高三数学下学期期中质量评估试题 理
北京市海淀区高三数学第二学期期中练习参考答案与评分标准（理科）
北京市海淀区高三数学第二学期期中练习参考答案与评分标准（理科）2001.5一、选择题：（1）C ；（2）D ；（3）A ；（4）A ；（5）C ；（6）B ；（7）C ；（8）C ；（9）B ；（10）C ；（11）D ；（12）D .二、填空题：（13）12；（14）};12|{<<-x x （15）x ∈（0，2]；（16）123122242、、中选一即可 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设z=x + yi （x ，y ∈R ）依题意，xyi y x yi x z 2)(222+-=+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+②① 22 222xy y x …………………………………………3分故0)(2=-y x∴22,2==x y x 得代入②∴x =±1，∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1111y x y x 或 ∴z =1+i 或z = –1–i ………………………………………………5分45arg 4arg ππz z 或= ∴)45sin 45(cos 2)4sin 4(cos 2ππππi z i z +=+=或……………7分 （Ⅱ）当z =1+i 时，i z z i z -=-=1,222∴A （1，1）、B （0，2）、C （1，–1）∴|AC |=212121=⨯⨯=∆ABC S ………………………………………………10分 当z =–1–i 时，i z z i z 31,222--=-=A （–1，–1）、B （0，2）、C （–1，–3）则1=∆ABC S综上△ABC 的面积为1.…………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线∴AF ⊥BC又D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴BE BC 21 ∴AF ⊥DE ，AF ∩DE =G ……………………2分∴G A '⊥DE ，GF ⊥DE∴DE ⊥平面FG A '…………………………4分又DE BCED 平面⊂∴平面FG A '⊥平面BCED ……………6分（Ⅱ）∵G A '⊥DE ，GF ⊥DE∴∠GF A '是二面角A ′–DE –B 的平面角……………………7分∵平面GF A '∩平面BCED =AF作H A '⊥AG 于H∴H A '⊥平面BCED ………………………………………………9分假设E A '⊥BD ，连EH 并延长交AD 于Q∴EQ ⊥AD ……………………………………………………………10分∵AG ⊥DE∴H 是正三角形ADE 的垂心，也是中心.∵AD =DE =AE =2a ∴a AG HG a AG G A 12331,43====' 在Rt △HG A '中，31cos ='='∠G A HG GH A ∵∠GF A '=π–∠A 'GH∴31cos -='∠GF A∴)31arccos(-='∠GF A 时…………………………………………11分 即当.,)31arccos(BD E A GF A ⊥'-='∠时……………………………12分 （19）解：（Ⅰ）∵当n ≥2时，232,,431---n n n S a S 成等差数列 ∴1232432--+-=n n n S S a ∴)2(43≥-=n S a n n ………………………………………………2分∴,4)(3212-+=a a a ∵11=a ，∴212-a 类似地4)(33213-++=a a a a ∴413-=a 4)(343214-+++=a a a a a ∴ 814=a ……………………………4分 （Ⅱ）∵当≥2时，43-=n n S a ，即43+=n n a S∴⎩⎨⎧+=+=++②①434311n n n n a S a S ②–①，得n n n a a a -=++113 ∴211-=+n n a a 为常数………………………………………………6分 ∴2a ，3a ，4a ，…，n a ，…成等比数列. 其中21,212-==q a ………………………………………………7分 故1222)21()21(21,2-----=-=⋅=≥n n n n q a a n∴⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2( )21(--1)(n 11n a n n …………………………………………9分 （Ⅲ）∵n n a a a S +++= 21=)(132n a a a ++++∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞→∞→ =34311)21(1211=+=--+………………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y =f （t ）的周期T =12 ……………………1分振幅A =3………………………………………………………………2分b =10……………………………………………………………………3分 ∴106sin 3+=ty π……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米） ∴5.11106sin 3≥+tπ…………………………………………………6分 ∴216sin ≥tπ 解得，Z)(k 652662∈+≤≤+πππππk t k …………………………8分 Z)(k 512112∈+≤≤+k t k在同一天内，取k =0或1∴1≤t ≤5或13≤t ≤17………………………………………………10分∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时 …………………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）∵y =f （x ）是以5为周期的周期函数∴f （4）=f （4–5）=f （–1）……………………………………………1分 又y =f （x ），（–1≤x ≤1）是奇函数∴f （1）= –f （–1）= –f （4）∴f （1）+f （4）=0…………………………………………………3分（Ⅱ）当x ∈[1，4]时，由题意，可设f （x ）=5)2(2--x a （a ≠0）……………………………………………………5分由f （1）+f （4）=0得05)24(5)21(22=--+--a a解得a =2∴5)2(2)(2--=x x f （1≤x ≤4）…………………………………………7分 （Ⅲ）∵y =f （x ） （–1≤x ≤1）是奇函数∴f （0）= –f （–0） ∴f （0）=0………………………………………………8分 又y =f （x ） （0≤x ≤1 ）是一次函数∴可设f （x ）=kx （0≤x ≤1）∵35)21(2)1(2-=--=f又f （1）=k ·1=k∴ k =–3∴当0≤x ≤1时 f （x ）=–3x ……………………………………………………9分 当–1≤x <0时，0<–x ≤1∴f （x ）= –f （–x ）= –3x∴当–1≤x ≤1时，f （x ）=–3x ………………………………………………11分当4≤x ≤6时，–1≤x –5≤1∴f （x ）=f （x –5）=–3（x –5）=–3x +15当6<x ≤9时 1<x –5≤45]2)5[(2)5()(2---=-=x x f x f5)7(22--x∴f （x ）=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-96 ,5)7(264 ,1532x x x x …………………………………………12分 （22）解：（Ⅰ）∵5||||||22=+=OD CO CD ，且圆D 与圆C 外切（O 为原点）.∴圆D 半径r =5–2=3此时，A 、B 坐标分别为（0，0）、（0，6）P A 在x 轴上，BP 斜率k =2∴tg ∠APB =2…………………………3分 （Ⅱ）设D 点坐标为（0，a ），圆D 半径为r ，则① 16)2(22a r +=+A 、B 坐标分别为（0，a –r ）、（0，a +r ）设P A 、PB 斜率分别为1k ，2k ，则3,321r a k r a k +=-=② 963313322+-=-⋅++--+=∠r a r r a r a r a r a APB tg …………………………………………………6分由①解出2a 代入②，得68923346-+=-=∠r r r APB tg ，而8r –6为单调增函数，[)+∞∈,2r .∴]512,23(∈∠APB tg ∠APB 的最大值为512arctg ；……………………………………9分 （Ⅲ）假设存在Q 点，设Q （b ，0），QA 、QB 斜率分别为1k ，2k ，则br a k b r a k -+=--=21, |2||1||1|2221212r a b br br a b r a b r a b r a k k k k AQB tg -+-=--⋅-++---+=+-=∠……………………11分 将16)2(22-+=r a 代入上式，得|4122|4122|22+--=+--=∠r b b r b br AQB tg 欲使∠AQB 大小与r 无关，当且仅当122=b ，即32±=b ， 此时︒=∠=∠60,3AQB AQB tg∴存在Q 点，当圆D 变动时，∠AQB 为定值︒60，Q 点坐标为（0,32±）…………………………………………………………………………………………14分 注：其他正确解法可按相应步骤给分。
高三数学下学期期中试题 理(含解析)
——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019期中联考高三理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集，集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，∴，∴．选D．2. 已知复数满足，是的共轭复数则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】由题意得，∴，∴．选C．3. 以下有关命题的说法错误．．的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“”成立的必要不充分条件C. 对于命题，使得，则，均有D. 若为真命题，则与至少有一个为真命题【答案】D【解析】对于A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确：对于B. “”则“”，故“”是“”成立的必要不充分条件，正确；对于C. 对于命题，使得，则，均有正确；对于D.若为真命题，则与至少有一个为真命题，故D错误.故选D4. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-2)=（）A. 6B. -6C. 4D. -4【答案】A....................................∵，∴．∴，∴．选A．5. 设等差数列的前n项和为，若，且，则的值是（）A. 8B. 10C. 4D. 4或10【答案】A【解析】由题意得，解得；，解得．∴等差数列的公差，∴．选A．6. 已知为单位向量，，则的最大值为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】设向量的夹角为．由题意得，∴，当时等号成立，故的最大值为2．选C．7. 已知，执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题意得．所以输入的．执行如图所示的程序，可得：①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，满足条件，停止运行，输出4．选B．8. 设，满足约束条件，则目标函数z=x+y的最优解(x,y)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出表示的可行域，如图三角形内部及边界即为所作可行域，由图知平移至点处达到最小值，联立，解得，即，目标函数取最小值时的最优解是，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．结合三视图中的数据可得，，故此几何体的各面中最大面的面积为．选B．10. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由题意得或，∴或，∴或，又，∴或．∴的最小值为．选A．11. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为，设点Q坐标为，则，∵，∴，∴．设，由得，∴，∴，∵点在双曲线上，∴，∴，∴，解得或，∴双曲线的离心率为2．选B．点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12. 设，令，，若，则数列的前项和为，当时，的最小整数值为（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】A【解析】由题意得，，，……由此可得，故可归纳得，∴，∴，由题意得，解得．∴的最小整数值为2017．选A．点睛：（1）常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：①数的归纳包括数字的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．②形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳．（2）数列求和时，要根据数列项的特点，选择适合的方法．本题中由于是分式型数列求和，故选用列项求和的方法．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 若的展开式的常数项是__________．【答案】5【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.14. 记直线的倾斜角为，则的值为________.【答案】【解析】∵直线的斜率为2，∴，∴，，∴．答案：15. 《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）【答案】6【解析】由题意得16. 为自然对数的底数，已知函数，若使得函数有三个零点，则m的取值范围是______________【答案】【解析】由得．令，则在上单调递减，且．又由得，由得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时有极大值，且极大值为．画出两函数的图象如图所示，结合图象可得，要使函数有三个零点，需满足，解得．故所求m的取值范围是．答案：点睛：已知函数的零点个数（或方程根的个数）求参数取值范围时，一般借助函数的图象利用数形结合的方法求解．解题时可利用分离参数的方法使方程的一边只含有参数，而另一边是不含参数的形式，然后在坐标系内画出函数的图象，并结合图象和零点个数来确定参数的取值范围．三、解答题（共70分）17. 已知函数.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，的面积为，求a边的长.【答案】(1)见解析;(2)5.【解析】试题分析：（1）解析式可化为，由此可得最小正周期，将代入正弦函数的增区间，求得x的范围即可得到函数的单调增区间．（2）由可得，根据的面积为可得，然后由余弦定理可得．试题解析：（1）∵∴的最小正周期由，得,,∴函数的单调递减区间是．（2）由（1）得，∴，∴，∵∴ .又，∴ ，由余弦定理得，又，∴ ，∴ ．点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．18. 在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.【答案】(1)0.65;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数结合题意求解不等式有即.则食堂利润不少于760元的概率是.(2)由题意可知可能的取值为460，660，860，960.分别求得相应的概率有，，，.据此得出分布列，然后计算数学期望有.试题解析：（1）一斤米粉的售价是元.当时，.当时，.故设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.（2）当时，；当时，；当时，；当时，.所以可能的取值为460，660，860，960.，，，.故的分布列为.19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）连交于点，连，则得，进而可得平面，于是．由线面平行的性质可得，所以得．（2）由条件可得两两垂直，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面AMHN与平面ABCD的法向量，通过两法向量的夹角的余弦值可得所求．试题解析：（1）证明：连交于点，连．因为四边形为菱形，所以，且为、的中点．因为，所以，又且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，平面平面，所以，所以．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，又，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，因为，所以．分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系．设，则，所以设平面的法向量为，则，令，得．由题意可得平面的法向量为，所以．所以平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．20. 已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：试题解析：（1）由题意得椭圆的方程为：，即．∵ ．∴ ，又为椭圆上一点，∴．，即，又，,∴椭圆的方程为．（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,由消去y整理得，∵直线与椭圆相切，∴，整理得．设，则，且，∴点到直线的距离，同理由消去y整理得，设，则，，．②当直线斜率不存在时，易知综上可得的面积为定值．点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对，都有.【答案】(1)见解析.(2)；(3)证明见解析【解析】试题分析：(1)求解导函数有.结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得的单调增区间为，单调减区间为.(2)二次求导可得.分类讨论：①当时，对一切恒成立.②当时，，对一切不恒成立.③当时，对一切不恒成立.综上可得实数的取值范围是.(3)结合(2)的结论，取，有时，.则.结合对数的运算法则即可证得题中的不等式.试题解析：（1）当时，函数，定义域为，.令可得，令可得.所以的单调增区间为，单调减区间为.（2），.①当时，，.故在区间上递增，所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.②当时，，.当时，，当时，.所以时，.而，故.所以当时，，递减，由，知，此时对一切不恒成立.③当时，，在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.此时对一切不恒成立.综上，实数的取值范围是.（3）由（2）可知，取，当时，有.取，有，即.所以，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】【试题分析】（1）对于曲线直接代入公式即可得到极坐标方程，对于先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示，然后利用辅助角公式化简求得最大值.【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…选修4-5:不等式23. 已知且．（1）求的最大值；（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由基本不等式可得，从而可得最大值．（2）由于时，故由题意可得对恒成立，于是或恒成立，解得或，从而可得所求的范围．试题解析：（1）由，得，当且仅当取最大值，.（2）由（1）得，∴．故由题意得对恒成立，或对恒成立，∵当时，，，∴或故实数的取值范围．。
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试(数学试题理)试题
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试（数学试题理）试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．32．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π3．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2826．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．17．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B 31 C ．221D ．328．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或39．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试(数学试题理)试题
2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试（数学试题理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．33．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．24．已知函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．5．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A．3B．3-C．3±D ．136．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆7．已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312+ B ．512+ C ．32D ．51+9．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对11．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学下学期期中试题 理(新版)人教版
2019学年度第二学期高三期中测试数学（理科）一、选择题：共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出四个选项中选出符合题目要求的. 1.若集合{|31}A x x =-<<，{1B x x =<-或2}>x ，则=I A BA.{|32}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|11}x x -<<D.{|12}x x <<2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知,R a b ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是A.220a b ->B.cos cos 0a b ->C.110a b-< D.0a b e e ---<4.在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()πθ+=A.43B.34C.43-D.34-5.设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是A.1B.2C.3D.46.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。
某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有A.6种B.8种C.10种D.12种7.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d >”是“{}n S 为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 在△ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若222a c b ac +=+,则B =A. 3π B.4π C.6π D.2π9.若,x y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 A.6 B.8C.10D.1210.某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有5个“学习能手”，则难题的个数最多为A.4B.3C.2D.111. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)()23(x f x f =-，2)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且12+=nan S n n ，{}n a S n 为的前项和n ，则=)(5a f （ ） A.3- B.2- C.3 D.212. 若函数)(x f y =，M x ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有)()(T x f x af +=恒成立，此时T 为)(x f 的假周期，函数)(x f y =是M上的a 级假周期函数，若函数)(x f y =是定义在区间[)∞+，0内的3级假周期且2=T ， 当，)2,0[∈x 212,01()2(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-<<⎩ 函数m x x x x g +++-=221ln 2)(，若[]8,61∈∃x ，)0(2∞+∈∃，x 使0)()(12≤-x f x g 成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.]213,(-∞ B.]12,(-∞ C.]39,(-∞ D.),12[+∞二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分.13. 在(1-2x )6错误！未找到引用源。
北京市2022届高三第二学期期中练习数学(理)试题(含答案)
高三年级第二学期期中练习数学试卷（理科）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为A ．－1B ．1C ．－iD ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52B ．3C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A ．3 B ．3 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝A ．1B ．2C ．3D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ== 8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2021 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
高三数学下学期期中试题 理含解析 试题
2021-2021高三第二学期期中考试本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
理科数学试题第I 卷(选择题 一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只 有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕 1.集合{}{}1,0,1,2,|2xA B y y =-==，那么AB =〔 〕A. {}1,0,1-B. {}1,2C. {0,1，2}D. {1,-1，2}【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的值域化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】∵集合{}1,0,1,2,A =-{}{}|20x B y y y y ===，所以{}1,2A B ⋂=． 应选B ．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.1ii-的一共轭复数为〔 〕 A. 1122i -+ B. 1122i +C. 1122i -- D.1122i - 【答案】C 【解析】试题分析：()()()111,11122i i i i i z z i i i +-+--====--+.考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四那么运算上,经常由于忽略而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合一共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四那么运算中,只对加法和乘法法那么给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.一共轭复数的概念. 3.假设命题0:x R ρ∃∈，002lg x x ->，那么ρ⌝是〔 〕 A. 0x R ∃∈，002lg x x -≤ B. 0x R ∃∈，002lg x x -< C. x R ∀∈，2lg x x -< D. x R ∀∈，2lg x x -≤ 【答案】D 【解析】【详解】因存在性命题的否认是全称命题,改写量词后否认结论， 所以ρ⌝是x R ∀∈，2lg x x -≤故应选D ．4.如下图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的外表积为〔 〕．A. 2πB.5π2C. 4πD. 5π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱，其高为2，半径为12，由公式易求得它的外表积，得到结果 【详解】由三视图可知，该几何体是一个圆柱，其高为2，半径为12，那么它的外表积为：21152π22222ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭应选B【点睛】此题主要考察的是根据三视图求外表积，体积，解答此题的关键是判断几何体的形状，属于根底题．5.函数423,(0)y x x x=-->的最大值是〔 〕A. 2-B. 2-C. 2+D. 2+【答案】B 【解析】 【分析】由根本不等式求出当0x >时，43x x+的最小值即可求出函数的最大值.【详解】由题：0x >，根据根本不等式43x x +≥=43x x =时获得等号，即当x =时，获得等号；所以4(3)x x -+≤-所以当x =时，函数423,(0)y x x x =-->获得最大值2-.应选：B【点睛】此题考察求函数最值，可用导函数讨论函数单调性得最值；可用根本不等式性质求得最值，需要在平常学习中多做积累.6.假设实数,x y 满足421x y x y x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，那么1x y x ++的最小值是〔 〕A.411B.12C.34D.32【答案】C 【解析】作出可行域，如下图：1111x y y x x +-=+++，即求1u 1y x -=+的最小值，可行域上的动点Q x y （，）与定点P 11-（，）连线的斜率的最小值，由图可知最小值为PA 14k =-，1x y x ++的最小值是34.应选C.点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.7.函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=〔 〕A. 2B. 1C.12D.14【答案】B 【解析】 【分析】利用降幂公式化简成正弦型或者余弦型函数，即()sin()f x A wx ϕ=+或者()cos()f x A wx ϕ=+形式，即可求解.【详解】由题：442222()sin cos (sin cos )(sin cos )f x x x x x x x ωωωωωω=-=+-22(cos sin )cos 2x x x ωωω=--=-，其最小正周期2,2T ππω==所以正数1ω=. 应选：B【点睛】此题考察三角恒等变换和函数周期求法，考察对恒等变形的常见处理方式，纯熟掌握公式对解题可以起到事半功倍的作用. 8.假设1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，那么cos2α等于( ) A.35 B.12C.13D. 3-【答案】A 【解析】1tan 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭tan 11tan αα-=+，解得1tan ,2α=22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++ 将正切值代入得到35. 故答案为A.9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的局部图像大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11xxee+-与sin x的性质，确定函数图象【详解】1()sin1xxef x xe+=⋅-，定义域为()(),00,-∞+∞，11()sin()sin11x xx xe ef x x xe e--++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin1xxef x xe+=⋅-是偶函数，排除A、C，又因为0x>且x接近0时，11xxee+>-，且sin0x>，所以1()sin01xxef x xe+=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.ln2ln3ln6,,,236a b c===那么,,a b c的大小关系是〔〕A. c b a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c a b >>【答案】B 【解析】由题意可得ln a b c ===，由于==，所以>>，故b ac >>，应选答案B ．11.假设函数()3ln f x x x x -+-，那么曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是〔 〕A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】先求()f x ，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为3()ln()3f x x x x =+-+，所以21()1f x x +'=+因此(1)k f =-='，倾斜角为3π，选B. 【点睛】此题考察导数几何意义以及倾斜角，考察根本分析求解才能.12.假设对于任意x ∈R 都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，那么函数(2)cos 2y f x x =-的图象的对称中心为〔 〕 A. ,0,4k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B. (),0,k k π∈ZC. ,0,24k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D. ,0,2k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 【答案】D 【解析】∵对任意x ∈R ，都有f 〔x 〕+2f 〔–x 〕=3cos x –sin x ①，用–x 代替x ，得f 〔–x 〕+2f 〔x 〕=3cos 〔–x 〕–sin 〔–x 〕，即f 〔–x 〕+2f 〔x 〕=3cos x +sin x ②；①②联立，解得f 〔x 〕=sin x +cos x ，所以函数y =f 〔2x 〕–cos2x =sin2x +cos2x –cos2x =sin2x ，图象的对称中心为〔π2k ，0〕，k ∈Z ，应选D ． 第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕 13.函数()()221f x x xf '=+，那么()1f 的值是__________．【答案】-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，那么()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.14.函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像上一个最高点的坐标为，由这个最高点到其相邻的最低点间图像与x 轴交于点(6,0)，那么此函数的解析式为__________．【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】由题意得2ππ6248T A T ω==-⇒==， ,且ππππsin(2)122π()2π()8824k k k k ϕϕϕ⨯+=⇒⨯+=+∈⇒=+∈Z Z所以函数的解析式为ππππsin(2π)sin()8484y x k x =++=+点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法〞中相对应的特殊点求ϕ.15.己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____. 【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f 〔﹣52〕＝f 〔﹣12〕＝﹣f 〔12〕，结合解析式求出f 〔12〕的值，又因为f 〔2021〕＝f 〔1+2×1009〕＝f 〔1〕＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f 〔x 〕是定义在R 上的周期为2的奇函数，那么f 〔﹣52〕＝f 〔﹣12〕＝﹣f 〔12〕， f 〔2021〕＝f 〔1+2×1009〕＝f 〔1〕，又由函数f 〔x 〕是定义在R 上的周期为2的奇函数，那么有f 〔1〕＝f 〔﹣1〕且f 〔1〕＝﹣f 〔﹣1〕，故f 〔1〕＝0，那么f 〔2021〕＝0，又由0＜x ＜l 时，f 〔x 〕＝4x，那么f 〔12〕＝124＝2，那么f 〔﹣52〕＝﹣f 〔12〕＝﹣2；那么5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为﹣2【点睛】此题考察函数的周期性与函数值的计算，属于根底题． 16.,,,A B C D 是同一球面上的四个点，,2ABC BAC AB AC π∆∠==中，,AD ⊥平面ABC ，6AD =，AB =那么该球的外表积为______________.【答案】60π 【解析】由题设知,,AB AC AD AB AD AC ⊥⊥⊥，故可把三棱锥A BCD -补成长方体，该长方体的体对角线就是外接球的直径，又体对角线的长度为=，故该球的外表积为22460S R πππ===，填60π.点睛：与球有关的外表积或者体积问题，可以先确定球心的位置，再求出球的半径的大小，也可以根据几何体的特点采用割补的方法把不规那么的几何体补充规那么的几何体，从而快速确定球的半径. 三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕17.向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，552||=-b a .〔1〕求cos()αβ-的值；〔2〕假设022ππβα-<<<<，且5sin 13β=-，求sin α的值. 【答案】〔1〕3cos()5αβ-=〔2〕3365【解析】 【分析】〔1〕先由条件得2242.5a ab b -⋅+=再利用向量的坐标公式计算代入得解； 〔2〕先计算αβ-和β的三角函数值，再由sin sin[()]ααββ=-+展开结合条件的三角函数可得解.【详解】〔1〕255a b -=，2242.5a a b b ∴-⋅+=又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，221a b ∴==，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ⋅=+=-，3cos().5αβ∴-=〔2〕022ππβα-<<<<，0.αβπ∴<-<由〔1〕得3cos()5αβ-=，4sin()5αβ∴-=，又5sin 13β=-，12cos 13β∴=，sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-=4123533.51351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】此题主要考察了三角函数的两角和的展开公式，属于根底题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可.18.在 ABC ∆中，,,a b c 分 别 为 角,,A B C 的 对 边 ，且()sin sin sin B C A C -=-.〔1〕求角A ；〔2〕假设3a =，求2b c +的最大值.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用sin sin()B A C =+展开代入条件，化简得1cos 2A =，再根据0A π<<，求得3A π=； 〔2〕用角B 这一变量来表示2b c +，转化成研究)B B +的最大值.【详解】〔1〕因为()sin sin sin B C A C -=-，所以()()sin sin sin A C C A C +-=-， 所以1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A +-=-⇒=， 因为0A π<<，所以3A π=. 〔2〕由〔1〕得23C B π=-， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，所以32sin sin sin()33b c B B ππ==-，所以2,3sin()3b Bc B π==-，所以223sin())3b c B B B B π+=+-=)B ϕ=+，其中tan (0,)2πϕϕ=∈， 由2(0,)3B π∈，存在B 使得2B πϕ+=，所以sin()B ϕ+的最大值为1，所以2b c +的最大值为【点睛】此题考察三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识，考察逻辑推理和运算求解才能，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量B ，构造关于变量B 的函数，接着研究函数的值域，从而得到目的式子的最值.19.()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，函数解析式1()()42x x a f x a R =-∈． 〔1〕写出()f x 在[]0,1上的解析式；〔2〕求()f x 在[]0,1上的最大值．【答案】〔1〕()24x x f x =-；〔2〕0．【解析】【详解】〔1〕∵()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，且()f x 在0x =处有意义，∴(0)0f =， 即001(0)1042a f a =-=-=．∴1a =． 设[]0,1x ∈，那么[]1,0x -∈-，∴11()4242x x x x f x ---=-=-； 又∵()()f x f x -=-，∴()42x x f x -=-；所以()24x x f x =-．〔2〕当[]0,1x ∈时，2()242(2)x x x x f x =-=-， ∴设2(0)x t t =>，那么2()f t t t =-．∵[]0,1x ∈，∴[]1,2t ∈．当1t =时，取最大值，最大值为110-=．考点：1、函数表达式的求法；2、函数的奇偶性；3、函数的最值.20.在三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC ⊥= AD ⊥平面, 1.BCD AD =〔Ⅰ〕求证：平面ABC ⊥平面ACD ；〔Ⅱ〕假设E 为AB 的中点，求二面角A CE D --的余弦值.【答案】〔1〕见解析；155. 【解析】试题分析：〔1〕通过AD BC ⊥，AC BC ⊥可证得BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，利用面面垂直的断定定理可得证.(2) 求出面ACE 的法向量()1,0,3n =-和平面CED 的法向量()0,1,2m =-，试题解析：〔1〕证明：因为AD ⊥平面,BCD BC ⊂平面BCD ，所以AD BC ⊥，又因为,AC BC AC AD A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面,ACD BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD . 由可得3CD =()0,0,0C ，()0,2,0B ，)3,0,1A ，()3,0,0D ，31,1,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.有3122CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,1CA =，()3,0,0CD =，设平面ACE 的法向量(),,n x y z =，有300{,{31002x z n CA n CE x y z +=⋅=⋅=++=，令1x =，得(1,0,3n =-，设平面CED 的法向量(),,m x y z =，有00{1002m CD m CE x y z =⋅=⋅=++=，令1y =，得()0,1,2m =-，二面角A CE D --的余弦值23cos 525n mn m θ⋅===⋅. 点晴：此题考察的是空间的线面关系和空间角的求解.第一问要考察的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的断定定理，可证得；对于第二问空间角的考察是合理建立空间右手系，并求出两个平面的法向量，要注意判断二面角是锐角还是钝角.2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.〔Ⅰ〕设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；〔Ⅱ〕假设(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【答案】〔Ⅰ〕当12a ≤时，()(0)1g x g b ≥=-；当122e a <≤时，()22ln(2)g x a a a b ≥--； 当2e a >时，()2g x e a b ≥--.〔Ⅱ〕a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕易得()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.〔Ⅱ〕设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联络到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由〔Ⅰ〕可知，当12a ≤及2e a ≥时，()g x 在(0,1)122e a <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：〔Ⅰ〕()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20x g x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-.②当0a >时，由()20x g x e a -'=>得2,ln(2)x e a x a >>.假设12a >，那么ln(2)0a >；假设2e a >，那么ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-. 当122e a <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--. 当2e a >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. 〔Ⅱ〕设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，那么由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.那么()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x .所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由〔Ⅰ〕知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2e a ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<. 此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a .假设(ln(2))0g a ≥，那么()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <.又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=，故()f x 在1(,x 2)x 内有零点.综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.【此处有视频，请去附件查看】〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>.〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕假设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点(0,1)M -，2||||||MA MB AB •=，务实数a 的值. 【答案】〔1〕直线310x y --=，曲线C :2220x y ax +-=〔2〕53a =【解析】 【分析】〔1〕在直线l的参数方程1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩中消去参数t 得直线的一般方程，在曲线C 的极坐标方程为2acos ρθ=中先两边同乘ρ，得曲线的直角坐标方程；〔2〕将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由12•MA MB t t =，()2212||AB t t =-，列方程求出答案. 【详解】解：〔1〕因为直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t 化简得直线l10y --=由2acos ρθ=得22a cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=所以222x y ax +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y ax +-= 〔2〕将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2220x y ax +-=得221104t at ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭即)210t a t -+=，)240a ∆=+->那么12t t a +=，121t t =， ∴12•1MA MB t t ==，∴2||1AB =∴()())2222121212||441AB t t t t t t a =-=+-=-=∵0a >，∴a =，满足)240a ∆=->∴a =【点睛】此题考察了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.函数()|41||2|f x x x =--+．〔1〕解不等式()8f x <；〔2〕假设关于x 的不等式2()5|2|8f x x a a ++<-的解集不是空集，求a 的取值范围．【答案】(1) 911{|}53x x -<< (2) 1a <-或者9a > 【解析】【分析】〔1〕分类讨论去绝对值，分别解得每一段的解集，取并集即可.〔2〕直接利用绝对值三角不等式求得最小值，解得a 的范围即可. 【详解】〔1〕由题意可得()33,2151,24133,4x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 当2x ≤-时，338x -+<，得53x >-，无解； 当124x -<<时，518x --<，得95x >-，即9154x -<<； 当14x ≥时，338x -<，得113x <，即11143x ≤<. 所以不等式的解集为911{|}53x x -<<. 〔2〕()5241489f x x x x ++=-++≥，那么由题可得289a a ->，解得1a <-或者9a >.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，考察了绝对值不等式的几何意义及应用，考察了分类讨论思想，属于中档题.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
【高三】河北省衡水市届高三下学期期中考试 数学理试题 Word版含答案
【高三】河北省衡水市届高三下学期期中考试数学理试题 Word版含答案【高三】河北省衡水市届高三下学期期中考试数学理试题word版含答案试卷描述：―学年度第二学期期中考试高中三年级年级数学试卷（理科）本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第ⅰ卷（选择题共60分）选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知复数，则它的共轭复数等于()a．b．c．d．，，则满足条件的集合的个数为（）a.b.c.d.3．甲、乙，连续如下表：甲8112110109111乙9111108108109则平均较高与较稳定的分别是（）a．甲，甲b．甲，乙c．乙，甲d．乙，乙的夹角为且，在中，，，为中点，则()a.2b.4c.6d.85．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是a．b.c．d.6．若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（）a.4b.c.2d.7．a．b．c．d．8．将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排。
则白球与黄球不相邻的放法有a．10种b．12种c．14种d．16种（a>0,b>0）实轴的两个顶点为a,b，点p为双曲线m上除a、b外的一个动点，若且,则动点q的运动轨迹为（）a.圆b.椭圆c.双曲线d.抛物线10．设函数，则函数的各极小值之和为（）ab.c.d.11．三棱锥p-abc中，顶点p在平面abc上的射影为,满足，a点在侧面pbc上的射影h是△pbc的垂心，pa=6，则此三棱锥体积最大值是（）a．12b．36c．48d．2412．已知f（x）是定义在r上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，如果函数g（x）=f（x）－（x+m）有两个零点，则实数m的值为a．2k（k∈z）b．2k或2k+（k∈z）c．0d．2k或2k一（k∈z）90分）填空题（每题5分，共20分。
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南阳市2016年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{,}P a b =，集合{|}M t t P =⊆，则P 与M 关系为（ ）A ． P M ⊆B ．P M ∉C ．M P ⊆D ．P M ∈2.复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．13-B ． 3C ． -3D ．133.已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC 等于（ ） A ． (7,4)-- B ．(7,4) C ． (1,4)- D ．(1,4)4.若cos 2sin αα+=tan α=（ ）A ． 12B ． 2 C. 12- D ．-2 5.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．16 B ．13 C. 35 D ．56 6.已知向量(2cos ,2sin )a θθ= ，(0,2)b =- ，(,)2πθπ∈，则向量,a b 的夹角为（ ） A ． 32πθ- B ．2πθ- C. 2πθ+ D ．θ 7.将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π的最小值为（ ）A ． 12-B ． 12C. 2-．28.已知()()()2f x x a x b =---，,m n 是方程()0f x =的两根，且,a b m n <<，则实数,,,a b m n 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<< C. a m b n <<< D ．m a n b <<<9.已知a b <，若函数(),()f x g x 满足()()b ba a f x dx g x dx =⎰⎰，则称(),()f x g x 为区间[,]ab 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()2||,()1f x x g x x ==+；②()sin ,()c os f x x g x x ==；③23()()4f xg x x π==；④函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在.其中为区间[1,1]-上的“等积分”函数的组数是（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．410.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．5 11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为'()f x ，当0x <时，'2()()0f x xf x +<恒成立，则(1),2016f f f 的大小关系为（ ）A ． 20172016(1)f f f <<B ．2017(1)2016f f f << C.(1)20172016f f f << D ．(1)20162017f f f <<12.已知实数,x y 分别满足：3(3)2016(3)x x a -+-=，3(23)2016(23)y y a -+-=-，则2244x y x ++的最小值是（ ）A ． 0B ． 26 C. 28 D ．30第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 ． 14.集合2{|0}A x x a =-≥，{|2}B x x =<，若R C A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．15.如图，已知OCB ∆中，,B C 关于点A 对称，D 是将OB 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ= ，则实数λ的值为 ．16.定义函数(){{}}f x x x =∙，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{1.5}2=，{ 2.5}2-=-，当*(0,],x n n N ∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）设()f x =A ，()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为B . （1）求,A B ；（2）若:,:p x A q x B ∈∈，p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin()sin sin a b a c A B A B +-=+-，3b =. （1）求角B ；（2）若sin A =，求ABC ∆的面积. 19. （本小题满分12分）已知：,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = .（1）若||c = //c a ，求c 的坐标；（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ. 20. （本小题满分12分） 已知函数421()421x x x x k f x +∙+=++. （1）若对任意的x R ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为-2，求实数k 的值.21. （本小题满分12分）设数列{}n a 满足*132(2,)n n a a n n N -=+≥∈，且12a =，3log (1)n n b a =+.（1）证明：数列{1}n a +为等比数列；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）设13nn n n c a a +=，证明：114n n i c =<∑. 22. （本小题满分12分）已知函数()1()x f x e ax a R =--∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当(0,2]x ∈时，讨论函数()()ln F x f x x x =-零点的个数；（3）若()ln(1)ln x g x e x =--，当01a <≤时，求证：[()]()f g x f x <.试卷答案一、选择题:DDABD ACACC DC二、填空题：．13.725 14.(],4-∞ 15.0.8 16. (1)2n n n a += 三、解答题：17.解：（1）由 2﹣≥0，解得x ＜﹣1或x ≥1，即A=()1,--∞ ∪[)+∞,1 …………2分 由（x ﹣a ﹣1）（2a ﹣x ）＞0得：（x ﹣a ﹣1）（x ﹣2a ）＜0，由a ＜1得a+1＞2a ，∴2a ＜x ＜a+1，∴B=（2a ，a+1）． ………………5分（Ⅱ）∵p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，￢p 是￢q 充分不必要条件，∴p 是q 必要不充分条件， ∴或 解得≤a ＜1，或a ≤﹣2，故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[，1） ………………10分18. 解：（Ⅰ）因为 sin()sin sin a b a c A B A B +-=+- 所以a b a c c a b+-=- 222a b ac c ∴-=- 2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== 又(0,)B π∈ ，3B π∴= ………………6分（Ⅱ）由3b =，sin A =，sin sin a b A B =，得2a = . 由a b <得A B <，从而cos A =，故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= . 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C ==. ………………12分 19.解：（1）设， ∵||=2，且∥，∴，解得 或， 故或．………………6分 （2）∵， ∴， 即， ∴， 整理得，… ∴，又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．………………12分20.解：（1）因为4x +2x +1＞0，所以f （x ）＞0恒成立，等价于4x +k •2x+1＞0恒成立， 即k ＞﹣2x ﹣2﹣x 恒成立，因为﹣2x ﹣2﹣x =﹣（2x +2﹣x ）≤﹣2，当且仅当2x =2﹣x 即x=0时取等号，所以k ＞﹣2； ………………6分 （2）， 令，则，当k ＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k ＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8． ………………12分21. 证明(1)()*1322,n n a a n n N -=+≥∈ ,1+131n n a a -∴=+（） 又12,a =+10n a ∴≠所以数列{1}n a +为等比数列； ………………4分（2）由（1）知31n n a =-，3log (1)n n n b a =+=，(31)3n n n n a b n n n ∴=-=⋅- 设（3）)131131(21)13)(13(33111---=--==+++n n n n n n n n n a a c 所以，=---=∑∑=+=ni i n i i i c 111)131131(21 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++++ L 1311311-31-1-311-31-1-31211322n n 41)13(21411311-312111<--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++n n ………………12分 22.解：（1）a e x f x -=')(， 当0≤a 时，0)(>'x f ，此时)(x f 只有增区间() +∞∞,-， 当0>a 时，由0)(>' x f 得a x ln >，由0)(<' x f 得a x ln < ， 所以此时)(x f 的单调增区间为() +∞,ln a ，减区间为()a ln ,-∞. 综上：当0≤a 时，)(x f 的单调增区间为()+∞∞,-； 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为() +∞,ln a ，减区间为() a ln ,-∞. ………………4分 （2）()x x ax e x F xln 1---=，由()0=x F 得x x e a x ln 1--=， 设()x x e x h x ln 1--=，()()()211x x e x h x --='，当10<<x 时，()0<' x h ；当21≤<x 时，()0>'x h所以()x h 在()1,0单调递减，在(]2,1上单调递增又()11-=e h ，()2ln 2122--=e h ， 当0>x 且0→x 时，()+∞→x h ， 函数()x h 的图像如图所示：故当1-<e a 时，函数()x F 没有零点；当1-=e a 或2ln 212-->e a 时有一个零点； 当2ln 2112--≤<-e a e 时有两个零点. ………………8分（3）由（1）知，当10≤<a时，)(x f 在() +∞,ln a 上单调递增， 故要证()[()]f g x f x <，只需证()x x g a << ln 即可.由()ln(1)ln xg x e x =--知0> x ， ①设()x e x x -1-1 =ϕ，()01-1>=' xe x ϕ，所以()x 1ϕ在() +∞,0上单调递增， 所以()()0011=>ϕϕx ，所以x e x >1- ，所以()0ln 1ln >--x e x ，所以()a x g ln 0≥>. ②因为()()()()1ln ln 1ln ln --⋅=--+=-x x x e e x e x x x g x ， 设()()12--⋅=x x e e x x ϕ，()02>⋅=' x e x x ϕ，所以()x 2ϕ在() +∞,0上单调递增， 所以()()0022=>ϕϕx ，所以()1->⋅x x e e x ，所以()()01ln ln >--⋅x x e e x ，即()x g x >， 由①②得()[()]f g x f x <. ………………12分。