(精选)线性代数总结归纳
数学中线性代数知识点总结
数学中线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结。
# 向量和向量空间1. 向量：向量可以是有序的数字列表，例如在n维空间中的向量是一个n元组 (a1, a2, ..., an)。
向量可以表示空间中的点或方向，并且可以进行加法和数乘运算。
2. 向量空间：一个集合V，如果对加法和标量乘法封闭，即对于所有的向量u, v ∈ V和所有的标量c，u+v和cu也属于V，则称V为向量空间。
3. 子空间：向量空间V的子集W，如果它自身是一个向量空间，则称W为V的子空间。
4. 线性组合：给定一组向量，任何可以通过这些向量的加法和数乘得到的向量称为这些向量的线性组合。
5. 线性相关与线性无关：如果一组向量中的任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合，则称这组向量线性相关。
如果不存在这样的表示，则称它们线性无关。
# 矩阵和线性变换1. 矩阵：矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性变换，解决线性方程组，以及进行向量空间的操作。
2. 线性变换：一个函数T，如果它保持向量加法和标量乘法的操作，即对于所有的向量u, v和所有的标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)，则称T为线性变换。
3. 矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它可以用来组合线性变换。
矩阵乘法不满足交换律，即AB ≠ BA通常情况下。
# 特征值和特征向量1. 特征值：对于一个方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av = λv，则称λ是A的一个特征值。
2. 特征向量：与特征值相对应的非零向量v称为特征向量。
3. 对角化：如果一个方阵A可以表示为PDP^(-1)的形式，其中D是对角矩阵，P是由A的所有特征向量组成的矩阵，则称A是可对角化的。
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
线性代数公式必背完整归纳清晰版
线性代数公式必背完整归纳清晰版线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射的理论和方法。
在学习线性代数的过程中，掌握一些重要的公式是非常重要的。
下面是线性代数中一些常见且重要的公式，希望能够帮助到你。
1.向量的加法和数乘:(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 +b2, ..., an + bn)k(a1, a2, ..., an) = (ka1, ka2, ..., kan)这是线性代数的基本操作，向量的加法是对应元素分别相加，向量的数乘是将向量中的每个元素与常数相乘。
2.内积:向量a = (a1, a2, ..., an) 和向量b = (b1, b2, ..., bn) 的内积定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有许多重要的性质：a·b=b·a-->内积的交换律(ka) · b = a · (kb) --> 内积的数乘关系a·(b+c)=a·b+a·c-->内积的分配律内积可以用来计算向量的夹角和向量的长度，是线性代数中的一个重要概念。
3.范数:向量a的范数定义为：a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2向量的范数满足以下性质：a，>=0，且当且仅当a=0时取等ka， = ，k，，a，对于任意的实数a+b，<=，a，+，b，三角不等范数是一个度量向量长度的函数，也是线性代数中常用的概念。
4.矩阵的乘法:对于矩阵A(m×n)和矩阵B(n×p)，它们的乘积C=A×B是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素可以表示为：C(i,j)=a(i,1)*b(1,j)+a(i,2)*b(2,j)+...+a(i,n)*b(n,j)矩阵乘法是线性代数中的核心概念，它在很多应用中都有重要的作用。
线性代数完美总结版
《线性代数及其应用》一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理，， 按行展开：1122,1,2,,A =+++=L L i i i i in in a A a A a A i n按列展开：1122,1,2,,A =+++=L L j j j j nj nj a A a A a A j n定理 11220,+++=≠L i j i j in jn a A a A a A i j ；11220,+++=≠L i j i j ni nj a A a A a A i j .3、行列式的性质 (1) T||||=A A .(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即111,,,,,,,,,,,,j j n j n j nααβαααααβα+=+L L L L L L .(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零. (3) 初等变换性质4、行列式计算：三角化法(性质)；降阶法(性质+展开定理)； 范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的结合律(2) 方阵的幂的求解 3.75.9⎧⎪=⨯⎨⎪--⎩二项式定理--例矩阵列行--例3.8、例3.38可对角化例(3) 转置的性质：T T T T T T TT T T ()()()()A A A B A BA AAB B A⎧=⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=⎩k k (4) 方阵的行列式：T ||||;|||;||||||.n|k k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩A A A A AB A B(5) 分块运算(转置、乘法--例、 2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即 3、可逆矩阵(1) 定义、性质1111T 11T 111111()()()()A A A A A A A A AB B A------------⎧=⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩||||()k k(2) 伴随矩阵 1||||||()()()n r r ***-*⎧==⎪=⎨⎪⎩A A AA A E A A A A 与的关系书111页38题(3) 判定：A 可逆||0A ⇔≠(4) 逆矩阵的求法 []11( 3.7),,*--⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎡⎤−−→⎪⎣⎦⎪⎩行伴随矩阵法:及运算律命题初等变换法:A A A AB E A E E A(5) 分块矩阵的逆 (6) 矩阵方程的求解：AX C =，其中A 可逆.法1 1X A C -=.法2 1[,][,]A C E X X A C -−−−−→⇒=初等行变换n .4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)① 0()min{,}r m n ≤≤A ； ② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ③ ()(),0;r k r k =≠A A ④ T()()r r =A A ；⑤()()r r r ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B ； ⑥ ()()()r r r +≤+A B A B ；⑦ ()()()()(A B AB A +-≤≤r r n r r 或())B r ； 若=AB O ，则()()r +r n ≤A B ，其中m n⨯∈P A ，n s⨯∈PB .⑧ 设m n⨯∈RA ，则TT()()().r r =r =AA A A A(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)A R −−−−→初等变换(行阶梯形矩阵)，则()()r r ==A R R 的非零行的个数.(3) 矩阵的相抵(等价)① ()(),,.A B A B P Q PAQ B ≅⇔=⇔∃=可逆使得r r ② ()()()()r r r r ===PAQ PA AQ A ，其中,P Q 可逆. ③ ()r r r ⎡⎤=⇒=⎢⎥⎣⎦E O A PAQ O O 或r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E O A P Q O O . 三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题、、、、定理、、(1) 证明方法------,,--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义转化为齐次线性方程组的求解秩矩阵、向量组的秩(定理4.1定理4.4命题4.5-4.6)坐标化方法定理4.14基本结论(2) 基本结论判断向量组线性相关（命题，命题(2),定理及推论1，定理）充要：12,,,s αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.充分：12,,,s αααL 线性相关⇐12,,,s s s ααα⎧⎪⎨⎪⎩L 某一个部分向量组线性相关向量的个数大于向量分量的个数被个数少于的向量组线性表示判断向量组线性无关（命题(3)，命题的推论） 2、等价向量组(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r (Ⅰ) ≤r (Ⅱ). (2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则r (Ⅰ)=r (Ⅱ). 3、子空间的验证(1) 非空、加法和数量乘法的封闭； (2) 命题(生成子空间)--例，例4、向量组的秩及极大无关组(命题，定理及推论2)、(线性)子空间的基与维数 (1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2) 对于12(,,,)s W L ααα=L ，则12dim (,,,)s W r ααα=L ， 即生成子空间的维数 与基就是向量组12,,,s αααL 的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：1122n n x x x γααα=+++L 在基12,,,n αααL 下的坐标[]T12,,,n x x x L .基变换公式：1212(,,,)(,,,)n n βββααα=L L S 坐标变换公式：12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n βββαααγαααγβββ=⎫⎪=⇒=⎬⎪=⎭L L L L S X X SY Y 或1-=Y S X 四、线性方程组(含参量、不含参量)1、解的情况(1) ()(),,()(),r r n r r n β⎧≠⎪=⇒=⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩%%A A AX A A 无解唯一解无穷多解若A 是方阵，则0,()(),0()(),r r r r β⎧≠⎪=⇒⎧=⎨=⎨⎪≠⎩⎩%%唯一解无穷多解无解A AX A A A A A (2) 齐次线性方程组=0AX 有非零解()r n ⇔<A .若A 是方阵，则齐次线性方程组=0AX 有非零解0⇔=A .2、解的结构齐次=0AX：(1) 解空间N()A 、dimN()()n r =-=A A 基础解系所含向量的个数(2) 基础解系不唯一，()A -n r 的线性无关的解均可作为=0AX 的一个基础解系.(2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合 非齐次β=AX：(1) 非-非=齐(2) 结构式：通解=特解+导出组=0AX的通解五、线性变换1、线性变换的验证 (定义2、线性变换在一个基下的矩阵(定义、命题3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理六、内积空间n R1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)2、施密特正交化3、正交矩阵 (1) 定义、性质；(2) n 阶实矩阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的列(行)向量组是nR 的一个标准正交基. (命题七、矩阵的相似对角形1、特征值和特征向量的定义、性质 (1) 1212tr();n n λλλλλλ=+++=LL A A ；(2) A 与TA 具有相同的特征值(特征向量未必相同)；(3)()()(())A A λλ⊆f W W f ；11()()A A λλ--=W W .(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理、定理及推论).2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同) 相似的判定：若A 与B 可对角化(实对称矩阵)，且A 与B 具有相同的特征值，则A 与B 相似.若A 与B 相似，则矩阵多项式()A f 与()B f 也相似.3、矩阵的相似对角化A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔数域P 内有n 个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数(充分条件) A 有n 个互不相同的特征值⇒A 可对角化4、实对称矩阵(1) 特征值：n 阶实对称矩阵有n 个实特征值.(2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数). (4) 若A 与B 均为实对称矩阵，则A 与B 正交相似(相似)⇔A 与B 具有相同的特征值.(正交相似⇒既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩阵及秩(11A -←−→f (对称)) 2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似⇒既相似，又合同 实对称矩阵,A B 合同⇔,A B 的正惯性指数与秩相同3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换)4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)5、正定二次型 (1) 判定：① 定义；② A 的特征值都大于零(A 的正惯性指数等于n )；③ A 与E 合同(与正定矩阵A 合同的实对称矩阵B 正定)； ④ 存在可逆矩阵S ，使得TA S S =； ⑤ A 的所有顺序主子式都大于零(2) 必要条件：(i)0,1,2,,ii a i n >=L ；(ii)||0A >。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门重要的数学学科，在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、物理学、工程学等。
下面将对线性代数的一些关键知识点进行归纳整理。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念。
它是一个数值，可以通过特定的计算规则得到。
对于二阶行列式，其计算公式为：＼＼begin{vmatrix} a ＆ b ＼＼ c ＆ d ＼end{vmatrix} ＝ ad bc ＼对于三阶行列式，计算相对复杂些，可通过按行（列）展开来计算。
行列式具有一些重要的性质，例如：1、行列式转置后其值不变。
2、某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
行列式的应用包括求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
二、矩阵矩阵是线性代数中的核心概念之一。
矩阵的定义：由\（m×n\）个数排成的\（m\）行\（n\）列的数表称为\（m×n\）矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
1、矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，对应元素相加减。
2、数乘矩阵是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
3、矩阵乘法需要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，乘法运算不满足交换律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵是一个重要概念，若矩阵\（A\）可逆，则存在矩阵\（B\），使得\（AB ＝ BA ＝ I\），其中\（I\）为单位矩阵。
三、向量向量可以看作是一组有序的数。
行向量是一行数，列向量是一列数。
向量的运算包括加法、减法、数乘。
向量组的线性相关性是一个重要内容。
如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则称线性无关。
四、线性方程组线性方程组可以表示为矩阵形式\（Ax ＝ b\）。
线性方程组的解分为有解和无解的情况。
1、有解时，可能有唯一解或无穷多解。
2、无解时，方程组矛盾。
通过高斯消元法可以求解线性方程组。
五、特征值与特征向量对于矩阵\（A\），如果存在非零向量\（x\）和数\（＼lambda\），使得\（Ax ＝＼lambda x\），则\（＼lambda\）称为矩阵\（A\）的特征值，＼（x\）称为对应于特征值\（＼lambda\）的特征向量。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。
10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
(完整)线性代数知识点总结汇总,推荐文档
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
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行列式1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。
答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。
2．《线性代数》的前导课程。
答：初等代数。
3．《线性代数》的后继课程。
答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。
4．如何学习《线性代数》？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。
在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。
在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。
第一章行列式5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。
答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。
6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。
答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。
7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。
答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。
例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。
数4与5，数1与2不构成逆序。
8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。
答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。
例如：上问中的排列45312的逆序数为8。
9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。
例如：排列45312为偶排列。
10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。
答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。
例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。
11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。
答：可经过一系列对换互变。
且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。
例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5与3就变为标准排列12345。
对换的次数2与逆序数6都是偶数，但要注意对换的次数与逆序数一般不相等。
12．n阶行列式中的元素的两个下标表示什么？【知识点】：n阶行列式的元素。
答：第一个下标表示元素所在的行数，第二个下标表示元素所在的列数。
例如：a23表示该元素位于行列式的第2行第3列的位置。
13．n阶行列式展开式中共有多少项？每一项有什么特点？【知识点】：n阶行列式的定义。
答：共有n! 项，每一项由不同行不同列的n个元素的乘积构成。
例如：3阶行列式共有3！=6项，每一项由不同行不同列的3个元素的乘积构成。
14．n阶行列式展开式中每一项前的符号如何确定？【知识点】：n阶行列式的定义。
答：当n个元素的乘积的第一个下标按标准排列排列时，该项的符号为（-1）的列标排列的逆序数次方。
例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号为(-1)τ(4321)= +1.15．1阶行列式等于多少？【知识点】：1阶行列式的特点。
答：1阶行列式|a|=a。
但不要与绝对值混淆。
16．2，3阶行列式的对角线算法怎样进行？【知识点】：2，3阶行列式的的定义及特殊性。
答：从左上角到右下角的元素的乘积的项前取正号，从右上角到左下角的元素的乘积的项前取负号。
17．对角线算法能用于4阶以上的行列式吗？【知识点】：行列式的对角线算法的局限性。
答：不能，因为按对角线算法展开阶行列式只有2n项，而阶行列式的展开式中应有n！项，另外各项前的符号也不能用对角线算法的方法来定。
例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号应为+，按对角线算法的方法它的符号为“－”。
18．上（下）三角行列式怎样计算？三角行列式的算法。
答：主对角线上的所有元素的乘积。
例如：19．什么是转置行列式？与原行列式有什么关系？这说明行列式的什么性质？【知识点】：行列式的的对称性。
答：依次将行列式的行写成列后得到的行列式叫转置行列式。
转置行列式与原行列式相等。
这说明行列式的行与列的对称性。
例如：行列式的转置行列式。
它们是相等的。
20．交换行列式的任意两行（列），行列式有什么变化？【知识点】：行列式的基本性质。
答：行列式要变号。
例如：21．用一个数k乘行列式，行列式中的元素有什么变化？【知识点】：行列式的基本性质。
答：相当于在行列式的某行（或列）的每个元素上都乘以数k。
例如：，则22．如果行列式中有两行（列）元素相等，则行列式等于多少？【知识点】：行列式的基本性质。
答：行列式等于0。
例如：23．行列式中某一行（列）所有元素的公因子是否可以提到行列式符号的外面？【知识点】：行列式的基本性质。
答：可以。
例如：24．若行列式中有某一行（列）的元素全是零，则行列式等于多少？【知识点】：行列式的基本性质。
答：应用23问的答，得行列式等于0。
25．若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于多少？【知识点】：行列式的基本性质。
答：应用22问与23问的答，得行列式等于0。
26．将一个行列式拆成两个行列式的和时应注意什么问题？【知识点】：行列式拆成两个行列式的和。
答：只能将某行（或列）的元素拆开，而其它行（或列）的元素不变。
例如：27．把行列式的某一行（列）元素乘以同一数k后加到另一行对应元素上，行列式有什么变化？【知识点】：行列式的基本性质。
答：行列式不变。
例如：的第2行乘3加到第1行后的行列式与原行列式相等。
28．行列式的k阶子式是什么含义？【知识点】：行列式的k阶子式。
答：行列式的k阶子式由某k行和某k列交叉的k2个元素按原来的顺序排成的k阶行列式。
例如：的由第1、3行与第2、3列得到的一个2阶子式为29．式的余子式是什么含义？【知识点】：行列式的子式的余子式。
答：把子式所在的行和列去掉后剩下的元素构成的行列式。
例如：的由第1、3行与第2、3列得到的子式的余子式为划去第1、3行与第2、3列剩下的行列式。
30．子式的代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的子式的代数余子式。
答：子式的代数余子式是在子式的余子式前添上符号，其中为子式所在的行和列。
例如：的子式的代数余子式是31．行列式D的元素a ij的余子式和代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的元素的余子式和代数余子式的概念。
答：元素a ij的余子式是去掉元素a ij所在的第i行和第j列后剩下的元素所构成的行列式。
元素a ij的代数余子式是在元素a ij的余子式前添上符号后的式子。
例如：的元素a23=7的余子式是去掉元素所在的第2行和第3列后剩下的元素所构成的行列式，a23=7的代数余子式是。
32．n阶行列式的任一个k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项与行列式中的项有什么关系？【知识点】：子式与它的代数余子式的乘积与行列式中的项的关系。
答：n阶行列式的任一个k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式中的一项，而且符号一致。
33．行列式按k行展开如何展开？【知识点】：行列式展开的拉普拉斯定理。
答：在行列式中任取k行，由这k行元素组成的所有的k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式。
34．行列式按一行（列）展开如何展开？【知识点】：行列式按一行（列）展开的公式。
答：行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的代数余子式的乘积之和。
35．行列式的某一行（列）的所有元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于多少？【知识点】：行列式的重要性质。
答：等于0。
36．范德蒙行列式有什么特点？怎么计算？【知识点】：范德蒙行列式。
答：范德蒙行列式第一行全为1，第三行以后依次是第二行的元素2，3，…，n-1次幂. 范德蒙行列式等于第二行的后一列元素与前各列元素的所有差的乘积。
即37．克拉默法则能解决什么样的线性方程组的问题？【知识点】：克拉默法则。
答：方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组，且方程组的系数行列式要求不为零。
38．克拉默法则中，方程组的解的公式是怎样计算的？【知识点】：克拉默法则。
答：第i个未知量的解等于D i/D，其中D i是系数行列式D中的第i列换成自由项所得到的行列式。
39．行列式的计算有哪些常用的方法？【知识点】：行列式的计算方法。
答：利用行列式的性质将行列式化为上（或下）三角行列式；利用行列式的性质将行列式的某一行（或列）变成只有一个元素非零，再按该行（或列）展开，依照此法做下去，直到2或3阶行列式；根据行列式的形状找出递推关系，由递推关系来计算出行列式。
第二章矩阵1．矩阵是否表示一个数？【知识点】：矩阵的概念。
答：矩阵是一个由数排成的数表，不是数。
2．有哪些矩阵表示法？【知识点】：矩阵表示法。
答：用大写的英文字母A,B,…，或A m×n, (a ij)m×n, (a ij) 。
3．两个矩阵相等有什么条件？【知识点】：矩阵相等的概念。
答：矩阵的型相同，对应的元素相等。
4．矩阵在什么情况下叫方阵？【知识点】：方阵的概念。
答：矩阵的行数与列数相等。
5．1阶方阵是什么？【知识点】：1阶方阵。
答：1行1列的矩阵。
6．上三角矩阵有什么特点？【知识点】：上三角矩阵。
答：上三角矩阵是方阵，且主对角线以下的元素都为0的方阵。
例如：是上三角矩阵。
7．下三角矩阵有什么特点？【知识点】：下三角矩阵。
答：下三角矩阵是方阵，且主对角线以上的元素都为0的方阵。
例如：是下三角矩阵。
8．对角矩阵有什么特点？【知识点】：对角矩阵。
答：对角矩阵是方阵，且主对角线以外的元素都为0的方阵。
例如：是3阶对角矩阵。
9．n阶单位矩阵的含义是什么？【知识点】：单位矩阵的概念。
答：主对角线上的元素都为1的对角矩阵。
10．不同阶的单位矩阵是否相等？【知识点】：单位矩阵。
答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的单位矩阵不相等。
11．零矩阵的含义是什么？【知识点】：零矩阵的概念。
答：每个元素都为0的矩阵，它不一定是方阵。
12．不同型的零矩阵是否相等？【知识点】：零矩阵。
答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的零矩阵不相等。
13．两个矩阵相加有什么条件？【知识点】：矩阵的加法。
答：两个矩阵的型要相同。
比如要与2×3矩阵相加的矩阵一定是2×3矩阵。
14．两个矩阵如何相加？【知识点】：矩阵的加法。
答：对应位置上的元素相加。
例如：= 。
15．负矩阵是什么含义？【知识点】：负矩阵。