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平行四边形单元 易错题难题质量专项训练

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人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试卷一、选择题1．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④2．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AP ⊥EF 分别交BD 、EF 于O 、P 两点，M 、N 分别为BO 、DO 的中点，连接MP 、NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB ＝1，则四边形BMPE 的面积是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．1103．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF SS .=⑤其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④⑤D ．①③⑤4．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )A ．AB B ．CEC ．ACD ．AF 5．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,EF 分别在边,CD DA 上 （CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：①OCE ODF ∆∆≌；②OG OH =； ③210GH =．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ） ①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥7．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+2；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 8．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD 于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：①2EC ；②四边形PECF 的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF ；⑤EF 的最小值为22AP ⊥EF ，其中正确结论的序号为（ ）A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．△和等12．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．15．如图，在矩形ABCD中，AD2，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．16．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.17．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．19．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．三、解答题21．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．22．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．23．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．25．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为 ．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．27．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．28．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE ，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．29．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【详解】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，∵∠APD=∠EPB，∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，∵BM=BM，AM=MF，∴△ABM≌△FBM，∴AB=BF，∴②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，∵BE=DF，BF=CD，∴△BEF≌△DFC，∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，∴③正确；④正确；故选D．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．2．B解析：B【分析】根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF=12BD，推出点P在AC上，得到PE=12EF，得到四边形BMPE平行四边形，过M作MF⊥BC于F，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF=12 BD，∵四边形ABCD是正方形，且AB=BC=1，∴2，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO=OD，∴点P在AC上，∴PE=12 EF，∴PE=BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO=12 BD，∵M为BO的中点，∴BM=14BD=24，∵E 为BC 的中点，∴BE=12BC=12， 过M 作MF ⊥BC 于F ，∴MF=22BM=14， ∴四边形BMPE 的面积=BE•MF=18， 故选B ．【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF SS <．【详解】在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，BAE BAF 90∠∠∴+=，BAE DAF ∠∠∴=，BE DP ⊥，ABE BPE 90∠∠∴+=，又ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，ABE ADF ∠∠∴=，在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB ADABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；AE AF ∴=，BE DF =，AEF ∴是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，点P 是AB 的中点，AP BP ∴=，在APM 和BPE 中，90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，APM ∴≌()BPE AAS ，BE AM ∴=，EP MP =，PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；BE DF =，FM AM BE ==，AM DF ∴=，又ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，DAM CDF ∠∠∴=，在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADM ∴≌()DCF SAS ，CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确；在Rt CDF 中，CD CF >，BC CD =，CF BC ∴≠，BCF ∴不是等边三角形，故③错误；CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，又AM DF =，APF CDF S S ∴<，故⑤错误；综上所述，正确的有①②④，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．4．D解析：D【解析】【分析】连接DP ，当点D ，P ，E 在同一直线上时，由△PCF ≌△PCB 可得DP=BP ,BP EP + 的最小值为DE 长，依据△ADF ≌△DCE ，AF=DE,即可得到BP EP +最小值等于线段AF 的长.【详解】解：如图，连接DP ，∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°∴△PCF ≌△PCB∴BP=DP∴BP+PE =DP+PE∴当点D ，P ，E 在同一直线上时，BP EP +的最小值为DE 长，又∵AB=CD ，∠ADF=∠ECD ，DF=EC ，∴△ADF ≌△DCE∴AF=DE ，∴BP EP +最小值等于线段AF 的长，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A 关于BD 的对称点C 是解答此题的关键．5．C解析：C【分析】①直接利用角边角判定定理判断即可；②证明ODH OCG ∆≅∆即可；③在Rt CGH ∆中求解即可判断此答案错误．【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线，∴OD OC =，45ODF OCE ∠=∠=︒，90DOC ∠=︒，∵90EOF ∠=︒，∴DOC DOE EOF DOE ∠-∠=∠-∠，即：EOC DOF ∠=∠，在ODF ∆和OCE ∆中，∵ODF OCE OD OC DOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODF OCE ∆≅∆，故①正确；②∵45ODF OCE ∠=∠=︒，∴90=90=135ODF OCE ∠+︒∠+︒︒，即：ODH OCG ∠=∠，在ODH ∆和OCG ∆中，∵GOC DOH OD OC ODH OCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODH OCG ∆≅∆，∴OH OG =，故②正确；③过点O 作OM CD ⊥于点M ，∵OM CD ⊥，∴在等腰Rt OCD ∆中，118422OM CD ==⨯=, 在Rt ECG ∆和Rt EMO ∆中 ∵OME GCE OEM GEC OE GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴4CG OM ==，由②中知：ODH OCG ∆≅∆，∴DH CG =，∴=4DH CG =，∴8412CH CD DH =+=+=，∴在Rt CGH ∆中，由勾股定理得： 2222412410GH CG CH =+=+=，故③错误；综上所述：只有两个正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．6．D解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.【详解】①∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC，AB=DC,∴∠BAC=∠ADC,在△ABE 和△DFC 中BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DFC（SAS ）,∴BE=DF,故①正确.②∵△ABE≌△DFC,∴∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,故②正确.③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DO=BO，OA=OC,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是平行四边形,故④正确.⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,∴∠BNO=∠DMO=90°,在△BNO 和△DMO 中∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）∴BN=DM11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯∴△ADE △ABE S =S ,故⑤正确.⑥∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,故⑥正确.故答案是D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.7．D解析：D【分析】先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP＝45︒，得出∠APD＝∠AEB＝135︒，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90︒，EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF，得出AF＝AE+EF＝1，由勾股定理得出ABS正方形ABCD＝AB2＝5+，③正确；EPAE，由勾股定理得出BP，④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠EAB+∠BAP＝90︒，∠PAD+∠BAP＝90︒，∴∠EAB＝∠PAD，在△APD和△AEB中，AP AEPAD EAB AD AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△AEB（SAS），∴BE＝PD，∠APD＝∠AEB，∵AE＝AP，∠EAP＝90︒，∴∠APE＝∠AEP＝45︒，∴∠APD＝135︒，∴∠AEB＝135︒，②正确；∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，如图所示：∵∠AEB＝135︒，∴∠EFB＝45︒，∴EF＝BF，∵BE＝PD＝2，∴EF＝BF，∴AF＝AE+EF＝1，AB∴S正方形ABCD＝AB22＝5+，③正确；EPAE，BP，④错误；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．8．C解析：C【分析】由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．【详解】∵点F 是AD 的中点，∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，∴FD=AB=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠BCF ，∴∠DCF=∠BCF ，即：12DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；∵AB ∥CD ，∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，又∵AF=DF ，∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），∴EF=HF ，∵CE AB ⊥，∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，∴EF CF ==12EH ， ∴②正确；∵EF=HF ，∴2HEC CEF S S =∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，∴BE CH <,∴BEC HCE SS <, ∴2BEC CEFS S <， ∴③错误；设∠AEF=x ，则∠H=x ，∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，∴∠FCH=∠H=x ，∵FD=CD ，∴∠DFC=∠FCH=x ，∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，∴FG ∥CD ∥AB ，∴∠AEF=∠EFG=x ，∵EF=CF ，∴∠EFG=∠CFG=x ，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，∴3DFE AEF ∠=∠．∴④正确．故选C ．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．9．C解析：C【分析】①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；④过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确．【详解】解：①∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；②∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得，22+=542MF ME+22综上所述，结论正确的有①③④共3个，故选C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．10．A解析：A【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2；⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC=45°∴∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC=DF，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴2EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC=EF，由正方形为轴对称图形，∴AP=PC，∴AP=EF，故④正确；⑤由EF=PC=AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP=12BD=1222时，EF的最小值等于2，故⑤正确；⑥∵GF∥BC，∴∠AGP=90°，∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF，∴∠PFH+∠HPF=90°，故⑥正确；本题正确的有：①②④⑤⑥；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,BE AB AE543∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．21 【分析】 如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，//AD BE ∴，6AC =，624AD AB ∴==-=，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，112,122AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，∴四边形ABEM 是平行四边形，//,4ME AB ME AB ∴==，60FEM C ∴∠=∠=︒，在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，2212,232EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =+=+=，故答案为：21．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．13．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．14．33或572【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点， 132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，1322AH AE ∴==，3332EH AH ==， 233EF EH ∴==，当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒，122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=； 当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF的长为3． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．3或6【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，222268AB BC+=+，∴B′C=10-6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．17．(1) (2) (4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=12EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD=AB ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ， ∴∠DCF+12∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DMF 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=12EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；(3)∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=12∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(4)．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．18．72；【分析】连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，∵O是正方形DBCE的对称中心，∴BO=CO，∠BOC=90°，∵FO⊥AO，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．19．(3,2)-【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112y x =+ 当0y =时，1102x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B2,1,OA OB AB ∴====。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题一、解答题1．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______；2．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．3．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．4．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ． （2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23． ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．5．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CFOF＝ （直接填结果）．6．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．7．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.） （3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长. 8．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.9．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题EC A；（2）为4和16．1．（1）①6；②结论：//P【分析】()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题．()2分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，22221086DE AE AD ∴=-=-=，故答案为6．②如图2中，结论：//P EC A ．理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，PA ∴垂直平分线段BE ， 即PA BE ⊥，PB PC PE ==， 90BEC ∠∴=，EC BE ∴⊥， //EC PA ∴．()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，22BD'AB AD'6∴=-=，在Rt BQC 中，222CQ BC BQ +=，222(10x)8(x 6)∴-+=+，x 4∴=， DQ 4∴=．②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，DQ //AB ， DQA QAB ∠∠∴=，DQA AQB ∠∠=，QAB AQB ∠∠∴=， AB BQ 10∴==，在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，DQ DC CQ 16∴=+=，综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16． 故答案为4和16． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2. 【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ CF ∥ED ， ∴ ∠FCG ＝∠EDG ， ∵ G 是CD 的中点， ∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ）， ∴ FG ＝EG ， ∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形， 理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ， ∵∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵AB=3， ∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=BM ， 在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBA ≌△EDC(SAS)， ∴∠CED=∠AMB=90°， ∵四边形CEDF 是平行四边形， ∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形， ∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5， ∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘， ∴∠DEG=30°， ∴DE=2DG=3， ∴AE=AD-DE=5-3=2， 故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键. 3．（1）（3，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）OM=32或21 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论； （2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可． 【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90° ∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=223AB OA-=∵将此直角三角板绕点O顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=13 2OB=∴OD=223 2OB BD-=∴点B的坐标为（3，32）故答案为：（32，32）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O顺时针60︒，此时点A落在y轴上，点B 落在x轴上∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（3，0）∵△ABC为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C的坐标为（3，2）设点D的坐标为（a，b）如图所示，若四边形ABCD为菱形，连接BD，与AC交于点O∴点O既是AC的中点，也是BD的中点∴03312022ab++=⎨++⎪=⎪⎩解得：3 ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴033 212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴0332210222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）∵3，∠ABO=30°∴OP=123∴2232OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt△OBM中，2221OB BM+=；综上：OM=32或212．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．4．（1）①等腰；②BE ；（2）①2；②存在，【分析】（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；②当点F在边BC上时，得S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的性质得CE＝CB＝EF＝当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝1 2KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，得S△BEF≤12S矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝2，点E与点A重合，由勾股定理求出EF即可．【详解】解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；故答案为：等腰；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得：AF垂直平分BE，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴ABE是等腰直角三角形，∴BE；故答案为：BE；（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∵∠A＝90°，∴BE＝2AE，AB∴AE＝1，BE＝2，∴BF＝2；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，CD＝AB BC＝∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：此时可得：S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，由折叠的性质得：CE＝CB＝23，即EF＝23；第二种情况：当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：∵S△EKF＝12KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤12S矩形ABCD＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD3E与点A重合，BEF的面积为3，∴EF22AD DF51综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为351．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．5．（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=CF=，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=HF=4-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=，进而得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：2222=84AC AB --3 ∴CF=43，∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23 ∴HF=4-23OH=12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得： 22OH HF +()222423+-2622， ∴434226222CF OF -===- 2【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．6．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）685【分析】（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．【详解】（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，在△BCE 和△DCF 中， BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE=CF ；（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：由（1）得△BCE ≌△DCF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，即∠ECF =∠BCD =90°，又∵∠GCE =45°，∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，在△GEC 和△GFC 中，CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEC ≌△GFC (SAS )，∴EG=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ；（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，∴∠CGA=90°，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，∴四边形ABCG 为矩形，又∵AB=BC ，∴四边形ABCG 为正方形，∴AG =BC=AB =16，∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，设DE=x ，∵4BE ＝，∴AE =12，DG=x −4，∴AD =AG −DG =20−x在Rt △AED 中，由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，即x 2=(20−x )2+122 解得：685=x ， 即685=DE ． 【点睛】本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．7．（1）35；（241；（353101或【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【详解】（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：则FM=AH ，AM=FH∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=（3）分两种情况：①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：同（2）得：ENF DEC ∆≅∆∴EN=CD=3，FN=ED=7∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10在Rt FMB ∆中由勾股定理得：2222FB FM MB=+=+=101101②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：∆≅∆同理得：CDE EFN∴NF=DE=1，EN=CD=3∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4∴BM=CB+CM=3+4=7∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222=+=+=FB FM MB2753或故BF的长为53101【点睛】本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.8．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴，∴.∴，.∴.又∵，∴.又∵，∴.∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点9．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t ；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A 、Q 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形； (2)情况一：当Q 点在AB 上时，0<t<103，此时P 点还未运动到AD 的中点位置， 故四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半， 情况二：当Q 点在BC 上且位于BF 之间时，102533t ， 此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t ，∵102533t ，∴35-2t ＜30， 四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半， 情况三：当Q 点在BC 上且位于FC 之间时，254033t 此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t ，∴4t-35＜30， 四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半，情况四：当Q 点在CD 上时，405033t << 当AP=BF=15时，t=15，1122APF ABFP PFQ DCFP S S S S 且 ∴1+2APF PFQ AFPQ ABCD S S S S ， ∴当t=15秒时，以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD 面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．10．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）152 【分析】（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵矩形ABCD∴//AB CD∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠∵点O 是对角线BD 的中点∴OD OB =∴()OFD OEB AAS △≌△∴DF BE =∵//DF BE∴四边形DEBF 是平行四边形（2）∵四边形DEBF 是平行四边形∴DF BE =,DE FB =若DE=BE∴=DF BE DE FB ==∴四边形DEBF 是菱形又∵四边形DEBF 是平行四边形，若EF BD ⊥∴四边形DEBF 是菱形∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；（3）设BE=DE=x∵AB=8∴AE=8-x∵直角三角形ADE2226(8)x x +-= 解得：254x = 25BE 4= ∵直角三角形ABD ∴22228610BD AB AD∵111222BDE S BD EF BE AD =⨯=⨯△ ∴111251062224EF ⨯⨯=⨯⨯ ∴152EF =． 【点睛】 本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．。

人教版平行四边形单元 易错题难题提优专项训练

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人教版平行四边形单元 易错题难题提优专项训练一、选择题1．如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )A ．25B ．23C ．22D ．42．如图，已知直线l //AB ，l 与AB 之间的距离为2．C 、D 是直线l 上两个动点（点C 在D 点的左侧），且AB =CD =5．连接AC 、BC 、BD ，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ．下列说法：①四边形ABDC 的面积始终为10；②当A ′与D 重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A ′与D 不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③3．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A．5B．4C．3D．24．如图，在ABCD中，AD=2AB，CE AB⊥，垂足E在线段AB上，F、G分别是AD、CE的中点，连接FG，EF、CD的延长线交于点H，则下列结论：①12DCF BCD∠=∠；②EF CF=：③2BEC CEFS S=；④3DFE AEF∠=∠.其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BE:BC=5:2；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．46．下列命题中，真命题的个数有（）①对角线相等的四边形是矩形；②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+8．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ：②GC 平分∠BGD ；③S 四边形BCDG ＝34CG 2；④∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD S AB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDE BOC S S =④，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 3二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．14．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．16．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =3E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．18．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．20．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，三、解答题21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．23．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．25．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②26．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．27．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？28．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．29．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.30．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ． （1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG 517DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2，∴224225 BE=+=故选：A.【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P 点位置是解题的关键2．A解析：A【解析】【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC 是菱形； ③连结A′D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD ≌△A′BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D ∥BC ；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A′CBD =10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【详解】①∵AB=CD=5，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABDC 的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC 是平行四边形，∵A′与D 重合时，∴AC=CD ，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；③连结A′D ，如图，∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，在△A′CD 和△A′BD 中CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩，∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D∥BC，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a，b，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S△A′CB=S△ABC=12×2×5=5，∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a2+b2=25，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，∴当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=3，而CD=5，∴（a+b）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为或7．故④正确．故选A．【点睛】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．3．B解析：B【分析】①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；④如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．证明△ABP≌△QBP（AAS），以及△BCH≌△BQH 即可判断；⑤利用特殊位置，判定结论即可；【详解】解：根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH−∠EPB＝∠EBC−∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．，故③正确；∴∠APB＝∠BPH，即PB平分APG如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四边形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP＋∠BEO＝90°，∠BEO＋∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，∵∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正确，如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB ＝∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，∠APB ＝∠BPH ，∠A ＝∠BQP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP ＝QP ，AB ＝BQ ．又∵AB ＝BC ，∴BC ＝BQ ．又∵∠C ＝∠BQH ＝90°，BH ＝BH ，∴△BCH ≌△BQH （HL ）∴QH=HC ，∴PH=PQ+QH=AP+HC ，故④正确；当点P 与A 重合时，显然MH ＞MF ，故⑤错误，故选：B ．【点睛】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．4．C解析：C【分析】由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．【详解】∵点F 是AD 的中点，∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，∴FD=AB=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠BCF ，∴∠DCF=∠BCF ，即：12DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；∵AB ∥CD ，∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，又∵AF=DF ，∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），∴EF=HF ，∵CE AB ⊥，∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，∴EF CF ==12EH ， ∴②正确；∵EF=HF ，∴2HEC CEF S S =∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，∴BE CH <,∴BEC HCE SS <, ∴2BEC CEFS S <， ∴③错误；设∠AEF=x ，则∠H=x ，∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，∴∠FCH=∠H=x ，∵FD=CD ，∴∠DFC=∠FCH=x ，∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，∴FG ∥CD ∥AB ，∴∠AEF=∠EFG=x ，∵EF=CF ，∴∠EFG=∠CFG=x ，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，∴3DFE AEF ∠=∠．∴④正确．故选C ．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．5．D解析：D【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE ＝∠DCE ，再证△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD ＝∠HCD ，推出∠ABE ＝∠HAD:求出∠ABE+∠BAG ＝90°;最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE ＝90°即可得到①正确； 因为点E 是AD 边的中点，求出AB= 2AE ，即可求得，故②正确；根据 AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出 S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；由∠AHD ＝∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB ＝∠EHD ，故④正确【详解】∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点，∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE 和△CDE 中∵AE DE BAE CDE AB CDA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CDE （SAS ），∴∠ABE=∠DCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∵在△ADH 和△CDH 中，AD CD ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADH ≌△CDH （SAS ），∴∠HAD=∠HCD，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵点E是AD边的中点，∴AB= 2AE，∴∴，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握其性质. 6．C解析：C【分析】正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依次判断.【详解】①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误；②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键. 7．B解析：B【分析】取DC的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON ∠=︒， 122OE AB ∴==． 在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．8．D解析：D【分析】①先证明△ABD 为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;②证明∠BGE＝60︒＝∠BCD,从而得点B 、C 、D 、G 四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60︒; ③过点C 作CM⊥GB 于M,CN⊥GD 于N.证明△CBM≌△CDN,所以S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ,易求后者的面积;④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,故为定值.【详解】解：①∵ABCD 为菱形,∴AB＝AD,∵AB＝BD,∴△ABD 为等边三角形,∴∠A＝∠BDF＝60︒又∵AE＝DF,AD ＝BD,∴△AED≌△DFB（SAS ）,故本选项正确;②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒＝∠BCD,即∠BGD+∠BCD＝180︒,∴点B、C、D、G四点共圆,∴∠BGC＝∠BDC＝60︒,∠DGC＝∠DBC＝60︒,∴∠BGC＝∠DGC＝60︒,故本选项正确;③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,则△CBM≌△CD N（AAS）,∴S四边形BCDG＝S四边形CMGNS四边形CMGN＝2S△CMG,∵∠CGM＝60︒,∴GM＝12CG,CM＝32CG,∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×12×12332,故本选项正确;④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,为定值,故本选项正确;综上所述,正确的结论有①②③④,故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质．9．D解析：D【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．【详解】∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝ AD＝ BC，∴E是BC的中点，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠CED＝30°，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝AB，故③正确；∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE是△CBD的中位线，∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，∵OC是△BCD的中线，∴S△BOC＝S△COD，∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.10．D解析：D【分析】由于在四边形中，MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形．可设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，根据AB=CD，DE=AF，EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案．【详解】解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，∴四边形ABCD，四边形ADEF，四边形BCEF，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE，h1，FB，h2的关系不确定，所以S1与S4的关系无法确定，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1+S3=CD•h1，S2+S4=AB•h2，又AB=CD，而h1不一定与h2相等，故C错误；S1·S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2·S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S 1·S 4=S 2·S 3，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a •h ．其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高．二、填空题11．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ===，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-， 30A ∠=︒，33BE x =， 在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)3x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：43或23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．12．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】解：如图：∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，∴△AEO ≌CFO ，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，∵对角线长为1cm ，∴S 正方形ABCD ＝1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18cm 2， ∴阴影部分的面积为18cm 2． 故答案为：18cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．13【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，//AD BE ∴，6AC =，624AD AB ∴==-=，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，112,122AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，∴四边形ABEM 是平行四边形，//,4ME AB ME AB ∴==，60FEM C ∴∠=∠=︒，在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，2212,232EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =+=+=，故答案为：21．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．14．42【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．15．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．16．42a -23 【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG的面积的最小值为34233⨯=，故答案为：42a-，23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．17．83或4433-【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE=BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，22224223AB AO--=∴BD=3AC=4，同理可求BE ，即， 若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=4，∴BE'43==-； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''=，DG''=2HG''=∴BG''=BD-DG''=33-=， ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或43-． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．6【分析】先证明△AEB ≌△FEB ≌△DEF ，从而可知S △ABE =13S △DAB ，即可求得△ABE 的面积． 【详解】解：由折叠的性质可知：△AEB ≌△FEB∴∠EFB=∠EAB=90°∵ABCD 为矩形∴DF=FB∴EF 垂直平分DB∴ED=EB在△DEF 和△BEF 中DF=BF EF=EF ED=EB∴△DEF ≌△BEF∴△AEB ≌△FEB ≌△DEF∴13666AEB FEB DEF ABCDS S S S∆∆∆====⨯=矩形．故答案为6．【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB≌△FEB≌△DEF是解题的关键．19．663【分析】通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．【详解】解：如图，设NE交AD于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC∵CE CB BE==，∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，=∴NE=NK+KE=6+∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+∴6=+∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．20．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB ==∴5P N '===同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．三、解答题21．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2【分析】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（x ）2，解得，推出BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ， 在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-， ∴BN=624+， ∴BG=BN÷cos30°=3266+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．22．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =．【分析】（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可； （2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：∵四边形AEFC 是菱形，∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），∴EM ＝AH ＝GN ，在△EMI 和△GNI 中，EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI ＝GI ，∴I 是EG 的中点，∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAG ＝90°，在Rt △EAG 中， EG10，∵I 是EG 的中点，∴AI ＝12EG ＝12×10＝5．。

人教版平行四边形单元 易错题难题学能测试试题

人教版平行四边形单元 易错题难题学能测试试题

人教版平行四边形单元 易错题难题学能测试试题一、解答题1．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ． （2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．3．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．4．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.5．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH；（2）若3，AE=2，试求线段PH的长；（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CPPQ的值．6．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC中，AB=2，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒2246B BP PD +=时，求PD 之长.8．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．9．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．10．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）矩形；（2）菱形；（3）104）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形； （3）先利用勾股定理求出22221310DF E F E D ''+=+=，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，2222345AF AE EF =+=+=， ∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.2．（1）（32，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=223AB OA -= ∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=132OB =∴OD=2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32） 故答案为：（32，32）； （2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（3，0）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 的坐标为（3，2）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴0332210222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=223 2OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt△OBM中，2221OB BM+=；综上：OM=32或212．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．3．（1）见解析；（2）MN2=ND2+DH2，理由见解析；（3）EG=4，MN=52【分析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设EG=BE=x，根据正方形的边长得出CE，CF，EF，在Rt△CEF中利用勾股定理得到方程，求出EG的长，设MN=a，根据MN2=ND2+BM2解出a值即可．【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF＝12∠BAD＝45°；（2）MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN，又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN（SAS）．∴MN=HN，∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH2=ND2+DH2，∴MN2=ND2+DH2；（3）∵正方形ABCD的边长为12，∴AB=AG=12，由（1）知，BE=EG，DF=FG．设EG=BE=x，则CE=12-x，∵GF=6=DF，∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（12-x）2+62=（x+6）2，解得x=4，即EG=BE=4，在Rt△ABD中，，在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．a+，设MN=a，则a2＝()(22a+，即a 2=()(22∴a=MN＝【点睛】本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．4．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由见试题解析．【分析】（1）根据正方形性质得出BC＝DC，根据旋转图形的性质得出CP＝CQ以及∠PCB＝∠QCD，从而得出三角形全等来得出结论；（2）由（1）知∠PBC＝∠QBC，BE和CD交点为F，根据对顶角得出∠DFE＝∠BFC，从而说明BE⊥QD；（3）根据等边三角形的性质得出PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，则∠PCD＝30°，根据BC＝DC，CP＝CQ得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP＝90°，从而得出答案．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∴∠PCD＋∠QCD＝90°，又∵∠PCB＋∠PCD＝90°，∴∠PCB＝∠QCD在△BCP和△DCQ中，BC＝DC，CP＝CQ，∠PCB＝∠QCD，∴△BCP≌△DCQ，∴∠CBP＝∠CDQ；（2）证明：∵△BCP≌△DCQ，∴∠PBC＝∠QDC，∴∠DFE＝∠BFC，∠FED＝∠FCB＝90°，∴BE⊥QD；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由如下：∵△BPC为等边三角形，∴PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，∴∠PCD＝90°－60°＝30°，∴∠DCQ＝90°－30°＝60°，又∵BC＝DC，CP＝CQ，∴PC＝DC，DC＝CQ，∴△PCD是等腰三角形，△DCQ是等边三角形，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝180°－75°－60°＝45°，∠EDP＝180°－75°－60°＝45°，∴∠EPD＝∠EDP，PE＝DE，∴∠DEP＝180°－45°－45°＝90°，∴△DEP是等腰直角三形．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．5．（1）见解析；（2）3）CPPQ=4．【分析】（1）先证△ABE≌△DAF，然后通过角度转化，可得AF⊥BE，从而证平行；（2）先在Rt△ABE中利用勾股定理求得BE的长，在利用△ABE的面积，求得AP的长，最后利用PH=BP－BH求得PH的长；（3）设QP=a，CP=b，可推导出在Rt△APE中，QE=QA=QP，然后分别用a、b表示CP和PQ代入可求得．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=DA，∠EAB=∠D=90°又∵AE=DF∴△ABE≌△DAF(SAS)∴∠ABE=∠DAF又∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°∴∠ABE+∠FAB=90°∴∠APB=90°∴AF ⊥BE又∵CH ⊥BE∴AF ∥CH（2）解：在正方形ABCD 中，∠EAB=90°，， AE= 2∴=从而由S △ABE = 12 AB·AE= 12 BE·AP 得：∴在Rt △ABP 中，= =3又容易得：△ABP ≌△BCH ∴∴（3）解：在正方形ABCD 中，AB=BC ，AD ∥BC∵CH ⊥BP ，PH=BH∴CP=BC∴∠CBP-=∠CPB而∠CPB=∠QPE ∠CBP=∠QEP∴∠QPE=∠QEP∴在Rt △APE 中 ∠QAP=∠QPA∴QE=QP=QA在四边形QABC 中，设QP=a CP=b则AB=BC=b ， AQ=a ，QC=a+b∴b²+(b-a)2=(a+b)2∴b²=4ab 即b=4a即 aCP b PQ = =4． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等的证明、勾股定理的应用和直角三角形斜边中线的性质，第（3）问的解题关键是推导得出QE=QA=QP ．6．（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：，12，32 【分析】（1）根据勾股定理计算BC 的长度,（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,（3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论.【详解】（1）∵BD ⊥CD∴∠BDC =90°，BC >CD∵在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，∴AB =AD =CD =3,∵BD=4，∴BC =225CD BD +=,（2）正确．如图所示：∵AB =AD∴ΔABD 是等腰三角形．∵AC ⊥BD ．∴AC 垂直平分BD ．∴BC =CD∴CD =AB =AD =BC∴四边形 ABCD 是菱形．（3）存在四种情况，如图2，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过C 作CF PE ⊥于F ，则∠CFE=90,∵EP 是AB 的垂直平分线，∴90AEF A ==∠∠ ,∴四边形AEFC 是矩形，在Rt ABC 中，2,2AB AC BC === , ∴22CF AE BE ===, ∵2AB PC ==∴2262PF PC CF =-=∴BEP CFP AEFC S S S S =++四边形ABPC 矩形 1262126222222222⎛⎫=⨯⨯++⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭332+= 如图4，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AP BP AC AB ==== ,∴ABP △是等边三角形， ∴2313(2)221422ABP ABC S S S =+=⨯+⨯⨯=+四边形ACBP ; 如图5，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AB BP BC === ,PE 是AB 的垂直平分线，∴,PD AB ⊥ E 是AB 的中点，∴1222BE AB == , ∴2222214222PE PB BE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴ACBP 114172221222APB ABC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+四边形 如图6，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过P 作PF AC ⊥于F ，连接AP ，∵2AB AC PB ===∴62 PE=，∴1612312222APB APCABPCS S S+ =+=⨯⨯+⨯⨯=四边形【点睛】本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题.7．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）2622PD=-【分析】（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.【详解】（1）证明：①连接ED、BF，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BD、EF互相平分；②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝12BD，OE＝OF＝12EF．∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°．在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．∵BE∥DF，EF⊥BE，∴EF⊥DF，∴四边形EFDM是矩形，∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．∵∠DPB＝135°，∴∠BPE＝45°，∴∠PBE＝45°，∴BE＝PE．∴△PBE是等腰直角三角形，∴BP2BE，2+2PD＝6，∴2BE+2PD＝6，即BE+PD＝6，∵AB＝4，∴（6）2+PE2＝2×42，解得，PE＝2∴BE＝2∴PD＝6﹣2．【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.8．（1）63；（2）见详解．【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．【详解】解：（1） 如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==∴△ABE 为等边三角形， ∴AB=BE=AE=6即：AN=33∵:5:2BC CE =∴:5:3BC BE =∵BE=6 ∴BC=10∴EC=4 ∴113346322ACE S AN EC ==⨯=即：ACE △的面积为3．（2）如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，∵AH=AF ，∴∠AFH=∠AHF即：∠AFB=∠AHD ，又∵AF=AH ，BF=DH ，∴ABF ≌ADH∴AB=AD又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒， ∴∠ABG=∠ADP∵BG=DP ，∴ABG ≌ADP △∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP∵∠ABC=60°∴∠BAD=120°即：∠GAP=120°∴∠AGP=∠APG=60°，又∵AM ⊥GD∴3，∵BG=GP∴BG+GD=GD+DP=GP即：3．【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）7【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD，则∠AFD=∠ADF；（2）首先得出四边形AGHN为平行四边形，可得FM=MD，进而NF=NH，ND=NH，即可得出答案；（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），得到PC=DN，再利用在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF；（2）证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF，DH于M，N两点，∵GF⊥DF，∴∠GFD=∠AMD=90°，∴AN∥GH，∵四边形ABCD为正方形，∴AG∥NH，∴四边形AGHN为平行四边形，∴AG=NH，∵AF=AD，AM⊥FD，∴FM=MD，连接NF，则NF=ND，∴∠NFD=∠NDF，∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，∴∠NFH=∠H，∴NF=NH，∴ND=NH，∴DH=2NH=2AG；（3）解：延长DF交BC于点P，如图2所示：∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠FPE，∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE，∴EF=EP=2，∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC ，∴∠DAM=∠PDC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=DC ，∠ADN=∠DCP ，在△ADN 和△DCP 中DAN PDC AD DCADN PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADN ≌△DCP （ASA ），∴PC=DN ，设EC=x ，则PC=DN=x+2，DH=2x+4，∵CH=3，∴DC=AB=BC=AF=2x+1∴AE=2x+3，BE=x+1，在Rt △ABE 中，BE 2+AB 2=AE 2，∴（x+1）2+（2x+1）=（2x+3）2．整理得：x 2﹣6x+7=0，解得：x 1=7，x 2=﹣1（不合题意，舍去）∴EC=7．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质．10．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）152 【分析】（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵矩形ABCD∴//AB CD∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠∵点O 是对角线BD 的中点∴OD OB =∴()OFD OEB AAS △≌△∴DF BE =∵//DF BE∴四边形DEBF 是平行四边形（2）∵四边形DEBF 是平行四边形∴DF BE =,DE FB =若DE=BE∴=DF BE DE FB ==∴四边形DEBF 是菱形又∵四边形DEBF 是平行四边形，若EF BD ⊥∴四边形DEBF 是菱形∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；（3）设BE=DE=x∵AB=8∴AE=8-x∵直角三角形ADE2226(8)x x +-= 解得：254x = 25BE 4= ∵直角三角形ABD ∴22228610BD AB AD∵111222BDE S BD EF BE AD =⨯=⨯△ ∴111251062224EF ⨯⨯=⨯⨯ ∴152EF =． 【点睛】 本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．。

人教版平行四边形单元 易错题难题测试题试卷

人教版平行四边形单元 易错题难题测试题试卷

人教版平行四边形单元易错题难题测试题试卷一、选择题1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝12AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（）A．①③B．①③④C．①②③D．②②④2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A落在y轴上，点C落在x轴上，随着顶点C由原点O向x轴正半轴方向运动，顶点A沿y轴负半轴方向运动到终点O，在运动过程中OD的长度变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少3．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是()A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.44．如图，在ABCD中，AD=2AB，CE AB⊥，垂足E在线段AB上，F、G分别是AD、CE的中点，连接FG，EF、CD的延长线交于点H，则下列结论：①12DCF BCD∠=∠；②EF CF=：③2BEC CEFS S=；④3DFE AEF∠=∠.其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，且点F在长方形ABCD内，将AF延长交边BC于点G，若BG=3CG，则ADAB=（）A．54B．1 C．5D．66．如图的△ABC中，AB>AC>BC,且D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误乙正确7．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．38．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝4，点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的左上方作正方形AEFG ，同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当点F 落在直线MN 上，设运动的时间为t ，则t 的值为( )A ．1B ．103C ．4D ．1439．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．13．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．18．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间为t秒时，以点,,,P Q E D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值等于_______．三、解答题21．如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由．22．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．23．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）24．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．25．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．26．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．27．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .28．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.29．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．图1 图2（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12 CD=12AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，③正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；④不正确；即可得出结果.【详解】解：四边形ABCD 是菱形，,//,,,,AB BC CD DA AB CD OA OC OB OD AC BDBAG EDG ABO BCO CDO AOD CD DEAB DE∴=====⊥∴∠=∠∆≅∆≅∆=∴= 在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴.AG=DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG=12CD=12AB ，①正确； ∵AB//CE ，AB=DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB=BD=AD ，∠ODC=60°，∴OD=AG ，四边形ABDE 是菱形，③正确；∴AD ⊥BE ，由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，在△ABG 和△DCO 中，60OD AG ODC BAG AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DCO∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，则②不正确。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题专项训练检测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题专项训练检测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题专项训练检测试题一、解答题1．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．2．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．3．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．4．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．5．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．6．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．7．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.8．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

人教版平行四边形单元 易错题难题自检题学能测试试卷

人教版平行四边形单元 易错题难题自检题学能测试试卷

人教版平行四边形单元 易错题难题自检题学能测试试卷一、选择题1．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n .”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =．乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n ＝14． 丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n =． 下列正确的是（ ）A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对2．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-3．如图，已知直线l //AB ，l 与AB 之间的距离为2．C 、D 是直线l 上两个动点（点C 在D 点的左侧），且AB =CD =5．连接AC 、BC 、BD ，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ．下列说法：①四边形ABDC 的面积始终为10；②当A ′与D 重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A ′与D 不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为57．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF SS .=⑤其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④⑤D ．①③⑤5．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为6和14，则b 的面积为（ ）A ．8B ．18C ．20D ．267．如图，长方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内，将AF 延长交边BC 于点G ，若BG=3CG ，则AD AB=（ ）A ．54B ．1C ．5D ．6 8．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．如图，△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7．点A 2、B 2、C 2分别是边B 1C 1、A 1C 1、A 1B 1的中点；点A 3、B 3、C 3分别是边B 2C 2、A 2C 2、A 2B 2的中点；……；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）A ．201412 B ．201512 C ．201612 D ．20171210．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF 的值，下面说法正确的是（ ）A ．先增大，后减小B ．先减小，后增大C ．始终等于2.4D ．始终等于3二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．13．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)14．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．15．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．16．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.17．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______18．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．三、解答题 21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______； 22．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．23．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．24．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.25．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．26．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB ∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．27．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.28．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．30．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG 517DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n 2261265+=14；乙的思路与计算都正确，n 2261265+=14；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n =（12+6）×22=2≈13． 故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 2．C解析：C【解析】【分析】根据已知条件如图可得到B 12 ，B 2所在的正方形的对角线长为2(2),B 3所在的正方形的对角线长为3(2),依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为62)=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试题一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上，连接AE 、EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=︒；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，则1CF =；③若90AEF ∠=︒，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，E 为BD 上任意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为 （ ）A 3B ．13C 7D ．34．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕EF 的长度为（ ）A ．3B ．23C ．10D ．31025．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm6．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．y 随x 的增大而减小C ．随x 的增大，y 先增大后减小D ．随x 的增大，y 先减小后增大7．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法确定9．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．13．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．14．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．16．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．19．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．∆沿22．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点（不与点A，D重合），ABEBE折叠，得BEF，点A的对称点为点F．=时，点F会落在CE上吗？请说明理由．（1）当AB AD（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 23．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．24．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．25．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．26．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．27．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．28．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2．（1）如图1，求证：DG =BE ；（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．①连结BH ，BG ，求BH BG的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．29．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．30．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据题意，连接CF ，由正方形的性质，可以得到△ABF ≌△CBF ，则AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，由∠BAF=∠FGC=∠BCF ，得到AF=CF=FG ，故①正确；连接AC ，与BD 相交于点O ，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF ≌△FHG ，即可得到EH=AO ，则③正确；把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，则证明△MAG ≌△EAG ，得到MG=EG ，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.【详解】解：连接CF ，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°，在△ABF 和△CBF 中，45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，∵FG ⊥AE ，∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，又∵∠BGF+∠CGF=180°，∴∠BAF=∠CGF ，∴∠CGF=∠BCF∴CF=FG ，∴AF=FG ；①正确；连接AC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ，∴∠AOF=∠FHG=90°，∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，∴∠OAF=∠GFH ，∵FA=FG ，∴△AOF ≌△FHG ，∴FH=OA=定值，③正确；如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ，∵AF=FG ，AF ⊥FG ，∴△AFG 是等腰直角三角形，∴∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△AMG 和△AEG 中，45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMG ≌△AEG ，∴MG=EG ，∵MG=MB+BG=DE+BG ，∴GE= DE+BG ，故④正确；如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ， 则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠PBN=90°，∴BP 2+BN 2=PN 2，由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△ANP 和△ANF 中，45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△ANF ，∴PN=NF ，∴BP 2+BN 2=NF 2，即DF 2+BN 2=NF 2，故⑤正确；根据题意，无法证明②正确，∴真命题有四个，故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．2．D解析：D【解析】【分析】正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若E 为BC 中点，1CF =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=︒．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，用勾股定理列方程可求得CF ，③若90AEF ∠=︒，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ，【详解】解：①若E 为BC 中点，1CF =，∵AB=4，∴BE=CE=2，DF=3，∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，∴AE 2+ EF 2=AF 2，∴90AEF ∠=︒；故①正确，②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，设CF x =；则DF=4-x.∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2，∵90AEF ∠=︒∴∴AE 2+ EF 2=AF 2，∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2解得x=1；即CF=1.③若90AEF ∠=︒，1CF =，则DF=3,设BE=x ，∴AE 2+ EF 2=AF 2，即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.故①②③正确，答案选D.【点睛】本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.3．C解析：C【分析】设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，则'BO 即为PO ＋PB 的最小值，易证△ABO 为等边三角形，过点A 作AH ⊥BO 于H ，求出AH OO ='，然后利用勾股定理求出BO 即可．【详解】解：如图，设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，∵P 为AE 中点，∴点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，∴OP OP ='，∴PO ＋PB =BP O P BO +=''，∵四边形ABCD 是矩形，∠AOD =120°，∴OA =OB ，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =BO =4，过点A 作AH ⊥BO 于H ， ∴2221=3AH =-，∵MN ∥BD ，点H 关于MN 的对称点为A ，点O 关于MN 的对称点为'O ，∴3AH OO =='，且OO BD ⊥'，∴2222+=2+(3)=7BO BO OO =''，即PO ＋PB 的最小值为7，故选：C ．【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出'BO 为PO ＋PB 的最小值是解题关键．4．C解析：C【分析】设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．【详解】解：过E 作EG BC ⊥于G ，设AE x =，则9DE BE x ==-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，2223(9)x x ∴+=-解得4x =，4AE ∴=，945BE DE ∴==-=，DEF BFE ∠=∠，DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，5BF BE ∴==，1GF ∴=，Rt EFG ∴中，EF ===即EF ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．5．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE ∆的周长等于AB+AD ，代入求出即可．【详解】∵10ABCD C cm =∴=5AB AD cm +∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥∴EB=ED∴AEB CAB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB C cm =故选：D ．【点睛】本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．6．C解析：C【分析】连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.【详解】解，如图，连接BQ ，由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形，在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则OP=a x -，CQ b y =-，由勾股定理，得：222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，∵222PQ PB BQ +=，∴222222()()y a x x b a b y +-++=+-，整理得：2by x ax =-+， ∴221()24a a y x b b=--+， ∵10b-<， ∴当2a x =时，y 有最大值24a b； ∴随x 的增大，y 先增大后减小；故选择：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.7．B解析：B【分析】根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.【详解】解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，∴OP=AQ ，∵OQ+AQ=OA=8，∴OQ+OP=8，①正确；由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化，t=时，如图：当4则AQ=OP=4，-=，∴OQ=844∴点B的坐标为：（4，4），②正确；此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，⨯=，③正确；∴四边形PBQO的面积为：4416∵四边形PBQO是正方形，∴PQ=OB，t=时，PQ=OB，故④错误；即当4∴正确的有：①②③，共三个；故选择：B.【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.8．B解析：B【分析】连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，根据已知条件易证△BHK≌△ABC，继而由全等三角形的性质得S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，再由全等三角形的判定可得△BCJ≌△HKL，进而可得S1＝S△BHK＝S△ABC，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC≌△AIG，继而可得S△ABC＝S△AIG＝S2，等量代换即可求解．【详解】解：连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，由题意可知：四边形BCED是正方形，四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∠ACB＝90°∴∠CEH＝∠ECK＝90° ,CE＝BC∵∠BKH＝90°,∴四边形CEHK是矩形，∴ CE＝HK又∠HBK＋∠ABC＝90°, ∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠HBK ＝∠BAC∴△BHK ≌△ABC （AAS ）∴S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，∵∠ABC ＋∠CBJ ＝90°，∠BHK ＋∠KHL ＝90°∴∠CBJ ＝∠KHL∴△BCJ ≌△HKL （ASA ）∴S △BCJ ＝S △HKL ，∴S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，∵四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∴AB ＝AI ，AC ＝AG ，∠G ＝∠ACB ＝90°∴△ABC ≌△AIG （SAS ）∴S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，即S 1＝S 2故选：B【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．9．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】∵ACB 90∠=︒，2AC BC == ∴22AB 222=+=∴A B 45∠=∠=︒∵点D 是AB 的中点∴CD AB ⊥，且1AD BD CD AB 22====∴DCB 45∠=︒∴A DCF ∠∠=，在ADE 和CDF 中AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ≌()CDF SAS∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=∵CD AB ⊥∴ADC 90∠=︒∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴DEF 是等腰直角三角形∵ADE ≌CDF∴ADE 和CDF 的面积相等∵D 为AB 中点∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小根据勾股定理得：222EF DE DF =+此时四边形CEDF 是正方形即EF CD ==∴22EF 2==∴正确的个数是4个故选：A ．【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．10．D解析：D【分析】通过判断△AND ≌△CMB 即可证明①，再判断出△ANE ≌△CMF 证明出③，再证明出△NFM ≌△MEN ，得到∠FNM=∠EMN ，进而判断出②，通过 DF 与EB 先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE ，即可知四边形为菱形．【详解】∵BF ⊥AC∴∠BMC=90°又∵//DE BF∴∠EDO=∠MBO ，DE ⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四边形ABCD 为矩形∴AD=BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO 即∠AND=∠CBM在△AND 与△CMB∵90DNA BMC AND CBM AD BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AND ≌△CMB(AAS)∴AN=CM ，DN=BM ，故①正确．∵AB ∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE 与△CMF 中∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ANE ≌△CMF （ASA ）∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．在△NFM 与△MEN 中∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NFM ≌△MEN （SAS ）∴∠FNM=∠EMN∴NF ∥EM ，故②正确．∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB又根据矩形性质可知DF ∥EB∴四边形DEBF 为平行四边根据矩形性质可知OD=AO ，当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°故DE=EB∴四边形DEBF为菱形，故④正确．故①②③④正确故选D．【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴2222BO, ∴122HE BO ，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.13．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．14．42 【分析】 作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．15．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．16．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，的平分线交CD于点E，∵BAD∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．663【分析】通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．【详解】解：如图，设NE 交AD 于点K ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC∵CE CB BE ==，∴△BCE 为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC ，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN ⊥BE ，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，KE=2223KM EM-=，∴NE=NK+KE=6+23，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+43，∴BE=22663BN NE-=+，∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．19．4【分析】根据题意，当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+23，由DM=122AD=，则BM=23，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，则得到△ABD为等边三角形，即可得到BD的长度.【详解】解：如图：连接BD，BM，则AC垂直平分BD，则BN=DN，当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+3∵AD=AB=4，M是AD的中点，∴AM=DM=122AD =，∴BM=∵22222216AM BM AB +=+==，∴△ABM 是直角三角形，即∠AMB=90°；∵BM 是△ABD 的中线，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=AB=AD=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD 是等边三角形.2012a 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，∵AE ==∴AB =．（2）结合（1）可知，AE AM ==，∴FM a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM =∴BM 2a -=∴1AB 22a a -=+=．；12a ． 【点睛】 本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）DE CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝DF 或|AF －CF |【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得CF=HA ，即可得出；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，设BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，DCG BCFCD CBCDG CBF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴2，连接BE，。

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平行四边形单元 易错题难题质量专项训练一、选择题1．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为( )A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对3．如图，90MON ∠=︒边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．2.4B ．5C ．31+D ．524．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =28.8． 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）A ．23-B ．232-C ．31-D ．36．如图所示，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，作AE 的垂直平分线交AB 于G ，交CD 于F ，若2DF =，4BG =，则AE 的长为( )A ．47B ．310C ．10D ．127．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（ ）A ．MCB MCA ∠=∠B ．MCB ACD ∠=∠C ．B ACD ∠=∠ D ．MCA BCD ∠=∠8．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，依此下去，第n 个正方形的面积为（ ）A．（2）n﹣1B．2n﹣1C．（2）n D．2n9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是()A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．210．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①∠EFH＝45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD＝45°；④若BEEC＝2，则1113BEHAHESS．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，3AB=，2AC=，则BD的长为_______________．15．已知在矩形ABCD中，3,3,2AB BC==点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且,AP PQ⊥当AP PQ=时，AP=________________．16．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（23，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．22．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．23．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．24．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．25．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于34吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．26．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由27．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.28．阅读下列材料，并解决问题：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值是多少．在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．参考小红的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______； （2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值．29．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．30．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】延长MN 交AB 延长线于点Q ，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ ，证出MQ=AQ ，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，证出∠ANQ=90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN 的面积．【详解】解：延长MN 交AB 延长线于点Q ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA=∠MAQ ，由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠DMA=∠AMQ ，AN=AD=4，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ ，∴MQ=AQ ，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：AQ 2=AN 2+NQ 2，∴（x+1）2=42+x 2，解得：x=7.5，∴NQ=7.5，AQ=8.5，∵AB=5，AQ=8.5，∴S △NAB =S △NAQ =×AN•NQ=××4×7.5= ；故选：D ．【点睛】本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】分别过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，根据正方形的性质可得EG=MP ；对于小明的说法，先利用“HL ”证明Rt △EFG ≌Rt △MNP ，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG ，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP ，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义即可证得MN ⊥EF ；对于小亮的说法，先推出∠EQM=∠EFG ，∠EQM=∠MNP ，然后得到∠EFG=∠MNP ，然后利用“角角边”证明△EFG ≌△MNP ，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN ．【详解】如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形，∴EG=MP ，对于小明的说法：在Rt △EFG 和Rt △MNP 中，MN EF EG MP⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △EFG ≌Rt △MNP （HL ），∴∠MNP=∠EFG ，∵MP ⊥CD ，∠C=90°，∴MP ∥BC ，∴∠EQM=∠EFG=∠MNP ，又∵∠MNP+∠NMP=90°，∴∠EQM+∠NMP=90°，在△MOQ 中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP ）=180°-90°=90°，∴MN ⊥EF ，故甲正确．对小亮的说法：∵MP ⊥CD ，∠C=90°，∴MP ∥BC ，∴∠EQM=∠EFG ，∵MN ⊥EF ，∴∠NMP+∠EQM=90°，又∵MP ⊥CD ，∴∠NMP+∠MNP=90°，∴∠EQM=∠MNP ，∴∠EFG=∠MNP ，在△EFG 和△MNP 中，90EFG MNP EGF MPN EG MP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝ ， ∴△EFG ≌△MNP （AAS ），∴MN=EF ，故小亮的说法正确，综上所述，两个人的说法都正确．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．3．C解析：C【解析】【分析】如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值．【详解】解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，∵点D 是AB 边中点，∴BD=12AB=1， ∴22BC BD -2221-33连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ，由（1）得，3又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，∴OD=12AB=1， ∴3OC 的最大值为3故选：C ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．4．B解析：B【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出AB =AF ，∠AFG =90°，由HL 证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；设BG =FG =x ，则CG =12﹣x ．由勾股定理得出方程，解方程求出BG ，得出GC ，即可得出②正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB =∠GCF ，得出AG ∥CF ，即可得出③正确；通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．【详解】①正确．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD =12，∠B =∠GCE =∠D =90°，由折叠的性质得：AF =AD ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF ．在Rt △ABG 和Rt △AFG中，AG AG AB AF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）； ②正确．理由如下：由题意得：EF =DE =13CD =4，设BG =FG =x ，则CG =12﹣x ． 在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（12﹣x ）2+82=（x +4）2，解得：x =6，∴BG =6，∴GC =12﹣6=6，∴BG =GC ；③正确．理由如下：∵CG =BG ，BG =GF ，∴CG =GF ，∴△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =2∠AGB =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GC F =2∠GFC =2∠GCF ，∴∠AGB =∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．理由如下：∵S △GCE =12GC •CE =12×6×8=24． ∵GF =6，EF =4，△GFC 和△FCE 等高，∴S △GFC ：S △FCE =3：2，∴S △GFC =35×24=725≠28.8． 故④不正确，∴正确的有①②③．故选B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．5．B解析：B【分析】连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度．【详解】解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ， ∵ABE ∆是等边三角形，∴60EAB EBA ∠=∠=︒，∴30DAE CBE ∠=∠=︒，在DAE ∆和CBE ∆中，∵AD BC DAE CBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAE CBE ∆≅∆，∴ED EC =，在EDF ∆和ECF ∆中，∵FD FC EF EF ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴EDF ECF ∆≅∆，∴DFE CFE ∠=∠∴EF 是DFC ∠的平分线，∴FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG DC ⊥，∴GE GF EF =-，同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,∵,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长，∴GF EH =，∴GE FH =,∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ∆是等边三角形，∴2DF =，∵FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==，∴在Rt DFG ∆中，由勾股定理得：222DF DG GF =+，即：2222=1GF +，∴GF =∴2FH =，同理可得：2GE =-，∴((22222EF GE FH =--=--=，故选：B ．【点睛】本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用,,,G E F H四点共线是解决本题的关键．6．B解析：B【分析】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．首先证明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根据GE2=BG2+BE2，构建方程求出x 即可解决问题．【详解】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠GHF=90°AB=AD=GH，AG=GE=x，∵∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠FGH=90°，∴∠BAE=∠FGH，∴△ABE≌△GHF，∴BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，∵GE2=BG2+BE2，∴x2=42+（x-2）2，∴x=5，∴AB=9，BE=3，在Rt△ABE中，2222++=AB BE93310故选：B．【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定逐项判断即可．【详解】∠=∠，故本选项符合题意；解：A.不能推出MCB MCAB. ∵∠MCB=∠B=∠ACD，故本选项不符合题意；C.∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，故本选项不符合题意；D. ∵∠ACB=90°，CM是斜边的中线，∴CM=BM，∴∠MCB=∠B=∠ACD，∴∠ACM=∠BCD，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了对三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等考点的理解．8．B解析：B【解析】【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．【详解】第一个正方形的面积为1=20，）2=2=21，第三个正方形的边长为22，…第n个正方形的面积为2n﹣1，故选B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到S n的规律是解题的关键．9．B解析：B连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB 22AC BC 5.∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，此时，S △ABC ＝12 BC ·AC ＝12AB ·CD ， 即12×4×3＝12×5·CD ， 解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.故选B .【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．10．A解析：A【分析】①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12∠EFD ＝45°，故①正确； ②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S ，便可判断④的正误．证明：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，∵EF∥CD，∴∠EFD＝90°，∴四边形EFDC是矩形．在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，∵H是DG中点，∴∠EFH＝12∠EFD＝45°故①正确；②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD，∵∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，∴△AFH≌△EGH（SAS），∴EH＝AH，∵EF＝AD，FH＝DH，∴△EHF≌△AHD（SSS），故②正确；③∵△EHF≌△AHD，∴∠EHF＝∠AHD，∴∠AHE＝∠DHF＝90°，∵AH＝EH，∴∠AEH＝45°，即∠AEF+∠HEF＝45°，∵∠HEF ＝∠HAD ，∴∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，∴BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ， ∴22225113222AH x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝， ∴211021132BEH AHE BE HN S =S AH ⋅=， 故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的性质进行求解即可．二、填空题11．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）13．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．14．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：42【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.15．322或3102【分析】 根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴AP=223322+（）（）=322当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴【点睛】 此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.16【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，OB ∴=四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，OB OD ==点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形， DA OB ⊥，12OA OB ∴==3AD ===，D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．17．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，可证点B ，点A ，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，S △ABC =1242⨯=12cm 2，∵在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB ′C ，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，∴∠BAB'=180°，∴点B ，点A ，点B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE ，∴S △ACE =12S △AB'C =6cm 2， 故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B ，点A ，点B'三点共线是本题的关键．18．4【分析】证明CF ∥DB ，CF=DB ，可得四边形CDBF 是平行四边形，作EM ⊥DB 于点M ，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，19．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．【详解】解：作AB的中点M，连接EM、CM．在Rt△ABC中，AB22AC BC+2286+10，∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝12AB＝5．∵E是BD的中点，M是AB的中点，∴ME＝12AD＝2．∴5﹣2≤CE ≤5+2，即3≤CE ≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．故答案为：【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，5AF ===，∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.22．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）103DE =． 【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+， 解得：43x=， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．23．（1）四边形AGFP 是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP 的周长为：252【分析】（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形AGFP 是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°，∵PF ⊥BD ，PA ＝PF ，∴∠PBA ＝∠PBF ，∵AE ⊥BD ，∴∠PBF+∠BGE ＝90°，∵∠BAP ＝90°，∴∠PBA+∠APB ＝90°，∴∠APB ＝∠BGE ，∵∠AGP ＝∠BGE ，∴∠APB ＝∠AGP ，∴AP ＝AG ，∵PA ＝PF ，∴AG ＝PF ，∵AE ⊥BD ，PF ⊥BD ，∴AE ∥PF ，∴四边形AGFP 是平行四边形，∵PA ＝PF ，∴平行四边形AGFP 是菱形；（2）在Rt △ABP 和Rt △FBP 中，∵PB ＝PB ，PA ＝PF ，∴Rt △ABP ≌Rt △FBP （HL ），∴AB ＝FB ＝1，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∴BD =设PA ＝x ，则PF ＝x ，PD ＝2﹣x ，PF 1，在Rt △DPF 中，DF 2+PF 2＝PD 2，∴2221)(2)x x +=-解得：x ，∴四边形AGFP 的周长为：4x ＝4×122=． 【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．。

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