线性代数期末总复习

3. 计算
降阶：按行、按列展开公式，但在展开之前往往先用 性质对行列式做恒等变换，化简之后再展开。 数学归纳法、递推法、公式法、三角化法、定义法 把每一行（列）加至“第”一行（列）； 把每一行（列）均减去“第”一行（列）； 逐行（列）相加（减）; 当零元素多时亦可立即展开. 爪型行列式计算
4. 应用
（ii） AX = 0 只有零解 ⇔ 秩（A）＝ n = 未知量的个数. （iii） A是方阵时，AX = 0 只有零解 ⇔ | A |≠ 0.
(2)、非齐次线性方程组 AX = b (i) AX = b 有解 ⇔ b可以由 A的列向量组线性表示； ⇔ r ([ A, b])＝r ( A) AX = b 无解 ⇔ r ([ A, b]) ≠ r ( A)
有解的充要条件是 a1 + a2 = a3 + a4 ，并在有解时 求出方程组的通解。
解：对方程组的增广矩阵 [A b] 作初等行变换化为阶梯 形矩阵得：
1 0 [ A b] = 0 1
1 0 → 0 0 2 1 0 2
2 1 0 3
0 0
0 0 2 0 1 2 1 −2
2 2 λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn yn
A为实对称矩阵.
求正交矩阵 T 使得 T −1 AT＝diag{λ1 , λ2 ,L , λn } = T T AT
3、正定矩阵
(1) 定义 f ( x1 , x2 ,L xn ) = X T AX 为 正定（半正定、负定、半负定）二次型 A为正定矩阵：实的、对称的且对任何X ≠ 0, 都有X T AX > 0 对称的 AX （2） 性质 （i） 设A为正定实对称阵,则AT , A−1 , A∗均为正定矩阵; （ii） A, B均为n阶正定矩阵, 则A + B也是正定矩阵. 若
α 3 = (0,0,1,1)与向量组β1 = (1, a, b,1), β 2 = (2,1,1,2 ), β 3 = (0,1,2,1)等价.
例：求实数a和b, 使向量组α1 = (1,1,0,0 ), α 2 = (0,1,1,0 )
2.向量内积
(1) 基 B1 = {α1 , α 2 ,L , α n } 定义
α 在B1下的坐标 [ x1 , x2 ,L , xn ] ：
T
α = x1α1 + x2α 2 + L + xnα n
(2) 向量内积α T β、长度 α 、的定义、计算 正交向量组 α1 , α 2 ,L , α s : 1 当i = j αi α j = 0 当i ≠ j
T
单位向量α： α ＝1 (3) 单位正交向量组（标准正交基）计算： Schmidt正交化公式、单位化 (4) 正交矩阵定义、性质 AT A = I A，B为正交阵 ⇒ AB为正交阵， | A |= ±1
四、矩阵理论
1.基本概念
(1) 矩阵运算：加法、数乘、乘法 伴随矩阵A*定义、性质：AA* = I = A* A, 计算|A* | PQ ＝ I 定 义： 可逆矩阵P 性 质 : r ( A) = r ( PA) 等 求逆阵： 伴随矩阵法、初等变换法 分块矩阵: A C 运算 B A AC = D 等； BD
1 0 [A b] → 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 a1 1 a2 → 0 0 a3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 8 −4 2 0 a1 − 2 a 2 + 4 a 3 a2 − 2 a3 a3 0
a1 a2
a1 1 a2 0 → a3 0 a4 0
2 1 0 1
0 0 2 0 1 2 1 −2
a1 a2 a3 a4 − a1
a3 a4 − a1 − a2 + a3 a1 a2
0 1 2 0 −1 −2
2. 性质 (见 $ 5)
a11 a21 设D = L an1
L a1i −1 L a2i −1 L L L ani −1
a1i a2i L ani
a1i +1 a2i +1 L ani +1
L L L L
a1n a2 n ，则 L ann b1 a1i +1 L a1n
a11 L a1i −1
a21 L a2i −1 b2 a2i +1 L a2 n b1 A1i + b2 A2i + L + bn Ani＝ L L L L L L L an1 L ani −1 bn ani +1 L ann
iii). 写出一般解： k1 X 1 + k2 X 2 + L + k p X p , L 其中k1， ，k p为任意常数. 注： 基础解系的向量个数 p ＝ 未知量个数 n － r ( A).
(2)、非齐次线性方程组 AX = b 解结构 i). 初等行变换 [ A, b] [ B, d ] (最简形矩阵), → 由 Bx = d 求特解：X 0 确定自由未知量 由 Bx = 0 求基础解系：X 1 , X 2 ,L , X p
ii).
iii). 写出一般解： X 0＋k1 X 1 + k2 X 2 + L + k p X p , 其中k1， ，k p为任意常数. L 注： 基础解系的向量个数 p ＝ 未知量个数 n － r ( A).
三、向量空间
1.基本概念
a1 (1) 向量空间: F n＝ M a n 如： 实向量空间 n a1 ,L , an ∈ F , F为数域
（3）判别法 二次型X T AX 正定 ⇔ 标准形的n个系数全为正的 实对称矩阵 A 为正定矩阵 ⇔ A 的特征值全为正的 ⇔ A 合同于I ⇔ 存在可逆矩阵P使得A＝PT P ⇔ A 各阶顺序主子式全为正的
•
例子
一、求解线性方程组
例 证明：方程组
x1 + 2 x2 x 2 + 2 x3 x3 + 2 x 4 x1 + 3 x 2 + x3 − 2 x 4 = a1 = a2 = a3 = a4
(4) 矩阵的秩
# # # # #
初等变换不改变矩阵的秩 当 P，Q可逆时， r ( A) = r ( PAQ ) X r ( A + B) ≤ r ( A) + r ( B ) r ( AB) ≤ min{r ( A), r ( B)} n 阶矩阵A, r ( A) = n ⇔ A为可逆阵
（5）向量组等价的判定
1 0 → 0 a3 a4 − a1 − a2 0
2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0
从而 r ( A) = r ([ A, b]) ⇔ a4 − a1 − a2 + a3 = 0
所以方程组有解的充要条件是：a1 + a2 = a3 + a4 当方程组有解时，方程组的增广矩阵变为
例：设 n 阶矩阵A的特征值为 2， 3， ，则 | ( I - 5 A) −1 |= ??. － 1 计算： 求特征多项式 |λ I − A 得特征值λi ; |, 对每个λi，求（λi I − A）X = 0的基础解系，得特征向量.
3、矩阵的对角化
（1） n 阶 A 对角化条件： （i） A 可对角化 （ii）A 可对角化 ⇔ A有n个线性无关的特征向量 ⇔ A的每个特征值的λ 对应的（λ I − A） 0 = 的基础解系的向量个数＝λ的重数 的重数 （iii） A 有n个特征值 ⇒ A 可对角化 （2） 求可逆阵P使得P－1 AP为对角阵: 求特征值λ1 , λ2 ,L , λn、基础解系X 1 , X 2 ,L , X n P = [ X 1 , X 2 ,L , X n ] P－1 AP = diag{λ1 , λ2 ,L , λn }
（1） Cramer法则：n 元 n 个方程的方程组的解； （2） n 阶矩阵 A: | A |≠ 0 ⇔ A 可逆 ⇔ 秩（A） n = ⇔ 方程组 AX = b 有唯一解
二、线性方程组
1. 解的情况判别
设 A 是 m × n 的矩阵.
(1)、齐次线性方程组 AX = 0 (i) AX = 0 有非零解 ⇔ 秩（A） n = 未知量的个数. <
2、矩阵的特征值、特征向量
定义： Aα = λα A, B相似： P -1 AP = B 性质:
#
(α ≠ 0)
λ是A的特征值，则f (λ )是f ( A)的特征值
（如：2是A的特征值, f ( x) = 3 x - 5， 则 3 × 2－5＝1是3 A - 5 I的特征值,
# # #
不同特征值的特征向量线性无关 Tr(A)= λ1 + L + λn; |A λ1 L λn |= 相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、 秩、行列式
2、化为标准型
（1） 正交替换法 实二次型 f ( x1 , x2 ,L , xn ) = X T AX , 坐标变换为 : 标准型为 : (2) 配方法 例 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x3 + 4 x2 x3 标准形： f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 z12 − 2z2 2 . X = TY
（3） n 阶实对称矩阵 A 的对角化 性质： 特征值都是实数 不同特征值的特征向量正交 可正交对角化： T -1 AT = diag{λ1 , λ2 ,L , λn } 其中T 为正交阵 计算：求正交阵T 使得T －1 AT 为对角阵: 求特征值λ1 , λ2 ,L , λn、 基础解系 X 1 , X 2 ,L , X n , 正交化单位化得：η1 ,η2 ,L ,ηn T = [η1 ,η2 ,L ,ηn ] T －1 AT = diag{λ1 , λ2 ,L , λn }