2.3 幂函数教师版

2.3 幂函数 教学目标分析：
知识目标：
（1）了解幂函数的概念；
（2）会画函数2
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,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，并了解它们的变化情况。

过程与方法：通过画2
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,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，由特殊到一般，归纳出幂函数的图象和性质。

情感目标：通过大量实例，感受幂函数的概念，体会幂函数在客观现实中的应用，学会应用数学的方法，形成一定的数学应用意识。

重难点分析：
重点：幂函数的图象和性质。

难点：幂函数的图象和性质。

互动探究：
一、课堂探究： 1、情境引入 引例：
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y =________元； （2）如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y =________； （3）如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y =________；
（4）如果一个正方形场地的面积为x ，那么这个正方形的边长为y =________； （5）如果某人x s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度y =________1km 。

以上函数具有什么共同特征？
共同特征：都是形如y x α
=的函数，函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。

2、幂函数定义：函数αx y =叫做幂函数。

（其中x 为自变量，α为常数）
探究一、你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 探究二、你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
探究三、如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：
（1）下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
21y x
=
； 22y x =；2y x x =+； y = 2x y =；1y =
（2）已知幂函数()y f x =的图象经过点，求这个函数的解析式。

（3）如果函数2
()(1)m
f x m m x =--⋅是幂函数，求实数m 的值。

（4）已知函数2
(33)()________.a
y a a x a a =-+=是常数为幂函数，则
3、幂函数性质的探究：对于幂函数，我们只讨论2
1,1,3,2,1-=α时的情况，
即：2
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,,,,x y x y x y x y x y =====-
探究四、结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？ 作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质
探究五、在同一平面直角坐标系内作出幂函数2
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32,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象：
探究六、性质：
说明：
（1）所有的幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1)； （2）如果0α>，则幂函数的图像过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数；
（3）如果0α<，则幂函数的图像在区间[0,)+∞上为减函数；在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋向于正无穷大时，图像在x 轴上方无限地逼近于x 轴； （4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数。

（5）幂函数的图像
当指数=1α时，y x =的图像是直线；当0α=时，01y x x α===是直线（不包括点(0,1)）；除上述特例外，幂函数的图像都是曲线，如下表：
（6）幂函数1y x -=的图像及直线,1,1y x y x ===将平面直角 坐标系的第一象限分成如图所示的8个部分：
当1α<-时，幂函数在第一象限的图像经过（3）、（7）区域； 当10α-<<时，幂函数在第一象限的图像经过（4）、（8）区域； 当01α<<时，幂函数在第一象限的图像经过（1）、（5）区域； 当1α>时，幂函数在第一象限的图像经过（2）、（6）区域； 例1、证明幂函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数。

变式：已知1
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x x >，求实数x 的取值范围.
答案：01x x <>或.
例2、（益友P50）如图，给出幂函数n y x =在第一象限内的图象，n 取12,2
±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为 （ ）
（A ）112,,,222
-- （B ）112,,,222
--
（C ）11,2,2,22-- （D ）11
2,,2,22
--
变式1：（益友P50）若幂函数2
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(1)m m y m m x +-=--在区间()+∞,0上是增函数，求()f x 的解析式。

反思总结：
1、 本节课你学到了哪些知识点？
2、 本节课你学到了哪些思想方法？
3、 本节课有哪些注意事项？ 课外作业： （一）益友第50页
（二）教材第82页复习参考题A 组第3、4、5、6、7、8、10题 课后反思：。