广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第三次统测数学(理)试题(含精品解析)

中山一中2017-2018第二学期高二级第三次统测（理数）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.2. 若二项式的展开式中的系数为，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】二项式的展开式的通项公式为.令，解得，则系数为.解得.故选C.3. 若函数有极值，则实数的取值范围( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求导数，函数有极值，则说明有解，然后适当对参数进行检验．详解：函数的导数为，由得m=-e x，因为e x＞0，所以，即实数的取值范围是．故选：B．点睛：本题考查函数的极值与导数之间的关系，若函数取得极值，则在极值点的导数．注意进行转化．4. 设，则等于( )A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】分析：原积分化为根据定积分的计算法则计算即可详解：故选C．点睛：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5. 为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则设备M设备N生产出的合格产品4843生产出的不合格产品27附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635参考公式：，其中.A. 有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择有关B. 没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择有关C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择有关D. 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择有关【答案】A6. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )123456789101112131415窗口……过道………窗口A. 48，49 B. 62，63 C. 75，76 D. 84，85【答案】D【解析】试题分析：从表中可以看出，靠窗子的号码有.即三座一侧靠窗子的号码是的倍数，故选D.考点：归纳推理.7. 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变．则不同调整方法的种数是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法视频8. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75，121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( ) 人．(参考数据P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544)A. 261B. 341C. 477D. 683【答案】B【解析】分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．9. 已知直线与曲线相切，则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.10. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A. - 40B. - 20C. 20D. 40【答案】D【解析】令可得各项次数和，则，则该展开式中常数项为：本题选择D选项.11. 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则=( )A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5【答案】B【解析】分析：由已知得分别求出相应的概率，由此能求出．详解：由已知得故选：B．点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．12. 设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知当时，在上是“凸函数”，则在上 ( )A. 既有极大值,也有极小值B. 既有极大值,也有最小值C. 有极大值,没有极小值D. 没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】试题分析：由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．考点：新定义,函数的极值．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知曲线，，所围成的图形的面积为，则=_______【答案】.【解析】分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；详解：由曲线，，可得的横坐标为1，由，可得的横坐标为3．∴所求面积为点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题．14. 已知复数，若复数满足，则的最大值为_______【答案】.【解析】分析：化简复数为代数形式后，将设为三角形式，和复数的代数形式，共同代入，化简后可求最大值．详解：设则当时，取得最大值从而得到的最大值为．故答案为．点睛：本小题主要考查复数的代数表示法及其几何意义、复数基本性质和基本运算等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．15. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______（用数字作答）【答案】576.【解析】分析：由题第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，可以分步完成，第一步：第五次测试的有几种可能；第二步：前四次有一件正品有几种可能；第三步：前四次有几种顺序；最后根据乘法公式计算可得共有几种可能．详解：对四件次品编序为1，2，3，4．第五次抽到其中任一件次品有种情况．前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能．前4次测试中的顺序有种可能．∴由分步计数原理即得共有种可能．故答案为：576．点睛：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列．16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成，偶数换成，得到图②所示的由数字和组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，……，则______【答案】64.【解析】分析：由题结合杨辉三角可得第1,3,7…全都为1，由此可归纳推理得第行全都为1，由此可得第126行1的个数.详解：由已知可得第1 行 1 1第2行 1 0 1第3 行 1 1 1 1第4 行 1 0 0 0 1第5 行 1 1 0 0 1 1…全行都为1的是第行，故127行共有128个1，你退知第126 行共有64个1.即答案为64.点睛：本题考查归纳推理，属中档题.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （1）用分析法证明：.（2）已知，且，求证：与中至少有一个小于2．【答案】见解析.【解析】分析： (1)　按照分析法的证明步骤证明即可；（2）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．详解：证明 (1)　要证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，只需证2a－3＋2<2a－3＋2，只需证<，只需证0<2，而0<2显然成立，∴－<－ (a≥3)．(2) 证明：假设与均不小于，即，．所以，．将两式相加得，与已知矛盾．故与中至少有一个小于．点睛：本题考查利用分析法，反证法证明命题，在作证明题时，对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．对于有些题如本题，用反证法证明可以大大降低题目的解决难度．18. 设数列满足，（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；（2）记为数列的前项和，用数学归纳法证明：当时，有成立.【答案】（1）见解析.（2）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由，，可求得，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）按照数学归纳法的证明步骤证明即可.详解：（1），，，猜想 .（2），下证：时都有 .当时，，即成立；假设时，成立，那么当时，，即时，不等式成立；故对于所有的都有成立．点睛：本题考查递推数列与数学归纳法，考查运算、猜想及推理论证的能力，属于中档题.19. 大学生赵某参加社会实践，对机械销售公司1月份至6月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价（元）99.51010.5118销售量（件）111086514（1）根据1至5月份的数据，求出关于的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：．【答案】（1）.(2) 可以认为所得到的回归直线方程是理想的.(3) 该产品的销售单价定为7．5元/件时，获得的利润最大.【解析】分析：（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想；（3）求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．详解：（1）因为，所以，则，于是关于的回归直线方程为；（2）当时，，则，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为，则，因为，当且仅当，即时，取最大值．所以该产品的销售单价定为7．5元/件时，获得的利润最大．点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属中档题．20. 某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]频数6a24b(1)求a，b，c的值；(2)先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；(3)某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校开展安全教育活动的成效．若≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案．【答案】(1) .(2)分布列见解析，.(3) 认定教育活动是有效的；在(2)的条件下，判断该校不用调整安全教育方案．【解析】试题分析：（I）利用频率分布直方图的性质即可得出；（II）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数=10=4，则“合格”的学生数=6．由题意可得ξ=0，5，10，15，20．利用“超几何分布列”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望；（III）利用Dξ计算公式即可得出，可得M=即可得出结论．解析：(1)由频率分布直方图，可知成绩在[20,40)内的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为＝60，由频率分布直方图可知，得分在[80,100]内的频率为0.01×20＝0.2，所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋12＝60，所以a＝18，所以c＝＝0.015.(2)“不合格”与“合格”的人数之比为24∶36＝2∶3，因此抽取的10人中“不合格”的学生有4人，“合格”的学生有6人，所以ξ的所有可能取值为20,15,10,5,0.所以P(ξ＝20)＝＝，P(ξ＝15)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝0)＝＝.所以ξ的分布列为：ξ20151050PE(ξ)＝20×＋15×＋10×＋5×＋0×＝12.(3)由(2)可得D(ξ)＝(20－12)2×＋(15－12)2×＋(10－12)2×＋(5－12)2×＋(0－12)2×＝16，所以M＝＝＝0.75＞0.7，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.21. 已知函数（1）求函数的极小值；（2）若函数有两个零点，求证：.【答案】（1）函数的极小值为.（2）见解析.【解析】分析：（1）首先求得导函数，然后分类讨论即可确定函数的极值；（2）结合所给的不等式利用分析法即可证得题中的结论．详解：（1）.当时，在上为增函数，函数无极小值；当时，令，解得.若，则单调递减；若，则单调递增.故函数的极小值为.（2）证明：由题可知.要证，即证，不妨设，只需证，令，即证，要证，只需证，令，只需证，∵，∴在内为增函数，故，∴成立.所以原命题成立.点睛：本题考查导数与函数极值的关系，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属中档题．22. 选修4-5：不等式选讲设 .（1）求的解集;（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）.（2）.详解：(1)由有解得，（2）当且仅当时取等号.由不等式对任意实数恒成立，可得解得.点睛：本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。