人教A版高中数学选修4-2-1.3.2 一些重要线性变换对单位正方形区域的作用-课件

在二阶矩阵 A 的作用下进行
y 1 j O i1 x
线性变换:
A( x1i x2 j ) x1( Ai ) x2( Aj ) (0 x1, x2 1). ①
变换所得的①式表示的是以 Ai , Aj 为邻边的
平行四边形区域。 下面我们将对 Ai , Aj 进行讨论。
1. 恒等变换
把平面上任一点变成它本身的几何变换称为恒等
变换，记为 I。恒等变换公式应为
y
x y
x, y.
1 j
恒等变换 I 对应的矩阵是单位矩阵
O i1 x
E2
1 0
0. 1
E2i
1 0
0 1
1 0
1 0
i,
10 y 01 1
E2 j
1 0
0 1
0 1
0 1
j.
j
O i 1 x
即 E2( x1i x2 j ) x1(E2i ) x2(E2 j ) x1i x2 j . （不变）
3. 切变变换
（1） 平行于 x 轴的切变变换公式为:
x y
x y.
ky,
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 k . 01
②
k
1 2
时的切变:
Ai
1
0
1 2
1
1 0
1 0
，
Aj
1
0
1 2
1
0 1
1 2
1
.
O i1 x
y 1 j
1 2
O
i1
x
3. 切变变换
（2） 平行于 y 轴的切变变换公式为:
3 2 1
1 2
3
0 1
1 2
3
.
（请同学们 计算 R90，R270）。
22
2
2. 旋转变换
旋转变换 Ra 的变换公式:
x y
xcosa x sina
ysina ycosa
, .
对应的矩阵为
A
cosa sina
sina cosa
.
（2） 旋转变换 R90:
Ai
0 1
1 0
1 0
0 1
，
Aj
1
0
0 1
0 1
0 1
.
O i1 x
y 1 j
O i1 x
1
4. 反射变换
（2） 关于 y 轴的反射变换公式为:
x y
x, y.
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 0 . 01
Ai
1 0
0 1
1 0
1 0
，
Aj
1
0
0 1
0 1
0 1
.
1
O i1 x
y 1 j
O i1 x
5. 投影变换
（1） 关于 x 轴的正投影变换公式为:
2. 旋转变换
旋转变换 Ra 的变换公式为:
x y
xcosa x sina
ysina ycosa
, .
y 1 j
对应的矩阵为
A
cosa sina
sina cosa
.
O i1 x
（1） 旋转变换 R30:
y 13
Ai
3 2 1
1 2
3
1 0
3
2 1
，
22
2
1j 2
2
1 2
O
i 31
2
x
Aj
1 0;
（2）20
0 1;
（3）10
0 2
.
对应的线性变换作用在该单位圆上。试分别写出所得
曲线的方程，并画出图形。
解: （2）对应的变换公式为
x y
2x, y.
变换后的图形是一个椭圆。
y
用 x，y 表示 x，y 得
2
x
1 2
x,
1
y y.
2 O 2 x
代入圆的方程得
x2 4
y2
1.
例3.已知直角坐标系 xOy 内的单位圆 x2y21，
（3）10
0 2
.
对应的线性变换作用在该单位圆上。试分别写出所得
曲线的方程，并画出图形。
解: （1）对应的变换公式为
x y
y, x.
即
x y
y, x.
代入圆的方程得
y 1
O 1x
y2 x2 1.
图形与原来的单位圆相同。
例3.已知直角坐标系 xOy 内的单位圆 x2y21，
分别把下列矩阵
（1） 0 1
1 j
1 O
1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形
（5） 投影变换
y 1
y
A 1 0 00
1
O
1x
y
O
1
x
A 0 0
1
01
O
1x
0 1
1 0
.
y 1 j
O i1 x
y 1 j
1 O i1 x
1
3. 切变变换
（1） 平行于 x 轴的切变变换公式为:
x y
x y.
ky,
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 k . 01
O i1 x
① k1 时的切变:
Ai
1 0
1 1
1 0
1 0
，
Aj
1
0
1 1
0 1
1 1
.
y 1 j
O i1 x
2 1
，Aj
2 1
3 1
0 1
3 1
.
∴正方形在 A 的作用下变成了以向量 （2，1）
和向量 （3，1） 为邻边的平行四边形。
y
1
j
2
3
O i1 x
例2.
把矩阵
2 2 2 2
2 2 2 2
对应的线性变换作用在双曲
线 xy1 上，试写出所得曲线的方程，并画出图形。
解: 由矩阵得变换公式为
x
y
j
A 1 0 . k1
②
k
1 2
时的切变:
1
Ai
1 2
0 1
1 0
1
1 2
，
1
Aj
1 2
0 1
0 1
0 1
.
O i1 x
y 1 j
O i1 于 x 轴的反射变换公式为:
x y
x, y.
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 0 . 0 1
Ai
1 0
0 1
1 0
1 0
，
Aj
x y
x, 0.
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 0 . 00
Ai
1 0
0 0
1 0
1 0
，
Aj
1
0
0 0
0 1
0 0
.
O i1 x
y 1 j
O i1 x
5. 投影变换
（2） 关于 y 轴的正投影变换公式为:
x y
0, y.
y 1
对应的矩阵为
j
A 0 0 . 01
Ai
0 0
0 1
1 0
0 0
1 O 1 x 2
【课时小结】
1. 单位正方形的区域
x 1i
x2
j
(0
x1,
x2 1)，
y
i , j 分别是 x，y 正方向的 1
单位向量。
j
O i1 x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形 （1） 恒等变换 I
y
y
1
E2
1 0
0 1
1
O
1x
O
1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形 （2） 旋转变换
，
Aj
0
0
0 1
0 1
0 1
.
O i1 x
y 1 j
O i1 x
例1 如设 A 2 3 ，问矩阵 A 所对应的线性变换把 1 1
平面上单位正方形区域 x1ix2j，其中 0≤x1，x2≤1 变成
了什么图形? 并画出图形。
解: A（x1ix2j）x1（Ai）x2（Aj）.
∵Ai
2 1
3 1
1 0
y
y
1
cosa sina Ra sina cosa
1
O
1x
a
O
1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形
（3） 切变变换
y 1
y
A 1 k 01
1
O
y
O
1
x
A 1 0
1
k1
O
1x 1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形 y
（4） 反射变换
1
y
A 1 0 0 1
1
Oi
x
1
1
y
O
1
x
A 1 0
01
2 2
x
2 2
x
2 2 2 2
y, y.
用 x，y 表示 x，y 得
将①代入 xy1 得
y2 2
x2 2
1.
是旋转变换
y
R45。
x y
2 2
x
2 2
x
2 2
y,
2 2
y.
①
1
O1
x
例3.已知直角坐标系 xOy 内的单位圆 x2y21， 分别把下列矩阵