广东省北师大东莞石竹附中2017届高三第一次月考数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B2．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{a n}的前7项的和为（）A．63 B．64 C．127 D．128【考点】等比数列的前n项和．【分析】先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．【解答】解：因为a5=a1q4，即q4=16，又q＞0，所以q=2，所以S7==127．故选C．3．设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直与线线垂直的几何特征，可判断A；根据面面垂直及面面平行的几何特征，可判断B；根据线面平行的几何特征，及面面位置关系的定义，可判断C；根据面面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；若γ⊥α且γ⊥β，则α与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与γ垂直），故B错误；若a∥α且a∥β，则与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；若γ∥α且γ∥β，则α∥β，故D正确；故选：D4．将函数y=cos x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=cos（2x﹣）C．y=cos（x﹣）D．y=cos（x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．【解答】解：由y=cosx的图象向右平行移动个单位长度，得到y=cos（x﹣），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=cos（2x﹣）故选：A．5．等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120，则2a9﹣a10的值为（）A．20 B．22 C．24 D．﹣8【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的通项，写出所给的条件a1+3a8+a15=120的变形式，用首项和公差来表示，化简以后得到第八项的值，把要求的式子进行整理，结果也是第八项，得到结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，∴5a8=120，∴a8=24，2a9﹣a10=a1+7d=a8=24 故选C．6．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2【考点】直线的倾斜角．【分析】首先根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．7．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．8．椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21【考点】椭圆的简单性质．【分析】依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值．【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=﹣；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21．故选C．9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标（a，0）a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选D10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．4πB．12πC．24πD．48π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，根据其结构特征求出外接球的半径，得出球的表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中点O，AC中点D，连结OA，OD，BD，OB，则AC==2，PC==2．∴OP=OC=，OA=PC=，BD==，OD==1，∴OB==，∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱锥P﹣ABC外接球的球心，外接球半径r=OA=，∴外接球表面积S=4πr2=12π．故选B．11．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．6 B．8 C．9 D．10【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选B．12．定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α＜，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β=[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．【解答】解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ=sin（α﹣β）=．∵0＜β＜α＜，∴cos（α﹣β）=．又∵cosα=，∴sinα=．sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinα•cos（α﹣β）﹣cosα•sin（α﹣β）=×﹣×=，∴β=．故选D本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若α的终边所在直线经过点P（cos，sin），则sinα=±．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】分α的终边在第二象限、α的终边在第四象限两种情况，分别利用任意角的三角函数的定义求出sinα的值．【解答】解：由题意可得P（﹣，），r=|OP|=1，由于直线OP经过第二、第四象限，当α的终边在第二象限时，点P（﹣，）在α的终边上，x=﹣，y=，sinα==．当α的终边在第四象限时，点P′（，﹣）在α的终边上x=，y=﹣，sinα==﹣．故答案为：±．14．数列{a n}中，的前n项和为．【考点】数列的求和．【分析】由等差数列求和公式求数列a n的通项公式得，代入得到，然后用裂项求和得到．【解答】解：设数列b n的前n项和为S n由题意可得∴∴∴S n=b1+b2+…+b n﹣1+b n===∴．15．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：1516．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设P点坐标，进而根据双曲线的定义可知丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，根据|PF1|=4|PF2|求得e和a，x的关系式，进而根据x的范围确定e的范围，求得e的最大值．【解答】解：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，∴ex+a=4（ex﹣a），化简得e=，∵p在双曲线的右支上，∴x ≥a ，所以e ≤，即e 的最大值是故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC 的值； （2）求△ABC 的面积． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB ，由正弦定理可得sinC 的值． （2）由c ＜b ，可得C 为锐角，由（1）可得cosC ，利用两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，利用三角形面积公式即可得解． 【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b=，c=1，cosB=．∴sinB==，∴由正弦定理可得：sinC===…4分（2）∵c ＜b ，C 为锐角，∴由（1）可得：cosC==，∴sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∴S △ABC =bcsinA==…12分18．已知函数f （x ）=sinxcosx+cos 2x+a ．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f （x ）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a 的值．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数可求得f（x）=sin（2x+）++a，从而可求f （x）的最小正周期及单调递减区间；（2）由﹣≤x≤⇒﹣≤2x+≤⇒﹣≤sin（2x+）≤1，从而可求f（x）在区间[﹣，]上的值域为[a，a+]，继而依题意可求a的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+（1+cos2x）+a=sin（2x+）++a，∴其最小正周期T=π；由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．（2）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴a≤sin（2x+）++a≤+a，即f（x）在区间[﹣，]上的值域为[a，a+]，又f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，∴a+a+=，解得a=0．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，（n=1，2，3…）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记S n=1•a1+3•a2+…+（2n﹣1）a n，求S n．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）由S n=2a n﹣2，可得当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式作差即可求数列{a n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；（2）由（1）求出S n的表达式，进而根据其各项由一个等差数列乘一个等比数列构成，故选用错位相减法，得到答案．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）…..即a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，∵a n≠0∴=2…∵a1=S1，∴a1=2a1﹣2，即a1=2∴a n=2n…（2）S n=1•a1+3•a2+…+（2n﹣1）a n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n①…∴2S n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1②…①﹣②得﹣S n=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）×2n+1…即﹣S n=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）×2n+1…∴S n=（2n﹣3）2n+1+6 …..20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABE，可得BC⊥AE．再利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE；（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，．利用线面垂直的性质可得FG ⊥平面BCE．再利用“等体积变形”即可得出V C﹣GBF=V G﹣BCF计算出即可．【解答】（I）证明：∵AD⊥面ABE，AD∥BC，∴BC⊥面ABE，AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC．…又∵AE⊥EB，且BC∩EB=B，∴AE⊥面BCE．…（II）解：∵在△BCE中，EB=BC=2，BF⊥CE，∴点F是EC的中点，且点G是AC的中点，…∴FG∥AE且．…∵AE⊥面BCE，∴FG⊥面BCE．∴GF是三棱锥G﹣BFC的高…在Rt△BCE中，EB=BC=2，且F是EC的中点．…∴．…21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。