高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 . 命题及其关系、充分条件与必要条件练习 理解析

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习理[A组·基础达标练]1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b答案 D解析命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.2．[2015·洛阳二练]已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．3．[2015·马鞍山一模]已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3答案 A解析否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A.4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当a＝b＝1时，(a＋b i)2＝(1＋i)2＝2i；若(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.5．[2014·陕西高考]原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假答案 B解析原命题正确，所以逆否命题正确，模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.6．[2015·沈阳一模]“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设命题p ：x <0，命题q ：ln (x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1<1，所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q .所以p 是q的必要不充分条件，所以选B.7．[2016·青岛模拟]已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( )A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等答案 D解析 m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等，反之m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 8．[2016·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是( ) ①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题． ②存在正实数a ，b ，使得lg (a ＋b )＝lg a ＋lg b .③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故是假命题；②根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg (a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故可知A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故是假命题．选C.9．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 解法一：(特殊值法)：由q >1不能推出{a n }是递增数列，如数列－2，－4，－8，－16，…；由{a n }是递增数列也不能推出公比q >1，如数列－16，－8，－4，－2，…. 故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．解法二：当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)·(x ＋1)<0}＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，此时，A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1，b －1<1，解得－2<b <2.11．[2015·衡水二模]下列四个结论：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充分必要条件．其中正确结论的序号是________．答案 ①③解析 易知①③正确；p ∧q 为假命题等价于p 、q 中至少有一个为假命题，故②是错误的；对于④，若a ·b ＝|a |·|b |，则a 与b 方向相同，若a 与b 共线，则a 与b 方向相同或相反，不一定有a ·b ＝|a |·|b |，故④是错误的．12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16 1－m ≥0，Δ2＝16m 2－4 4m 2－4m －5 ≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根都是整数的充要条件是m ＝1.[B 组·能力提升练]1．[2016·河南八校联考]设p ：f (x )＝x 3－2x 2－mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q ：m <－43，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．以上都不对答案 C解析 由题意知，f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2－4x －m ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴m ≤3x 2－4x 在(－∞，＋∞)上恒成立．由于3x 2－4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232－43≥－43，∴m ≤－43，即p ：m ≤－43.又q ：m <－43，∴p ⇒/ q ，但q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．2．[2015·南昌一模]给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32； ②若α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件； ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0，得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，所以①不正确；对于②，在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令平面ABB 1A 1、平面ADD 1A 1、平面ABCD 分别为α，β，γ，因为平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．3．[2015·长沙模拟]r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．4．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解 设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}，设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}． (1)若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，故有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1，m >－23，解得m >1.(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集，故有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m >－23m ＋1＝2和－2m －1＝－1等号不能同时取得，解得－23<m ≤0.。