高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修1-2
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人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_15
2 a 1且 2 b 1 a 0,b 0
0 a 1且0 b 1
而 由a b 1 1 a b a b ab
0 ab 1 矛盾！
ab 1
假设不成立，原结论成立，即证.
例2、(2015,湖南,理)已知a>0,b>0，且a b 1 1 .
高二数学 选修 2-2
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
一、问题情境
小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上 全湿了。小华对婷婷说：
小
婷
华
婷
பைடு நூலகம்
学习目标
1、了解反证法的证明步骤 2、体会反证法证明问题的思想 3、并能够运用反证法来证明一些问题。
学习重难点
重点：反证法的证明步骤。 难点：运用反证法证题。
ab 求证：(2)a2 a 2 , b2 b 2不可能同时成立.
解题反思： 证明本题时，你是怎么想到反证法的？
正难则反!
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质” 等) 常用反证法.
练习、已知x>0,y>0，x+y>2，
三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
例题 例1、已知：一个整数的平方能被2整除，
求证：这个整数是偶数。
证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
12345
答案
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c
B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b
√ D.a与b相交
12345
答案
5.用反证法证明：关于 x 的方程 x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， x2＋2ax－2a＝0，当 a≤－32或 a≥－1 时，至少有一个方程有实数根.
第二章 §2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们 摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的 呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结 满了李子，所以李子一定是苦的.” 思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
结论词
反设词
结论词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
12345
答案
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c
B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b
√ D.a与b相交
12345
答案
5.用反证法证明：关于 x 的方程 x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， x2＋2ax－2a＝0，当 a≤－32或 a≥－1 时，至少有一个方程有实数根.
第二章 §2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们 摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的 呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结 满了李子，所以李子一定是苦的.” 思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
结论词
反设词
结论词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_26
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立.
探究点2 反证法的应用
万事开头难，让我们走好第一步！
你能说出下列结论的反面吗?
1. 直线a⊥直线b 直线a不垂直于直线b
2. d是正数
d不是正数,即d≤0
人教A版 高中数学选修1-2 第二章 推理与证明
2.2.2 反证法（第一课时）
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李 树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎 站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小 伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
反证法的一般步骤:
假设
归谬
与假设、已知、定 义、定理、公理或 者事实矛盾等
结论
假
设
命 题
从假设
不 出发
成
引 出 矛 盾
立
求
假 设 不 成 立
证 的 得出 命 结论 题 正 确
作
业
• 课本44页:第1.3直线b
a＜0 直线a不平行直线b
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下 面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个
所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立.
1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应
探究点2 反证法的应用
万事开头难，让我们走好第一步！
你能说出下列结论的反面吗?
1. 直线a⊥直线b 直线a不垂直于直线b
2. d是正数
d不是正数,即d≤0
人教A版 高中数学选修1-2 第二章 推理与证明
2.2.2 反证法（第一课时）
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李 树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎 站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小 伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
反证法的一般步骤:
假设
归谬
与假设、已知、定 义、定理、公理或 者事实矛盾等
结论
假
设
命 题
从假设
不 出发
成
引 出 矛 盾
立
求
假 设 不 成 立
证 的 得出 命 结论 题 正 确
作
业
• 课本44页:第1.3直线b
a＜0 直线a不平行直线b
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下 面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个
所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立.
1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12
5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
3
a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有
实数，则 a 的取值范围应为 a≤－2 或 a≥－1.
答案：A
归纳升华
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨
论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
所以（1－2a）＋b≥ （1－a）b> 14＝12. 同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12. 三式相加得 （1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_27
归纳总结：
1.反证法的一般步骤:
反设
归谬
存真
假
设 命 题 不 成 立
引
假
从假设 出
设
出发
矛 盾
不 成
立
与事实，定理定义、已
知、假设等矛盾
求
得出
证 的
结论 命
题
正
确
即 A<60°，B< 60°，C< 60° 所以 A+B+C<180°
这与三角形内角和等于180°相矛盾.
所以假设错误， 从而A，B，C中至少有一个角不小于60°
反证法
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了 原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
反证法是一种间接证法
例一：已知直线a，b和平面 ，如
果a ,b ,且a∥ b 求证：a∥α
假设a不平行于 那么a与 相交或者在面内
若相交，交点在b上与已知a ∥ b矛盾， 若交点不在b上，a必与b异面 这也与a ∥ b相矛盾。 若是a在平面内则与已知a不在面内矛盾
所以假设错误，a平行于
假设命题的 3 7 2 5 错误 题设
否定正确
正 确
(
3
7)2 (2
5)2
正 确
的 推
10 2 21 20
理
找到错误即 21 25
推 理
错误结论
得出矛盾
假设错误原命题正确
试一试 已知：A，B，C是△ABC的内角。 求证：A，B，C中至少有一个角不小于60°
假设 Δ ABC 的三个内角A，B，C都小于60°，
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A选修1_2
C．①③④
D．②③
探究点2 反证法的应用
万事开头难，让我们走好第一步！
你能说出下列结论的反面吗?
1. a⊥b 2.d是正数 3.a≥0 4.a∥b
a不垂直于b d不是正数,即d≤0 a＜0 a不平行b
常用的互为否定的表述方式：
至少有三个—— 至多有两个 最多有一个—— 至少有两个
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下 面是一些常见的结论的否定形式.
王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在 “道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多 李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.
1.反证法的定义. 2.反证法的一般步骤. （重点） 3.运用反证法的注意事项. （难点）
探究点1 反证法的定义
引例： 证明：在一个三角形中至少有一个角不小 于60°.
例1 已知直线a，b和平面 ,如果 a , b ,
且 a // b ,求证: a // .
证明：因为a∥b
所以经过直线a,b确定一个平
a
面 .
因为 a ,而
，a
b
P
所以 与 是两个不同的平面.
因为 b , 且 b，
所以 . b
m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛 盾.
证明：假设 2 不是无理数，那么它就是有理数. 于是，存在互质的正整数m,n使得 2 m，从而有
n
m 2n,
因此
m2 = 2n2,
所以m为偶数.于是可设m = 2k(k是正整数)，从而有
4k 2 2n2,
即
n2 = 2k2,
所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ！
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_1
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°.
证明： 假设 A BC 的三个内角∠A， ∠ B，
∠ C都小于60°， 则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60°
所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推 理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相 矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.
这种证明方法就是——反证法
反证法
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法.
m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛 盾.
证明：假设 2 不是无理数，那么它就是有理数. 于是，存在互质的正整数m,n使得 2 m，从而有
n
m 2n,
因此
m2 = 2n2,
所以m为偶数.于是可设m = 2k(k是正整数)，从而有
4k 2 2n2,
即
n2 = 2k2,
所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ！
由上述矛盾可知假设错误，从而 2是无理数.
【总结提升】
反证法的一般步骤 分清条件和结论
先假设命题的结论不成立 从假设出发，经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题
宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题. （2）某些定理的逆命题. （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈 述的命题. （4）关于“唯一性”结论的命题. （5）解决整除性问题. （6）一些不等量命题的证明. （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段. （8）涉及各种“无限”结论的命题等.
不小于60°.
证明： 假设 A BC 的三个内角∠A， ∠ B，
∠ C都小于60°， 则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60°
所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推 理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相 矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.
这种证明方法就是——反证法
反证法
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法.
m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛 盾.
证明：假设 2 不是无理数，那么它就是有理数. 于是，存在互质的正整数m,n使得 2 m，从而有
n
m 2n,
因此
m2 = 2n2,
所以m为偶数.于是可设m = 2k(k是正整数)，从而有
4k 2 2n2,
即
n2 = 2k2,
所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ！
由上述矛盾可知假设错误，从而 2是无理数.
【总结提升】
反证法的一般步骤 分清条件和结论
先假设命题的结论不成立 从假设出发，经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题
宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题. （2）某些定理的逆命题. （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈 述的命题. （4）关于“唯一性”结论的命题. （5）解决整除性问题. （6）一些不等量命题的证明. （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段. （8）涉及各种“无限”结论的命题等.