广东省深圳外国语学校2019-2020年初三下3月月考数学试卷

2019-2020学年初三第五次月考(数学)试卷一、选择题(共12小题，共36分)1.3-的倒数的相反数是（ ）A ．13B ．3C ．3-D ．13- 2.新型冠状病毒非常小，其半径约为0.00000016m ，用科学记数法可以表示为( )A ．61.610m ⨯B ．61.610m -⨯C ．71.610m -⨯D ．81.610m -⨯3.桌面放着一个长方体和一个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列图形中，为轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5.一个袋子中装有6个黑球和3个白球.这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为( )A ．19B ．13C ．12D ．236.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用1s 、2s 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是( )A ．B ．C ．D ．7.若()11,A a b ，()22,B a b 是反比例函数y =图像上的两个点，且12a a <，则1b 与2b 的大小关系是（ ） A ．12b b < B ．12b b = C ．12b b > D ．大小不确定8.如果圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，那么它的侧面积等于（ ）A ．280cmB ．260cmC ．240cmD ．230cm9.函数2y x =-，1y x=，2y x =-的共同性质是（ ） A ．它们的图像都经过原点B ．它们的图像都不经过第二象限C ．在0x >的条件下，y 都随x 的增大而增大D ．在0x >的条件下，y 都随x 的增大而减小10.如图，在等边ABC ∆中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．811.花园内有一块边长为a 的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中阴影部分用于种植花草，种植花草面积最大的是( )A ．B ．C ．D ．12.下列结论正确的是（ ）A ．对任意实数a ，01a =B ．11≥C ．两个正无理数之和一定是个正无理数D ．211111x x x x x ++=++--是整式方程 二、填空题(共4小题，共12分).的平方根是 ．14.函数y =x 的取值范围是 ． 15.请你仔细观察下面-组图形，依据其变化规律推断第(5)个图形中所有正方形面积之和为 ( 其中图中出现的三角形均是直角三角形，四边形均是正方形).16.有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF ( 如图①)；再沿过D 的折痕将角A 反折，使得点A 落在EF 上的H 处( 如图②)，折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为 ．三、解答题(共7小题，共52分)17.计算：)021|13tan 602++︒- 18.著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯形.然后拼成图②中的长方形.通过计算这两个图形的面积，证明了6465=.请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽.19.某大型超市元旦假期举行促销活动规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元，按该次购物全额9折优惠:超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠小美两次购物分别用了94 .5元和282.8元.现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品.那么小丽应该付款多少元?20. 设x 是1x ，2x ，…，n x 的平均数，即12nx x x x n +++=L ，即方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++-L ，它反映了这组数的波动性. （1）证明：对任意实数a ，1x a -，2x a -，…，n x a -与1x ，2x ，…，n x 方差相同.（2）证明：()22222121n S x x x x n=+++-L . （3）以下是我校初三(1)班10位同学的身高(单位:厘米) :169 172 163 173 175 168 170 167 170 171计算这组数的方差.21.已知:如图，四边形ABCD 内接于O e ，AC 和BD 相交于E ，4BC CD ==，6AE =，且BE 和DE 的长是正整数，求BD 的长.22.某同学在研究二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论：①抛物线223y ax x =-+（0a ≠），不论a 为何值时，它的顶点都在某条直线上；②抛物线223y ax x =-+（0a ≠），其顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增加1a，得到A 点；若把顶点的横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点.则A 、B 两点一定仍在抛物线223y ax x =-+上. (1)请你帮忙求出抛物线223y ax x =-+的顶点所在直线的解析式，并证明结论②是正确的；(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)你能把结论①或②(选择其中之一)推广到一般情况吗?请用数学语言表述你的成果，并给予严格的证明.23.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC ∆为菱形.点C 的坐标为()4,0，60AOC ∠=︒ ，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交与点M 、N (点M 在点N 的上方).(1)求A 、B 两点的坐标；(2)设OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒(06t ≤≤)，试求S 与t 的函数表达式:(3)在题(2)的条件下，t 为何值时，S 的面积最大?最大面积是多少?试卷答案一、选择题1-5:ACCDB 6-10:ADBDC 11、12：AB二、填空题13.2± 14.2x ≥ 15.5 16. 332-三、解答题17.原式1=++） 4x =-18. 如图，过C 作CF AB ⊥垂足为F ，则52535===∠-CF BF BCF tan ， 而83==∠DE CD E tan ， 即E tan B CF tan ∠>∠.∴E BCF ∠>∠.∴B 、C 、E 三点不共线，事实上，°>∠+∠180DCE B CD ，因而图②中间有一条缝，它实际上是个平行四边形，其面积为1.19. 注意到，. 设小美第二次购物的原价为元，则：()3000.83000.9282.8x -⨯+⨯=，解之，得：316x =.1000.99094.5100⨯=<<3000.9270282.8⨯=<x下面分两种情况讨论：（1） 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，则小丽应付：()31694.53000.83000.9358.4+-⨯+⨯=（元）； （2）小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元，则第一次购物原用去94.50.9105÷=（元）. 所以小丽应付：()3161053000.83000.9366.8+-⨯+⨯=（元）.即小丽应付款358.4元或366.8元.20.（1）证明：设1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S ；1x -a ，a -x 2，…，a -x n 的平均数为'x ，方差为2'S . 则： '1212(-)(-)(-)--n n x a x a x a x x x x a x a n n++•••+++•••+=== ∴'2'2'2'212n 1{[(-)-][(-)-][(-)-]}n S x a x x a x x a x =++•••+222121{[(-)-(-)][(-)-(-)][(-)-(-)]}n x a x a x a x a x a x a n=++•••+ 22212n 1[(-)(-)(-)]x x x x x x n=++•••+ 2S =（2）222212n 1[(-)(-)(-)]S x x x x x x n =++•••+222212121[()2()]n n x x x x x x x nx n=+++-++++L L 2212222121x x nx x x -)x x x (n n n +•+•••++•+•••++= 222222121x x -)x x x (n n ++•••++=2222121()n x x x x n=+++-L （3）由（1），将这10个数都减去170，得：-1 2 -7 3 5 -2 0 -3 0 1 则2.0=-x ，再由（2）得：16102.S =21.解：设CE x =，BE y =，DE z =，则BD y z=+∵BC CD =∴12∠=∠又∵32∠=∠∴ 31∠=∠从而 CDE CAD ∆∆: ∴CDCE AC CD = 即2AC CE CD •=∴2(6)4x x +=解这个方程，取正整数解，得2x =即：2CE =再由相交弦定理∴6212BE DE AE CE •=•=⨯=，即12y z •=∵在BCD ∆中，8BD BC CD <+=，即8y z +<∴当8y z +<时，方程12y z •=的正整数解是 1134y z =⎧⎨=⎩ 2243y z =⎧⎨=⎩∴7BD =22.（1）方法一：当1a =时，2-23y ax x =+的顶点坐标为)(1,2， 当1a =-时，2-23y ax x =+的顶点坐标为)(1,4-. 设抛物线2-23y ax x =+的顶点在直线y kx m =+上.将)(1,2、)(1,4-代入，得： 24k m k m=+⎧⎨=-+⎩ 解得：13k m =-⎧⎨=⎩ 所以3y x =-+即抛物线223y ax x =-+的顶点在直线3+=x -y .方法二：易知223y ax x =-+的顶点是1a x =，13y a =-，消去a 得3x y += 即抛物223y ax x =-+的顶点在直线3y x =-+.证明：抛物线223y ax x =-+(0)a ≠的顶点为113a a -（,），则()0,3A ，32(),B a ，分别把它们代入抛抛物线223y ax x =-+中验证即可. 得A 、B 点一定仍在抛物线上.（2）直线3+=x -y 上有一点（0，3）不是该抛物线的顶点.抛物线322+=x -ax y 的顶点是），（a -a 131，当0≠a 时，横坐标01≠a ，即（0，3）不是抛物线的顶点.（3）①的推广若b 、c 是常数，对任意的实数0a ≠，抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线2b y xc =+上. 当1a =时，则2y x bx c =++的顶点为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 当1a =-时，则2y x bx c =-++的顶点为24b ,24b c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 将它们代入y kx m =+得：22442442c b b k m c b b k m ⎧-=-+⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩ 解得：2b k m c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线为2b yc =+. 事实上，当2b x a =-时 224()2244b b b ac b y c c a a a-=•-+=-+= 即抛物线顶点24-)24b ac b a a （-，在直线2b y xc =+上. ②的推广猜想：抛物线cbx ax y ++=2)a 0≠（，将其顶点的横坐标增加或减少a 1，纵坐标增加a1，所得到的两个点一定仍在抛物线上. 证明：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为24)24b ac b a a -（-，. 将其横坐标增加或减少1a ，纵坐标增加1a，得到 2244()24b ac b A a a -+-+，，224424b ac b B a a +-+（-，）将22b x a-+=代入2y ax bx c =++得 222()22b b y a b c a a -+-+=•+•+ 2244242b b b b c a a-+-+=++ 24-44ac b a +=∴点A 在抛物线2y ax bx c =++上，同理可证点B 也在抛物线上. 23.解：（1）∵四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为4,0（），∴4OA AB BC CO ====过点A 作AD OC ⊥于D .∵°=∠60AOC∴2=OD ，32=AD∴(2,A，(6,B .（2）直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向运动与菱形OABC 的两边相交有三种情况： ①当20≤≤t 时，直线l 与直线OA ，OC 两边相交.∵MN OD ⊥∴ON t =tan 60MN ON =•︒=212S ON MN =•=②当4≤t 2≤时，直线l 与AB 、OC 两边相交1122S ON MN t =•=⨯⨯=③当6≤t 4≤时，直线l 与AB 、BC 两边相交.图①设直线l 与x 轴相交于H 点.∵4MN t =-=）∴211)22S MN OH t =•=•=+（3）由（2）知，当20≤≤t 时，322232=×=最大S ； 当4≤t ≤2时，34=最大S ；∵22S =-+的对称轴为3x =∴函数22S t =-+当6≤t 4≤时，S 随t 的增大而减小.即4=t 时，S 取得最大值：2442-•+= 综上所述，当4t =秒时，34=最大S .图① 图② 图③。