高三集合与常用逻辑用语专题 复习题

集合与常用逻辑用语 复习题一、单选题1．已知集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=，则A B =（ ）A ．{1,1}x y ==B ．{1,1}C ．{(1,1)}D ．∅2．已知0x y +>，则“0x >”是“||2222yx x y +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“0x ∃∈(0，+∞)，20012x x +≤”的否定为（ ） A ．x ∀∈(0，+∞)，21x x +>2 B ．x ∀∈(0，+∞)，212x x +≤ C ．x ∀∈(-∞，0]，212x x +≤D ．x ∀∈(-∞，0]，21x x +>24．“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非毕必要条件5．命题“若22x ≠，则x ≠x ≠的否命题为（ ）A ．若22x =，则x ≠x ≠B ．若22x ≠，则x =x =C ．若22x =，则x 或x =D ．若22x ≠，则x x =6．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件C ．扇形的周长为4，则当其圆心角的弧度数为2时，其面积最大D ．若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角的弧度数为8或127．下列命题中，真命题是（） A ．0a b +=的充要条件是1ab=- B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件 C ．00,0x x R e∃∈D ．2,2x x R x ∀∈>8．已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B =（ ） A ．(,1)[2,)-∞-+∞ B ．(,1)[1,)-∞-+∞C ．[]1,2- D ．(]1,2-9．设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3, -+∞B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．[)1,5 10．设集合{}2|(3)30A x x a x a =-++=，{}2|540B x x x =-+=，集合A B ⋃中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{0}Ｂ．{03}，B ．{013,4}，，C ．{13,4}，11．对于任意两个数()*,,x y x y N∈，定义某种运算“◎”如下：①当**2,2,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=∈⎩或**21,21,x m m N y n n N ⎧=-∈⎨=-∈⎩时，x y x y =+◎；②当**2,21,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=-∈⎩时，x y xy =◎. 则集合(){},|10A x y x y ==◎的子集个数是（ ）A ．142个B ．132个C ．112个D ．72个12．已知由向量构成的集合()(){}1,23,4,M a a R λλ==+∈，()(){}2,24,5,N b b R λλ==--+∈，则MN =（ ）A ．(){}2,2--B ．(){}2,1--C ．(){}1,2-D ．(){}2,1二、填空题 13．命题“若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin x x >”的逆否命题是___________. 14．已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为_____.15．能够说明“存在两个不相等的正数a 、b ，使得a b ab -=是真命题”的一组有序数对(),a b 为______.16．已知集合{}2,1,0A =--，{}1,0,1,2B =-，则集合{},a b a A b B -∈∈的子集个数为__.三、解答题17．设命题p :实数x 满足22320x mx m -+＜，命题q :实数x 满足2(2)1x +＜. (Ⅰ)若2m =-，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若0m ＜，且p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 18．已知，且(A ∩C R B ).求实数a 的取值范围.19．已知集合A={}2|230x x x --<，B={}|(1)(1)0x x m x m -+--≥，（Ⅰ）当0m =时，求A B ⋂.（Ⅱ）若p ：2230x x --<，q ：(1)(1)0x m x m -+--≥，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20．已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A . （1）求实数k 的值，以及集合A ； （2）若()(){}()22110B x x a x a a a R =-+++<∈，且AB =∅，求a 的取值范围.21．已知集合{122n n n P x x +=<<且}73,,x m m n N*=+∈．（1）用列举法写出集合4P ；（2）是否存在自然数n ，使得2019n P ∈，若存在，求出n 的值，并写出此时集合n P 的元素个数；若不存在，请说明理由．22．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}123B x m x m =+≤≤+. （1）当1m =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 【详解】因为集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=集合A 表示满足210x y -+=的点的集合，即直线210x y -+=的图像， 集合B 表示满足0x y -=的点的集合，即直线0x y -=的图像， 所以AB 表示两条直线的交点，解2100x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=-⎩所以{(1,1)}AB =.故选：C. 2．B 【详解】由不等式||2222yx x y +>+，可以构造一个函数：2()2tf t t =+，可以判断该函数为偶函数且0t >时，函数单调递增.当0x >时，而0x y +>，这时y 可以为负数、正数、零，因此,x y 的大小关系不确定，因此由“0x >”不一定能推出“||2222y x x y +>+”.当||2222yx x y +>+成立时，利用偶函数的性质，可以得到：22()()0x y x y x y x y >⇒>⇒+->，而0x y +>，因此有0x y ->，所以有x y >-且x y >，如果0x ≤，则有0y <，所以0x y +<，这与0x y +>矛盾，故0x >，故本题选B. 3．A 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“0x ∃∈(0，+∞)，20012x x +≤”的否定为“x ∀∈(0，+∞)，21x x +>2”， 故选：A ． 4．B 【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件故选：B 5．C 【详解】由题意知，命题“若22x ≠，则x x ≠的否命题为“若22x =，则xx =，故选：C. 6．D 【详解】对于A 选项，命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，该命题正确；对于B 选项，若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则1a >，所以，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，该命题正确； 对于C 选项，设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为42r -，扇形的面积为()()221422112S r r r r r =-=-+=--+， 当1r =时，扇形圆心角的弧度数为422rr α-==时，扇形的面积最大，该命题正确； 对于D 选项，由于扇形的弧度数的范围是()0,2π，且82π>，该命题错误. 故选：D. 7．B 【详解】 A 中， 00a b b +=⎧⎨≠⎩的充要条件是1ab =-．A 错B 中， 1a >，1b >可以得到1ab >，当1ab >时，不一定可以得到1,1a b >>．故正确C 中，,0x x R e ∀∈>．C 错D 中，2x ∃=，4x =，22x x =．D 错，所以选B.8．D 【详解】 由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]AB =-．故选：D. 9．B 【详解】 因为集合A B 有且仅有2个元素，所以{}3,0A B =-，即有01a <≤．故选：B ． 10．C 【解析】B={1,4},2(3)30x a x a -++=两根是x=3，x=a ，当a=0、1、3、4时，满足集合A B ⋃中所有元素之和为8，故选C. 11．C 【详解】根据条件中的定义可知，当*,x y N ∈，且,x y 同为奇数或者同为偶数时，有x y x y =+◎，当*,x y N ∈，且x 为偶数，y 为奇数时，有x y xy =◎，故集合(){},|10A x y x y ==◎中10x y =◎，当,x y 同为奇数或者同为偶数时，10x y +=，(),x y 可取()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5,5，()6,4，()7,3，()8,2，()9,1，当x 为偶数，y 为奇数时，10xy =(),x y 可取()2,5，()10,1，所以(),x y 可取的情况共有11种，即集合A 中有11个元素， 所以集合A 得子集个数为112. 故选C. 12．A 【详解】由()()()()121,23,42,24,5λλ+=--+，得121213242425λλλλ+=-+⎧⎨+=-+⎩，解得1210λλ=-⎧⎨=⎩， 故(){}2,2MN =--，故选：A.13．若sin x x ≤，则0,2x π⎛⎫∉ ⎪⎝⎭【详解】因为命题“若p 则q ”的逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”， 所以命题“若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin x x >”的逆否命题是“若sin x x ≤，则0,2x π⎛⎫∉ ⎪⎝⎭.故答案为：若sin x x ≤，则0,2x π⎛⎫∉ ⎪⎝⎭.14．9 【详解】法一：将满足223x y +≤的整数,x y 全部列举出来，即(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),-----(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)-，共有9个.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程，在坐标系中作出图形，如图所示， 易知在圆223x y +=中有9个整点，即为集合A 的元素个数.15．11,2⎛⎫⎪⎝⎭答案不唯一 【详解】由a b ab -=得出1b a b =-，由01ba b=>-，0b >，得01b <<， 取12b =，则1a =，所以满足题中条件的一组有序实数对可以是11,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,2⎛⎫⎪⎝⎭答案不唯一. 16．64 【详解】{}2,1,0A =--，{}1,0,1,2B =-，{}{},4,3,2,1,0,1a b a A b B ∴-∈∈=----，则集合{},a b a A b B -∈∈有6个元素，其子集个数为6264=，故答案为64. 17．(Ⅰ) (-3，-2). (Ⅱ) (]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭. 【详解】(Ⅰ)当m=-2时，p :2680x x ++＜， 即42x --＜＜；由2(2)1x +＜，得31x --＜＜.若p q ∧为真，即p 真且q 真，{}{}{}423132x x x x x x --⋂--=--＜＜＜＜＜＜， 所以，实数x 的取值范围(-3，-2).(Ⅱ)若0m ＜，p :22320x mx m -+＜，即2m x m ＜＜；q :31x --＜＜，q ⌝:3x ≤-，或1x ≥-，且p 是q ⌝的充分不必要条件，则03m m ⎧⎨≤-⎩＜或021m m ⎧⎨≥-⎩＜ 即3m ≤-，或102m -≤＜.故实数m 的取值范围为(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭. 18．203a <≤或203x -≤<【详解】{}{}26023A x x x x x =--<=-<<，{}{}{}2+2802442R B x x x x x x C B x x =-≥=≥≤-⇒=-<<或，{}22R A C B x x ∴⋂=-<<，{}{}22430()(3)0C x x ax a x x a x a =-+<=--<，（1）当0a >时，{}3C x a x a =<<，要想()⊆R C AC B 成立，要满足以下条件：322223a a a≤⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，而0a >，所以203a <≤； （2）当0a <时，{}3C x a x a =<<，要想()⊆R C AC B 成立，要满足以下条件：222233a a a≤⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，而0a <，所以203a -≤<． 综上所述，a 的取值范围是203a <≤或203a -≤<．19．（Ⅰ）{}|13A B x x ∴⋂=≤<；（Ⅱ）4m ≥或2m ≤- 【解析】（Ⅰ）：{}{}2|230|13A x x x x x =--<=-<<，{}{}|(1)(1)0|11B x x x x x x =+-≥=≥≤-或 {}|13A B x x ∴⋂=≤<（Ⅱ）p 为：(1,3)-而q 为：(,1][1,)m m -∞-⋃++∞， 又q 是p 的必要不充分条件， 即p q ⇒ 所以11m +≤-或13m -≥⇒4m ≥或2m ≤- 20．（1）1k =-，3,32A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）[)1,3,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.【详解】（1）由题意可知，1-和5是方程()3f x =的两根，则23523k k ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-.()3f x x ∴=-+，解不等式()1xf x ≥，即13x x ≥-，即231033x x x x -+=≤--，解得332x ≤<， 因此，3,32A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）解不等式()()22110x a x a a -+++<，解得1a x a <<+，(),1B a a ∴=+.A B =∅，312a ∴+≤或3a ≥，解得12a ≤或3a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[)1,3,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.21．（1）{}17,24,31；（2）存在，4n =，n P 中共有元素146个. 【详解】（1）当4n =时，{41632P x x =<<且}{}73,,17,24,31x m m n N *=+∈=；（2）1011220192<<，且201928873=⨯+，故102019P ∈，此时10P 中最小的元素为：1029，最大的元素为：2044，2044102911467-+=，故此时10P 中共有元素146个．22．（1）{}2A B ⋂=；（2）12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，. 【详解】（1）当1m =时，{}25B x x =≤≤，{}12A x x =-≤≤，因此，{}2A B ⋂=；（2）A B A ⋃=B A ⇔⊆.①当B =∅时符合题意，此时123m m +>+，即2m <-；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则123211122223212m m m m m m m m ⎧⎪+≤+≥-⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⇒-≤≤-⎨⎨⎪⎪+≤⎩⎪≤-⎩.综上所述，当A B A ⋃=时，实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。