李英红的论文

矩阵的若尔当标准形式的定义、定理、性质及应用。

Jordan 标准形及其应用摘要： 关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形，同时介绍了Jordan 标准形的相关定理．还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法：初等因子法、计算 的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法． 关键词： 初等因子；Jordan 块；Jordan 标准形．The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common ．This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ，including polynomial matrix ，the canonical form of polynomial matrix,，Jordan block and the Jordan canonical form ．In the meantime ，it introduces the related theories of the Jordan canonical form ．3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced ：elementary divisor method ，method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix ．Keywords: Elementary divisor ；Jordan block ；Jordan canonical form定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ10000 (00)...100 (01)00...00 （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ）这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块.令|σσ=i i V ，那么i σ=i λ+i τ，于是对于i V 加上基来说，i σ的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i is i i is i i i iii J J J N N N B 0000002121λλλ 这里i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块.对于每一子空间i V ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是|σσ=i i V 的矩阵.而子空间k V V ,...,1 显然由σ唯一确定，而出现在每一i B 里的若尔当块i is i i J J J ,...,,21里由i σ唯一确定的，因而是由σ唯一确定.定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2000001000001000001100002,2000001000001000001000002,1100001100001000002100002都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解为K 上的一次式的积.rr T n r n T a t a t a t a t t υυμγλ)...()(,)...()()(1111--=--=，K a a r ∈,...,1，.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这里，V 是弱特征空间)(~i a V 的直和V =)(~...)(~1r a V a V ⊕⊕，又})(|{)(~O X aI T V x a V I v i =-∈=υ，dim )(~i a V =i n ,T 在)(~i a V 上的限制T |)(~i a V 的特征多项式和最小多项式为.)(,)(i i i ni a t a t υ-- （2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积.detKa a a t a t a t a t A tE r r A n r n n r r ∈--=--=-,...,,)...()(,)...()()(1111υυμ,.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这时，存在正则矩阵P ),,(K n n ∈，)(...)(11r a J a J AP P ⊕⊕=-个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(i i i i i i i i i i i a J a J a J a J a J a J a J ⊕⊕⊕-⊕⊕-⊕⊕⊕=υυυυ方阵J )(i a 的结束等于i n ，构成J )(i a 的若尔当的个数等于属于i a 的特征空间多项式的维数).1(r i ≤≤若尔当块矩阵1-P A P 称为矩阵A 的若尔当.注意 )(...)(1r q a J a J AP P ⊕⊕=-中的J )(i a ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确定.例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ⇔A 和B具有相等的若尔当标准型.证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵1P ，2P ，使11-P A 1P =J ，12-P B 2P =J ，令1P 12-P =P ，则P 正则接1-P A P =B .反之，设已存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ，设J AQ Q =-1是若尔当标准型，则J PQ A PQ =-)()(1，故A 的若尔当标准型也是J .例2 求矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--601151104，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=603622845131352013D 的若尔当标准型，求实矩阵Q 使DQ Q 1-成为若尔当矩阵.解 （1）3233)5(1257515||-=-+-=-t t t t C tE ，rank 1)5(3=-E C ,故特征空间V （5）的维数是3 – rank (C -53E )=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛5515. (2)).2()3(1834||2233+-=+--=-t t t t t D tE 方程（D +23E ）x =0的通解为1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111u .例如，令u =1，得1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，dim=V （-2）=1，（D -33E ）x =0，的通解是1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47070v v v ，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v =1，得1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170，方程（D -33E ）x =1q 的通解是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-ωω74721 例如，令10=ω，得2q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6101，D 1p = - 21p ，D 2q = 31q ，D 2q =1q +32q .故若令=Q （1p 1q 2q ），则D Q =（D 1p D 1q D 2q ）=（-21p 31q 1q +32q ）=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3132， 所以Q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6411070101，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-01221AQ Q . 参考文献：[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.关于矩阵Jordan 标准形的若干应用学生姓名：李英红 指导教师：周 芳摘要: 矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan 标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n 级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步 研究学习有很大的帮助.关键词: 若当标准形; 矩阵分解; 线性递推; 哈密顿—凯莱定理引言在学习与代数相关的知识中,矩阵的学习是必须的,在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具.在研究矩阵相似问题时,若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形具有极其重要的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用,大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方面:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理,来对若尔当标准形的应用进行归纳总结.本文以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,不难得出,矩阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幂、行列式的值以及证明都是很有用的.总的来说,本文从若尔当标准形的定义及简单性质出发,对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.1．定义形式为 0 0001 000(,)00......1000......01t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵为若尔当（Jordan ）块，见[1] [8] [9],其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵,其一般形式如12s J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中1=11i ii i i ii k k J λλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ , 并且12,,......,s λλλ中有一些可以相等.特别地，一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵. 在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P ,使11k J P AP J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 为若尔当块()1,2,,i k = . 而1k J J ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭称为A 的若尔当标准形. 2．性质 见[6]性质1 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的.性质2 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形J ，主对角线上的元素正是A 的特征多项式的全部的根，即A 的全部特征值（重根按重数计算）.性质3 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成. 性质4 设n nA C⨯∈,()[]f x C x ∈，若12,,,n λλλ 为A 的全部特征值,则()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ , 即11()0()()n f P f A P f λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭. 证明 设110n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的若尔当标准形,再设10()m m f x a x a x a =+++ ,则111100()n n f A f P P PfP λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110000m m m n n P a a a E P λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11()0()n f P P f λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭， 可见()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 性质5 在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P , 使11k J P AP J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则11K J A P P J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11m m m k J A P P J -⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭.其中m i J 111111m i m m i m m mm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i k = . 证明 设011i i i i i J E A λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ ,001010A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 注意到：001010in A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，200001100i n A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,, 1000100i in n A -⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，0(0)i in n A =. 于是11110000()m m m m m m m i i i m i m i J E A E C A C A A λλλλ---=+=++++111111m i m m i m m mm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭3．若尔当标准形的应用3.1 若尔当标准形在矩阵分解论中的应用，见[4] [7][13]例1 （VOSS 分解定理）复数域上任意n 阶方阵都可以分解成两个对称矩阵之积,并且其中一个为可逆对称矩阵.证明 先证明：任何若尔当块0J 可表示成两对称矩阵之积,且其中一个为可逆对称矩阵()*.设011J λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 是一个若尔当块,若令111n nS ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （称为倒置矩阵）, 那么1'SS S -==，||1S =±，从而S 是可逆对称矩阵,且0J SM = ①其中11n nM λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 显然'M M =.由①结论()*成立. 若n n A C ⨯∈,则A J ,且12r J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中i J 是若尔当块,J 是A 的若尔当标准形,那么存在可逆矩阵T , 使111r J A T JT T T J --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭②由上面①知i i i J S M = ()1,2,,i r = ③其中i S 为倒置矩阵,即可逆对称矩阵,i M 是对称矩阵()1,2,,i r = . 将③代人②得111r r S M A T T S M -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111''()r r S M T T T T BC S M --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④其中111'()r S B T T S --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为可逆对称矩阵,1'r M C T T M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为对称矩阵. 由④即证.例 2 任一n 阶方阵A 都可以写成A D N =+的形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵（即存在自然数m ，使0m N =）,而且DN ND =.证明 由若尔当标准形知,存在可逆矩阵T ,使11s J A T T J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭①其中11kkk k J λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为若尔当块,()1,2,,k s = . 于是01010k k k k k J D N λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()1,2,,k s = ② 其中k k k D λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭为对角矩阵,01010k N ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为幂零矩阵.0n k N =Q ，将②代入①得111s s D N A T T D N -+⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭1111s s D N T T T T D N D N --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 其中11s D D T T D -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵,且11s N N T T N -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则110n n n s N N T T N -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即N 为幂零阵.于是111s s D N DN T T D N -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭④类似的,有111s s N D ND T T N D -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⑤但()k k k k k k D N E N N λλ==,所以()k k k k k k N D N E N λλ==k k k k D N N D =,(1,2,,)k s = ⑥从而由⑥④,⑤即证DN ND =.3.2 若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用，见[10][12]定理 设1122n n n k n k S a S a S a S ---=+++ （其中12,,,k a a a 为已知常数）是一个线性递推关系.1P AP J -=,其中J 为矩阵A 的若尔当标准形,而矩阵121100001000010k k a a a a A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是由线性递推关系式所唯一确定的k 阶方阵.如果12111121k k n k k d S d S PJ P d S d S ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n k S d =.证明 1122n n n k n k S a S a S a S ---=+++112231n k n k n k k n S a S a S a S +-+-+--∴=+++从而1122312233n k n k n k k n n k n k n n k n k n n S a S a S a S S S H S S S S +-+-+--+-+-+-+-+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121311100001000010n k k k n k n n n S a a a a S AH S S +--+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是21213211,,,n n H AH H AH A H H A H -====又11111,,n n P AP J A PJP A PJ P -----===Q111n n H PJ P H --∴=即11221113321n k k n k k n n k k n k S d S S d S S PJ P d S S d S +-+----+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故n k S d =.例3 求n 阶行列式61161611616116161116n D =.解 将n D 按第一列展开,112136116n n D D M M -=-+,这里12M 与13M 分别是12a 与13a 的余子式,把它们分别按第一列展开,得1236116n n n n D D D D ---=-+. 那么6116100010A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()||(1)(2)(3)A f E A λλλλλ=-=---故1231,2,3λλλ===.由性质2，存在可逆矩阵P ,使得1P AP J -=,其中123J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,易求得149123111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11532214313122P -⎛⎫- ⎪⎪=-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭,1P AP J -=123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由定理可得13111211153149190221232143251113136122n n n n D PJ P D D -----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭11153902214325123136122n n --⎛⎫-⎪***⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=***-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭2213222n n ++⎛⎫⎪*⎪=* ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭故2213222n n n D ++=-+.说明：（1）当线性递推关系式为三阶时,即n 阶行列式n D 满足如下关系式：120n n n aD bD cD --++=n D 可用如下方法简便求得.则做特征方程20ax bx c ++= ()*1°若240b ac ∆=-≠,则方程()*有两个不等复根12,x x ,则1112n n n D Ax Bx --=+,其中,A B 为待定系数,可令1n =和2n =得出；2°若240b ac ∆=-=，则方程()*有重根12x x =,则11()n n D A nB x -=+,其中,A B 为待定系数,可令1n =和2n =得出. 例4 计算n 阶行列式9500049500049000009500049n D =.解 将n D 按第一列展开,12920n n n D D D --=-,即129200n n n D D D ---+=. 做特征方程29200x x -+=,得124,5x x ==.即1145n n n D a b --=+令1n =时9a b =+, ①令2n =时6145a b =+, ②5⨯①-②,解得16a =-,代入②得25b =，所以1154n n n D ++=-.（2）当线性递推关系式为二阶时,即n 阶行列式n D 满足如下关系式10n n aD bD -+=则21121()()n n n n b b bD D D D a a a---=-=-==- .3.3 用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理，见[5] [14] [15]（Hamilton-Caylay 定理） 设A 是数据P 上一个n n ⨯矩阵,()||f E A λλ=-是A 的特征多项式,则()f A =O .证明 由性质2得121n P AP J λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪== ⎪ ⎪*⎝⎭ 为A 的若尔当标准形,其中i λ 为A 的全部特征值(1,2,,)i k = ，*代表0或1. 则12112()||()()()k n n n k k J f E A E J λλλλλλλλλ⎛⎫⎪=-=-=--- ⎪⎪⎝⎭, 并且11()k J f A f P P J -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111()()k k J f J Pf P P P J f J --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()()i n i i f λλλ=-,则010()()010ii n n i i i i f J J E λ⎛⎫⎪⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭再由()|()()0i i f f f J λλ⇒=(1,2,,)i k = ,由性质4得()111()0()00k f J f A P P P P fJ --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.例5 若120020211A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，求100A.解 设()f λ为A 的特征多项式,则()||(2)(1)(1)f E A λλλλλ=-=-+-再设1002()()q f a b c λλλλλ=+++, ①将1,1,2λλλ==-=代入①式有10011422a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得100100110,(21),(42)33b ac ==-=-.所以100100210011()()(21)(42)33q f λλλλ=+-+-.故100100210011(21)(42)33A A E =-+-10010010012(21)002050(21)13⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 3.4 若尔当标准形在矩阵方程中的应用，见[2][3] [11] 例6 在复数域上讨论矩阵方程mXE =的全部解.解 设11K J P XP J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为X 的若尔当标准形, 由性质5得11m mm k J X P P J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,又Q m X E =,∴11m m k J P P E J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即1m m k J E J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,进一步得i m i n J E =，(1,2,,)i k =由此可得,X 的若尔当块都是一阶的. 若不然,不妨设1J 的阶数大于一,于是111111J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中11m λ= 由性质5111111111111111imm m m mn m m m m m J E m m λλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,这与11mn J E =矛盾,则X 的若尔当块都是一阶的. 于是111k k J P XP J λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121k X P P λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , （其中1m i λ=，而P 为任意的可逆矩阵）为矩阵方程mXE =的全部解.例7 设,A B 分别是k 阶和l 阶方阵,且没有公共特征值,证明AX XB =只有零解0X =.证明 设11k a P AP a -⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭ ,11l b Q BQ b -⎛⎫⎪* ⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭ 分别为,A B 的若尔当标准形.（其中*处为0或1）Q ,A B 没有公共特征值,(1,2,,,1,2,,)i j a b i k j l ∴≠==由AX XB =得11k l a b Y Y a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪** ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪**⎝⎭⎝⎭ ,1Y P XQ -= 比较1行l 列元素得：111l l l a y y b =即11()0l l a b y -=由题设10l y =21一般地,假定10i y =,(1)i l <≤比较1行l -1列元素得：1111111i i i i a y y b y ---=+*⋅利用10i y =得110i y -=10,(1,2,,)i y i l ∴==同理可证：20,,0,(1,2,,)i ki y y i l ===因此10,0Y P XQ X -===即结束语： 本文给出了若尔当矩阵在矩阵分解论、解线性递推关系式、证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理、矩阵方程四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,我们不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到化简.从而很好地体现了若尔当标准形具有的重要应用价值.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,王萼芳,石生明修订. 高等代数 (第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003,7:346～352.[2] 范亮宇. 高等代数辅导及习题精解[M]. 北京：中国矿业大学出版社,2007:285～291.[3] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社，2009,10:446～487.[4] 伊继昆. 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This paper describes several equivalent definitions of mathematic, and then focused on the properties of Jordan matrix and application of the Jordan matrix such as every n level plural is similar for a Jordon matrix, plural A is similar to diagonally matrix on the base of the unconverted factor without two same resultsKey Word:Jordan matrix; matrix resolve; analysis linearly; Hamilton-Caylay后记致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师周芳老师.周老师平日里教学任务比较繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有她的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩周老师的专业水平外，她的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！22。