【数学】湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试(理)
湖北省孝感高级中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学理试题 含答案
湖北省孝感高级中学2013—2014学年度高中二年级下学期期中考试数学（理）命题人：姚继元 满分:150分 考试用时：120分钟一、选择题(本大题共10小题．每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．复数22321）（i +的共轭复数是 A 。
i 2321- B.i 2321+ C 。
i 2321+- D.i 2321-- 2．设01()sin ,()()f x x f x f x '==，2112014()(),,()(),,()n n f x f x f x f x n f x +''==∈=N 则A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 3．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,若(6)0.3P ξ>=，则(0)P ξ<=A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.74．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，若B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），则不同的排法共有A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种5．函数f (x ）＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈［－5,5］，使f (x 0）≤0的概率是A ．1B ．错误!C ．错误!D ．错误!6．设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算,则输出的S 值及其统计意义分别是A ．2S =,即5个数据的方差为2B ．2S =,即5个数据的标准差为2开始5i ≥结束输出SS =1=2(20)i S S x =+- 5S S =÷1i i =+是否 输入i x1i =C ．10S =，即5个数据的方差为10 D ．10S =，即5个数据的标准差为107．某个命题与自然数n 有关,若n ＝k (k∈N *)时命题成立,那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得 A ．n ＝4时该命题成立 B ．n ＝4时该命题不成立C ．n ＝6时该命题成立D ．n ＝6时该命题不成立8．如图，在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为 A ．55B ．89C ．120D ．1449．掷一枚质地均匀的骰子n 次,设出现k 次点数为1的概率为)(k P n,若n=20，则当k 为（ )时)(k P n取最大值。
湖北省孝感高级中学2013年高二下学期期中考试数学(理科)答案
孝感高中2012-2013学年度下学期期中考试高二数学（理）参考答案二、填空题11. (0,1)- 12. 4π13. 14. 22188x y -= 15. 3-三.解答题 16.解：228ay =+ ， 2220b x =+ ………………4分222222284416a b x y x y +=++=⇒+= ………………6分又由a b ⊥r r 得40a b x y =-+=r r g ，故： ………………8分联立两方程解得： 04x y =⎧⎨=-⎩；或40x y =-⎧⎨=⎩ ………………12分17. 解：（Ⅰ）2()f x x a '=- ，当1x =时，2(1)10,1f a a '=-=∴=当(1,1)x ∈- 时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意。
………………6分 (III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立， ………………9分 只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可， 而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………12分18. 解:（Ⅰ）因为直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点当直线与抛物线的对称轴平行时，l ：1y= ………2分当直线与抛物线的对称轴不平行时，设l ：(1)x m y =- 与抛物线的方程联立得2440y my m -+=， ………4分则21616001mm m ∆=-=⇒=或，故此时直线l 的方程为：0x =或1y x =+综上，所求直线直线l 的方程为：1y =或0x =或1y x =+ ……7分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线l 恰好经过点F ．故l ：1y x =-+， ……8分 代入抛物线方程得 得2610xx -+=．126x x += ……10分所以弦长1228AB x x =++= ……12分19. 解析建立如图所示直角坐标系：则(0,3,3)A '，=BF m 设(3,0,3),(0,3,0),(,0,0)C E m F m '- ………………2分(Ⅰ)0A F C E ''∴= ，A F C E ''∴⊥ ………………5分(Ⅱ)三棱椎B EBF '-的体积为：2(3)(3)4m m V m m +-=-≤. ………………7所以当32m =即点,E F 分别是棱,AB BC 上的中点时，体积最大，……………9分 = ………………12分20. 解：(Ⅰ)1,===a b c 所以椭圆方程的为1222=+y x ………………4分(Ⅱ)假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使F 为△PQM 的垂心设1122(,),(,)P x y Q x y ， (0,1),(1,0)M F ，故1-=MF k ，故直线l 的斜率1=k 所以设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=2222y x m x y 得0224322=-++m mx x 由题意知△＞0，即2m ＜3 ……………………7分'x且322,3422121-=-=+m x x m x x 由题意应有0MP FQ ⋅=，又),1(),1,(2211y x FQ y x MP -=-=故0)1)((222121=-+-++m m m x x x x …………9分0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ，解得34-=m 或1=m ……11分经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ； 当34-=m 时，所求直线34-=x y 满足题意 综上，存在直线l ，且直线l 的方程为0433=--y x ……13分 21. 解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．……2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以 ……3分当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． ……5分故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ． ……6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*） 设a e x a eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则e ae ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ） xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． ……8分① 当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ．故，0)(≤x g 恒成立． ………10分②当0>a 时，xe e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe a e x --=．令2212e a ex ea=-，解得a ex =1， 则当1x x >时，2212e a ex ea >-；再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，…12分 则当2x x >时，1)(2>-eae x ．取),max(210x x x =， 则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-， 即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 故，综上所述，0≤a ．……………14分。
湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1( )A．【答案】B【解析】试题分析：根据题意可知条件中表示的是焦点在y轴上抛物线，2p=4，p=2，而焦点坐标为B．考点：抛物线的焦点坐标．2．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（）AB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D．推测空间直角坐标系中球的方．【答案】A【解析】试题分析：根据演绎推理的定义，应该是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，只有A符合从特殊到一般这一特征．考点：演绎推理的定义．3( )A【答案】D【解析】试题分析：．考点：复数的运算．4．时，从）A【答案】B【解析】试题分析：当n=k时，等号左边的代数式为(k+1)(k+2) (k+k),当n=k+1时，等号左边的代数式为[(k+1)+1][(k+1)+2] [(k+1)+k-1][(k+1)+k][(k+1)+k+1]=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2),考点：数学归纳法从n=k到n=k+1的步骤．5R上可导A【答案】B【解析】试题分析：∵f(x)=x2x=2可得∴f(x)=x2-8x+3，∴考点：导数的运用．6）A【答案】C【解析】试题分析：∵f(x)=e x+ax,可得x=-ln(-a)>0,解得a<-1．考点：导数的运用．7P到y P( )A C【答案】D【解析】试题分析：如图，可知抛物线焦点F （2，0），准线为x=-1，根据抛物线的定义，∴d 1+d 2=PM+PN-1=PM+PF-1≥FM-1≥d-1，d 为F 到l 的距离，d 1+d 2考点：抛物线的定义求线段和差最值问题．8．下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．sin 1x x >-+B ．20x x ->C ．x 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，可转化为x+sinx>1，取x=0，结合函数x+sinx 的连续性可知A 错误，对于B 取x=2，可知B 错误，对于D 取x=1，可知D 错误，对于C ，令f(x)=x-ln(1+x),则01111)('f >+=+-=xx x x ，∴f(x)在,0(+∞f(x)>f(0)=0,即x>ln(1+x)成立．考点：导数中的恒成立问题．9( )A 【答案】D 【解析】试题分析：画出如下示意图．可知0M 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 2=2OM=2b ，∴PF 1=2a-PF 2=2a-2b ，又∵M 为PF 1的中点，∴MF 1=a-b ，∴在Rt △OMF 1中，由OM 2+MF 12=OF 12,可得(a-b)2+b 2=c 2=a 2-b 2．可得2a=3b ，进而可得离心率考点：椭圆与圆综合问题．10．定义在(0,)+∞上的单调递减函数则下列不等式成立的是（ ）A ．3(2)2(3)f f <B ．3(4)f <C ．2(3)3(4)f f <D ．(2)2f <【答案】A【解析】试题分析：∵f(x)∴∴g(x)∴g(2)>g(1),3f(2)<2f(3),A 正确． 考点：利用导数证明抽象函数不等式．二、填空题11的值为 ．【答案】-32【解析】试题分析：由题意可得，a=2，又∵，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32考点：双曲线离心率的计算．12．观察下列等式个等式为．【答案】n+(n+1)+(n+2)+ +(3n-2)=(2n-1)2【解析】试题分析：根据条件中所给的等式分析观察规律可得：第n个等式等号左边有第一个数字为n，依次+1递增一共有2n-1个数字，等号右边为(2n-1)2,∴第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+ +(3n-2)=(2n-1)2．考点：归纳、观察的能力．13(下图中的阴影部分)的面积是____________．【解析】试题分析：显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积考点：定积分求曲边图形的面积．14标为2长为 ．【解析】 试题分析：∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为AB 中点M 的纵坐标为2,∴y 1+y 2=4，而AB=AF+BF=y 121+y 2考点：抛物线的定义． 15．围是 ． 【答案】【解析】2+ax-2a=a(x 2+x-2)=a(x+2)(x-1)，显然a ≠0，①：若a<0,则f(x)在，上单调递减，在(-2,1)上单调递增，因此若要使f(x)图像过四个象限，a>0,则f(x)在，上单调递增，在(-2,1)上单调递减，因此若要使f(x)图像过四个象限，需a 的取值范围是． 考点：导数的运用．三、解答题16．（本小题满分12分）．【答案】m ≥9． 【解析】试题分析：首先可以把p中的x的范围解出，x的范围，中x x x 的全体的子集，从而可以得到关于m的不等式，进而求得m的取值范围．分分分分．考点：1、充分条件与必要条件；2、集合间的关系．17（1）a=0时，求f(x)最小值；（2）若f(x)a的取值范围．【答案】（1）f(x)最小值是1；（2）a【解析】试题分析：(1)可以对f(x)求导，从而得到f(x)的单调性，即可求得f(x)的最小值；(2)根据条件“若f(x)单调减函数”，说明f”(x)<0成立，而f’a的取,而a的取值范围即a≤（1∴f(x)在(0,1) 1 6分（29分分考点：1、利用函数的导函数讨论函数的单调性；2、恒成立问题的处理方法．为矩形，侧棱，其中【答案】（1）详见解析；（2【解析】试题分析：(1)利用底面矩形的对角线互相平分产生一个AC的中点,从而构造出了△ANC的中位线，利用线线平行得到了线面平行；(2)此题利用传统平移的做法求异面直线的夹角略显繁琐，故可利用条件中PA⊥平面ABCD产生空间直角坐标系，利用空间向量求线线角；(3)同(2)，传统做出二面角的平面角的方法比较繁琐，利用已经建好的坐标系求出法向量，进而可以得到二面角的余弦值．（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，∴OM//AN，∵MBD，MBD，∴AN//平面MBD 4分．（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),3AN PD=⨯,∴异面直线AN 与PD 所成角的余弦值为258分（3）∵侧棱PA 垂直底面ABCD,∴平面BCD设平面MBD 的法向量为y-1得x=2，z=-2, ∴平面MBD 的一个法向量为AP =m分由图可知二面角M-BD-C 的大小是锐角,∴二面角M-BD-C 12分． 考点：1、线面平行的证明；2、利用空间向量求线线角；3、利用空间向量求二面角．19．（1（2【答案】（1（2）直线PQ 的方程：x+y-6=0，【解析】试题分析：(1)设圆心C 的坐标为(x,y),根据题意可以得到关于x ，y 的方程组，消去参数以后即可得到x ，y 所满足的关系式，即圆心C 的轨迹M 的方程；(2)设点P 根据题意可以把l ’用含x 0的代数式表示出，由经过点A(0,6)可以求得点P 的坐标与l ’的方程，再联立(1)中M 的轨迹方程，即可求出Q 的坐标，从而得到|PQ|d 的长．（1）设动圆圆心C 的坐标为(x,y)，动圆半径为R ，则|y+1|=R 2由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，所以有y+1>0，从而C 的轨迹M 的方程． 5分（2）如图示，设点P可得直线PQ 所以直线PQA （0,6），所以有P P 坐标为（4,2），直线PQ 的方程为x+y-6=0．——9分把直线PQ 的方程与轨迹M x=-12或4分考点：1、轨迹方程的求法；2、直线与抛物线综合；．20x为BA,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O直线P ．（1）求椭圆C（2OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N【答案】（1）椭圆抛物线C 1C 2（2【解析】试题分析：(1)由题意可得A （a ，0），B （0，而抛物线C 1，C 2分别是以A 、B 为焦点，∴可求得C 2C 1C 1与C 2的交点在直线(2)直线OP设M、N ，将直线方程与椭圆方程联立，利用解析几何中处理直线与圆锥曲线中常用的“设而不求”思想，可以得到结合韦达定理，（1）由题意可得A （a ，0），B （0，故抛物线C 1C 2的方程分分 ∴椭圆，抛物线C 1物线C 2：分； （2）由（1）知，直线OP设M 、N分 C分∴分分考点：1、圆锥曲线解析式的求解；2、直线与椭圆相交综合题．21(1)(2)设,当若对任意存在使【答案】（1）f(x)在(0,1)，1（2）【解析】试题分析：(1)根据题意可以求得，当，即f’(x)的正负性判断f(x)的单调性；在bb的取值范围，通过参变分离，可得存在2bb的范围，∴只需2b（1分f(x)的单调性如下：f(x)在(0,1)，17分；（2）由（1f(x)在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数．分分2b 11分∴只需2b 12分(1,2)上单调递减，∴只需2b分考点：1、利用导数讨论函数的单调性；2、利用导数求函数的最值解决恒成立问题与存在性问题．。
湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文试题
湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文试题 本试卷满分150分 答题时间 120分钟★祝考试顺利★ 注意事项:1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案填在答题卡上的对应题号后，答在其他位置无效。
3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的区域内，答在其他位置一律无效，答在对应区域外、填错答题区域均无效。
一.选择题：共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y x 42=的焦点坐标是( ) A. )1,0(- B. )1,0( C. )0,1( D. )0,1(-2．若x x x y cos 33++=错误！未找到引用源。
，则'y 错误！未找到引用源。
等于 （ ）A. 错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
3．已知：10b -<<，0<a ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．2ab ab a >> B ．a ab ab >>2C ．2ab a ab >> D ．a ab ab >>24．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ）A.4-B. 2-C. 4D.25．若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则=')3(f （ ） A.2- B.2 C.12- D.126．以抛物线x y 82=上的任意一点为圆心作圆与直线02=+x 相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（ ）A ．)2,0(B ．（2，0）C ．（4，0）D ． )4,0(7．设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图象如下右图所示,则导函数)(x f y '=可能为( )8．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为( )A2+B1+1- D2-9．椭圆22221x y ab +=(0)a b >>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B.23 C.59D.10．设三次函数()f x 的导函数为)(x f '，函数)(x f x y '⋅=的图象的一部分如下图所示，则( )A ．()f x极大值为f，极小值为(f B ．()f x极大值为(f，极小值为fC ．()f x 极大值为(3)f -，极小值为(3)fD ．()f x 极大值为(3)f ，极小值为(3)f -二．填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分11．双曲线24x +k y 2=1的离心率3e =，则k 的值为12．点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为13．若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则 ab 的最大值为14．已知关于x 的不等式0<-b ax 的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ．15. 已知,a b R +∈，且a b ab +=，则4a b +的最小值是_______16．过抛物线218x y=的焦点作直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则线段AB 长为 ．17. 若函数x x x f ln 2)(2-= 在其定义域的一个子区间()1,1+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围_______三．解答题：本大题共5个小题，共65分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省武汉市部分重点中学高二数学下学期期中试卷 理(含解析)
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上相应地方用2B铅笔涂黑）1．（5分）“x＞1”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）下列命题中为假命题是（）A．=﹣1 B．＞0C．∀x∈R x2+2x+3＞0 D．∃x0∈R．cosx0=﹣3．（5分）过原点的直线与圆x2+y2﹣6x+5=0相交于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（）A．x2+y2+3x=0 B．x2﹣y2﹣3x=0 C．x2﹣y2+3x=0 D．x2+y2﹣3x=0 4．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F 分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）5．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y=3x﹣2 B．y=x+1 C．y=2x﹣1 D．y=﹣2x+37．（5分）已知圆M经过双曲线C：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线C 上，则圆心M到双曲线中心距离为（）A．或B．或C．D．8．（5分）设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P （1，0）直线l与抛物线交于A，B两点，且向量则AF+BF=（）A．B．C．8 D．9．（5分）PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以如图所示建立空间直角坐标系，则E点坐标为（）A．（1，1，2）B．（2，2，1）C．（1，1，1）D．10．（5分）函数f（x）的图象如图，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）11．（5分）函数g（x）=x3+（+2）x2﹣2x在（2，3）上总存在极值，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣6）B．（﹣，﹣9）C．（﹣，9）D．（﹣，﹣6）12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，] C．（，+∞）D．14．（5分）设函数f（x）=+tanθ，则f′（1）取值范围．15．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1））．下面结论：①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为．（写出所有正确结论的序号）16．（5分）已知椭圆x2+=1（y≥0）和抛物线y2=﹣2x，斜率为的直线与椭圆相切且与抛物线相交于A、B两点，则|AB|=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：，q：x2﹣ax≤x﹣a，若¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知空间三点A（0，2，3），B （﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积（2）求平面ABC一个法向量（3）若向量分别与垂直，且求的坐标．19．（12分）已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为（1）求椭圆及双曲线方程（2）设椭圆左右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连BP交椭圆于M，若，求三角形ABM的面积．20．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别为CC1，BC的中点，点P为直线A1B1上一点，且满足，（1）λ=时，求直线PN与平面ABC所成角θ的正弦值（2）若平面PMN与平面ABC所成锐二面角为450，求λ的值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．（12分）已知f（x）=在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe x f′（x）（1）求k的值及F（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=﹣x2+2ax（a为正实数），若对于任意x2∈，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上相应地方用2B铅笔涂黑）1．（5分）“x＞1”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当x＞1时，成立，当x=﹣1时，满足成立，但x＞1不成立．故“x＞1”是“”成立的充分不必要条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）下列命题中为假命题是（）A．=﹣1 B．＞0C．∀x∈R x2+2x+3＞0 D．∃x0∈R．cosx0=﹣考点：全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：分别根据对数函数，指数函数，三角函数，二次函数的图象和性质，即可判断．解答：解：对于A，当x=2时，=﹣1，故A为真命题，对于B，根据指数函数的图象和性质，得到∀x∈R，＞0恒成立，故B为真命题，对于C，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴∀x∈R x2+2x+3＞0，故C为真命题，对于D，∵﹣1≤cosx≤1，故不存在x0∈R．cosx0=﹣，故D为假命题．故选：D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假，属于基础题．3．（5分）过原点的直线与圆x2+y2﹣6x+5=0相交于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（）A．x2+y2+3x=0 B．x2﹣y2﹣3x=0 C．x2﹣y2+3x=0 D．x2+y2﹣3x=0考点：轨迹方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k CM k AB=﹣1，斜率不存在时加以验证．解答：解：设圆x2+y2﹣6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k CM k AB=﹣1，∴（x≠3，x≠0），化简得x2+y2﹣3x=0（x≠3，x≠0），②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，解方程组得x=，y=，∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣3x=0（）．故选：D．点评：本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．4．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F 分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）考点：空间向量的概念．专题：空间向量及应用．分析：点E，F分别为线段BC，AD的中点，可得=，，=．代入计算即可得出．解答：解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣====（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量坐标运算，属于基础题．5．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点P到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小值是2．解答：解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C点评：本题给出点F1、F2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．y=3x﹣2 B．y=x+1 C．y=2x﹣1 D．y=﹣2x+3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点的坐标，由直线的点斜式方程，即可得到切线方程．解答：解：函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx的导数为f′（x）=e x+2x﹣1+cosx，函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0﹣1+1=1，切点为（0，1），即有函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=x﹣0，即为y=x+1．故选B．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数，正确求导是解题的关键．7．（5分）已知圆M经过双曲线C：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线C 上，则圆心M到双曲线中心距离为（）A．或B．或C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据，⊙M经过双曲线C：=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M 的纵坐标，即可求出圆心M到双曲线的中心的距离．解答：解：∵⊙M经过双曲线C：=1的一个顶点和一个焦点，∴圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，∴圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标为y M=±=±，∴点M到原点的距离|MO|==．故选：D．点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P （1，0）直线l与抛物线交于A，B两点，且向量则AF+BF=（）A．B．C．8 D．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵P（1，0）∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1）∵向量，∴（1﹣x2，﹣y2）=2（x1﹣1，y1）∴x2+2x1=3，﹣y2=2y1，将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=12x，可得y12=12x1，y22=12x2，又∵﹣y2=2y1∴x2=4x1又∵x2+2x1=3，解得x1=，x2=2，∵|AF|+|BF|=（x1+3）+（x2+3）=+2+6=．故选：D．点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．9．（5分）PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以如图所示建立空间直角坐标系，则E点坐标为（）A．（1，1，2）B．（2，2，1）C．（1，1，1）D．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．解答：解：设P（0，0，t），（t＞0），D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，），∴=（0，0，t），=．∴=，=t，=．∵cos＜，＞=，∴=，解得t=2．∴E（1，1，1）．故选：C．点评：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）函数f（x）的图象如图，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）考点：导数的运算；函数的图象．专题：导数的概念及应用．分析：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出答案．解答：解：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，而f（3）﹣f （2）可看作过点（2，f（2））与点（3，f（3））的割线的斜率，由导数的几何意义可知0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）．故选B．点评：本题考查导数的几何意义，正确理解导数的几何意义是解决问题的关键．11．（5分）函数g（x）=x3+（+2）x2﹣2x在（2，3）上总存在极值，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣6）B．（﹣，﹣9）C．（﹣，9）D．（﹣，﹣6）考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知，于是可求m的范围．解答：解：g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（2，3）上总不是单调函数，∴，∴故选B点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查求导公式的掌握情况，含参数的数学问题的处理，构造函数求解，属于难题．12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，] C．（，+∞）D．．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用；三角函数的求值．分析：先根据导数的运算法则求导，再代入值，根据三角函数的和差公式以及正弦函数的性质即可求出．解答：解：函数f（x）=+tanθ，∴f′（x）=x2sinθ+xcosθ，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴﹣2≤f′（1）≤2，故f′（1）取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了导数的运算和三角形函数的和差公式和性质，属于基础题．15．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1））．下面结论：①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为①②④．（写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，直接判断①A1D⊥C1P的正误；利用正方体的特征，判断②若BD1⊥平面PAC，则λ=的正误；通过λ=，判断△PAC是否为钝角三角形，判断λ∈（0，）的正误；通过建立空间直角坐标系，判断④λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形，判断④的正误．解答：解：如图①中，A1D⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1 ∴A1D⊥C1P 故①正确；对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，设正方体棱长为a，PA=PC=a，AC=a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，），③不正确；对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），∴=（﹣1，﹣1，1），=（﹣λ，﹣λ，λ），==（λ，λ﹣1，﹣λ），==（λ﹣1，λ，﹣λ），显然∠APC不是平角，所以∠APC为锐角等价于cos∠APC=cos ＜，＞=＞0，则等价于＞0即λ（λ﹣1）+（λ﹣1）λ+（﹣λ）（﹣λ）=λ（3λ﹣2）＞0，故＜λ＜1，④正确；故答案为：①②④．点评：本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16．（5分）已知椭圆x2+=1（y≥0）和抛物线y2=﹣2x，斜率为的直线与椭圆相切且与抛物线相交于A、B两点，则|AB|=3．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设斜率为的直线与椭圆相切方程为：y=x+t（t＞0）．与椭圆方程联立化为6x2+2x+t2﹣4=0，（y≥0）．利用△=0，t＞0，解得t=．可得直线AB的方程为：y=．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2+3x+3=0．利用|AB|=即可得出．解答：解：设斜率为的直线与椭圆相切方程为：y=x+t（t＞0）．联立，化为6x2+2x+t2﹣4=0，（y≥0）．△=8t2﹣24（t2﹣4）=0，t＞0，解得t=．∴直线AB的方程为：y=．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2+3x+3=0．∴x1+x2=﹣3，x1x2=3．∴|AB|===3．故答案为：3．点评：本题考查了直线与椭圆相切性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：，q：x2﹣ax≤x﹣a，若¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由条件推出 B⊊A，进而得到a=1，或，或，由此求得实数a的取值范围解答：解：由p：解得1≤x＜3，记A=；当a＜1时，B=，∴a=1，或，或，解得1≤a＜3，故a的取值范围是，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意可得，解出可得k，从而得F（x），在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0即可；（2）对于任意x2∈，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），等价于g（x）max＜F （x）max，由（1）易求F（x）max，分0＜a≤1，a＞1两种情况讨论可求得g（x）max，解不等式g（x）max＜F（x）max可求a的范围；解答：解：（1）由已知可得，∴，∴k=1，∴F（x）=xe x f'（x）=，∴F'（x）=﹣lnx﹣2，由，由，∴F（x）的增区间为，减区间为；（2）∵对于任意x2∈，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），等价于g（x）max＜F （x）max，由（1）知，当时，F（x）取得最大值．对于g（x）=﹣x2+2ax，其对称轴为x=a当0＜a≤1时，，∴，从而0＜a≤1．当a＞1时，g（x）max=g（1）=2a﹣1，∴，从而．综上可知：．点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性最值，考查恒成立，考查转化思想、分类讨论思想，恒成立问题往往转化为求函数的最值解决．。
【数学】湖北省部分高中联考协作体2013-2014学年高二下学期期中考试(理)
高二理科数学答案 一、选择题：1—5：D B D C C 6—10：B C A C D 二、填空题11、必要不充分条件 12、827 13、x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 14、31≤<e 15、②③ 三、解答题：16、解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， Δ＝4a 2－4(2－a )≥0， 即a ≥1或a ≤－2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.17、解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＞0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.18、解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 19、解：(1)如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)． ∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1,0,1)． ∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0. ∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →.∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .(2)由(1)知平面BEF 的一个法向量n 1＝PC →＝(2,22，－2)，平面BAP 的一个法向量n 2＝AD →＝(0,22，0)，∴n 1·n 2＝8.设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝22，∴θ＝45°.∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.20、解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点， 因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx .又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，所以由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |，得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)． 21、解：(1)以C 为坐标原点，CB 、CD 、CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意得：P (0,0,2)，A (23，4,0)，B (23，0,0)，C (0,0,0)，D (0,1,0)，∴PA →＝(23，4，－2)， PD →＝(0,1，－2)， PB →＝(23，0，－2)． 又PM →＝λPB →，若CM ∥平面PAD ，则CM →与PA →、PD →共面，即存在实数对m 、l ，使CM →＝mPA →＋lPD →， ∴(23m,4m ＋l ，－2m －2l )＝(23λ，0，－2λ＋2)，即⎩⎨⎧23m ＝23λ，4m ＋l ＝0，－2m －2l ＝－2λ＋2，解得λ＝14.(2)设平面PAD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA →＝0，n ·PD →＝0，可得⎩⎨⎧23x ＋4y －2z ＝0，y －2z ＝0，从而⎩⎨⎧x ＝－3z ，y ＝2z .令z ＝1，则有n ＝(－3，2,1)． ∵CM →＝(23λ，0，－2λ＋2)，n ·CM →＝－8λ＋2，|n |＝22，|CM →|＝24λ2－2λ＋1，∴cos 〈n ，CM →〉＝n·CM→|n |·|CM →|＝－4λ＋122·4λ2－2λ＋1. 设向量n 、CM →分别所在直线所成锐角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝|4λ－1|22·4λ2－2λ＋1. 又|4λ－1|22·4λ2－2λ＋1＝122·λ－24λ2－2λ＋1＝24·4－34⎝⎛⎭⎪⎫λ－142＋34.∵λ∈[0,1]，∴当λ＝1时，sin θ最大，从而θ最大，此时sin θ＝64.。
数学理卷·2014届湖北省部分重点中学高三11月联考(2013.11)word版
全品高考网 湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学（理）试题命题学校：武汉市第六中学 命题老师：欧阳彪 审题老师：张荣花考试时间：2013年11月7日上午9:00-11:30 试卷满分：150第一部分 选择题一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑。
1.已知两个集合{})2ln(|2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x e x x B ，则=B A （ ）. A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡221-， B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21-1-， C. ()e ，1- D. ()e ,22．若i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=54cos 53sin θθ是纯虚数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ=（ ） A. 71-B. 7-C. 37- D. 1- 3.已知命题p :所有素数都是偶数，则p ⌝是 （ ） A.所有的素数都不是偶数 B.有些素数是偶数 C.存在一个素数不是偶数 D. 存在一个素数是偶数4. 设R a ∈，函数x x ae e x f --=)(的导函数为)(x f '，且)(x f '是奇函数，则=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-5.三个实数成等差数列，首项是9.若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是 （ ）A. 1B. 4C. 36D. 496. 已知函数)(x f y =的定义域为{}5,83|≠≤≤-x x x 且，值域为{}0,21|≠≤≤-y y y 且.下列关于函数)(x f y =的说法：①当3-=x 时，1-=y ；全品高考网②将)(x f y =的图像补上点()0,5，得到的图像必定是一条连续的曲线；③)(x f y =是[)5,3-上的单调函数；④)(x f y =的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 （ ）A. 2-=qB. 1=qC. 12=-=q q 或D. 12-=-=q q 或 8. 已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的偶函数，当0>x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2,22120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 109. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则C B A sin :sin :sin 为 （ ）A ．4:3:2B ．5:4:3C ．6:5:4D ．7:6:5 10. 在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足=P 041AB ，λ=，且对于任意实数λ，恒有≥⋅P P 00⋅， 则 （ ）A.︒=∠90ABCB. ︒=∠90A C BC.BC AC =D. AC AB =第二部分 非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
湖北省鄂州二中2013-2014学年高二下学期6月月考数学(
2014年6月高二月考数学试题（ 理 科 ）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.复平面内,复数20132iz i +=,则复数z 的共轭复数z 对应的点的象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.已知a,b ∈R,且ab<0,则 ( )A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b| 3.设x ＞0,y ＞0，2M=x yx y+++，22N=x y x y +++，则M 、N 的大小关系是（ ）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M≥ND ．M≤N4.由曲线xy= 1,直线y =x ，y = 3所围成的平面图形的面积为（ ）A ．932B ． -ln3C ．4+ln3D ．4-ln35.设a b 、是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的个数是（ ）① ()2232611a a a +>++ ②- ③2211a aaa+? A ．0 B .1 C .2 D .3），4，，7.若a>2,b>3,求a+b+错误！未找到引用源。
的最小值是( )A. 3B.8C. 9D.5 8.在极坐标系中，曲线关于（ ）直线．直线）A ．1 B. 2 C. 4 D. 510.已知e 为自然对数的底数，设函数f （x ）=()()11kxe x --，则下列说法正确的是（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.)11. 函数f （x ）=2x 2﹣lnx 的单调递减区间是__________.12.已知a ，b ，c∈R +，且a+b+c=1，则的最大值为 ．13.已知1220061x x x ⋅=，且x 1，x 2，…，x 2006都是正数，则122006(1)(1)(1)x x x +++的最小值是 ．14.设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围是__________. 15. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，．若点P n （x n ，y n ）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n ∈N *），则点P 2013到点P 2014的距离|P 2013P2014|等于．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16. （本小题满分12分）用放缩法证明不等式：17. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=|x ﹣3|﹣2，g （x ）=﹣|x+1|+4． （1）若函数f （x ）得值不大于1，求x 得取值范围；（2）若不等式f （x ）﹣g （x ）≥m+1的解集为R ，求m 的取值范围．*1)1)n N <++<∈18.已知a,b,c 都是正数，求证：（1）222b c a c a b a b cab c abc+++≥； （2）2a ab +≥19. （本小题满分12分）用数学归纳法证明：()2222222*12121122()(),n n n n a a a b b b a b a b a b n N ++++++≥+++∈20. （本小题满分13分）已知a R ∈，函数()ln 1a f x x x=+-，其中0,a >（1）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（2）求证：1111(ln1ln 2ln 3ln )ln(!)ln23!ne n n n n nn ++++≥-++++=-= 1(ln1ln 2ln 3ln )ln(!)ln 23!ne n n n n nn ++++≥-++++=-=*1111ln ()23!n e n N nn ++++≥∈21. （本小题满分14分）已知大于1的正数x ，y ，z 满足．（1）求证：．（2）求的最小值．2014年6月高二月考数学试题参考答案（ 理 科 ）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.复平面内,复数20132iz i+=,则复数z 的共轭复数z 对应的点的象限是 （A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知a,b ∈R,且ab<0,则 ( B )A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|3.设x ＞0,y ＞0，2M=x yx y+++，22N=x y x y +++，则M 、N 的大小关系是（ B ）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M≥ND ．M≤N4.由曲线xy= 1,直线y =x,y = 3所围成的平面图形的面积为（ D ）A ．932B ． -ln3C ．4+ln3D ．4-ln35.设a b 、是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的个数是（ C ）① ()2232611a a a +>++ ②- ③2211a aaa+? A ．0 B .1 C .2 D .3），4，，7.若a>2,b>3,求a+b+错误！未找到引用源。
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湖北省部分重点中学2013-2014学年度下学期高二期中考试数学试卷（理科）本试卷满分150分 答题时间 120分钟一.选择题：共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y x 42=的焦点坐标是( ) A.)1,0(- B. )1,0( C. )0,1( D. )0,1(- 2．下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．3.把复数z 的共轭复数记为z ,已知i z i 34)21(+=+,则z 等于( ) A. i 21+ B. i 21- C.i -2 D.i +24．用数学归纳法证明)12(312)()2)(1-⋅⋅=+++n n n n n n（（*N n ∈）时，从“kn =到1+=k n ”左边需增乘的代数式为（ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k kD ．132++k k5．若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则=⎰30)(dx x f ( )A.16B.18-C.24-D.546．设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a e <-B 、1a >-C 、1a <-D 、1a e >-7. 已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为( )A ．225B ．1225+C ．2225-D ．1225-8．下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．sin 1x x >-+B ．20x x -> C ．ln(1)x x >+ D ．xe ex >9．椭圆22221x y ab +=(0)a b >>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A.2B.23C.59D.10．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足x x f x f >')()(，则下列不等式成立的是（ ）A.3(2)2(3)f f <B.3(4)4(3)f f <C.2(3)3(4)f f <D.(2)2(1)f f < 二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．双曲线24x +k y 2=1的离心率3e =，则k 的值为12．观察下列等式 =11++=2349++++=3456725++++++=4567891049……照此规律，第n 个等式为 13．由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________;14．过抛物线218x y=的焦点作直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则线段AB 长为 ．15．已知函数3211()22132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知命题p ：64≤-x ，命题q ：22210x x m -+-≤（0m >）．若“p ⌝”是“q ⌝”的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分12分）函数1()ln ()f x x ax a R x =++∈（1）0a =时，求()f x 最小值；（2）若()f x 在[)2,+∞是单调减函数，求a 取值范围．18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ABCD ⊥底面，其中226BC AB PA ===，M N ,为侧棱PC 上的两个三等分点，如下图所示. （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面；（Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值.19．（本小题满分12分）已知圆1C 的方程为22(2)1x y +-=，定直线l 的方程为1y =-．动圆C 与圆1C 外切，且与直线l 相切．（1）求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；（2）直线l '与轨迹M 相切于第一象限的点P , 过点P 作直线l '的垂线恰好经过点(0,6)A ，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，求直线PQ 的方程及PQ 弦的长。
20．（本小题满分13分）如图，椭圆222:12x y C a +=)0(>a 的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C 相交于直线y =上一点P.（1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N，已知点()Q ，求QM QN ∙的最小值。
21．（本小题满分14分）已知函数)(ln 1)1()(2R a x x x x a x f ∈--++=.(1) 当210<<a 时，讨论)(x f 的单调性；（2）设42)(2+-=bx x x g ,当时，31=a 若对任意),2,0(1∈x 存在],2,1[2∈x 使,0)()(21≤+x g x f 求实数b 的取值范围。
2013-2014学年度上学期高二期中考试（理科）(答案)一. BADBB CDCDA二. 11. 32-=k 12. 2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-13. 2 14. 6516 15. （163,56--）三. 解答题16.解:210:102:-<>≤≤-⌝x x p x p 或 ……………3分m x m x q mx m q -<+>+≤≤-⌝11:11:或……………6分 依题意:}{⊆-<+>m x m x x 11或 }{210-<>x x x 或 ……………8分921101≥⇒⎩⎨⎧-≤-≥+∴m m m ……………12分17. （1）0a =时1()=ln f x x x +22111()x f x x x x -'=-=01x <<时()01f x x '<>，时()0f x '> 211a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭()()0,1f x ∴在单减，在()1+∞，单增1x ∴=时()f x 有最小值1 ……………………………………………6分（2）222111()=ax x f x a x x x +-'-+=()f x 在[)2,+∞为减函数，则0122≤-+x x ax2x ≥恒成立，x x a 1)1(2-≤最小值 ……………………………………9分令2211111()24g x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2x ≥则1110()024g x x <≤-≤<41-≤∴a ……………………………12分18．（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM ， ABCD 底面为矩形，O AC ∴为中点， M N PC 、为侧棱的三等分点，CM MN ∴=，//OM AN ∴ ， ,OM MBD AN MBD ⊂⊄平面平面，//AN MBD ∴平面.………………………………4分（Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，(0,6,0)D ， (0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ,(1,2,2),(0,6,3)AN PD ==-,cos ,3AN PD AN PD AN PD⋅∴<>===⨯ ,∴异面直线AN 与PD 所成角的余弦值为 .…………………………8分（Ⅲ）侧棱PA ABCD ⊥底面,(0,0,3)BCD AP ∴=平面的一个法向量为,设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ,(3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=-，并且,BD BM ⊥⊥m m , 36040x y x y z -+=⎧∴⎨-++=⎩，令1y =得2x =，2z =-,∴MBD 平面的一个法向量为(2,1,2)=-m .2cos ,3AP AP AP ⋅<>==-m m m, ………12分由图可知二面角M BD C --的大小是锐角,∴二面角M BD C --大小的余弦值为23 . ……………………………12分19. 解（1）设动圆圆心C 的坐标为(,)x y ，动圆半径为R ，则 1||1CC R ==+，且|1|y R += ———2分可得|1|1y =++．由于圆C1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，所以有10y +>，从而得2y =+，整理得28x y =，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程． ———5分（2）如图示，设点P 的坐标为200(,)8x x ，则切线的斜率为04x ，可得直线PQ 的斜率为04x -，所以直线PQ 的方程为20004()8x y x x x -=--．由于该直线经过点A （0,6），所以有20648x -=，得2016x =．因为点P 在第一象限，所以04x =，点P 坐标为（4,2），直线PQ 的方程为60x y +-=． ———9分把直线PQ 的方程与轨迹M 的方程联立得28480xx +-=，解得12x =-或4∴2161122=-+=x x k PQ ———12分20．解：（Ⅰ）由题意，A （a ，0），B （0，2），故抛物线C1的方程可设为ax y 42=，C2的方程为y x 242=………… 1分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===x y y x axy 224422 得)28,8(,4P a =………… 3分所以椭圆C:121622=+y x ，抛物线C1：,162x y =抛物线C2：y x 242=…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为22-设直线l 方程为b x y +-=22由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+bx y y x 22121622，整理得0)168(28522=-+-b bx x 设M （11,y x ）、N （22,y x ），则5168,52822121-==+b x x b x x………… 7分因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以0)168(2012822>--=∆b b 解得1010<<-b ………… 8分58)(2221)22)(22(2221212121-=++-=+-+-=b b x x b x x b x b x y y因为),2(),,2(2211y x y x +=+=所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=⋅y y x x x x y x y x5141692-+=b b ………… 11分因为1010<<-b ，所以当98-=b 时，QN QM ⋅取得最小值其最小值等于938514)98(516)98(592-=--+-⨯………… 13分 21. 解（1）2222')1)(1()1(11)(x x a ax x a x ax x x a a x f --+=---=---=………3分当时11>-a a ，即210<<a 时，此时)(x f 的单调性如下：当210<<a 时，)(x f 在(0,1)，（+∞-,1a a）上是增函数，在（1，a a-1）上是减函数。