EC 3 - ECONOMETRIC TESTS 3[1].3__ multicollinearity

一般当 VIF 10 时 (此时 Ri2 0.9)， 认为模型存在较严重的 多重共线性。
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3. 方差膨胀因子检验
另一个与 VIF 等价的指标是“容许度 ”Tolerance )，其定义为： ( TOL i 1 Ri2 1 / VIFi
在经济计量模型中，往往需要引入滞后经 济变量来反映真实的经济关系。
例如，消费=f (当期收入, 前期收入）
显然，两期收入间有较强的线性相关性。
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一般经验
时间序列数据样本：简单线性模型，往往存 在多重共线性。
截面数据样本：问题不那么严重，但多重共 线性仍然是存在的。
ˆ 对于多元回归模型， i的方差可以表示成： ˆ Var i

x
2
ij
xi
2
1 1 R2 i

x
2
ij
xi
2
VIFi
其中， Ri2 为 xi 关于其他解释变量辅助 回归模型的判定系数， VIFi 为 xi的方差膨胀因子，随着 多重共线性程度的增强 ， VIF 增大，从而系数估计误 差也增大。 因此，可以用 VIF 作为衡量多重共线性的 一个指标。
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2. 经济变量变化的共同趋势
时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经 济变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长； 衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳 动力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都 大，小企业都小。
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3. 滞后变量的引入
在矩阵表示的线性回归模型 Y=XB+ 中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即
1 x11 x k 1 1 x12 x k 2 X 1 x xkn 1n 中，至少有一列向量可由其他列向量线性表示。
如：X2= X1，则X2对Y的作用可由X1代替。
基本假设之一是要求解释变量不能线性相关
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性， 则认为存在多重共线性(Multicollinearity)
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完全共线性 & 近似共线性
如果存在 c1x1i+c2x2i+…+ckxki=0 i=1,2,…,n
其中: ci为不全为0的常数，则称解释变量间存在完 全共线性(perfect multicollinearity)。 c1x1i+c2x2i+…+ckxki+i=0
1 2

x x y y x x
1i 1 i 2 1i 1
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2. 近似共线性下OLS估计量非有效
近似共线性下，可以得到OLS参数估计量，但 参数估计量方差的表达式为
ˆ σ 2 X X 1 Cov B ε
辨，故t检验不显著。
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1. 初步观察
（3）回归参数估计值的符号如果不符合经济理论 ，模型有可能存在多重共线性。 （4）增加或减少解释变量个数时，回归参数估计 值变化很大，说明模型有可能存在多重共线性。 （5）如果在模型中排除某一个解释变量Xj，估计 模型：如果拟合优度与包含Xj时的模型十分接近 ，则说明Xj与其他解释变量之间存在共线性。
经济变量间的内在联系，是产生多重共线性的根本 原因。
例如，生产函数中的劳动力和资本投入量
消费函数中的收入与财产
事实上，经济系统中的各要素之间是相互依存、相 互制约的，在数量关系上必然表现为一定的相关性。
因此，从这个意义上讲，多重共线性是多元计量经 济模型中不可避免的问题，只是影响程度不同而已。
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第三章 回归模型的扩展
§3.1 异方差性 §3.2 序列相关性 §3.3 多重共线性
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§3.3 多重共线性
§3.3.1 多重共线性的概念
多重共线性的概念
对于模型
yi 0 1 x1i 2 x2 i k xki i
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ˆ var( 1 ) 2 / x12i
ˆ var( 1 )
当近似共线时, 0< r2 <1
2
x
2 1i

1 1 r
2

2
x12i
多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r2)为方差 膨胀因子(Variance Inflation Factor, VIF)
x x
2 1i
( x1i x 2 i )
2

1 ( x1i x 2 i ) 2
2 / x12i
x x
2 1i
2 2i

x
2
2 1i

1 1 r2
x x
2 1i
( x 1i x 2 i ) 2
2 2i
恰为X1与X2的线性相关系数的平方r2
由于 r2 1，故 1/(1- r2 )1

由于|X’X|0，引起(X’X)-1主对角线元素较大， 使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有 效。
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2. 近似共线性下OLS估计量非有效
仍以二元线性模型 Y=1X1+2X2+ 为例:
1 ˆ var( 1 ) 2 ( X X ) 11 2 2 x 2i 2 2i
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5. 模型的预测功能失效
变大的方差容易使区间预测的“区间”变 大，使预测失去意义。
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注意：
除非是完全共线性，多重共线性并不意味 着任何基本假设的违背； 因此，即使出现较高程度的多重共线性， OLS估计量仍具有线性性等良好的统计性质。 问题在于，即使OLS法仍是最好的估计方 法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断 上无法给出真正有用的信息。
式中：Rj•2为第j个解释变量对其他解释变量的回归方
程的判定系数， 若存在较强的共线性，则Rj•2较大且接近于1，这时(1Rj•2)较小，从而Fj的值较大。 因此，给定显著性水平，计算F值，并与相应的临界
值比较，来判定是否存在相关性。
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3. 方差膨胀因子检验
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§3.3 多重共线性
§3.3.1 多重共线性的概念 §3.3.2 实际经济问题中的多重共线性 §3.3.3 多重共线性的后果 §3.3.4 多重共线性的检验
多重共线性检验的任务
(1) 检验多重共线性是否存在； (2) 估计多重共线性的范围，即判断哪些变量之
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近似共线性更常见
注意： 完全共线性的情况并不多见，一般出现的是 在一定程度上的共线性，即近似共线性。
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§3.3 多重共线性
§3.3.1 多重共线性的概念 §3.3.2 实际经济问题中的多重共线性
1. 经济变量间的内在联系
Var i D i E i 2 ,
2
Cov i , j E i j 0 , i j , i , j 1, 2, n
i 1, 2, n
假设3：随机误差项与解释变量之间不相关 Cov i , x ji E i x ji 0 , j 1,2, , k 假设4：随机误差项服从正态分布
的判定系数较大，说明Xj与其他X间存在共线性。
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2. 辅助回归模型检验
还可进一步对上述辅助回归模型做F检验，构造如下 F统计量 2
Fj R j . /( k 2 )
2 j.
(1 R ) /( n k 1)
~ F ( k 2, n k 1)
如果存在
i=1,2,…,n
其中ci为不全为0的常数，i为随机误差项，则称解 释 变 量 间 存 在 近 似 共 线 性 (approximate multicollinearity)或交互相关(intercorrelated)。
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多重共线性的矩阵表示
1 、 2 已经失去了应有的经济含义，于是经常表现 出似乎反常的现象：例如 1 本来应该是正的，结果恰
是负的。
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4. 变量的显著性检验失去意义
存在多重共线性时
参数估计值的方差与标准差变大 容易使通过样本计算的 t 值小于临界值， 误导作出参数为0的推断 可能将重要的解释变量排除在模型之外
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2. 辅助回归模型检验
将模型中每一个解释变量分别以其余解释变量为解释 变量进行回归，并计算相应的拟合优度。 如果某一种回归
X j 0 1 X 1 j 1 X j 1 j 1 X j 1 k X k j 1, 2, , k
计量经济学