七年级上一元一次方程培优讲义(精品)
人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲 含参一元一次方程》
第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。
人教版七上一元一次方程专题培优讲义
第1讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32=D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ）A 、- 2B 、- 5C 、6D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x = ；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值； （3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C 使得CB=2CA ，若存在求出对应的数位c ，不存在说明理由.（3）是否存在一点C 使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c ，不存在说明理由.第2讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？21、一件工作，甲独做20天可以完成，乙独做30天可以完成.若由甲、乙共同完成这项工作，且两人工作平均按整数日安排，且甲每天需要工作费用80元，乙每天需要工作费用50元.（1）问共有多少种安排方案？（2）问完成这项工作的最低费用是多少？应该如何安排两队工作？（3）要使工程的总费用不超过1540元，问甲最多工作多少天？22、某工厂生产某种产品，每件产品的出产价为1000元，其原材料成本价为550元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有10千克的废渣产生.为了达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理10千克废渣所用的原料费为50元，并且每月设备维护及损耗费为2000元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理10千克废渣需付100元的处理费.（1）设工厂每月生产x件产品，用方案一处理废渣时，每月利润为__________________元；用方案二处理废渣时，每月利润为_________________元（利润=总收入-总支出）.（2）若每月生产30件和60件，用方案一和方案二处理废渣时，每月利润分别为多少元？（3）如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最很划算？23、某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车则多出一辆，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元.（1）学生人数是多少？原计划租用45座客车多少量？（2）要使每名同学都有座位，怎样租用车辆更合算？第3讲 一元一次方程（3）一、基础知识1.已知甲数是乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，求乙数.2.已知甲数是乙数的31少5，甲数比乙数大65，求乙数.3.已知关于x 的方程267132x k x --=-+的解是x ＝－2，求k 的值.4.已知x ＝21是方程5m ＋12x ＝21＋x 的解，求关于y 的方程)21(2y m my -=+的解.5.已知关于x 的方程x x a 2)(312=--的解是关于x 的方程x －5－2a ＝2x －3a 的解的2倍，求a 的值.二、基础应用题6.（总量相等问题）某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问春游的总人数是多少？=7.（数字问题）一个两位数个位数字与十位数字的和为10，如果将个位数字与十位数字交换位置，得到的新的两位数字比原来的两位数大18，求原来的两位数？8.（总分问题）一艘货轮货舱容积是2000立方米，可载重500吨，现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积为7立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，两种货物各装多少吨最合理？9.（工程问题）满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管30小时可将全池水排完，单独打开乙管20小时可将全池水排完，若两管同时打开3小时后，关闭甲管让乙管排水3小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？10.（行程问题）小明上山的速度是每小时3.5千米，下山的速度是每小时5千米，若小明上山比下山多用了3小时，求小明下山走了几小时，这段山路共有多少千米？11.某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？12.（配套问题）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配2个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该如何分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？13.（盈利问题）某商场新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价，此商场为了促销，又对该电脑打8折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台进价为多少元.三、综合应用问题14.要运送一批货物，若用3台大货车各运7次，结果还有12件货物未运送完；若9台小货车各运4次，结果刚好运送完.已知每台大货车比每台小货车一次多运送3件货物.（1）求这批货物共有多少件？（2）已知每台大货车每次的运送费用为60元，每台小货车每次的运送费用为40元，若要想两次将所有货物运送完（每台货车都运送2次，每次都是满载货物），问如何租用这两种货车，才合算呢？15.某班学生进行篮球投蓝练习，每人投10个，每投进1个球得1分，得分的部分情况如下表所示：（1）若至少得8分的人的总得分比至多得2分的人的总得分的5倍还多5分，求表格中的x；（2）已知在（1）中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，你知道这个班有多少人吗？16.某服装店的老板在武汉看中一种夏季衬衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完，又用了17600元购进同样衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次多了4元，服装店仍然按每件58元出售全部售完.问该服装店这笔生意的盈利情况如何？17.某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种值水稻、棉花和蔬菜三种农作物，已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如下表：应该怎样安排这三种农作物的种植才能使所有职工都有工作，而且收人的最大？18.某服装店出售货A，B两种规格服装，A种服装的销量比B种低20%，但A种服装质地好，价格比B种高.巳知B种服装的单价为每件80元.（1）当A种服装的单价是多少时，在各方面均等的情况下分别销售A，B两种规格的服装收益相同？（2）若九月该服装店经营A，B两种规格服装的过程中，把A种服装定价为每件120元，而B种服装定价不变，这样在各方面均等的情况下销售A种服装比B种服装要多收入1600元，问A，B两种规格服装九月共销售多少件？19.某项工程，甲工程队单独做需要6个月完成，每月的费用为10万元，乙工程队单独做需要12个月完成，每月的费用为4万元.（1）两队合做完成共需多少万元.（2）为了节约资金，且保证8个月完成任务，应怎样安排施工（按整月计算）.第4讲一元一次方程（4）（－）行程问题1.A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时72km，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度原方向继续行驶，那么相遇后两车相距100km时，甲车从出发共行驶了多少小时？2.小明上山的速度是每小时3.5千米，下山的速度是每小时5千米，若小明上山比下山多用了3小时，求小明下山走了几小时，这段山路共有多少千米？3.甲乙两站相距245千米，一列慢车由甲站开出，每小时行驶50千米，同时，一列快车由乙站开出，每小时行驶70千米，两车同向而行，快车在慢车的后面，经过几小时快车可以追上慢车？（二）总分问题5.－份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？6.－艘货轮货舱容积是2000立方米，可载重500吨，现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积为7 立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，两种货物各装多少吨最合理？（三）打折问题7.某商品的进价为310元，按标价的8折销售时，利润率为16%，商品的标价为多少元？8.商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得8%的利润，则出售价需打几折？9.某商品的进价为120元，标价为200元，折价销售时的利润率为10%，此商品是按几折销售的？（四）数字问题10.若有一个七位自然数，它的第一位数字是5，若把5移到末位，其他数位上的数字顺序不变，则原数等于这个新数的3倍还多8，求原来的七位数.11.有一个两位数，十位上的数是个位上的数的2倍，如果把这两个数字的位置调换，那么所得的新的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数？（五）调配问题12.－车间与二车间总人数为150人，将一车间的15名工人调动到二车间，两车间人数相等，求二车间人数？13.为了迎接市“两型学校”达标检查，七年级（1）班分成两个组对学校的两个功能室进行卫生大扫除，若从第一组调4人到第二组，则两组人数相等；若从第二组调1人到第一组，则第一组是第二组的1.5倍；求七年级（1）班有多少人参加了卫生大扫除？二、综合题14.某同学在A 、B 两家超市发现他看中的mp3的单价相同，计算器单价也相同，mp3和计算器单价之和是452元，且mp3的单价比计算器单价的4倍少8元. （1）求该同学看中的mp3和计算器的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？15.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总数32，若提前购票，则给予不同程度的优惠：若在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半；如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份售出全部余票，设六月份零售票按每张x 元定价，总票数为a 张.（1）五月份的票价总收入为_______元；六月份的总收入为_________元； （2）当x 为多少时，才能使这两个月的票款收入持平？16.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见如下价目表，水费按月结算.（1）若该户居民2月份用水12.5m，则应收水费_________元；（2）若该户居民3、4月份共用水15m3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？17.芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8:00~22:00，14小时，谷段为22:00~次日8:00，10小时.平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付款42.73元.（1）问小明家该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？（2）如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支电费多少元？18.某工厂餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现在从甲乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元，甲商场称，每购买一张餐桌赠送一把餐椅，乙商场规定：所有桌椅均按报价的八五折销售，若该工厂计划购买餐椅x把，则：（1）用含x的式子表示到甲乙两商场购买所需要的费用；（2）当购买多少把餐椅时，到甲乙两商场购买所需的费用相同？。
初一一元一次方程讲义
一元一次方程教案教学目标：通过具体的例子让学生体会去分母解一元一次方程的简捷性和重要性，熟练掌握去分母解一元一次方程。
教学重难点：运用去分母解一元一次方程。
去分母时需要注意的问题。
教学过程1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+ 3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--)13(2131)2(322x x x x 2．1111(3)3302222y ⎧⎫⎡⎤---=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.1.甲`乙两件衣服成本共500元，甲按50%利润定价，乙按40%利润定价。
卖时客户要求两件均按9折出售，最终本店获得了157元，求两件衣服的各成本。
2.一个乘客乘机行李最多20kg 超过的按机票价的1.5%买行李票，李先生带了35kg 的行李上飞机，所有票共付了1323元，求李先生的机票价。
初一上数学-一元一次方程-培优讲义
一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=； （2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解； 【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】 已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为 时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。
七年级上册一元一次方程优质讲义(含答案解析)第二部分
1x3x基础训练内容提要考法.利用特殊解求字母的值2. 解下列方程：（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）； （2）2．3.解下列方程：（1）1 （2）31.[单选题] 解方程3时，去分母正确的是（ ）A．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝3 B．2（2x﹣1）﹣10x+1＝3 C．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝12 D．2（2x﹣1）﹣10x+1＝122.[单选题]把方程0.5的分母化为整数，正确的是（ ）A ． 0.5 B ． 0.5 C ． 0.5 D ．0.53.解方程：（1）7x+2（3x﹣3）＝29 （2）（3）例题基础训练1.若方程3（x+1）＝2+x的解与关于x的方程2（x+3）的解互为倒数，求k的值．2.小明在解方程1，方程两边都乘以各分母的最小公倍数去分母时，漏乘了不含分母的项﹣1，得到方程的解是x＝3，请你帮助小明求出m的值和原方程正确的解．3. 已知：方程（m+2）x﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若上述方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数，求a的值．|m|﹣11.（2020·越秀区）已知关于x的方程2（x﹣1）﹣6＝0与的解互为相反数，则a＝．2.小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．内容提要考法.方程的解的讨论例题3.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为1，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是4，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．1.[单选题]有下列结论：①若a+b+c ＝0，则abc≠0；②若a （x ﹣1）＝b （x ﹣1）有唯一的解，则a≠b ；③若b ＝2a ，则关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解为x；④若a+b+c ＝1，且a≠0，则x ＝1一定是方程ax+b+c ＝1的解；其中结论正确的个数有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2.[单选题]若关于x 的方程有无数解，则3m+n 的值为（ ）A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．以上答案都不对3. 解关于x 的方程：a （x ﹣1）＝2（x+2）基础训练内容提要考法.新定义运算例题基础训练1.[单选题]如果关于x 的方程（a﹣3）x＝2019有解那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠32.[单选题] 已知关于x的方程•a（x﹣6）无解，则a的值是（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠13.[单选题]已知方程2x+k＝6的解为正整数，则k所能取的正整数值为（ ）A．1 B．2 或 3 C．3 D．2 或 41.[单选题]对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（ ）A．﹣1 B．2 C．3 D．42. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+b．如：2☆（﹣3）＝2×（﹣3）﹣2×2×（﹣3）+（﹣3）＝27（1）求（﹣4）☆7的值；（2）若（1﹣3x）☆（﹣4）＝32，求x的值．221. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+a．如：1☆3＝1×3﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；22模块二含绝对值的一元一次方程内容提要最简绝对值方程（2）若☆3＝8，求a 的值；（3）若m ＝4☆x ，n ＝（1﹣2x ）☆3（其中x 为有理数），试比较大小m n （用不等号填空）．2. 设x 、y 是任意两个有理数，规定x 与y 之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x 、y ，运算“⊕”满足x ⊕y ＝y ⊕x ，则称此运算具有交换律．x ⊕y （1）试求1⊕（﹣1）的值；（2）试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；（3）若2⊕x ＝0，求x 的值．3. 我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为x ＝b ﹣a ，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x ＝4的解为x ＝2＝4﹣2，则该方程2x ＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（Ⅰ）判断方程5x ＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（Ⅱ）若a ＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b 的值；若没有，请说明理由．（Ⅲ）若关于x 的一元一次方程2x ＝mn+m 和﹣2x ＝mn+n 都是“奇异方程”，求代数式﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 的值．2例题基础训练1.（1）解方程：|3x+1|﹣5＝0．（2）若方程|x﹣1|＝m﹣1有解，则m应满足的条件是 ．2.解方程： |x﹣2|＝|﹣3|．3.解方程：|3x﹣2|＝x 4.解方程：3+|2x﹣1|＝x1.[单选题] 方程|2x+1|＝5的解是（ ）A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3 内容提要考法.含多个绝对值的方程例题2.[单选题]若关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，b﹣|x|＝0只有一个解，c﹣|x|＝0无解，则a、b、c的关系是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3.方程|5x+6|＝6x﹣5的解是 ． 4.解方程：（1）|3x﹣2|﹣4＝0．（2）当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，（1）无解；（2）只有一个解；（3）有两个解． 1.解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝5．2.解方程|x﹣4|+|x+3|＝7．基础训练3.解方程：|2x+1|＝|x ﹣3| 4.解绝对值方程：|x ﹣1|﹣|x ﹣2|＝x ﹣3． 1.（1）解方程：|2x+3|＝8．（2）解方程：|2x+3|﹣|x ﹣1|＝1．2.解方程：|x ﹣2|+|x+3|＝6 3.解方程：|x ﹣3|﹣3|x+2|＝x ﹣9．内容提要考法.含多重绝对值的方程例题4.解方程：|2x ﹣3|＝|1﹣3x| 5.解方程：3|x ﹣1|﹣|x+1|＝2|x ﹣2|.1. 解方程：||x|﹣4|＝52.求方程|x ﹣|2x+1||＝3的不同的解的个数．3.设a ，b 为有理数，且|a|＞0，方程||x ﹣a|﹣b|＝5，恰好有两个不相等的根，求b 的取值范围．基础训练模块三含参数的一元一次方程内容提要考法1.解含字母系数的方程例题1. 解方程：|x ﹣|3x+1||＝4． 2.求关于x 的方程||x ﹣2|﹣1|﹣a ＝0（0＜a ＜1）的所有解的和． 3.设a 、b 为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，求b 的值．4.已知关于x 的方程||x ﹣200|﹣250|＝a 有三个解，求a 的值．1.解关于x 的方程：2（x ﹣1）＝3m ﹣1. 2.已知关于x 的方程5m+3x ＝1+x 的解比关于x 的方程2x+m ＝3m 的解大2，求7m ﹣1的值．2基础训练内容提要考法2.方程的整数解3.已知关于x的方程m4的解是关于x 的方程的解的2倍，求m的值．1.解关于x的方程：5m+12x2.[单选题] 若关于x的方程2x+a＝3与x+2a＝7的解相同，则a的值为（ ）A ． B ． C ． D．3.若关于x的方程x+m﹣3＝0和2m＝2x﹣1的解的和为4，求m的值． 4.当k为何值时，关于x的方程3（2x﹣1）＝k+2x的解与关于x的方程8﹣k＝2（x+1）的解互为相反数．例题基础训练1.[单选题] 已知关于x 的方程x﹣a＝3x﹣14，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（ ）A．12 B．13 C．14 D．152.[单选题]已知关于x方程x1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．33.[单选题]若关于x的方程（k﹣2020）x﹣2019＝7﹣2020（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）A．6 B．8 C．9 D．101. 已知关于x的方程kx＝9﹣x的解为自然数，求整数k的值．2.已知k位非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，求k的所有可能取值.3.若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，且m为负整数，求代数式5m﹣[m﹣（6m﹣5m）﹣2（m﹣3m）]的值． 2222内容提要考法3.含参数的一元一次方程的讨论例题基础训练4.已知a 为整数，关于x 的一元一次方程的解也为整数，求所有满足条件的数a 的和.1. 已知kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4是关于x 的一元一次方程，当k ，m 为何值时：（1）方程只有一个解；（2）方程无解；（3）方程有无数个解．2.已知关于x 的方程m （x ﹣1）＝5x ﹣2有唯一解，求m 的值． 1.已知关于x 的方程2kx+m ＝x+4．当k 、m 为何值时：（1）方程有唯一解；模块四自定义新一元一次方程内容提要自定义新一元一次方程例题（2）方程有无数个解；（3）方程无解．2. 当a取何值时，关于x的方程6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x）（1）有唯一解；（2）没有解． 3.已知方程（x+1）+1ax有无数个解，求a、b的值． 4.已知关于x的方程a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7．（1）若b＝1，a≠2时，求方程的解；（2）当a，b满足什么条件时，方程有无数个解？5.若关于x的一元一次方程（5a+3b）x+ax+b＝0有唯一解，则x＝ ．21. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．（1）求[]，[﹣1]的值；（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）﹣2a+2b的值；（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．32.我们称使方程成立的一对数x ，y 为“相伴数对”，记为（x ．y ）．（1）若（4，y ）是“相伴数对”，求y 的值；（2）若（a ，b ）是“相伴数对”，请用含b 的代数式表示a ；（3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式m n ﹣[4m ﹣2（3n ﹣1）]的值．3.已知f （x ）是关于字母x 的多项式f （x ）＝a x +a x +……+a x +a x+c （其中a ，a ，…，a 是各项的系数，c 是常数项）；我们规定f （x ）的伴随多项式是g （x ），且g （x ）＝na x +（n ﹣1）a x +……+2a x+a ．如f （x ）＝4x ﹣3x +5x ﹣8，则它的伴随多项式g （x ）＝3×4x ﹣2×3x+1×5＝12x ﹣6x+5请根据上面的材料，完成下列问题：（1）已知f （x ）＝x ，则它的伴随多项式g （x ）＝ ；（2）已知f （x ）＝3x ﹣2（7x ﹣1），则它的伴随多项式g （x ）＝ ；若g （x ）＝10，求x 的值．（3）已知二次多项式f （x ）＝（a ﹣3）x ﹣8x+7，并且它的伴随多项式是g （x ），若关于x 的方程g （x ）＝﹣2x 有正整数解，求a 的整数值．1n 2n ﹣1n ﹣12n 12n 1n ﹣12n ﹣2n ﹣1n 32222224.若x 是关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解，y 是关于y 的方程cy+d ＝0（c≠0）的解，且x ，y 是满足|x ﹣y |≤1，则称方程ax+b ＝0（a≠0）与方程cy+d ＝0（c≠0）的解接近．例如：方程4x+2x ﹣6＝0的解是x ＝1，方程3y ﹣y ＝3的解是y ＝1.5，因为x ﹣y ＝0.5＜1，方程4x+2x ﹣6＝0与方程3y ﹣y ＝3的解接近．（1）请直接判断方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与方程﹣2y ﹣y ＝3的解是否接近；（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程y ＝2k+1的解接近，请你求出k 的最大值和0000000000自主评价自主探究自主探究题目最小值；（3）请判断关于x的方程x﹣m＝2x﹣5与关于y的方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解是否接近，并说明理由． 1.[单选题]若方程2x+1＝﹣2与关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解相同，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2.[单选题]关于x的方程﹣4+ax＝3x+b有无数个解，则a、b的值分别是（ ）A．﹣3；4 B．0；0 C．3；﹣4 D．3；43.[单选题]当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解（ ）A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D ．a≥64.解方程：（1）4x﹣3＝12﹣x；（2）+1＝．5.已知方程5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，求（1k）的值．56.已知关于x的方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，试求a+b的值．27.（2019·花都区）已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值．8. 解关于x的方程：a（x﹣5）＝x+19. 一般的，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a﹣b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3﹣0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3﹣0|＝|3|＝3．|6﹣2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6﹣2|＝4．结合数轴与绝对值的知识，求含绝对值的方程的整数解.10.已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值．参考答案模块一解一元一次方程例题1.解：（1）移项得：x﹣4x＝27+9，合并同类项得：﹣3x＝36，系数化为1得：x＝﹣12，（2）方程两边同时乘以2得：2﹣3x＝6x+5，移项得：﹣3x﹣6x＝5﹣2，合并同类项得：﹣9x＝3，系数化为1得：x，解析:2.解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x，移项得：2x﹣12x+9x＝9+4﹣3，合并同类项得：﹣x＝10，系数化为1得：x＝﹣10，（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x+2）＝3（1﹣2x）﹣12，去括号得：4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，移项得：4x﹣5x+6x＝3﹣12+2+2，合并同类项得：5x＝﹣5，系数化为1得：x＝﹣1．解析:3.解：（1）方程整理得： 1，去分母得：50x﹣10﹣37x﹣100＝20，移项合并得：13x＝130，解得：x＝10．（2）方程整理得： 3，即5y﹣10﹣2y﹣2＝3，移项合并得：3y＝15，解得：y＝5．解析:基础训练基础训练题目1.C解析:2.C解析:3.解：（1）去括号得：7x+6x﹣6＝29，移项合并得：13x＝35，解得：x ；（2）去分母得：3（x ﹣2）﹣2（2x ﹣1）＝12，去括号得：3x ﹣6﹣4x+2＝12，解得：x ＝﹣16；（3）方程整理得： 1，去分母得：30x ﹣7（17﹣20x ）＝21，去括号得：30x ﹣119+140x ＝21，移项合并得：170x ＝140，解得：x．解析:例题1.解：解3（x+1）＝2+x ，得x，∵两方程的解互为倒数，∴将x ＝﹣2代入2（x+3）得2，解得k ＝0．解析:2.解：根据题意，x ＝3是方程4（2x ﹣1）＝3（x+m ）﹣1的解，将x ＝3代入得4×（2×3﹣1）＝3（3+m ）﹣1，解得m ＝4，所以原方程为1，解方程得x．解析:3.解：（1）∵方程（m+2）x ﹣m ＝0①是关于x 的一元一次方程，∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，解得m ＝2．（2）当m ＝2时，原方程变形为4x ﹣2＝0，解得x，∵方程①的解与关于x 的方程x3x ②的解互为相反数，∴方程②的解为x．方程x 3x 去分母得：6x+2（6x ﹣a ）＝a ﹣18x 去括号得：6x+12x ﹣2a ＝a ﹣18x ，移项、合并同类项得：3a ＝36x ，∴a ＝12x ＝12×（）＝﹣6．解析:基础训练基础训练题目|m|﹣11.﹣．解析:解：解方程2（x﹣1）﹣6＝0得：x＝4，解方程得：x＝3a﹣3，∵两个方程的解互为相反数，∴4+（3a﹣3）＝0，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．2.解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入原方程，得1，去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，移项合并得：﹣x＝﹣8，解得：x＝8，答：a的值是﹣2，原方程的解为x＝8．解析:3.解：设被墨汁污染的数字为y，原方程可整理得：1，把x＝4代入得：1，解得：y＝﹣12，即被污染了的数字为﹣12．解析:例题1.C解析:解：①错误，当a＝0，b＝1，c＝﹣1时，a+b+c＝0+1﹣1＝0，但是abc＝0；②正确，方程整理得：（a﹣b）x＝a﹣b，由方程有唯一解，得到a﹣b≠0，即a≠b，此时解为x＝1；③错误，由a≠0，b＝2a，方程解得：x2；④正确，把x＝1，a+b+c＝1代入方程左边得：a+b+c＝1，右边＝1，故若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解，故选：C．2.A解析:解：mx x，移项得：mx+x，合并同类项得：（m+1）x，∵该方程有无数解，∴，解得：，把m＝﹣1，n＝2代入3m+n得：原式＝﹣3+2＝﹣1，故选：A．3.解：a（x﹣1）＝2（x+2），ax﹣a＝2x+4，ax﹣2x＝4+a，（a﹣2）x＝4+a，当a﹣2≠0时，x，当a﹣2＝0时，方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2019有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．2.A解析:解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax＝2x+6移项，合并得，x，因为无解；所以a﹣1＝0，即a＝1．故选：A．3.D解析:解：2x+k＝6，移项得：2x＝6﹣k，系数化为1得：x，∵方程2x+k＝6的解为正整数，∴6﹣k为2的正整数倍，6﹣k＝2，6﹣k＝4，6﹣k＝6，6﹣k＝8…，解得：k＝4，k＝2，k＝0，k＝﹣2…，故选：D．例题1.C解析:解：∵，∴2x+4x＝18，即：x＝3，故选：C．2.解：（1）根据题意得：（﹣4）☆7＝（﹣4）×7﹣2×（﹣4）×7+7＝﹣133，（2）根据题意得：（1﹣3x）☆（﹣4）＝（1﹣3x）×（﹣4）﹣2×（1﹣3x）×（﹣4）+（﹣4）＝32，整理得：16（1﹣3x）+8（1﹣3x）﹣4＝32，解得：x．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）（﹣2）☆5＝（﹣2）×5﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）＝﹣50+20﹣2＝﹣32；（2）☆3＝8，3﹣238，9（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16，9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16，4a＝12，a＝3；（3）∵m＝4☆x＝4•x﹣2×4x+4＝4x﹣8x+4，n＝（1﹣2x）☆3＝（1﹣2x）•3﹣2（1﹣2x）•3+1﹣2x＝﹣8x+4，2222222m ﹣n ＝4x ≥0，∴m≥n ，故答案为：≥．解析:2.解：（1）1⊕（﹣1）＝2×1+3×（﹣1）﹣7＝2﹣3﹣7＝﹣8答：1⊕（﹣1）的值为﹣8．（2）该运算具有交换律理由：分三种情况当x ＞y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝3y+2x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＝y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＜y 时，x ⊕y ＝3x+2y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x所以该运算“⊕”具有交换律（3）当x≤2时，2⊕x ＝0，2×2+3x ﹣7＝0解得x ＝1当x ＞2时，2⊕x ＝03×2+2x ﹣7＝0解得x （舍去）答：x 的值为1．解析:3.解：（Ⅰ）：∵5x ＝﹣8，∴x ，∵﹣8﹣5＝﹣13，，∴5x ＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（Ⅱ）∵a ＝3，∴x ＝b ﹣3，∴，∴，即b 时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）且由题可知：mn+m ＝4，mn+n，两式相减得，m ﹣n ，∴﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 22＝﹣5（m ﹣n ）﹣22+3（mn+m）（mn+n ），，．解析:模块二含绝对值的一元一次方程例题1.解：（1）原方程化为|3x+1|＝5，当3x+1≥0时，方程可化为3x+1＝5，解得：x ，当3x+1≤0时，方程可化为3x+1＝﹣5，解得：x ＝﹣2，所以原方程的解是x 或x ＝﹣2，（2）∵方程|x ﹣1|＝m ﹣1有解，∴m ﹣1≥0，解得：m≥1，解析:2.解：∵|x ﹣2|＝3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，∴x ＝10或x ＝﹣2．解析:3.解：（1）|3x ﹣2|＝x ，∴3x ﹣2＝x 或3x ﹣2＝﹣x ，∴x ＝1或x；解析:4.解：当x时，原方程等价于3+1﹣2x ＝x ，解得x （不符合题意要舍去），当x 时，原方程等价于3+2x ﹣1＝x ，解得x ＝﹣2（不符合题意要舍去）综上所述，原方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，解得x ＝2或x ＝﹣3，故选：D ．2.D22解析:解：∵关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，∴a＞0，∵b﹣|x|＝0只有一个解，∴b＝0，∵c﹣|x|＝0无解，∴c＜0，则a、b、c的关系是c＜b＜a．故选：D．3.x＝11解析:解：∵|5x+6|＝6x﹣5，∴5x+6＝±（6x﹣5），解得，x＝11或（舍去）．故答案为：x＝11．4.解：①当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2＝4，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2＝﹣4，解得x．所以原方程的解是x＝2或x；②∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解解析:例题1.|x﹣2|+|x﹣1|＝5，①当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为x﹣2+x﹣1＝5，它的解是x＝4；②当x﹣1≤0，即x≤1时，原方程可化为2﹣x+1﹣x＝5，它的解是x＝﹣1；③当1＜x＜2时，原方程可化为2﹣x+x﹣1＝5，此时方程无解；∴原方程的解为x＝4和﹣1．解析:2.解：（1）当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣（x﹣4）﹣（x+3）＝7解得：x＝﹣3，与题意不符，故舍去．（2）当﹣3≤x≤4时，原方程可化为：﹣（x﹣4）+x+3＝7即7＝7所以﹣3≤x≤4（3）当x＞4时，原方程可化为x﹣4+x+3＝7，x＝4与题意不符，故舍去．故原方程的解是﹣3≤x≤4．解析:3.解：当x时，原方程等价于﹣1﹣2x＝3﹣x，解得x＝﹣4；当x＜3时，原方程等价于1+2x＝3﹣x，解得x；当x≥3时，原方程等价于1+2x＝x﹣3，解得x＝﹣4（不符合题意要舍去），综上所述：x＝﹣4或x；解析:4.解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝2（不符合范围，舍）；当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝0（不符合范围，舍）；当x≥2时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）＝x﹣3．解得x＝4，综上所述：x＝4．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）当x时，原方程等价于2x+3＝﹣8，解得x；当x时，原方程等价于2x+3＝8，解得x；综上所述，方程|2x+3|＝8的解为x或x．（2）当x时，原方程等价于﹣x﹣4＝1，解得x＝﹣5；当x＜1时，原方程等价于3x+2＝1，解得x；当x≥1时，原方程等价于x+4＝1，解得x＝﹣3，（不符合题意，舍）；综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝1的解为x＝﹣5或x．解析:2.当x≥2时，|x﹣2|+|x+3|＝2x+1＝6，∴x＝2.5；当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，不成立；当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝﹣2x﹣1＝6，∴x＝﹣3.5；综上所述，|x﹣2|+|x+3|＝6的解有两个：x＝2.5或-3.5解析:3.解：①当x＜﹣2时，原方程等价于3﹣x+3（x+2）＝x﹣9，解得x＝﹣18，符合x＜﹣2，②当﹣2≤x＜3，时，原方程等价于价于3﹣x﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x，符合﹣2≤x＜3，③当x≥3时，原方程等价于x﹣3﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x＝0，不符合x≥3，∴原方程的解为：x＝﹣18，x．解析:4.解：根据题意得：2x﹣3＝1﹣3x或2x﹣3＝3x﹣1，解得：x或x＝﹣2，即原方程的解为：x，x＝﹣2，解析:5.解：当x＜﹣1时，得：﹣3（x﹣1）+（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得：恒成立，∴x＜﹣1当﹣1≤x≤1时得：﹣3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝﹣1当1＜x≤2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝2当x＞2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝2（x﹣2）解得：恒成立，则x＞2．综上所述：x≤﹣1或x≥2．解析:例题1.解：||x|﹣4|＝5，∴|x|﹣4＝5或|x|﹣4＝﹣5，∴|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），∴x＝9或x＝﹣9；解析:2.解：|x﹣|2x+1||＝3，当x时，原方程化为|x|＝3，无解；当x时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4（舍去）．当x时，原方程可化为：|x+（2x+1）|＝3，12即|3x+1|＝3，∴3x+1＝±3，解得：x（舍去）或x．综上可得方程的解只有x＝2或x两个解．解析:3.解：∵方程||x﹣a|﹣b|＝5有两个不相等的解，∴方程|x﹣a|﹣b＝±5，即|x﹣a|＝b±5，（1）当b＝﹣5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝﹣10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝﹣10，此时方程无解．所以当b＝﹣5时，方程只有一个解；（2）当﹣5＜b＜5时，即b+5＞0，b﹣5＜0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＜0时，方程无解．所以当﹣5＜b＜5时，方程有两个不相等解；（3）当b＝5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝10，此时方程有两个不相等解．所以当b＝5时，方程有三个解；（4）当b＞5时，即b±5＞0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＞0时，方程有两个不相等解．所以当b＞5时，方程有四个不相等解．故答案为：﹣5＜b＜5．解析:基础训练基础训练题目1.解：原方程式化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）当3x+1＞0时，即x，由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x与x不相符，故舍去由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x（2）当3x+1＜0时，即x，由x ﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x 与x 不相符，故舍去由x ﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x 故原方程的解是x 或x 解析:2.解：由原方程得||x ﹣2|﹣1|＝a ，∴|x ﹣2|﹣1＝±a ，∵0＜a ＜1，∴|x ﹣2|＝1±a ，即x ﹣2＝±（1±a ），∴x ＝2±（1±a ），从而x ＝3+a ，x ＝3﹣a ，x ＝1+a ，x ＝1﹣a ，∴x +x +x +x ＝8，即原方程所有解的和为8．解析:3.解：∵方程||x+a|+2b|＝4，∴|x+a|＝4﹣2b 或﹣4﹣2b ，∵有三个不相等的解，∴4﹣2b 与﹣4﹣2b ，其中一个为0，则得3个解，如果都不是零，则得4个解，故b ＝2或﹣2．经检验，b ＝2不合题意舍弃，∴b ＝﹣2故答案为﹣2．解析:4.解：根据题意得：a≥0，|x ﹣200|﹣250＝±a ，|x ﹣200|＝250±a ，x ﹣200＝±（250±a ），x ＝200±（250±a ），所以x ＝450+a ，x ＝﹣50﹣a ，x ＝450﹣a ，x ＝﹣50+a ，则有两个相等，12341234显然450+a＝﹣50+a，﹣50﹣a＝450﹣a不成立，若450+a＝﹣50﹣a，解得：a＝﹣250，（舍去），若450+a＝450﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若﹣50+a＝﹣50﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若450﹣a＝﹣50+a，解得：a＝250，x＝700，x＝﹣300，x＝200，（符合题意），故答案为：a=250．解析:模块三含参数的一元一次方程例题1.解：2x﹣2＝3m﹣1 2x＝3m+1解析:2.解：解方程5m+3x＝1+x得x，解方程2x+m＝3m得x＝m，由题意知m＝2，解得：m，则7m﹣1＝7×（）﹣1＝711．解析:3.解：解方程m4得：x＝12﹣3m ，解方程1得：x＝6﹣m，根据题意得：222（6﹣m）＝12﹣3m，解得：m＝0．解析:基础训练基础训练题目1.解：去分母：10m+24x=2x+1 22x=1-10m解析:2.B解析:3.解：方程x+m﹣3＝0的解为x＝3﹣m，方程2m＝2x﹣1解为：x（2m+1），根据题意得：3﹣m（2m+1）＝4，去分母得：9﹣3m+4m+2＝12，移项合并得：m＝1解析:4.解：方程3（2x﹣1）＝k+2x，解得：x，方程8﹣k＝2（x+1），解得：x，根据题意得： 0，解得：k＝15．解析:例题1.B解析:解：方程移项合并得： x＝a﹣14，去分母得：﹣x＝2a﹣28，解得：x＝28﹣2a，∵方程的解x是正整数，∴28﹣2a＞0，∴a＜14则a的最大值为13，故选：B．2.A解析:解：x1，6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣66x﹣4+ax＝2x+2a﹣66x+ax﹣2x＝2a﹣6+4（a+4）x＝2a﹣2x，∵方程的解是非正整数，∴0，解得：﹣4＜a≤1，当a＝﹣3时，x＝﹣8；当a＝﹣2时，x＝﹣3；当a＝﹣1时，x（舍去）；当a＝0时，x（舍去）；当a＝1时，x＝0；则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．故选：A．3.B解析:解：方程整理得：kx﹣2020x﹣2019＝7﹣2020x﹣2020，移项合并得：kx＝6，解得：x，由x为整数，得到k＝±1，±2，±3，±6，共8个，故选：B．基础训练基础训练题目1.解：移项，得kx+x＝9，合并，得（k+1）x＝9，当k+1≠0时，x∵关于x的方程的解为自然数，∴9能被k+1整除．∴k+1＝1、3、9，即k＝0、2、8时，关于x的方程的解为自然数．解析:2.解：方程去括号得：3x﹣9＝kx，移项合并得：（3﹣k）x＝9，解得：x ，由x 为正整数，得到k ＝2，0解析:3.解：解方程mx ＝2﹣x 得：x ，∵关于x 的方程mx ＝2﹣x 的解为整数，且m 为负整数，∴1+m ＝±2或±1，解得：m ＝1或﹣3或0或﹣2，其中m ＝1和m ＝0舍去（不是负整数），即m ＝﹣3或﹣2；5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]＝5m ﹣[m ﹣6m+5m ﹣2m +6m]＝5m ﹣m +6m ﹣5m +2m ﹣6m＝m ，当m ＝﹣2时，原式＝（﹣2）＝4；当m ＝﹣3时，原式＝（﹣3）＝9，所以代数式5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]的值是4或9．解析:4.解：∵，∴（6﹣a ）x ＝6，∵关于x的一元一次方程的解为整数，∴x 为整数，∴6﹣a ＝±1或±2或±3或±6，又∵a 为整数，∴a ＝5或7或4或8或3或9或0或12，∴所有满足条件的数a 的和为：5+7+4+8+3+9+0+12＝48.解析:例题1.解：化简kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4得（k ﹣1）x ＝﹣m ﹣4，（1）当k≠1时方程只有一个解，即x．（2）当k ＝1，m≠﹣4时方程无解．（3）当k ＝1，m ＝﹣4时方程有无数个解．解析:2.解：方程去括号得：mx ﹣m ＝5x ﹣2，移项合并得：（m ﹣5）x ＝m ﹣2，由方程有唯一解，得到m ﹣5≠0，解得：m≠5．2222222222222222222解析:基础训练基础训练题目1.解：方程移项合并得：（2k﹣1）x＝4﹣m，（1）由方程有唯一解，得到2k﹣1≠0，即k；（2）由方程有无数个解，得到2k﹣1＝0，4﹣m＝0，解得：k，m＝4；（3）由方程无解，得到2k﹣1＝0，4﹣m≠0，解得：k，m≠4．解析:2.解：6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x），去括号得6ax﹣12﹣x﹣1＝2+4x，移项、合并同类项得（6a﹣5）x＝15．（1）当6a﹣5≠0，即a时，方程有唯一解．（2）当6a﹣5＝0，即a时，方程没有解．解析:3.解：原方程即x1ax，移项，得： x ax1，合并同类项，得：（）x，当0，且0时，方程有无数个解．则b＝﹣2，a．解析:4.解：（1）b＝1，代入原式得：a（3x﹣2）+2x﹣3＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2x﹣3＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a﹣6）x＝2a﹣4，（a≠2）化系数为1得：x．（2）a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2bx﹣3b＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a+2b﹣8）x＝2a+3b﹣7，∴当3a+2b﹣8＝0，2a+3b﹣7＝0时，x有无数个解，解得：b＝1，a＝2．故a＝2，b＝1时，方程有无数个解．解析:5.解析:解：∵（5a+3b ）x +ax+b ＝0是一元一次方程，∴5a+3b ＝0，∵方程（5a+3b ）x +ax+b ＝0有唯一解，∴a≠0，x，∴ba ，∴x ．故答案是：．模块四自定义新一元一次方程例题1.解：（1）[] 2，[﹣1]＝﹣1+2＝1；（2）a ＞0，b ＜0，[a]＝[b]，即a ﹣2＝b+2，解得：a ﹣b ＝4，故（b ﹣a ）﹣2a+2b ＝（b ﹣a ）﹣2（a ﹣b ）＝（﹣4）﹣8＝﹣72；（3）当x≥0时，方程为：2x ﹣2+x+1﹣2＝1，解得：x ；当﹣1＜x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，解得：x ＝0（舍弃）；当x≤﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，解得：x；故方程的解为：x．解析:2.解：（1）∵（4，y ）是“相伴数对”，∴解得y ＝﹣9；（2）∵（a ，b ）是“相伴数对”，∴解得a b ；（3）∵（m ，n ）是“相伴数对”，∴由（2）得，mn ，∴原式＝﹣3mn ﹣2＝﹣3×（n ）n ﹣2＝﹣2．解析:3.解：（1）由题意得：g （x ）＝2x ；故答案为：2x ；（2）由题意得：g （x ）＝6x ﹣14，22333由g（x）＝10，得6x﹣14＝10，解得：x＝4；故答案为：6x﹣14；（3）由题意得：g（x）＝2（a﹣3）x﹣8＝（2a﹣6）x﹣8，由g（x）＝﹣2x，得（2a﹣6）x﹣8＝﹣2x，化简整理得：（a﹣2）x＝4，∵方程有正整数解，∴a﹣2≠0，可得x，∵a为整数，∴a﹣2＝1或2或4，∴a＝3或4或6，又∵f（x）是二次多项式，∴a﹣3≠0，可得a≠3，综上可知，a＝4或6．解析:4.解：（1）解方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0得，x＝1，解方程﹣2y﹣y＝3得，y＝﹣1，∵1﹣（﹣1）＝2＞1，∴方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与方程﹣2y﹣y＝3的解不接近；（2）关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0的解为x＝1，关于y的方程y＝2k+1的解为y＝3k+2，∵关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程y＝2k+1的解接近，∴|1﹣（3k+2）|≤1，解得k≤0或k，即k≤0，∴k的最大值是0，最小值；（3）解方程x﹣m＝2x﹣5得，x解方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m得，y∵1∴方程x﹣m＝2x﹣5与方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解接近．解析:自主探究自主探究题目1.B解析:解：解2x+1＝﹣2，得x．把x代入1﹣2（x﹣a）＝2，得1﹣2（a）＝2．解得a＝﹣1，故选：B．2.C解析:解：方程移项合并得：（a﹣3）x＝b+4，由方程有无数个解，得到a﹣3＝0，b+4＝0，解得：a＝3，b＝﹣4，故选：C．3.B解析:解：令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；当x≤0时，y＝﹣5x+9，∴y≥9；综上所述，y≥5，∴a≥5时等式恒有解．故选：B．4.(1) x＝3；(2) x＝1．解析:解：（1）移项得：4x+x＝12+3，合并得：5x＝15，解得：x＝3；（2）去分母得：3（1﹣x）+12＝4（2x+1），去括号得：3﹣3x+12＝8x+4，移项得：﹣3x﹣8x＝4﹣3﹣12，合并得：﹣11x＝﹣11，解得：x＝1．5.解：解方程5x﹣3＝2x，可得：x＝1，∵5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，∴方程4x＝6的解是x＝﹣1，∴，解得k，∴（1k）＝（1）＝﹣1．解析:556.解：由方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，得到a＝5，b＝﹣6，则原式＝25﹣6＝19．解析:7.解：方程3x+2＝﹣4，解得：x＝﹣2，因为x、y互为相反数，所以y＝2，把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1，解得：m＝2．解析:8.解：去括号得：ax﹣5a＝x+1，移项得：ax﹣x＝1+5a，合并得：（a﹣1）x＝1+5a，当a﹣1≠0时，x，当a﹣1＝0时，方程无实数解，∴当a≠1时，方程的根是x；当a＝1时，方程没有实数根．解析:9.解：方程的解是数轴上到与到的所有点的集合，∴x，则该方程的整数解为x＝﹣1或x＝0；解析:10.解：去分母，得：ax+10＝7x﹣3，移项、合并同类项，得：（a﹣7）x＝﹣13，系数化成1得：x，∵x是正整数，∴a﹣7＝﹣1或﹣13，∴a＝6或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝6．解析:。
七年级(上)培优讲义：第14讲 一元一次方程的应用
第14讲：一元一次方程的应用一、知识建构1．列一元一次方程解应用题列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决．列一元一次方程解应用题的步骤是：(1)审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y)表示问题中的未知数；(2)找等量关系：分析题意，找出相等关系(可借助于示意图.表格等)；(3)列方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)解方程：解这个方程，求出未知数的值；(5)检验作答：检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案．2.利用一元一次方程巧解应用题读懂题目，搜集整理相关信息，弄清题目中的已知数和未知数，是用一元一次方程正确解决相关应用问题的前提．根据不同的实际问题，确定恰当的等量关系是解决较复杂问题的关键．对比较贴近生活实际的应用问题，其数量关系不仅多，而且比较隐蔽，因此，对这类应用问题要善于挖掘多种数量关系之间的内在联系．3.设未知数一般是问什么就直接设什么．如果直接设未知数有困难，就间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位，并且要保证前后单位统一．二、典型例题例1.学校派七年级一、二班去植树，一班40人，二班52人，现从三班调来43人支援一班和二班，使二班的人数是一班的2倍，问应调入一班和二班各多少人？例2.把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），求其中棱长为1的正方体的个数．例3.在开展城乡综合治理的活动中，需要将A.B.C三地的垃圾50立方米.40立方米.50立方米全部运往垃圾处理场D.E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A.C两地运往D.E两地哪几种方案？（3）已知从A.B.C三地把垃圾运往D.E两地处理所需费用如下表：在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？例4.学校计划从某公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？（2）根据学校的实际情况，需从公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的13．请你通过计算，求出学校从公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？例5.某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．李明购书后付了212元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？三、 基础演练1. 某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯（ ）A ．54盏B ．55盏C ．56盏D ．57盏2. “五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．()130%80%2080x +⨯=B ． 30%80%2080x ⋅⋅=C ． 208030%80%x ⨯⨯=D ． 30%208080%x ⋅=⨯3.七（3）班的50名同学进行数学.科学两种实验测试，经最后统计知：数学实验做对的有40人，科学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ）A .17人B .21人C .25人D .37人4. “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A .x （1+30%）×80%=2080 B .x •30%•80%=2080C .2080×30%×80%=xD .x •30%=2080×80%5.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km ？设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ） A . B .60512601015+=-x xC .60512601015-=-x x D .5121015-=+x x 6.一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）错误！未找到引用源。
一元一次方程培优讲义
练习题：一、选择题：1、下列各式中不是代数式的是（ ）A 、π B 、0 C 、 D 、a +b =b +a2、用代数式表示比y 的2倍少1的数，正确的是（ ） A 、2( y – 1 ) B 、2y + 1 C 、2y – 1 D 、1 – 2y3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、4、当时，代数式的值是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、5、已知公式，若m=5，n=3，则p 的值是（ ）A 、8 B 、 C 、 D 、6、下列各式中，是同类项的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题：7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是______________。
8、代数式的意义是______________________________。
9、当m=2，n= –5时，的值是__________________。
10、化简__________________________________。
三、解答题： 11、已知当时，代数式的值是3，求代数式的值。
yx +1元)54(m n +元)45(m n +元)5(n m +元)5(m n +61,31==b a2)(b a -1216141361nm p 111+=811588152233xy y x -与yx xy 23-与x x 222与yz xy 55与()cb a 2+n m -22()()=--+2211m m 1,21==y x z x xyz 282+z z +2212、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm ，b=4cm ，r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。
13、已知A=x – 2y + 2xy ，B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B 。
七年级(上)培优讲义：第13讲 一元一次方程
第13 讲 一元一次方程一、新知建构1. 有关概念 一元一次方程 方程的解 ．2. 解一元一次方程 基本步骤 检验方法 ．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题 ． 二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2． 解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3． 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（ ）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（ ） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（ ）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（ ）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（ ） Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元 Ｃ．1.12a元 Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（ ） （A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人， 乙队有28人， 如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调 人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？ 五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值． 六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是 ．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。
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个性化辅导专家——博大一对一辅导###### 年级 ###### 性别# 教学课题一元一次方程培优讲义教学目标知识点：1、了解一元一次方程的概念，理解等式的基本性质。
2、理解移项法则，会解一元一次方程。
3、了解一元一次方程在解决问题中的应用。
方法：讲解和练习重点难点教学重点；一元一次方程的概念、解法教学难点；一元一次方程的解法应用课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________教学内容一元一次方程复习提高要点一：方程及一元一次方程的相关概念方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。
其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。
等式、方程、一元一次方程的区别和联系：方程的解的概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（1）解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
（2）判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边区别举例联系等式用等号连接的式子。
3+2=5，x+1=0都是用等号连接的式子方程含有未知数的等式。
X+1=0，x+y=2 一元一次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。
X+1=0，52y+1=21y的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程的解。
一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
重点题型总结及应用知识点一：一元一次方程的概念 例1、 已知下列各式：①2x －5＝1；②8－7＝1；③x ＋y ；④21x －y ＝x 2；⑤3x ＋y ＝6； ⑥5x ＋3y ＋4z ＝0；⑦nm 11－＝8；⑧x ＝0。
其中方程的个数是( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 举一反三：【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程： （1）-2x 2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+x1=2 （4）2x 2-1=1-2(2x-x 2) 【变式2】若关于的方程是一个一元一次方程，则_______．【变式3】若关于的方程是一元一次方程，则_______【变式4】若关于的方程()523=+--mx x m m 是一元一次方程，则_______． 【变式5】若关于的方程()5)2()2(22=+++-x m x m m 是一元一次方程，则_______．一般步骤 注意点（1）去分母 方程的每一项都要乘以最简公分母（2）去括号去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变 （3）移项 移项要变号（4）合并同类项只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）方程两边同除以未知数的系数 相除时系数不等于0。
若为0，则方程可能无解或有无穷多解。
x 230m mx m ++-=m =x ()23202k x kx -+-=k k =x m =x m =【变式6】已知：(a －3)(2a ＋5)x ＋(a －3)y ＋6＝0是关于x 的一元一次方程，则a=_______．知识点二：方程的解题型一：已知方程的解，求未知常数 例2、当k 取何值时，关于x 的方程450.80.50.20.1x k x k x----=的解为2x =-？举一反三： 已知．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值．题型二：已知一方程的解，求另一方程的解例3、已知1x =是关于x 的方程11()23m x x --=的解，解关于y 的方程：(3)2(25)m y m y --=-．题型三：同解问题2ym my m +=-4m =y 4y =m例4、方程233x -=与3103a x--=的解相同，求a 的值.举一反三：【变式1】已知方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同．（1）求m 的值；（2）求代数式20112010)22()23(-⋅-m m 的值． 【变式2】已知方程与方程的解相同，求k 的值.【变式3】方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k xk x +--=的解互为倒数，求k 的值。
112332x x x ---=+-2224334kx xk +--=-题型四：已知方程解的情况，求未知常数的取值范围例5、要使方程ax=a 的解为1,则( )A.a 可取任何有理数B.a ＞0C. a ＜0D.a ≠0 例6、关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a 的值为( ) A. 2 B. 3 C.1或2 D.2或3 举一反三：已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.知识点三：等式的性质（方程变形——解方程的重要依据）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ， 如方程：5.03-x －2.04+x =1.6，将其化为： － =1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
例7、下列等式变形正确的是( )A.若x y =,则55x y -=+B. 若a b =,则ac bc =C.若a b c c=,则23a b = D. 若x y =,则x ym m =举一反三：1、若ax ay =,下列变形不一定正确的是( )A. 55ax by +=+B. 33ax by -=-C. 1133ax ay -=- D. x y =2、下列等式变形错误的是( )A.由a=b 得a+5=b+5B.由a=b 得6a=6bC.由x+2=y+2得x=yD.由x ÷3=3÷y 得x=y3、运用等式性质进行的变形,正确的是( )A.如果a=b 那么a+c=b-c;B.如果6＋a=b-6 那么a=b;C.如果a=b 那么a ×3=b ÷3 ;D.如果a2=3a 那么a=3 4、下列等式变形错误的是( ) A.由a=b 得a+5=b+5 B.由a=b 得99a b =-- C.由x+2=y+2得x=y D.由-3x=-3y 得x=-y5、运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果a bc c=,那么a=b; C.如果a=b,那么a bc c=; D.如果a 2=3a,那么a=3 6、如果ma=mb ，那么下列等式中不一定成立的是（ ）A. ma+1=mb+1B.ma —3=mb —3C. a=bD. mb ma 2121=7、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。
A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果cbc a =,那么a=b; C.如果a=b,那么cbc a = D.如果a a 32=,那么a=3 知识点四：解一元一次方程的一般步骤： 例8、（用常规方法）解方程：（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程例9、解方程：x x 759279911－＝＋ 思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ，1211=223x x -+--常数项和为 ，故直接移项凑成 比先去分母简单。
举一反三： 【变式】解方程：＝2x －5（二）巧用观察法解方程例10、解方程：（三）巧去括号法解方程含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。
例11、解方程：思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 向 去括号可以使计算简单。
举一反三：【变式】解方程：02.03.004.005.09.04.0x x ＋－＋)3(413)2(31)1(21＋－＝＋＋＋y y y 1642534331＝－＋－⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛x 22222212121＝－－－－⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛x（四）运用拆项法解方程在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
例12、解方程：思路点拨：注意到_____________________，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
（五）巧去分母解方程当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例13、解方程：＝1（六）巧组合解方程 例14、解方程：思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边2583243＝－－＋x x 7.023.107.0x x －－932438535＋＋－＝＋＋－x x x x的第一项和右边的第 项中的分母有公约数 ，左边的第 项和右边的第一项的分母有公约数 ，移项局部通分化简，可简化解题过程。
（七）巧解含有绝对值的方程解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m ，则_________________________。
例15、解方程：|x －2|－3＝0解法一： 解法二：举一反三：【变式1】5|x|－16＝3|x|－4【变式2】解一元一次方程常用的技巧有：（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
3142x -=（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
知识点五：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用题型一：方程有唯一解例16、若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.题型二：方程有无数解例17、关于x的方程3x－4=a－bx有无穷多个解,则a. b的值应是( )A. a=4, b=－3B.a=－4, b=－3C. a=4 , b=3D.a .b可取任意数题型三：方程无解例18、已知关于x的方程1(6)326x xa x+=--无解，则a的值是（）A.1B.-1C.±1D.不等于1的数举一反三：1、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．2、若关于x的方程︳2x－1 ︳+m=0无解,则m=____________.3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.4、已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时: (1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?总结升华：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况(1)a≠0时，方程有唯一解x=ba；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。