正弦函数、余弦函数性质(一).doc
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高一必修4：第一章三角函数1.4三角函数的图像和性质第2课时：正弦函数、余弦函数的性质（一）编写：皮旭光目标导航|课时目标呈现【学习目标】1. 学习周期性的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期两数的定义进行简 单的拓展运用。
2. 会判断正弦、余弦函数的奇偶性；探讨归纳正弦、余弦函数的对称性（对称轴，对称屮心）。
【知识线索】正弦函数、余弦函数的性质1. ______________________________________ 定义域：正弦函数y = sin x 的定义域是______________________________________________________ ；余弦函数y = cos 兀的定义域是 ____________ 02. 值域： ___________________________________ 正弦函数、余弦函数的值域都是 。
3. 周期性：（1）周期函数的定义:一般地，对于函数/（%）,如果存在一个非零常数使得当尢取定义域内的每一个值时，都有 ___________________ ，那么函数/（兀）就叫做周期函数，非零常数T 叫 做这个函数的周期。
（2） 最小正周期的定义：对于一个周期函数/（x ）,如果在它所有的周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做/（劝的最小正周期.说明：研究三角函数的周期时，如未特别说明，一般是指它的最小正周期。
（3） 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k7i （yiez 且斤HO ）都是它的周期，最小正周期 是2/r o（4） 一般地，函数 /（X ）= Asin （69X + （p ）及函数 /（兀）二 Acos@x + 炉），（其中 A 、co 、（p 为常数,A#）,coHO,xWR ）的周期为 T= _____ o4. __________________________ 对称性：正弦函数是余弦函数是 _________________正弦曲线关于 _________ 对称，对称中心是 ______________ 对称轴是 ______________ ； 余弦曲线关于 _________ 对称，对称中心是 ______________ 对称轴是 ______________ o【知识建构】四环节导思教学导学案新知导学课前自主预习疑难导思1.通常我们从哪些方面研究函数的性质？（如：定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等等）2.(1)对于函数y = sinx,xe R有sin(兰+空)=sin兰，能否说也是它的周期？为什么？6 3 6 3(2) /(x) = %2是周期函数吗？为什么？3.回答35页“思考”。
正弦函数、余弦函数的图象和性质(1)
课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质( 1)学习目标：1 •在初中描点法作图的基础上，理解借助“数形结合”思想，用正弦线画正弦函数图像、用余弦线画余弦函数图像，并初步掌握正弦曲线、余弦曲线；2 •学会用“五点作图法”画一个周期的正弦函数、余弦函数的简图；3•学会利用平移正弦曲线作余弦曲线、平移余弦曲线作正弦曲线；并扩展为利用图像变换作图的方法，发现函数图像之间的关系；4•学会善于查找、观察数学知识之间的内在联系。
学习重点：正弦函数、余弦函数图像的作法；学习难点：正弦函数、余弦函数图像间的关系，图像变换.学习过程：一、复习并预备知识、设置情境：1 •弧度制：通过弧度制将角度转换成实数，正角对应正实数，零角对应零，负角对应负实数, 从而使三角函数满足函数的定义中“两个数集之间的对应”的要求。
2 •正弦函数和余弦函数：y sin x, x R y cosx, x R都是以弧度制下的角(实数)为自变量、以比值(实数)为函数值的函数。
3 •三角函数线之正弦线和余弦线：4 •诱导公式：sin( 2k ) sin (k Z) sin( ) cos25. 图像的平移变换：对横坐标x :左加右减；对纵坐标y :下加上减。
6. 图像的对称：(x, y)与(x, y)关于y轴对称；(x, y)与(x,y)关于x轴对称；(x, y)与(x, y)关于原点对称；(y,x)与(x, y)关于直线y x对称。
二、新课：1.自主探究：问题①:在平面直角坐标系中如何作点(,sin )?3 3问题②:在平面直角坐标系中如何作y si nx,x[0,2 ] ?问题③:在平面直角坐标系中如何作y si nx,x R ?问题④：在平面直角坐标系中如何作y cosx, x R ?问题⑤：观察y sinx,x [0,2 ]的图像，找出关键点，和周围同学对比一下; 问题⑥：观察y cosx,x [0,2 ]的图像，找出关键点，和周围同学对比一下;问题⑦：你知道什么是“五点作图法” 了吗？在下方空白处用五点作图法作出y sin x,x [0,2 ]和y sin x,x [0,2 ]的图像。
正弦函数、余弦函数的性质(一)
B．偶函数
因为 f(x)＝sin
－12x＋2π
＝cos
1 2
x，
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
所以 f(－x)＝cos
－12x
＝cos
1 2
x＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
【加固训练】 函数 f(x)＝ 2sin x－1 是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【解析】(1)由已知π4 ＋φ＝kπ(k∈Z)， 所以 φ＝kπ－π4 (k∈Z)， 又因为 φ∈－π2，π2 ， 所以 k＝0 时，φ＝－π4 符合条件． 答案：－π4
(2)由已知π4 ＋φ＝kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 φ＝kπ＋π4 (k∈Z)， 又因为 φ∈－π2，π2 ， 所以 k＝0 时 φ＝π4 符合条件． 答案：π4
1．函数 f(x)＝sin (－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【解析】选 A.由于 x∈R，且 f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数．
2．函数 y＝2cos x＋5 的最小正周期是________． 【解析】函数 y＝2cos x＋5 的最小正周期为 T＝2π. 答案：2π
由图象可知 T＝π. 答案：π
求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如 y＝A sin (ωx＋φ)或 y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A≠0，ω≠0) 的函数，T＝|2ωπ| . (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
【结论通通用】 周期函数的一些常用结论： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝－ 1 ，则 f(x)为周期函数，且 2a 是它的一个周
正弦函数、余弦函数的性质(一)
由sin(x＋2kπ)＝ sin x ，cos(x＋2kπ)＝ cos x (k∈Z)知，y＝sin x与y＝cos x都是 周期 函 数， 2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2π .
知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性
1.对于y＝sin x，x∈R，恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是 奇 函数，正 弦曲线关于 原点 对称. 2.对于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是 偶 函数，余 弦曲线关于 y轴 对称.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.求函数的最小正周期的常用方法 (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使 f(x＋T)＝f(x)成立的T. (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|. (3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R) 的周期T＝2ωπ . 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式 子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关 系，从而判断奇偶性.
3 达标检测
PART THREE
1.设函数 f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则 f(x)是
A.最小正周期为π的奇函数
√B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
解析 ∵sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos 2x， ∴f(x)＝－cos 2x. 又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质十分重要。
本
文将初步介绍正弦函数和余弦函数的性质（单调性）。
一、正弦函数
正弦函数的标准式为 y = sin x，表示角度 x 所对应的正弦值。
正弦函数的周期为
2π，即sin(x + 2π) = sin x。
正弦函数的图像如下：
从图中可以发现，正弦函数在定义域上是周期性的、振动的。
而其振动情况是单调递增，即在每个周期内都是由最小值逐渐增加到最大值，然后再回落到最小值。
例如，当x ∈ [0,π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。
当x ∈ [π/2,π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。
当x ∈ [π,3π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。
当x ∈ [3π/2,2π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。
总结来说，正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化。
每个周期的最
大值为 1，最小值为 -1。
当x = kπ （k∈Z）时，正弦函数的值为 0。
总结
在高中数学中，我们需要掌握正弦函数、余弦函数的相关性质，特别是它们的单调性。
正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化；余弦函数在一个周期内是单调
递减-单调递增的交替变化。
掌握这些性质可以更好地理解和运用三角函数。
正弦、余弦函数的性质1
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
正弦、余弦函数的性质
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的性质
三、正弦、余弦函数的奇偶性
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一 ） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
必修四正弦函数、余弦函数的性质(一)(附答案)
正弦函数、余弦函数的性质(一)[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．知识点一 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．思考1 满足条件：f (x ＋a )＝－f (x )(a 为常数且a ≠0)的函数y ＝f (x )是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．答案 ∵f (x ＋a )＝－f (x )，∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )．∴f (x ＋2a )＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是周期函数，且2a 就是它的一个周期．思考2 满足条件：f (x ＋a )＝－1f (x )(a 为常数且a ≠0)的函数y ＝f (x )是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．答案 ∵f (x ＋a )＝－1f (x )， ∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－1f (x ＋a )＝－1[－1f (x )]＝f (x )． ∴f (x ＋2a )＝f (x )，∴函数y ＝f (x )是周期函数，且2a 就是它的一个周期．知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数．答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数． 答案 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数．知识点三 正弦、余弦函数的奇偶性正弦曲线余弦曲线从函数图象看，正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称；从诱导公式看，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立，所以说，正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．题型一 三角函数的周期例1 求下列函数的最小正周期．(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，(2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x ，(2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1 求下列函数的最小正周期．(1)y ＝13cos(2x －π3)；(2)y ＝cos|x |. 解 (1)∵y ＝13cos(2x －π3)中，ω＝2， ∴函数的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵y ＝cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |的最小正周期T ＝2π.题型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π； (2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解 (1)函数的定义域为R ，且f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，显然有f (－x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π为偶函数． (2)函数的定义域为R .f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数．题型三 三角函数周期性和奇偶性的综合运用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值． 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1.三角函数周期性的应用例4 欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值．解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0,1]内至少含4934个周期，即⎩⎨⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝cos(－4x )3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 4．函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为． 5．若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，求当x <0时，f (x )的解析式．一、选择题1．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±12．下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x 2|D ．y ＝|sin 2x |3．函数y ＝sin(2 0132π－2 014x )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4．下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |5．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 6．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( ) A ．－12B.12C ．－32D.32二、填空题7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝. 8．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式为．9．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中的假命题的序号是．10．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝.三、解答题11．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x .12．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．13．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．当堂检测答案1．答案 D2．答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2.3．答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．4．答案 ±π解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5．解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x .又∵f (x )是奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x 2＋sin x ，∴f (x )＝－x 2－sin x ，x <0.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.2．答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π； y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝|sin x 2|的周期为T ＝2π； y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 故选C.3．答案 B解析 因为y ＝sin(2 0132π－2 014x ) ＝sin[(π2－2 014x )＋1 006π] ＝sin(π2－2 014x )＝cos 2 014x ， 所以为偶函数．4．答案 D解析 画出y ＝sin|x |的图象，易知D 选项不是周期函数．5．答案 B解析 ∵cos [sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )．∴T ＝π.6．答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32.二、填空题7．答案 ±3解析 2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 8．答案 f (x )＝sin |x |，x ∈R解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝－sin x .∴f (x )＝sin |x |，x ∈R .9．答案 ①④解析 易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．10．答案 0解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2014)＋f (2015)＝335⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋ f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.三、解答题11．解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )．∴y ＝f (x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R . ∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数．(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x )e sin (－x )－e －sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin xe －sin x －e sin x ＝－f (x )，∴该函数是奇函数．12．解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π.13．解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0.∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x )＝ln(1＋sin 2x －sin x )＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1 ＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．。
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结： 课堂小结：
1. 定义法 公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地， 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 为常数， 的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值 、
利用正弦函数和余弦函数的图象， 例2.利用正弦函数和余弦函数的图象， 利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 的集合： 求满足下列条件的 的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点： 最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点： 在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点： 最高点： 最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点 最低点： 最低点：
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§ 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）
师生札记:
【学习目标】
1•要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
2.掌握正、余弦两数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期；
3.让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图
像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；
预习案
1.I田i出尢丘［-4%,4刃上y二sin x的简图完成下列表格：
自变量兀一2龙3龙
-71
71071
冗
3冗
2% 2222
sinx
观察上面正弦函数的部分图象以及上面表格，你能得到什么总结规律?
2. _________________________ 对于函数/(%),如果存在 _____ T，使得当x取
___________________________________ 时，都有 __________________ ,
那么函数/(兀)就叫周期函数，___________ 叫这个函数的周期; _______________ 叫最小正周期.
2.判断下列说法是否正确：
设/(x) = sinx
mi //龙2龙、..7T 2龙、 .5兀 ./ 7C、. TC p. 7C.
则/(： + 丁)= sm(： + —) = sin —= sm(兀-—) = sin —= /(—)
6 3 6 3 6 6 6 6
所以/(x) = sin x的周期T = —
4.正弦函数y = sinx, xeR是不是周期函数，如果是，周期是多少？余弦函数有如何?
5.若函数/（兀）的周期为T则灯,keZ^也是/（兀）的周期吗?为什么?
师生札记: 6.若函数/（Q的周期为7\那么丁是否唯一？是不是所有的周期函数都
有最小正周期？
探究案
探究一求解函数的周期
例1、求下列函数的周期：
1JI
①y - 3cosx （2） y = sin 2x （3）y = 2sin（—x ----- ）, xe R.
2 6
思考1：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些变量有关？
思考2：你能归纳出函数y = Asin（or十炉）及函数y = Acos（or+0）,
xeR（其中g（p为常数，且A H O,血>0）的周期？
思考3：你能根据诱导公式由思考2得到函数y = Asin（血兀+ 0）及函数
y = A COS（QX+俨），xe R（其中A.co.cp为常数，且A H O, 69<0 ）的周期？
例2、求下列函数的周期:
①y =\ sin x | ②③y=sin(2x+ — )+2cos(3x・—)
4 6
I师生札记:
I
探究二周期函数应用
例3、设函数/(x)(x G /?)是以2为最小正周期的周期函数，且X G [0, 2]
r 7
时/(x) = (x-l)2.^/(3),/(-)的值.
当堂检测
1.求下列函数的周期：
TT Y 71
① y = sin(x + —) ②y = 3 cos 4x③ y = 2 sin(二——)
2.设函数f(x)(x e R)是以1为最小正周期的周期函数，且XG(-1,0)7
时/(兀)=2尢+ 1.求/⑶,/(牙)的值.
聶“训练案
师生札记
1.函数y = sin(2x + ;r)的最小正周期为( )
A. —
B. —
C. 71
D. 2兀
4 2
\兀
2 .函数j = sin(2x+J/f)的图像的对称抽的方程可以为( )
71 e 71 71, 5兀
A . X —Be X — C . X — D • X —
2 4 8 4
3.函数y = sin2(x +纟)的图象关于( )
o
jl TC
A•点(，0)对称 B.点(，0)对称
12 6
7T 71
C.直线x =-对称
D.直线兀=一丁对称
3 3
Y 7T
4 •函数y = 2cos( ------ )的最小止周期为
2 6
m — 3 4 — 2/77
5.---------------------------------------- 若sinO = —^cos〃二，则实数加的值为
m + 5 777 + 5
7T
6.函数〉，=2cosg + -)的最小正周期T ,且Te® ，则正整数k
7.求下列函数最小正周期：
7T 2 71 71
(1) y = 3sin(—x-4) (2) y = — cos(-5x + —) (3) y=\ sin(2x + —)|
2 3 6 6
师生反思：。