高考数学二轮总复习 专题2 第3讲平面向量检测试题

高考数学二轮总复习专题2 第3讲平面向量检测试题一、选择题1．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2C．3 D．5[答案] A[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.联立方程解得ab＝1，故选A.2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )A. 5B.10C．2 5 D．10[答案] B[解析] 本题考查向量的模及垂直问题．∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.3．(2014·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)[答案] B[解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出a，4．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案] C[解析] ∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，∴(2a ＋b )⊥(2a －b )，∴选C.(理)若两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] 解法1：由条件可知，a ·b ＝0，|b |＝3|a |，则cos θ＝－2a 24a 2＝－12⇒θ＝2π3.解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a ＋b 与a －b 的夹角为2π3.5．(2014·新课标Ⅰ文，6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC → [答案] A [解析] 如图，EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.选A.6．若a 、b 、c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2[答案] B[解析] |a ＋b －c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c ) (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b ·c ＋|c |2＝1－(a ·c ＋b ·c )≤0，∴|a ＋b －c |2≤1，∴|a ＋b －c |max ＝1. 二、填空题7．(文)(2014·湖北文，12)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.[答案] 2 5[解析] |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0⇒△AOB 是直角边为|OA →|＝10的等腰直角三角形，AB 是斜边，所以|AB →|＝2 5.解向量试题有代数和几何两种思路，若能利用向量的几何意义，则可以避免复杂的代数运算．(理)(2014·江西理，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.[答案]223[解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算．依题意e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos α＝13，∴|a |2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22＝9，∴|a |＝3，|b |2＝9e 21－6e 1·e 2＋e 22＝8，a ·b ＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝8，∴|b |＝22，cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.8．(2013·重庆文，14)若OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________.[答案] 4[解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算．∵OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，∴AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)．由题意知OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝0即(－3,1)·(1，k －1)＝0. ∴－3＋k －1＝0，∴k ＝4.9．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，其单位向量为(31010，1010)，(2)∵b －3a ＝(－2,1)，|a |＝1，|b －3a |＝5，a ·(b －3a )＝－2，∴cos 〈a ，b －3a 〉＝a · b －3a |a |·|b －3a |＝－255. 10．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．[答案] (－1,0)[解析] 根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD →＝tOC →. ∵D 在圆外，∴t <－1，又D 、A 、B 共线，∴存在λ、μ，使得OD →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，又由已知，OC →＝mOA →＋nOB →，∴tmOA →＋tnOB →＝λOA →＋μOB →， ∴m ＋n ＝1t，故m ＋n ∈(－1,0).一、选择题11．设向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于( )A.12B ．1C.32 D ．2[答案] B[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋3＋|b |2＝8，∴|b |＝1.12．(文)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为( )A.12B.13C.14D.16[答案] A[解析] 如图，设OD →＝2OC →，作▱OAED ，则OE →＝3OB →，∴|AB →|＝|DF →|＝2|BC →|，∴|BC →||AB →|＝12.(理)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是F (2,0)，过点Q 作抛物线的准线的垂线，垂足是A ，则|QA |＝|QF |，抛物线的准线与x 轴的交点为G ，因为FP →＝4FQ →，∴|PQ →||PF →|＝34，由于三角形QAP 与三角形FGP 相似，所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34，所以|QA |＝3，所以|QF |＝3.13．(文)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，AB ＝4，AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．3 3[解析] 在AC 上取E 点，在AB 上取F 点，使AE →＝14AC →，AF →＝λAB →，∵AD →＝14AC →＋λAB →＝AE →＋AF →，∴DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴AF BF ＝CD BD ＝CEAE＝3，∵AF ＋BF ＝AB ＝4，∴BF ＝1，AF ＝3，在△ADF 中，AF ＝3，DF ＝3，∠DFA ＝120°，∴AD ＝3 3.(理)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][答案] D[解析] 考查了向量的坐标运算，圆的有关知识． 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，而|OA →＋OB →＋OD →|＝ x －1 2＋ y ＋3 2表示点D (x ，y )到点(1，－3)的距离，(x －3)2＋y 2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－3)与点(3,0)的距离为7，∴|CA →＋OB →＋OD →|的取值范围为[7－1，7＋1]．14．(2014·浙江理，8)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥yy ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥yx ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥m in{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2[答案] D[解析] 由新定义知，max{x ，y }是x 与y 中的较大值，min{x ，y }是x ，y 中的较小值，据此可知A 、B 是比较|a ＋b |与|a －b |中的较小值与|a |与|b |中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a ，b 〉有关，故A 、B 错；当〈a ，b 〉为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时|a ＋b |2>|a |2＋|b |2. 当〈a ，b 〉为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时|a ＋b |2<|a |2＋|b |2<|a －b |2. 当〈a ，b 〉＝90°时，|a ＋b |＝|a －b |，此时|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2. 故选D.15．(2014·山东理，12)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________.[答案] 16[解析] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos π6＝tan π6∴|AB →||AC →|＝23S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.16．(文)(2013·苏北四市一调)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．[答案] 23a ＋13b[解析] 据题意可得AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，又由AB →＝2DC →，可得AO →＝23AC →＝23(a＋12b )＝23a ＋13b (理)(2013·南昌高三调研)已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4.则OM →·ON →的最大值为________．[答案] 12[解析] 据不等式组得可行域如图所示：由于z ＝OM →·ON →＝3x ＋2y ，结合图形进行平移可得点A (4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即z max ＝3×4＋2×0＝12.三、解答题17．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)． (1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， ∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)．又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，2π3]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4. 又|2a －b |<m 恒成立，∴m >4.18．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c .(1)设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，－cos C )，若z ∥(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；(2)若sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，证明：a 2－c 2＝2b 2. [解析] (1)x ＋y ＝(sin B ＋cos B ，sin C ＋cos C )， ∵z ∥(x ＋y )，∴cos B (sin C ＋cos C )＋cos C (sin B ＋cos B )＝0， 整理得tan C ＋tan B ＋2＝0， ∴tan C ＋tan B ＝－2.(2)证明：∵sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，∴由正、余弦定理得：a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋3×b 2＋c 2－a 22bc×c ＝0，∴a 2－c 2＝2b 2.。