余角和补角11

教案余角和补角一、学习目标：1.认识一个角的余角和补角，理解互余、互补的概念，会求一个角的余角和补角；2.掌握并运用余角和补角的性质；3.能进行一些简单的有关角的推理．二、知识回顾：1．计算：（1）90°-29°35′=_______；（2）180°-56°27′=____________．2．如图R t△ABC，讨论∠1与∠2，∠3与∠4，∠2与∠3的数量关系．三、知识梳理：1．互为余角如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角．如下图所示：几何语言表示为：如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角．2．互为补角如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角．如下图所示：几何语言表示为：如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角．3．余角的性质同角（或等角）的余角相等．4．补角的性质同角（或等角）的补角相等．5．同角的余角与补角的关系一个锐角的补角比这个角的余角大90°．6. 方位角方位角是指方向线与正北或正南这两条基准线的夹角.如图1，射线OA与正北方向的夹角为40°，则OA的方位角是北偏东40°；OB与正北方向的夹角为65°，则OB的方位角是北偏西65°；同理，OC的方位角为南偏西45°或说成是西南方向，OD的方位角为南偏东20°.四、典例探究1．判断两个角互余或互补【例1】如图，A，O，E三点在同一条直线上，∠1=∠2，且∠1和∠4互为余角．（1）∠2和∠4互余吗？（2）∠3和∠4有什么关系，为什么？（3）∠3的补角是哪个？总结：1．互为余角和互为补角是针对两个角而言的，必须成对出现.2．互余和互补是指两个角之间的数量关系，与他们的位置无关.3．锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角.4．只有锐角才有余角.5．同一个角的补角比余角大90°．练1．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．以上都不对练2．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④12（∠α﹣∠β）．正确的是（）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②2．与余角、补角有关的计算题【例2】一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角．总结：1.∠α的余角表示为90°-∠α，∠α的补角表示为180°-∠α.注意正确区分余角和补角，不要弄反了.2.用方程的思想解这类题比较简便.练3．已知∠β=3∠α，∠β的余角的3倍等于∠α的补角，求∠α，∠β的度数．【例3】如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．总结：1．当已知条件中出现直角或平角时，要注意观察哪些角互为余角，哪些角互为补角，以利用互余或互补建立等量关系．2．当题中角之间的关系比较复杂时，学会设未知数，用方程的思想来解答.练4．如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）如果已知中∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数；（3）如果已知中∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从（1）、（2）、（3）中你能看出有什么规律．3．同（等）角的余角相等【例4】如图，∠A+∠B=90°，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DF平分∠BDE，DF与BC交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠B+∠BDF=90°，求证：∠A=∠EDF．证明：∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BDF=90°∴（理由：）又∵．∴∠BDF=∠EDF（理由：）∴∠A=∠EDF．总结：1．同角或等角的余角相等，包含两方面内容：①是同一个角的余角相等；②是相等的角的余角相等．2．利用余角的性质寻找相等的角或求角度时，首先要找出直角，在此基础上找出互余的角.注意观察同一个角是否有多个余角，从而利用“同（等）角的余角相等”来进一步推理.练5．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．（1）若∠EON=130°，求∠MOF的度数；（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；（3）求∠EON+∠MOF的度数．练6．填空，完成下列说理过程．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，∠C=∠DEB=90°，那么∠CDB与∠EDB相等吗？请说明理由．解：因为∠1+∠CDB+∠C=180°，且∠C=90°，所以∠1+∠CDB=90°．因为∠2+∠EDB+∠DEB=180°，且∠DEB=90°，所以∠2+∠EDB=90°．因为BD平分∠ABC，根据，所以∠1 = ∠2．根据，所以∠CDB=∠EDB．4．同（等）角的补角相等【例5】如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中除直角外，请写出一对相等的角：；（2）如果∠AOD=40°，①那么根据，可得∠BOC= 度．②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=12∠= °．③∠POF的度数为．总结：1．同角或等角的补角相等，包含两方面内容：①是同一个角的补角相等；②是相等的角的补角相等．2．利用补角的性质寻找相等的角或求角度时，首先要找出平角，在此基础上找出互补的角.注意观察同一个角是否有多个补角，从而利用“同（等）角的补角相等”来进一步推理；3．互余与互补的角的性质是说明两角相等的重要方法.练7．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠AOF的余角是（把符合条件的角都填出来）．（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．（3）①如果∠AOD=140°．那么根据，可得∠BOC= 度．②如果1EOF=AOD5∠∠，求∠EOF的度数．6. 方位角【例6】如图，一艘客轮沿东北方向OC行驶，在海上O处发现灯塔A在北偏西30°方向上，灯塔B在南偏东60°方向上．（1）在图中画出射线OA、OB、OC；（2）求∠AOC与∠BOC的度数，你发现了什么？总结：1.方位角是以观测者的位置为中心，将正南或正北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角.2.方位角的特征：（1）顶点在中心点；（2）一边是南北线（起始线），另一边是方向线.3.方位角通常表达为北（南）偏东（西）××度. 当方位角在45°方向上时，常说成东南、东北、西南、西北方向.4.方位角在航行、测绘等工作中经常用到.练8 如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是_____；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是________；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是_____________；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE=_______．五、课后小测一、选择题1．如果α与β互为余角，则（）A．α+β=180°B．α﹣β=180° C．α﹣β=90° D．α+β=90°2．若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α与∠γ的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．∠α=90°+∠γ3．如图所示，已知∠AOC=∠BOC=90°，∠BOE=∠COD，则图中互为余角的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°二、填空题5．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，C岛在B岛的北偏西50°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是_______度．二、解答题6．如图，回答下列问题：（1）写出∠ALG的余角，并说明理由；（2）写出∠ALG的补角，并说明理由．7．如图，将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，摆放成如图1、图2所示的形状．（1）如图1，若∠BOC=60°，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=70°，求∠AOD的度数；（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系．8．如图，点O是直线AB上的一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一端以O为顶点作∠DOE=90°．（1）若∠AOE=48°，求∠BOD的度数；（2）写出图中与∠AOE互余的角；（3）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．9．看图填空：解：∠AOB=90°，∠COD=90°（已知）即∠AOD+∠BOD=90°，∠AOD+∠AOC=90°∴∠AOC=∠（）Q∠BOD=25°（已知）∴∠AOC=°（等量代换）10．如图，直线AB、CD相交于点O，OA是∠EOC的平分线，∠EOD=100°，（1）请指出∠BOC的一个补角；（2）求出∠BOD的度数．11. 气象台12日紧急发布“康森”最新动态，第2号热带风暴“康森”中心正以每小时20千米左右的速度沿北偏西60°方向移动，10小时后会突然改为沿北偏东30°方向移动.请画出该风暴的移动路线示意图.。