,∴ M = I1 I 2
维持线圈2内 维持线圈 内 电流不变
A' = − ∫
0
∞
0
ε
12 2
I dt = ∫
∞
0
di1 I 2 M 12 dt dt
= ∫ M 12 I1di1 = M 12 I1I 2
I2
而总磁能与电流建立的先后次序无关， 而总磁能与电流建立的先后次序无关， A＝A’，所以便证明了 M21＝ M12＝M ＝
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外接电源需要抵抗互感电动势所做的功
维持线圈1内 维持线圈 内 电流不变
A = −∫
0
∞
0
ε
21 1
I dt = ∫
∞
0
di2 I1M 21 dt dt
= ∫ M 21I1di2 = M 21I1 I 2
I2
这部分功 转化成互 感磁能储 存在线圈 内
同样若先建立I 再接通线圈1 同样若先建立I2，再接通线圈1则
系数
( j ≠i )
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互感和自感
p205/p222
p189/p206 3-26、28、31、33、35 、 、 、 、
第4节 电磁场的相对论变换 不讲 节
相关习题可不看 相关习题可不看 p203/p220 3-16至3－24 至 －
美国物理学家亨利（J.Henry） 美国物理学家亨利（ ）
讨论由电流变化而引起的感应电动势中电动势 与电流变化率的关系
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N1
N2
互感应
互感现象
由于其它电路中电流变化在回路中引起的感应 电动势的现象
线圈1 1 自感磁通匝链数 互感磁通匝链数 线圈2 2
Ψ1 ∝ I1
Ψ21 ∝ I 2
Ψ2 ∝ I2
Ψ12 ∝ I1
比例系数为M 其值取决于线圈大小、 比例系数为 21和M12，其值取决于线圈大小、 匝数、几何形状、 匝数、几何形状、两线圈的相对位置
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互感电动势 p189/206
线圈1电流变化在线圈2 线圈1电流变化在线圈2 中产生的感应电动势为 线圈2电流变化在线圈1 线圈2电流变化在线圈1 中产生的感应电动势为
ε
2
dΨ12 dI1 =− = − M 12 dt dt
dΨ21 dI 2 ε1 = − dt = −M 21 dt
ε
L
di ⋅ idt = Lidi dt
di = −L dt
A = ∫ dA = ∫
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I
0
1 2 Lidi = LI 2
K 倒 向 2, 电 流 从 I 减到0 减到 0 ， 自感电动势 做正功 =A
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互感磁能
互感系数M 互感系数
在建立电流过程中电源做功 在建立电流过程中电源做功 过程中
(a) 接通K瞬间，S1比S2先亮 ) 接通K瞬间， (b) 断开瞬间，灯泡突然亮一下 ) 断开瞬间， 为什么？ 为什么？
接通K或切断 ， 接通K或切断K，由于电流变化导致磁场变化
B ∝ I (t ) ⇒ Φ ∝ I (t ) ⇒ Ψ ∝ I (t )( N匝线圈）
磁通匝链数
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M 21 = M 12 = M
r r r r Φ12 = ∫∫ B1 ⋅ dS = ∫ A1 ⋅ dl2
S2 L2
r v µ0 I1 dl1 A1 ( p ) = ∫ 4π L1 r12 r r dl1 ⋅ dl2 ∫ L∫ r12 L1 2 r r dl2 ⋅ dl1 µ0 = ∫∫ 4π L2 L1 r21
r r µ 0 I1 dl1 ⋅ dl2 Φ12 µ 0 = ∫ L∫ r12 ⇒ M 12 = I = 4π 4π L1 2 1
同理,有 同理 有
Φ 21 ⇒ M 21 = I2
单位与自感系数相同
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线圈相对位置不同， 线圈相对位置不同， M的值不同 ,设 设
R上产生焦耳热 上产生焦耳热 抵抗自感电动势做功－ WL 抵抗自感电动势做功－ 抵抗互感电动势做功－ 抵抗互感电动势做功－？
此时线圈1 互相影响，情况比较复杂， 此时线圈1和2 互相影响，情况比较复杂，可 采取以下做法计算：
先在线圈1中建立电流I 中无电流， 先在线圈1中建立电流I1，2中无电流，故无互感 在接通线圈2 并维持1 中电流I 不变（ 在接通线圈 2 并维持 1 中电流 I1 不变 （ 可用一个 外接可调电源平衡掉2 的互感） 外接可调电源平衡掉 2 对 1 的互感 ） 外接电源需要 抵抗互感电动势所做的功——互感电动势 抵抗互感电动势所做的功 互感电动势
L
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推导（反接） 推导（反接）
dI ε 1 = − L1 dt
dI ε 2 = − L2 dt
dI ε 21 = − M 21 dt
dI ε 12 = − M 21 dt
dI ε = ε 1 − ε 21 + ε 2 − ε 12 = −(L1 + L2 − 2M ) dt
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趋肤效应
趋肤效应的后果及应用
传输高频信号时， 传输高频信号时，由于趋肤效应会使导线 有效截面减少，从而是等效电阻增加 的有效截面减少，从而是等效电阻增加 对铁来说，由于µ 即使频率不太大， 对铁来说，由于µ大，即使频率不太大，趋 肤效应也很明显， 肤效应也很明显， 对于良导体，在高频下的趋肤深度很小， 趋肤深度很小 对于良导体，在高频下的趋肤深度很小， 即电流仅分布在导体表面很薄的一层 工业上可用于金属表面的淬火 工业上可用于金属表面的淬火
ε
单位：亨利（ ） 单位：亨利（H）
dΨ dI = − = −L dt dt
Ψ NΦ ⇒L= = I I
dt
1wb 1V ⋅ s 1H = = = 10 3 mH = 10 6 µH 1A 1A
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例题
P193 /210
例题8 例题 密绕长直螺线管 例题9：求长为l 例题 ：求长为 的传输线的电感 方法： 方法：求B——Φ——L Φ R µ0 Il R2 Φ = ∫∫ BdS = ∫ Bldr = ln R 2π R1 S