2014届高考数学一轮必备考情分析学案：4.7《正弦定理、余弦定理应用举例》
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件正弦定理和余弦定(精)
§ 4.7正荻定理和余眩定理［高考调研明确考向］知识梳理F s s 離•艺工低川雜vE q€1J H o g w w i3 •三角形常用的面积公式（力“衣爪"边I ：的高）.（3） S=；心+〃+（、）（厂为内切恻半径）・（4） 设p=舟（& + 力+©）,则 $=\»（“ 一""一力 K/L T ）.a 2+c 2~2ciccosB S a 2+b 2~2abcosC H2Rs\i\A⑥2/?sin50 2/?sinC ⑧磊⑨务/r 4-f 2 —2hrcos[31sin” ：sinC Ibc回亡b _sin^ —sinC53无解H3-解冋两解冈一解冋一解函无解名师微博•一条规律在三內形中，大角肘大边，大边对大肉；大角的正弦值也较大•正弦值孑的角也较丈.即在△ ABC中，A >•两类问题在解三用形时，正孩定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或用；②已知两边及一边的对用，求其■■・•••・・•・■ I ■ •••• ■・・•••■・•・・・■・・ .■・■•♦■■・・■ ■—• «7>«MB*vav —••・・・・・♦■■■II ・■ •■ ^・・・・•・・■■•• ■■ I ■ ■ ■ —■■ ■■•*»*他边或角.悄况②中结果可能有一解.两解、无解.应注意区分，余弦定理可解决两类问題：已知两边及夬角求第三边和其他两用；已知三边，求各角.•两种途径根携■所给条件确定三商形的形状，主要有两种途径：① 化边为用；②化角为边，并■常用正孩（余弦）定理实施边、.角转換.基础自测丨.（人教A版教材习题改编）£E/MBC中,4=60% B=75% “=10,则c等于（）A・5^2 B・C・葺& D・5 &解析：EfaA + ff+C=180°,知C=45°,由正弦定理得, a c H IO_ c ._ 10寸6応=忌上卩丑=忑・・・「= 3・2 2答案：C2.在中，七.sin/l cosfi tt.若a _ b，则〃的危为（）A. 30。
高中数学_《正弦定理与余弦定理》教学设计学情分析教材分析课后反思
课标分析(1)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.教材分析1．这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
2．本章内容准备复习两课时，本节课是第一课时。
3．解三角形考试大纲(1)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.学情分析1．授课班级是学校的普通班级的学生，这部分学生学习基础差，对知识的概括、总结、归纳能力欠缺，自主学习的能洗不够。
2．正弦定理与余弦定理部分在高考中属于基础题目，是普通班级学生得分点，学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
3．学生的求知欲比较强，表现欲强．《正弦定理与余弦定理》教学设计方案一、教材分析1．这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
2．本章内容准备复习两课时。
本节课是第一课时3．解三角形考试大纲(1)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、教学目标分析1.知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。
（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
2.能力目标：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
3.情感目标：通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。
高考数学一轮必备 4.7《正弦定理、余弦定理应用举例》考情分析学案
高考数学一轮必备 4.7《正弦定理、余弦定理应用举例》考情分析学案考情分析考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础知识1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．注意事项1.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．2.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．题型一测量距离问题【例1】如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型二 测量高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 【变式2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠B AD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.重难点突破【例4】如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？[解析] 如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)巩固提高1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°解析如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75°.解得BC ＝56(海里)．答案 5 6。
高考数学一轮复习教案(含答案) 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例
第七节 正弦定理、余弦定理应用举例[考纲传真] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语(2)南偏西α：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ( ) (3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.( )(4)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B 成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile D[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC＝5 6.]3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 mD[设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝3x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50 3 m B．25 3 mC．25 2 m D．50 2 mD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知AC sin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m．]1．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)60 [如图所示，过A 作AD ⊥CB且交CB 的延长线于D .在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30°得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，得 92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BC sin 37°， 解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．] 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 103 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．]3．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.32 [在△ABS 中，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ASB ＝BS sin ∠BAS，则 AB ＝82sin 45°sin 30°＝16，故此船的船速是160.5＝32 n mile/h.]4．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.64[∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)．在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km.]【例1】 (2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米． 在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．]【例2】 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．[解]如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°.整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)，∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝103，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin 120°，∴sin∠CAB＝BC·sin 120°AB＝10×3 2103＝1 2.∴∠CAB＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.。
2014届高考数学一轮复习4.6正、余弦定理及其应用举例教学案
BC AC 3 2 AC 1．B 解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 AC＝2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° a＋c 2B 2．B 解析：∵cos ＝ ， 2 2c a＋c 2B ∴2cos －1＝ －1， 2 c a c 2 2 a ＋c －b2 a 2 2 2 ∴ ＝ ，∴c ＝a ＋b . 2ac c 3．C 解析：如图，A，B 为灯塔，船从 O 航行到 O′，
答题指导：
1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而 不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件． 2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条 件．
1．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 acos A＝bsin B，则 sin Acos A＋cos2B＝( )． 1 1 A． － B． C．－1 D．1 2 2 2．在△ABC 中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 acos B＝bcos A，则△ABC 的形状为 __________． 3．(2012 福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝ 3，则 AC＝ __________. π 4． (2012 陕西高考)在△ABC 中， 角 A， B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ， 6
A．α ，a，b B．α ，β ，a C．a，b，γ D．α ，β ，γ 5．(2013 山东实验高三一诊)在△ABC 中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 a＝ 3， b＝ 2，B＝45°，则角 A＝________.
一、利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1－1】(2012 辽宁高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角 A，B， C 成等差数列． (1)求 cos B 的值； (2)边 a，b，c 成等比数列，求 sin Asin C 的值． sin A＋sin B 【例 1－2】△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tan C＝ ，sin(B cos A＋cos B －A)＝cos C．
2014高考数学(理)一轮复习总教案：5.7 正弦定理和余弦定理
5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，AB＝错误!，BC＝1，cos C＝错误!.(1）求sin A的值；(2）求BC•CA的值.【解析】(1）由cos C＝错误!得sin C＝错误!。
所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.（2）由（1)知，cos A＝错误!.所以cos B＝－cos（A＋C）＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－错误!＋错误!＝－错误!.所以BC·CA＝BC·（CB＋BA)＝BC•CB＋BC•BA＝－1＋1×2×cos B＝－1－错误!＝－错误!.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC中,已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为错误!，则∠C＝。
【解析】S＝错误!＝错误!absin C.所以sin C＝错误!＝cos C。
所以tan C＝1，又∠C∈(0,π)，所以∠C＝错误!.题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(错误!＋B)sin(错误!－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB•AC＝12，a＝2错误!，求b,c（其中b＜c）。
【解析】（1)因为sin2A＝（错误!cos B＋错误!sin B）（错误!cos B－错误!sin B)＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!，所以sin A＝±错误!。
又A 为锐角，所以A＝错误!.（2)由AB•AC＝12可得cbcos A＝12.①由（1)知A＝错误!，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝2错误!及①代入得c2＋b2＝52。
③③＋②×2，得（c＋b)2＝100，所以c＋b＝10。
高考数学一轮必备 4.6《正弦定理和余弦定理》考情分析学案
4.6正弦定理和余弦定理考情分析本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档. 基础知识1.正弦定理与余弦定理3.三角形的面积公式 (1)1().2a a S a h h a =⋅表示边上的高(2) 111sin sin sin .222S bc A ac B bc B === (3) 1()()2S a b c r r =++⋅为三角形内切圆的半径4.应用举例利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等. 注意事项1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 题型一 利用正弦定理解三角形【例1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：∵B ＝π－(A ＋C )，∴cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，∴1＝cos(A －C )＋cos B ＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A sin C ＝12.由正弦定理a sin A ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ， ∵a ＝2c ，∴sin A ＝2sin C ， ∴2sin 2C ＝12，即sin 2C ＝14，解得sin C ＝12或sin C ＝－12(舍去)，∴C ＝π6.【变式1】在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 题型二 利用余弦定理解三角形【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A. 135B. 125C. 3D. 134答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c ＋bc －b2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋c －b 23c＝32，即3＋ 4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.【变式2】已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cosA ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.题型三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cosB sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【变式3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B题型四 正、余弦定理的综合应用【例4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1， 由于0<B <3π4，0<C <3π4，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8【变式4】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210. 重难点突破【例5】在△ABC 中， a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解析 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 巩固提高1. 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A. (0，π6]B. [π6，π)C. (0，π3]D. [π3，π)答案：C解析：由正弦定理得，a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.2. 在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( )A. π4或3π4B. 3π4C. π4D. π6答案：C解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，则sin C ＝AB sin A BC ＝6sinπ33＝22，又BC >AB ，所以∠A >∠C ，所以∠C ＝π4，选C.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A. 12 B. 32 C. 1 D. 34答案：A解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.4.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A. 14 B.24 C. －14D. －24答案：C解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin2A ＝－12sin30°＝－14，选C.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A. 725 B. －725C. ±725D. 2425答案：A解析：∵sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ， ∴cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725，选A 项．6.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________.答案：145解析：因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665， 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.。
高考数学 4.7 正弦定理 余弦定理应用举例复习
正弦定理 余弦定理
由正弦定理 求出角 B；由 A＋B＋C＝ 180°，求出角 C；再利用正 弦定理或余 弦定理求 c. 可有两解，一
解或无解
整理课件
2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题 型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计 算面积问题、航海问题、物理问题等．
3．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①)．
解析 如图所示，设塔高为 h m. 由题意及图可知： (200－h)·tan 60°＝ta2n0600°. 解得：h＝4300 (m)．
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4．某人向正东方向走 x km 后，他向右转 150°， 然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰 好 3 km，那么 x 的值为__3_或__2_．3 解析 如图，在△ABC 中，AB＝x，BC＝3， AC＝ 3，∠ABC＝30°， 由余弦定理得( 3)2＝32＋x2－2×3x×cos 30°， 即 x2－3 3x＋6＝0，解得 x1＝ 3，x2＝2 3， 经检验均合题意．
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)． 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
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题型二 测量高度问题 例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前
进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途 测得塔顶的最大仰角为 30°，求塔高．
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5．如图，在△ABC 中，若 A＝120°， AB＝5，BC＝7，则△ABC 的面积 S＝___1_54_3___. 解析 设 AC＝x，则 72＝x2＋52－2×5× xcos 120°，即 x2＋5x－24＝0， ∴x＝3 或 x＝－8(舍去)． ∴S＝12×3×5×sin 120°＝154 3.
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答案 5 6
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[解析] 如图，连接 A1B2 由已知 A2B2＝10 2，
[来源:学科网]
20 A1A2＝30 2×60＝10 2，∴A1A2＝A2B2.
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又∠A1A2B2＝180° －120° ＝60° ， ∴△A1A2B2 是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10 2.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105° －60° ＝45° ，(8 分) 在△A1B2B1 中，由余弦定理得
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解 在△ADC 中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， AD2＋DC2－AC2 由余弦定理得 cos∠ADC＝ 2AD· DC 100＋36－196 1 ＝ ＝－2，∴∠ADC＝120° ，∴∠ADB＝60° . 2×10×6 在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45° ，∠ADB＝60° ， AB AD 由正弦定理得 ＝sin B， sin∠ADB AD· sin∠ADB 10sin 60° ∴AB＝ ＝ sin 45° ＝ sin B 3 10× 2 ＝5 6. 2 2
2 2 B1B2 A1B2· cos 45° 2＝A1B1＋A1B2－2A1B1·
2 ＝202＋(10 2)2－2×20×10 2× 2 ＝200， ∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 20 ×60＝30 2(海里/时)．(12 分) 巩固提高 1．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A， B 两点的距离为( )．
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第7讲
考情分析
正弦定理、余弦定理应用举例
考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 基础知识 1． 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角 叫俯角(如图(1))．
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弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形， 这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时 需设出未知量，从几个三角形中列出 方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 题型一 测量距离问题 【例 1】如图所示，
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知 α＝β.
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答案 B 3．若点 A 在点 C 的北偏东 30° ，点 B 在点 C 的南偏东 60° ，且 AC＝BC，则点 A 在点 B 的( )．
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A．北偏东 1 5° C．北偏 东 10°
为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在这岸定 一基线 CD，现已测出 CD＝a 和 ∠ACD＝60° ，∠B CD＝30° ，∠BDC＝105° ，∠ADC＝60° ，试 求 AB 的长． 解 在△ACD 中 ，已知 CD＝a，∠ACD＝60° ，∠ADC＝60° ，所以 AC＝a.∵∠ BCD＝30° ，∠BDC＝105° ∴∠CBD＝45° asin 105° 3＋1 在△BCD 中，由正弦定理可得 BC＝ sin 45° ＝ 2 a. 在△ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ACB＝30° ，所以利用余弦定理可以 2 求得 A，B 两点之间的距离为 AB＝ AC2＋BC2－2AC· BC· cos 30° ＝ 2 a. 【变式 1】 如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ， 30° ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ，AC＝0.1 km.试探究图中 B、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离．
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180° －∠ABC， 9 于是 sin∠BAD＝sin∠ABC＝10. 9 同理，在△ABD 中，AB＝5，sin∠B AD＝10， AB BD ∠ADB＝45° ，由正弦定理： ＝ ， sin∠BDA sin∠BAD 9 2 9 2 解得 BD＝ 2 .故 BD 的长为 2 . 【变式 3】 如图，在△ABC 中，已知∠B＝45° ，D 是 BC 边上的一点，AD＝10， AC＝14，DC＝6，求 AB 的长．
如图，设 CD＝x m， 则 AE＝x－20 m，
CD tan 60° ＝ BD， CD x 3 ∴BD＝tan 60° ＝ ＝ 3 x (m)． 3 3 在△AEC 中，x－20＝ 3 x， 【变式 2】 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点 C 测得塔 顶 A 的仰角为 θ，求塔高 AB.
解 在△ACD 中，∠DAC＝30° ，∠ADC＝60° －∠DAC＝30° ，所以 CD＝AC＝ 0.1 km.又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ，故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所 以 BD＝BA.
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又∵∠ABC＝15° 在△ABC 中， AB AC ＝ ， sin∠BCA sin∠ABC
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析 由正弦定理得
AB AC ＝sin B，又∵B＝30° sin∠ACB
2 50× 2 AC· sin∠ACB ∴AB＝ ＝ 1 ＝50 2(m)． sin B 2 答案 A 2． 从 A 处望 B 处的仰角为 α， 从 B 处望 A 处的俯角为 β， 则 α， β 的关系为( A．α＞β B．α＝β )．
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝ 题型三
正、余弦定理在平面几何中的综合应用
【例 3】如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30° ， ∠ADB＝45° ，求 BD 的长．
解 在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30° . AB AC 由正弦定理，得 ＝ ， sin∠ACB sin∠ABC sin∠ABC＝ AC· sin∠BCA 9sin 30° 9 ＝ 5 ＝10. AB
(2)方位角 指从正北方向 顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30° ，北偏西 45° ，西偏东 60° 等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 注意事项 1.解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的 关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． ( 3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算 的要求等． 2.解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正
[来源:学.科.网]
重难点突破
【例 4】如图，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向 匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处， 此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A 2 处时，乙船航行到甲船的北 偏西 120° 方向的 B2 处， 此时两船相距 10 2海里． 问： 乙船每小时航行多少海里？
ACsin 60° 3 2＋ 6 所以 AB＝ sin 15° ＝ 20 (km)， 同理， BD＝ 3 2＋ 6 20 (km)． 3 2＋ 6 km. 20
故 B、D 的距离为 题型二
测量高度问题
【例 2】如图，山脚下有一小塔 AB，在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60° ，在山 顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45° ，已知塔高 AB＝20 m，求山高 CD.
[来源:]
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解 在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β， BC CD 由正弦定理得 ＝ ， sin∠BDC sin∠CBD 所以 BC＝ CDsin∠BDC s· sin β ＝ sin∠CBD sinα＋β stan θsin β . sinα＋β
解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60° ，∠BAD＝75° ，所以∠CAD＝∠CDA＝ 1 5° ，从而 CD＝CA＝10(海里)，
在 Rt△ABC 中，得 AB＝5(海里)， 5 于是这艘船的速度是0.5＝10(海里/时)． 答案 C 5．海上有 A，B，C 三个小岛，测得 A，B 两岛相距 10 海里，∠BAC＝60° ，∠ ABC＝75° ，则 B，C 间的距离是________海里． BC AB 解析 由正弦定理，知sin 60° ＝ .解得 BC＝5 6(海里)． sin180° －60° －75°
B．北偏西 15° D．北偏西 10°
解析 如图．
答案 B 4． 一船向正北航行， 看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60° ，另一灯塔在船的南偏西 75° ，则这艘船的速度是每小时( A．5 海里 C．10 海里 )． B．5 3海里 D．10 3海里