一类二阶非线性微分方程奇异边值问题唯一整体解的精确渐近行为

ς ≤ ς0 := min{ψ(T )(K(T ))2/(q−1),
m2θ0 c0
1/(q−1)
}.
令
u¯(t) = λF (t), t ≥ T, λ ∈ [λ0, ∞),
u(t) = ςF (t), t ≥ T, ς ∈ (0, ς0].
通过直接计算, 得到，
F
(t)
=
−q
2 −
1
k(t)(K
(t))−(q+1)/(q−1),
(b2)
lim
t→∞
d dt
K (t) k(t)
:= Ck ∈ [0, ∞), k(t) :=
t
b(t), K(t) = k(s)ds.
0
问题(1.1)来源于边界blow-up的非线性椭圆型问题解在边界附近的精确渐近行为的研究
中，见文献[1]- [17].
最近，S. Cano-Casanova, J. L´opez-G´omez [1] 得到了结果：
设b 满足
(B1) b ∈ C[0, ∞)，b 在(0, ∞)上是正的单调递增函数;
g 满足(g1) 和(g2), 则问题(1.1) 存在唯一整体解ψ ∈ C2(0, ∞). 而且，如果g 还满足(g3)和
(g5) 存在p > 1 使得
C0
:=
lim
s→∞
g(s) sp
∈
(0, ∞);
1国家自然科学基金资助课题10671169.
(1.2)
Γ(t) =
R t
ds A(s)
,
A(t) =
t
(p+1)/(p−1)
(b(τ ))1/(p+1)dτ
, t ∈ (0, R].
0
(1.3)
注意到，(g1) 和(g4)隐含(g2). 但文[1]未讨论ψ在无穷远处的精确渐近行为. 本文在权函数b满足(b1)和(b2)的条件下，应用摄动方法和上下解方法，构造新的上下解, 得到了ψ在无穷远处的精确渐近行为.
本文的主要结果是
定理1.1. 设b 满足(b1)- (b2), g 满足(g1) - (g4)，则问题(1.1)的唯一整体解ψ ∈ C2(0, ∞)
满足
lim ψ(t)(K(t))2/(q−1) =
t→∞
2((q − 1)Ck + 2) c0(q − 1)2
1/(q−1)
.
(1.4)
特别，当g(u) = uq, b(t) = tσ，σ > 0 时，
[3] F. Cˆırstea, Y. Du, General uniqueness results and variation speed for blow-up solutions of elliptic equations, Proc. London Math. Soc. 91(2005) 459-482.
因此,
0
<
ς
≤
hL
:=
lim inf
t→∞
h(t)
≤
hM
:=
lim sup h(t)
t→∞
≤
λ.
我们断定
lim h(t) 存在.
t→∞
反证. 假设hL < hM . 则存在两族数列{tn}, {sn}, n = 1, 2, · · ·, 使得
lim
n→∞
tn
=
lim
n→∞
sn
= ∞,
lim
n→∞
h(tn)
F (t) = b(t)(K(t))−2q/(q−1)Υ0(t), t ≥ T,
0 < u¯ = λb(t)g(u¯)Υ0(t)Υ1(t) ≤ b(t)g(u¯), t > T,
u¯(T ) ≥ ψ(T ), u¯(∞) = 0,
u = ςb(t)g(u)Υ0(t)Υ1(t) ≥ b(t)g(u), t > T, u(T ) ≤ ψ(T ), u(∞) = 0.
1
一类二阶非线性微分方程奇异边值问题唯一整体解的精确渐近行为
1
冯化冰, 张志军
烟台大学数学与信息科学学院，山东、烟台, 264005 E-mail: zhangzj@
摘要: 应用摄动方法并构造新的上下解，在权函数b满足适当的条件下，得到了一类半直线上 二阶非线性微分方程奇异边值问题唯一整体解在无穷远处的精确渐近行为.
当σ > 1时, Ck = 0.Leabharlann 22. 定理的证明
3
本节证明定理1.1. 先做一些预备. 考虑摄动问题
u = b(t)g(u), u(t) > 0, t > T, u(T ) = ψ(T ), u(∞) = 0. 这里，ψ 是问题(1.1)的唯一整体解，T > 0.
u ≥ b(t)g(u), u(t) > 0, t > T, u(T ) ≤ ψ(T ), u(∞) = 0.
(2.3)
引理2.1 在定理1.1 的假设条件下, 存在T > 0 和0 < ς0 < λ0, 使得对任意ς ∈ (0, ς0] 和λ ∈ [λ0, ∞), u¯(t) = λF (t) 和u(t) = ςF (t) 分别是问题(2.1) 的一个上解和下解, 这里，
[2] F. Cˆırstea, V. D. Rˇadulescu, Uniqueness of the blow-up boundary solution of logistic equations with absorbtion, C. R. Acad. Sci. Paris, S´er. I 335 (2002) 447-452.
即u¯ 和u 分别是问题(2.1) 的上下解, 并且(2.5)成立.
引理2.2 在引理2.1中，对任意给定ς ∈ (0, ς0] 和λ ∈ [λ0, ∞)，
ςF (t) ≤ ψ(t) ≤ λF (t), ∀t ≥ T.
证明 我们只需证ψ(t) ≤ λF (t), ∀t ≥ T . 反证. 假设存在t0 > T 和λ ∈ [λ0, ∞), 使 得ψ(t0) > λF (t0). 由于ψ和F 在(0, ∞)是严格单调递减的且ψ(T ) ≤ λF (T )，则存在t1 ∈ [T, t0) 使得
即
h
(t)
F F
(t) (t)
+ 2h
(t)
F F
(t) (t)
+ h(t) =
b(t)g(h(t)F F (t)
(t))
.
再由(2.9), 对任意的n ≥ 1, 得到,
h(tn) ≥ h
(tn)
F F
(tn) (tn)
+ h(tn) =
b(tn
)g(h(tn)F F (tn)
(tn))
,
h(sn) ≤ h
1
2
b 还满足
(B2)
b0
:=
lim
t→0+
Γ(t)Γ (t) [Γ (t)]2
∈
(0, ∞),
则ψ满足
lim
t→0+
ψ(t) Γ(t)
=
b−0 p/(p−1)
p+1 p−1
(p+1)/(p−1)
C0−1/(p−1),
这里，R > 0 是某一个常数,
mθ0 < Υ0(t) < M θ0, ∀t ≥ T
和
m c0ξq
< Υ1(t) <
M c0ξq
,
∀t ≥ T.
3
4
设λ 和ς 是满足下面条件的正常数
λ ≥ λ0 := max{ψ(T )(K(T ))2/(q−1),
M 2θ0 c0
1/(q−1)
},
∞
ds
< ∞, a > 0, G(s) =
s
g(τ )dτ, s ≥ 0.
a G(s)
0
(g3) g∗(s) = g(s)/s 在(0, ∞)单调递增；
(g4) 存在q > 1 使得
c0
:=
lim
s→0+
g(s) sq
∈
(0, ∞);
b 满足
(b1) b ∈ C1(0, ∞), b 在(0, ∞)上是正的单调递增函数；
矛盾. 从而结论获证.
定理1.1的证明 考虑辅助函数
h(t) :=
ψ(t) F (t)
,
t ∈ [T, ∞).
由引理2.2可知, 对任意给定ς ∈ (0, ς0] 和λ ∈ [λ0, ∞)，
ς ≤ h(t) ≤ λ, ∀t ∈ [T, ∞).
(2.8)
4
5
(sn
)
F F
(sn) (sn)
+ h(sn) =
b(sn)g(h(sn)F F (sn)
(sn))
.
在不等式(2.10)和(2.11)中, 令n → ∞, 结合(2.6)和(2.7), 得到
hM
≥
c0hqM θ0
和 hL ≤
c0hqL θ0
.
从而 这与假设hL < hM 矛盾. 因此,
hL = hM =
F (t) = (K(t))−2/(q−1).
(2.4)
而且,
u (t) < 0, u¯ (t) < 0, u (t) > 0, u¯ (t) > 0, t ≥ T.
证明 记
Υ0(t)
=
q
2 −1
q q
+ −
1 1
−
k
(t)K (t) k2(t)
, t>0
和
Υ1(t) =
(F (t))q g(ξF (t))