高考理科数学全国3卷(附答案)

：____________________ 学号：________- - 密封线 - - - - - - - - -绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国III 卷 （全卷共10页）(适用地区：广西、云南、四川) 注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=(A)6425(B)4825(C) 1(D)1625（6）已知432a =，254b =，1325c =，则(A) b a c << (B) a b c << (C)b c a <<(D)c a b<<（7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b==，，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6（8）在ABC△中，π4B，BC边上的高等于13BC,则cos A（A）31010（B）1010（C）1010（D）31010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365+（B）54185+（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱111ABC A B C-内有一个体积为V的球，若AB BC⊥，6AB=，8BC=，13AA=，则V的最大值是（A）4π （B）92π（C）6π（D）323π(11) 已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34(12) 定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2k m≤，12,,,ka a a中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。

第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) 若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y=+的最大值为____________.(14)函数siny x x=的图像可由函数siny x x=+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．(15) 已知()f x为偶函数，当0x<时，()ln()3f x x x=-+，则曲线()y f x=在点(1,3)-处的切线方程是_______________。

(16) 已知直线l：30mx y m++=与圆2212x y+=交于,A B两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S = ，求λ．（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，≈. 参考公式：12211()()()(y y)niii n niii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，PA=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB ;（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ． （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 中AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.（I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国III 卷 答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）32（14）32π （15）21y x =-- （16）4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a .由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i it t，55.0)(712=-∑=i iy y，89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i i ii i i iy t yt y y t t，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE .以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， )4,2,0(-=PM ，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN . 设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-022542z y x z x ，可取)1,2,0(=n ， 于是2558|||||||,cos |=⋅=><AN n AN n AN n .（20）（本小题满分12分）解：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过BA ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . (3)分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y.当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . (12)分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin fx a x a x =---．（Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =因此，32A a =-． ………4分当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos(1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-． 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． （ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a-++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-.当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。