高一数学推理与证明PPT教学课件
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高中数学第一章推理与证明本章整合课件选修
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
由所给出的两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)),可知直线 PQn 的斜率一定存
在.
故直线 PQn 的方程为 y-5=
令 y=0,可得-5=
4 +3
,
+2
4 +3
xn+1= .
+2
( )-5
(
-4
2 -2 -8
·(x-4),
-4
-5
即
= − 4,
+ 2
所以 x=
故
− 4),
12/9/2021
第十六页，共二十九页。
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
下面用数学归纳法证明 2≤xn<3.
(1)当 n=1 时,x1=2,满足 2≤x1<3.
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立,
是等差数列.
(2)Tn =(-12 + 22 )+(- 23 + 24 )+…+(- 22-1 +
(2 +2 )
2
2)=2d(a2 +a4 +…+a2n )=2d· 2
=2d2 n(n+1).
1
1 n
1
1 1
1
1
所以 ∑
1
=1 T k
=
2
∑
2d k=1 (+1)
高中数学 推理与证明课件
面面积，那么你类比得到的
结论是
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 4
.
如何证明
变式训练2： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 则△ABC的外接圆的半径 r a2 b2 ，
2
把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
变式训练3：
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。
例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,
则平行于平面内所有直线；已知直线l∥平面 ，
直线a 平面, 则直线l / /直线a ,的结论显然是错
误的，这是因为
A.大前提错误 √
C.推理形式错误
B.小前提错误 D.非以上错误
变式训练4：
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为S 1 (a b c)r,r为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为
,r为三角形内
切圆半径
请类比出四面体的有关性质？
2 变式训练1： tan 5 • tan10 tan 5 • tan 75 tan10 • tan 75 1
tan10 • tan 20 tan10 • tan 60 tan 20 • tan 60 1
tan15 • tan 35 tan15 • tan 40 tan 35 • tan 40 1 由以上两式可以推出什么结论，并证明
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形，
人教版高中数学课件-推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 ． 在 古 希 臘 ， 畢 達 哥 拉 斯 學 派 把 1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以排 成正三角形(如圖所示)，則三角形數的一般運算式f(n)＝( )
[思路點撥]
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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歸納推理的步驟 在數列中，常用歸納推理猜測通項公式或前n項和公式， 歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認知功能，歸納 推理的一般步驟： (1)通過觀察個別情況發現某些相同性質． (2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題 (猜想)．
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[提示3] 魯班類比草葉的邊緣發明了鋸，平面中的圓與空 間中的球有類似的特徵．
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第二章 推理与证明
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歸納推理
定義
特徵
由某類事物的_部__分__對__象__具有某些特徵， 歸納推理是由
推出該類事物的__全__部__對__象__都具有這些 _部__分__到__整__體___、
[提示2] 是．所有的爬行動物都是用肺呼吸的．
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第二章 推理与证明
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[問題3] 觀察下圖由平面內的圓，我們聯想到空間裏的 球，讓它們來類比．你能找到它們有哪些類似的特徵？
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件52高二选修22数学课件
类比的方法
类比的价值；数学的价值
第十二页，共十四页。
同学 们辛苦 (tóng xué)
了
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
类比推理。仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明(fāmíng)了潜水艇.。科学家 对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征。3)火星上大部分时间的温度适合地球
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
第六页，共十四页。
学会 类比 (xuéhuì) 几何中的类比
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
出空间中四面体性质(xìngzhì)的猜想．
分析(fēnxī):找出已知的相似性直角三角形
A
和直四面体，寻找对应的相似性
Ｂ
c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃ
b
Ａ
B
由 平 面 到 空 间
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第七页，共十四页。
小试牛刀(xiǎo shì niú
•
在RtABC
dāo)
中，，两直角边分别为a,b，设h
为斜边上的高，则 1 1 1 ，
h2 a2 b2
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱 SA,SB,SC两两垂直，且长度(chángdù)分别为 a,b,c ,设棱锥底面ABC上的高为h，则（ ）
No 上某些已知生物的生存,等等.。利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理.。
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．。S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC。圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦。同学们辛苦了
类比的价值；数学的价值
第十二页，共十四页。
同学 们辛苦 (tóng xué)
了
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
类比推理。仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明(fāmíng)了潜水艇.。科学家 对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征。3)火星上大部分时间的温度适合地球
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
第六页，共十四页。
学会 类比 (xuéhuì) 几何中的类比
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
出空间中四面体性质(xìngzhì)的猜想．
分析(fēnxī):找出已知的相似性直角三角形
A
和直四面体，寻找对应的相似性
Ｂ
c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃ
b
Ａ
B
由 平 面 到 空 间
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第七页，共十四页。
小试牛刀(xiǎo shì niú
•
在RtABC
dāo)
中，，两直角边分别为a,b，设h
为斜边上的高，则 1 1 1 ，
h2 a2 b2
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱 SA,SB,SC两两垂直，且长度(chángdù)分别为 a,b,c ,设棱锥底面ABC上的高为h，则（ ）
No 上某些已知生物的生存,等等.。利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理.。
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．。S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC。圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦。同学们辛苦了
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件
练习1：正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)内任意一点到三 边距离之和是一个定值。
正四面体内任意(rènyì)一点到四个面的距离之和 是一个定值。
第十八页，共二十五页。
类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)的特点： 1.由特殊(tèshū)到特殊(tèshū)的推理； 2.以旧的知识(zhī shi)为基础,推测新的结果，
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
第九页，共二十五页。
例2：若数列an(n N )是等差数列，则数列
bn
a1
a2
a3 n
an ,(nN)也是等差数列。
类比上述性质，相应的：
若数列an(n N )是等比数列，则数列
bn _n_a_1_a_2_a_3 ___a_n _____,(nN)也是等比数列。
No 等的两截面圆面积相等。例5：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想．。1.由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。——康德。由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。由部分到整体、特殊到 一般的推理(tuīlǐ)。通俗地说，合情推理(tuīlǐ)是指“合乎情理”的推理(tuīlǐ).。Ａ
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径(bànjìng)
的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
第十三页，共二十五页。
例3.半径为r的圆的面积
，周长
若将r看作
上的变量，则
①，①式
可用语言叙述为：圆的面积函数(hánshù)的导数等于圆的周
长函数(hánshù)。对于半径为R的球，若将R看
第八页，共二十五页。
问题：有学生根据等式的性质(xìngzhì)类比不等式的性质(xìngzhì)。
人教版高中数学课件-推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人， 由此得高三所有班的人数均超过 50 人 B．两条直线平行，同旁内角互补，若∠A 与∠B 是两条平 行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋an＋1)(n≥2)，由此 归纳出{an}的通项公式
對演繹推理及三段論的理解 (1)①演繹的前提是一般性的原理，演繹所得的結論是蘊涵 於前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵於前提之中； ②演繹推理是一種收斂性的思考方法，少創造性，但具有 條理清晰，令人信服的論證作用，有助於科學的理論化和系統 化． (2)對於“三段論”應注意： 應用三段論解決問題時，應當首先明確什麼是大前提和小 前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數)．
(小前提)
通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列{an}為等差數列．
(結論)
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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運用三段論時的注意事項 用三段論寫演繹推理的過程，關鍵是明確大前提、小前 提，大前提提供了一個一般性的原理，在演繹推理的過程中往 往省略，而小前提指出了大前提下的一個特殊情況，只有將二 者結合起來才能得到完整的三段論．一般地，在尋找大前提 時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
高中数学第三章推理与证明2数学证明课件
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出__某__个__特__殊__情__况__下__的_ 结论的推理．
(2)特点：由__一__般__到__特__殊__的推理． (3)一般模式：__三__段__论__． 大前提：__已__知__的__一__般__原__理__． 小前提：__所__研__究__的__特__殊__情__况__． 结论：___根__据__一__般__的__原__理__，__对__特__殊__情__况__做__出__的__ 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
4．用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)若两角是对顶角，则此两角相等．所以若两角不相等， 则此两角不是对顶角． (2)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝ tan α是周期函数． (3)通项公式an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
课堂互动讲义
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
把演绎推理写成三段论
将下列演绎推理写成三段论的形 式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所 以菱形的对角线互相平分．
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A、∠B是等腰三角形的 两底角，则∠A＝∠B.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
§2 数学证明
数学D 选修1-2
高考数学复习15-推理与证明3.ppt
课堂互动讲练
考点五 归纳、猜想、证明
“归纳——猜想——证明”的模式， 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用 的解题模式．其一般思路是：通过观察 有限个特例，猜想出一般性的结论，然 后用数学归纳法证明．这种方法在解决 探索性问题、存在性问题或与正整数有 关的命题中有着广泛的应用．其关键是 归纳、猜想出公式．
课堂互动讲练
例3 用数学归纳法证明平面内 有n个圆，其中每两个圆都相交 于两点，且每三个圆都不相交 于同一点．则这n个圆将平面分 成n2－n＋2个部分．
课堂互动讲练
【思路点拨】 本题中找到第k＋ 1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧， 而每一条弧把它所在部分分成了两 块，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
课堂互动讲练
例1 用数学归纳法证明对于任意 正整数 n，(n2－1)＋2(n2－22)＋… ＋n(n2－n2)＝n2(n－14)(n＋1).
课堂互动讲练
【思路点拨】 证明等式是数学 归纳法的应用之一，证明时，较为困 难的是第二步，首先要弄清等式两边 的构成规律，然后证明当n＝1时命题 成立，再证如果n＝k时命题成立，那 么n＝k＋1时命题也成立．
课堂互动讲练
例2 已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈
N*)，用数学归纳法证明f(n)能被 36整除．
【思路点拨】 用数学归纳法 能证明整除问题，在由k过渡到k＋1 时常用“配凑”的办法，要有目的地 去“配凑”36的倍数式子和假设n＝k 时的式子．
课堂互动讲练
【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 能被36整除．
第3课时 数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；
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• [答案] 存在一个三角形，其外角最多有 一个钝角
• [解析] 全称命题的否定形式为特称命题， 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”．故该命题的否定为“存在一个三 角形，其外角最多有一个钝角”．
• C．至少有一个正数
• D．两个都是负数
• [答案] C
• [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
• 二、填空题
• 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝 角”的否定应是 ______________________________．
• 2．对于否定性命题或结论中出现“至 多”、“至少”、“不可能”等字样时， 常用反证法．
• 3．原常结用的至“少原结论至词多”与至“反少设词至”多归纳 如论下词表：有一个 有一个 有n个 有n个
一个也 反设 没有 至少有 至多有 至少有
词 (不存在 两个 n－1个 n＋1个
)
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 至少有一个大于 0.
，从而证明了
，这
种证明方法叫做反证法．
• 2．反证法常见矛盾类型
• 在反证法中已，知经条件过正确的推数理学后公理“得定出理矛
公盾式”，定所义 得矛已盾被主证明要了是的指结论与
矛盾，
与公认的简单、事实 ຫໍສະໝຸດ 、 或矛盾，
与
矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2
• A．两个内角是直角 • B．有三个内角是直角 • C．至少有两个内角是直角 • D．没有一个内角是直角 • [答案] C • [解析] “最多只有一个”即为“至多一
个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
• 3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( )
• A．一个是正数，一个是负数
• B．两个都是正数
• [点评] 1.运用反证法证题时，一定要处 理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核 心就是从求证的结论的反面出发，导出矛 盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关 键所在，对于三个步骤，绝不可死记，而 要具有全面、扎实的基础知识，再灵活运 用．
• 2．证明“有且只有一个”的问题，需要 证明两个命题，即存在性和唯一性．当证 明结论以“有且只有”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题时，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证
• 一、选择题
• 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中， 要把下列哪些作为条件使用
()
• ①结论相反判断，即假设 ②原命题的结 论
• ③公理、定理、定义等 件
④原命题的条
• A．①④
B．①②③
• C．①③④
D．②③
• [答案] C
• 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ()
• 2．2.2 反证法
• 理解反证法的概念，掌握反证法证题的步 骤．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法 的证题步骤．
• 本节难点：应用反证法解决问题．
• 1．反证法
• 假设原命题 不成立(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出
假矛设错误 盾 ， 原因命题成立此 说 明
时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [点评] 1.反证法是利用原命题的否命题 不成立则原命题一定成立来进行证明的， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出与 原命题相异的结论，缺少任何一种可能， 反证法都是不完全的．
• [解析] 全称命题的否定形式为特称命题， 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”．故该命题的否定为“存在一个三 角形，其外角最多有一个钝角”．
• C．至少有一个正数
• D．两个都是负数
• [答案] C
• [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
• 二、填空题
• 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝 角”的否定应是 ______________________________．
• 2．对于否定性命题或结论中出现“至 多”、“至少”、“不可能”等字样时， 常用反证法．
• 3．原常结用的至“少原结论至词多”与至“反少设词至”多归纳 如论下词表：有一个 有一个 有n个 有n个
一个也 反设 没有 至少有 至多有 至少有
词 (不存在 两个 n－1个 n＋1个
)
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 至少有一个大于 0.
，从而证明了
，这
种证明方法叫做反证法．
• 2．反证法常见矛盾类型
• 在反证法中已，知经条件过正确的推数理学后公理“得定出理矛
公盾式”，定所义 得矛已盾被主证明要了是的指结论与
矛盾，
与公认的简单、事实 ຫໍສະໝຸດ 、 或矛盾，
与
矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2
• A．两个内角是直角 • B．有三个内角是直角 • C．至少有两个内角是直角 • D．没有一个内角是直角 • [答案] C • [解析] “最多只有一个”即为“至多一
个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
• 3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( )
• A．一个是正数，一个是负数
• B．两个都是正数
• [点评] 1.运用反证法证题时，一定要处 理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核 心就是从求证的结论的反面出发，导出矛 盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关 键所在，对于三个步骤，绝不可死记，而 要具有全面、扎实的基础知识，再灵活运 用．
• 2．证明“有且只有一个”的问题，需要 证明两个命题，即存在性和唯一性．当证 明结论以“有且只有”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题时，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证
• 一、选择题
• 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中， 要把下列哪些作为条件使用
()
• ①结论相反判断，即假设 ②原命题的结 论
• ③公理、定理、定义等 件
④原命题的条
• A．①④
B．①②③
• C．①③④
D．②③
• [答案] C
• 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ()
• 2．2.2 反证法
• 理解反证法的概念，掌握反证法证题的步 骤．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法 的证题步骤．
• 本节难点：应用反证法解决问题．
• 1．反证法
• 假设原命题 不成立(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出
假矛设错误 盾 ， 原因命题成立此 说 明
时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [点评] 1.反证法是利用原命题的否命题 不成立则原命题一定成立来进行证明的， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出与 原命题相异的结论，缺少任何一种可能， 反证法都是不完全的．