一元一次方程培优讲义(精品)
20180206一元一次方程培优(精品文档)_共8页
一元一次方程一、知识要点：⑴只含有 ，并且 的次数是 的方程叫做一元一次方程。
⑵能使方程 相等的未知数的值叫做方程的解。
⑶解一元一次方程的思路：解一元一次方程的整个过程就是由原方程向最简方程ax =b (a ≠0)的转化过程。
整个过程可以图示如下：⑷变形名称变形根据变形方法去分母在方程两边都乘以所有分母的最小公倍数去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以反过来从外向里去。
移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边。
合并同类项把系数相加，方程化为最简形式ax =b (a ≠0)系数化为1方程两边都除以未知数的系数a ，得方程的解x =ab 注意：解方程时，必须根据方程特点，灵活地选择方程变形的步骤。
二、例题分析：例1、解方程2x +5=4x -1 例2、解方程9x -(x -4)=5x -6(1-3x )例3、解方程-x x x x =--+--2326231例4、解下列方程⑴40%x +60%(20-x )=20×50% (2) [(-1)-2]-x =223324x⑶ ⑷16323222312-=+----x x x x x 03.002.001.05.15.24+=--x x 例5、⑴若关于x 的方程x -(x +a )(-3x -2a )=2(x +4a )的根为1，求25a -5a -1的值。
2⑵若（a -3）+|a +3b |=0,代数式的值比b -a +k 多1，求k 的值。
222k a b +-21专题一、一元一次方程概念的理解:1.若方程与的解互为相反数，则k= 。
()()321x k x -=+62k xk -=2.若k 为整数，则使得方程的解也是整数的k 值有（ ）()199920012000k x x -=-A.4个 B.8个 C.12个 D.16个专题二、一元一次方程的解法（1）利用一元一次方程的巧解：例： （1）表示无限循环小数，你能运用方程的方法将化成分数吗？0.2∙0.2∙（2）表示无限循环小数，你能运用方程的方法将化成分数吗？0.23∙∙0.23∙∙（二）方程的解的分类讨论：当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。
3一元一次方程讲义
七年级数学《一元一次方程》一、本章学习指导1． 一元一次方程的解法（重点）2． 一元一次方程的应用（难点）3． 求解一元一次方程及其在实际问题中的应用(考点)二、知识点：(一)、从算式到方程1、（1）表示_______(相等，不相等)关系的式子叫做等式；如：5+3=8,32=9；含有未知数的_______(等式，不等式)叫做方程。
如x +2=16是方程。
（2）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解．求方程的解的过程叫做解方程；（3）只含有_______未知数，并且未知数的_______的_______叫做一元一次方程．ax+b =0（x 是未知数，a 、b 是常数，且a ≠0）。
例题：1．在3x ＋1=9中，4＋x ﹥9，9＝2+7，5x 2+3x -6=0中等式的个数为( )；(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2． 在方程6x ＋1＝1，,322=x 7x －1＝x －1，5x ＝2－x 中解为31的方程个数是( )． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3． 下列方程中，解是x ＝4的是( )． (A)2x ＋4＝9 (B)43223-=+x x (C)－3x －7＝5 (D)5－3x ＝2(1－x )4．下列方程中，是一元一次方程的是( ) (A)x 2－2x －3=0 （B ） 2x +y=5 (C) 112x x+= (D)x =1 6．方程2x +a －4=0的解是 x =－2，则a 等于（ ）(A) -8 （B ） 0 (C) 2 (D) 87．若关于x 的方程3x 4n －7＋5＝17是一元一次方程，求n ．2、等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去） ，等式的两边仍然相等。
如：5=5→5+2=5+2; a=a →a －6=a －6。
（2）等式的性质2：等式两边都乘（或除以） ，等式的两边仍然相等。
如：5=5→5×2=5×2; a=a →a ×6=a ×6。
一元一次方程培训讲义1
初一数学A 1培训（一元一次方程的解法）一、知识要点1．等式的性质2．一元一次方程的概念：b ax =，其中x 是未知数，a 、b 是常数，且0≠a .3．解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.二、典型例题例1．解下列方程：（1）43(20)67(9)x x x x --=--； （2）12123x x x -+-=-；（3）12[123(42)]163x x x ---=-． （4）()()()243563221x x x --=--+（5）0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-= （6）1)21(212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x x（7）．2311()323242x x ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦；例2．已知1x =是关于x 的方程11()23m x x --=的解，解关于y 的方程：(3)2(25)m y m y --=-．例3．已知方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同．（1）求m 的值；（2）求代数式20112010)22()23(-⋅-m m 的值．三、强化练习1．在有理数集合里定义运算“※”，其规则为a ※b ＝2a －b ．试求(x ※3)※2＝1的解．2．当k 取何值时，关于x 的方程450.80.50.20.1x k x k x ----=的解为2x =-？3、y=1是方程12()23m y y --=的解，求关于x 的方程(4)2(3)m x mx +=+的解。
4、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。
一元一次方程培优讲义(精品)
A.如果a=b 那么a+c=b-c; B.如果6＋a=b-6 那么a=b;
C.如果a=b 那么a×3=b÷3 ; D.如果a2=3a 那么a=3
4、以下等式变形错误的选项是( )
A.由a=b得a+5=b+5 B.由a=b得 C.由x+2=y+2得x=y D.由-3x=-3y得x=-y
题型三：方程无解
例18、关于x的方程 无解，那么a的值是〔 〕
A.1 B.-1 C.±1 D.不等于1的数
举一反三：
1、关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
2、假设关于x的方程 ︳2x－1 ︳+m=0无解,那么m=____________.
3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;
A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果 ,那么a=b;
C.如果a=b,那么 D.如果 ,那么a=3
知识点四：解一元一次方程的一般步骤：
例8、〔用常规方法〕解方程：
〔非常规方法解方程〕〔一〕巧凑整数解方程
例9、解方程：
思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，
常数项和为，故直接移项凑成比先去分母简单。
⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦ ＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8
举一反三：
【变式1】判断以下哪些方程是一元一次方程：
〔1〕-2x2+3=x 〔2〕3x-1=2y 〔3〕x+ =2 〔4〕2x2-1=1-2(2x-x2)
【变式2】假设关于 的方程 是一个一元一次方程，那么 _______．
初一上数学-一元一次方程-培优讲义
一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=； （2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解； 【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】 已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为 时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。
一元一次方程培优讲义
练习题：一、选择题：1、下列各式中不是代数式的是（ ）A 、π B 、0 C 、 D 、a +b =b +a2、用代数式表示比y 的2倍少1的数，正确的是（ ） A 、2( y – 1 ) B 、2y + 1 C 、2y – 1 D 、1 – 2y3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、4、当时，代数式的值是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、5、已知公式，若m=5，n=3，则p 的值是（ ）A 、8 B 、 C 、 D 、6、下列各式中，是同类项的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题：7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是______________。
8、代数式的意义是______________________________。
9、当m=2，n= –5时，的值是__________________。
10、化简__________________________________。
三、解答题： 11、已知当时，代数式的值是3，求代数式的值。
yx +1元)54(m n +元)45(m n +元)5(n m +元)5(m n +61,31==b a2)(b a -1216141361nm p 111+=811588152233xy y x -与yx xy 23-与x x 222与yz xy 55与()cb a 2+n m -22()()=--+2211m m 1,21==y x z x xyz 282+z z +2212、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm ，b=4cm ，r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。
13、已知A=x – 2y + 2xy ，B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B 。
七年级(上)培优讲义：第13讲 一元一次方程
第13 讲 一元一次方程一、新知建构1. 有关概念 一元一次方程 方程的解 ．2. 解一元一次方程 基本步骤 检验方法 ．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题 ． 二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2． 解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3． 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（ ）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（ ） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（ ）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（ ）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（ ） Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元 Ｃ．1.12a元 Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（ ） （A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人， 乙队有28人， 如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调 人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？ 五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值． 六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是 ．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。
七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的应用题一)第八讲
一元一次方程的应用题(一)应用题是中学数学中的一类重要问题.一般通过对问题中量的关系进行分析.适当的设未知数.找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵.觉得题目长.文字多.关系复杂.难以把握.其实应用题关键在于读题.弄懂题意.一些常见的问题.比如行程问题.工程问题.利率问题.浓度问题等等.其中的基本关系一定要深刻理解.设未知数的方法一般来讲.有以下几种：直接设未知数解应用题：直接设未知数指题目问什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况；间接设未知数解应用题：设间接未知数.是指所设的不是所求的.而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；引入辅助未知数解应用题：设辅助未知数.就是为了使题目中的数量关系更加明确.可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出.可以在解题时消去.解应用题的方法多种多样.除此之外.还有运用逆推法解应用题.运用整体思想解应用题.运用图形图表法解应用题等等.单纯的背这些方法是没有意义的.关键还在于提高理解能力.大量练习.从而学会快速读懂题意.综合运用各种方法去求解问题.列方程解应用题的步骤：①审：审题.分析题中已知什么.求什么.明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么.就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式.进而列出方程⑤解：解所列出的方程.求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意.写出答案（包括单位名称）模块一 和差倍分问题【例1】 玻璃缸里养了三个品种的金鱼.分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍.且“朝天龙”比“水泡”少1条.这三种金鱼各有几条呢? 【解题思路】设“珍珠”的条数为x 条.则“水泡”“朝天龙”的条数分别为3x 条.2x 条．依题意得：321x x -=.1x =.从而33x =.22x =.【题目答案】3,2,1【巩固练习】甲队有32人.乙队有28人.现从乙队抽x 人到甲队.使甲队是乙队人数的2倍.依题意.列出方程为 . 【解题思路】略【题目答案】322(28)x x +=-【巩固练习】汽车若干辆装运货物一批.若每辆汽车装3.5吨货物.这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物.那么装完这批货物后.还可以装其他货物1吨.问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？ 【解题思路】设有汽车x 辆．依题意得：3.5241x x +=-.解之得：6x =.4123x -=.故汽车有6辆.货物有23吨．【题目答案】6；23【例2】 ⑴ 甲仓库有粮120吨．乙仓库有粮90吨．从甲仓库调运 吨到乙仓库.调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．⑵ 甲乙两个圆柱体容器.底面积比为53∶.甲容器水深20cm .乙容器水深10cm .再往两个容器注入同样多的水.使两个容器的水深相等.这时水深多少厘米?【解题思路】⑴ 从甲仓库调运x 吨到乙仓库.依题意得1120(90)2x x -=+.解得50x =．⑵ 设这时水深cm x .依题意得5(20)3(10)x x -=-.解得35x =．若学生不好理解.不妨多设一个底面积比为53a a ∶．方程为5(20)3(10)a x a x -=-即可．【题目答案】50；35【巩固练习】某公司有甲乙两个工程队.甲队人数比乙队人数的23多28人．现因任务需要.从乙队调走20人到甲队.这时甲队人数是乙队人数的2倍.则甲乙两队原来的人数分别是多少人？【解题思路】设乙队原来有x 人.则甲队有2283x +人．依题意可列：()22202820x x -=++.解得：66x =【题目答案】72,66【巩固练习】甲.乙.丙三条铁路共长1191千米.甲铁路长比乙铁路的2倍少189千米.乙铁路长比丙铁路少8千米.求甲铁路的长． 【解题思路】设丙铁路长为x 千米.则乙铁路长8x -千米.甲铁路长()28189x --千米．依题意可列：()()8281891191x x x +-+--=【题目答案】499,344,352【巩固练习】如图.两根铁棒直立于桶底水平的木桶中.在桶中加入水后.一根露出水面的长度是它的13.另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm .此时木桶中水的深度是 cm ．【解题思路】设此时木桶中水的深度为cm x .依题意得.两根铁棒的长度为1[(1)]cm 3x ÷-和1[(1)]cm 5x ÷-.故11[(1)][(1)]5535x x ÷-+÷-=.解得20x =．【题目答案】20【例3】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方.一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来.他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍.再加上原来这群羊的一半.又加上原来这群羊一半的一半.连你这只羊也算进去.才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解题思路】设这群羊共有x 只.依题意.有112110024x x x +++=.解之得36x =.【题目答案】36模块二行程问题☞追击问题解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．【例4】敌我两军相距32千米.敌军以每小时6千米的速度逃窜.我军同时以每小时16千米的速度追击在相距2千米的地方发生战斗.问战斗是从开始追击后几小时发生的？【解题思路】根据追击问题的基本公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．设战斗是从开始追击后x小时发生的．则依题意可列：()166322x-=-.解得：3x=．【题目答案】3【巩固练习】环城自行车赛.最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人.已知最快的人的速度是最慢的人速度的32倍.环城一周是20千米.求两个人的速度.【解题思路】设最慢的人的速度为x.则最快的人的速度为32x.依题意可列：432052x x⎛⎫-=⎪⎝⎭．解得：50x=【题目答案】慢人的速度为50.快人的速度为65．【巩固练习】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车.汽车的速度是每小时28千米.摩托车的速度是每小时42千米.通讯员出发4小时后追上汽车.求部队比通讯员早出发几小时？【解题思路】设部队比通讯员早出发x小时．则依题可列：()4228428x-=.解得：2x=．【题目答案】2【例5】某人从家里骑摩托车到火车站.如果每小时行30千米.那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时此时骑摩托车的速度应为多少？【解题思路】设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时.则151530()18()6060x x -=+.解得1x =. 此人打算在火车开车前10分钟到达.骑摩托车的速度应为1530(1)602710160⨯-=-（千米/时） 【题目答案】27【巩固练习】甲乙两列火车.甲车长160m .乙车长120m .甲车速度为20/m s .乙车速度为40/m s ；若乙车从后面追赶甲车.问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？ 【解题思路】本题解题的关键是要注意“乙车追上甲车到乙车超过甲车”所以.追击路程为两车的车长之和．设从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间为x .则依题意可列：()1601204020x +=- 解得：14x =【题目答案】14☞相遇问题解决相遇问题的基本公式为：速度和⨯相遇时间=路程．【例6】 乙两站的路程为360千米.一列快车从乙站开出.每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出.每小时行驶48千米．两列火车同时开出.相向而行.经过多少小时相遇？ 【解题思路】设经过x 小时相遇.则依题意可列：()7248360x +=.解得：3x =．【题目答案】3【巩固练习】甲.乙两人从相距75km 的A .B 两地相向而行.甲每小时行7.5km .乙每小时行5km .问：（1）两人同时出发.多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发.问乙出发几小时后两人相遇 【解题思路】（1）设x 小时相遇．依题意可列：()7.5575x +=.解得：6x =（2）设乙出发x 小时后两人相遇．则依题意可列：()757.527.55x -⨯=+.解得：4x =．【题目答案】6；4【巩固练习】甲.乙两人从相距73km 的A .B 两地相向而行.甲每小时行7km .乙每小时行2km .问：两人同时出发.多少小时相距1km ？ 【解题思路】设x 小时后相距1km ．依题意可列：()73172x -=+.解得：8x =． 【题目答案】8☞变速问题【例7】 一辆汽车从甲地开往乙地.每分钟行525米.预计40分钟到达.但行到一半路程时.机器发生故障.用5分钟修理完毕.如果仍在预计的时间内到达.行驶余下的路程.每分钟比原来速度快多少米？【解题思路】设比原来的速度快x 米．则依题意可列：52520205525x⨯=-+.解得：175x =．【题目答案】175【巩固练习】某人以每小时8千米的速度上山.以每小时12千米的速度下山.共用5小时.问上山需要用多少时间？ 【解题思路】设上山需要用x 小时.下山需要5x -小时．则依题可列：()8125x x =-.解得：3x =． 【题目答案】3【巩固练习】Cenrrie 带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏.Cenrrie 站一个小山坡的脚下.当Cenrrie 扔出“飞盘”.“旺财”从Cenrrie 身边同时跑出去速度为6/m s .接到“飞盘”后以9/m s 的速度跑回Cenrrie 身边.问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？【解题思路】设“旺财”从身边跑出去接到飞盘所用的时间为x .=整个路程平均速度全程所用的时间.则整个过程中的平均速度为：267.269xx x =+ 【题目答案】7.2【点评】这题切记利用两个速度和的一半来求平均速度.这样做是错误的．【例8】 某人有急事.预定搭乘一辆小货车从A 地赶往B 地．实际上.他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车.车速提高了一倍.结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时.求两地间路程. 【解题思路】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析.列出相关的代数式.进而建立方程.转化为纯数学问题来解决．这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象.住数量关系的实质；不能机械的记忆.套用某些题型而忽略了问题的本质．常有貌似相像.实质不同的问题；也有面目迥异而实质相同的问题．本题与上题具有相同的数量关系：后23程中时间节约了112小时．所以设行驶了全程的13还余x 千米．根据题意.同样可列出方程.1136722x x -=.解得108x =．这时两地间路程是21081623÷=(千米)．【题目答案】162【巩固练习】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时.水流速度增加一倍后.再从甲港到乙港航行需3小时.水流速度增加后.从乙港返回甲港需航行多少小时？ 【解题思路】设小船在静水中的速度为a .原来的水速为b .则2()3(2)a b a b -=-.解得4a b =.故所求时间为2()1(2)a b a b -=+（小时）.【题目答案】1☞流水问题流水问题的常用公式：=逆水时的速度船速-静水速度=+顺水时的速度船速静水速度()1=+2船速逆水时的速度顺水时的速度()1=2静水速度顺水时的速度-逆水时的速度【例8】 一小船由A 港到B 港顺流需行6小时.由B 港到A 港逆流需行8小时.一天.小船从早晨6点由A港出发顺流行至B 港时.发现一救生圈在途中掉落在水中.立即返回.1小时后找到救生圈.问： ⑴若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需多少小时？ ⑵救生圈是何时掉入水中的？ 【解题思路】⑴设小船在静水中的速度为a .水流速度为b .则6()8()a b a b +=-.解得7a b =.故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需时间为6()48a b b+=（小时）； ⑵设小船行驶x 小时后.救生圈掉入水中.则(61)()1(6)()x b a b x a b -++-⨯=-+.将7a b =代入上式.得到5x =.故救生圈是上午11点掉入水中的.【题目答案】48；5【巩固练习】甲.乙两港相距360千米.一轮船往返两港需35小时.逆流航行比顺流航行多花了5小时.现有一机帆船.静水中速度是每小时12千米.问这机帆船往返两港要多少小时？ 【解题思路】解答本题需要两大步骤：首先求出水流的速度.其次.利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的时间．设轮船顺流航行需要x 小时.依题意可列：535x x ++=.解得：15x =． 可求得水速为：1360360321520⎛⎫-= ⎪⎝⎭（千米∕时）则帆船往返两港所需要的时间为：36036064123123+=+-（小时） 【题目答案】64模块三 工程问题【例9】 某车间原计划每周装配42台机床.预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后.改进操作技术.工效提高了一倍.结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．【解题思路】设装配了机床总量的13还余x 台．根据题意可列方程11424222x x -=⨯.解得126x =．这时总任务是21261893÷=(台)．【题目答案】189【巩固练习】某工程.甲工程队单独做40天完成.乙工程队单独做需要60天完成.若乙工程队单独做30天后.甲.乙两工程队再合作x 天完成．列方程为 ．【解题思路】11130()1603060x ⨯++=．【题目答案】1【例10】 一水池.装有甲.乙两个进水管和一个出水管丙.如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完.问三管一齐开放.几小时注满水池？【解题思路】设三管一齐开放.x 小时可以注满水池．则由题意可列：1111438x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.解得：7117x =（小时）【题目答案】7117【巩固练习】有一个水池.用甲抽水机抽水8小时可以把全池水的31抽完.用乙抽水机6小时可以把全池水的51抽完.若两台抽水机同时工作.几小时可将全池的水抽完？ 11则依题意可列：1112430x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得：403x =（小时）【题目答案】403模块四.配套问题1．在配套问题中.配套的物品之间具有一定的数量关系.这个数量关系可以作为列方程的依据． 2．配套问题中的基本数量关系：若m 个A 和n 个B 配成一套.则A mB n=的数量的数量.可得等量关系：m ×B 的数量=n ×A 的数量．3．审题时.要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解．【例1】佳福服装公司为学校加工一批校服.3米长的布料可制作上衣2件或裤子3条.一件上衣和一条裤子为一套.计划用600米长的布料加工校服.请你帮该公司计算一下.分别用多少布料生产上衣和裤子.才能配套？共能加工多少套校服？【题目答案】用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服． 【解题思路】设用x 米布料生产上衣.则用（600–x ）米布料生产裤子才能配套. 由题意得.2x =3（600–x ）. 解得：x =360. 则600–x =240.共加工校服：360÷3×2=240（套）．答：用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．模块五.比赛中的积分问题在比赛积分问题中.基本相等关系有：某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分．【例4】篮球比赛规定：胜一场得3分.负一场得1分.某篮球队共进行了6场比赛.得了12分.该队获胜的场数是A．2 B．3C．4 D．5【题目答案】B【解题思路】设该队获胜x场.则负了（6–x）场.根据题意得：3x+（6–x）=12.解得：x=3．故选B．【名师点睛】（1）并不是每种比赛都按胜.平.负情况积分.有的只按胜.平两种情况积分.所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则．（2）比赛中的积分与胜负场数有关.同时也与比赛积分规则有关.需先弄清“胜一场积几分.平一场积几分.负一场积几分”．课堂检测1. 甲乙两人从相距1000米的两地同时相对而行.甲每分钟行60米.乙每分钟行40米．几分钟后.甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发.狗以每分钟150米的速度向乙跑去.遇到乙后立刻回头向甲跑去.这样.狗在甲乙二人之间来回奔跑.直到两人相遇时为止.求这只狗跑了多少路？【解题思路】设两人的相遇时间为x.则根据相遇问题的基本公式可列：()+=.解得：1060401000xx=.第二问读起来学生可能觉得很难.但仔细想想这个题很简单.只要能够想到.这只狗一共跑了多长时间就可以.这只狗不管跑了多少趟.所跑的时间都是两个人的相遇时间也就是十分钟.所以这只狗所跑的路程为：150101500⨯=（米）．【题目答案】10；15002.在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场).规定胜一场记3分.平一场记1分.负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场.结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？【解题思路】设该队负了x场.则胜(x＋2)场.平局的场数为[11－x－(x＋2)]场．根据题意.得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]=19.解得x=4.所以11－x－(x＋2)=1.答：该队在这次循环赛中战平了1场．3．程大位是我国明朝商人.珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则.确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧.大僧三个更无争.小僧三人分一个.大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个.小和尚3人分1个.正好分完.大.小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是A．大和尚25人.小和尚75人B．大和尚75人.小和尚25人C．大和尚50人.小和尚50人D．大.小和尚各100人．【题目答案】A1. 一个两位数.十位数字是个位数字的3倍.如果把十位数字与各位数字交换.所成的新数比原数少54.求原数.【解题思路】设原来两位数的个位数字是x .则十位数字为3x .这个两位数是：30x x +.根据题意得：(30)(103)54x x x x +-+= .解这个方程得3x =．故原数为：93．【题目答案】932. 一个两位数.十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换位置后.所得的数比原数小63.求原来的两位数．【解题思路】设原来两位数的个位数字是x .则十位数字为41x +.这个两位数是：10(41)x x ++.根据题意得：[10(41)][10(41)]63x x x x ++-++= .解这个方程得2x =．故原数为：10(41)92x x ++=．【题目答案】923. 船在静水中的速度为每小时15千米.水流速是每小时3千米.船从上游乙港到下游甲港航行了12小时.从甲港返回乙港需要多少小时？【解题思路】设从甲港返回乙港需要x 小时.则依题意可列：()()12153153x +=-.解得：18x =（小时）．【题目答案】184．某市中学生运动会篮球比赛.每场比赛都要决出胜负.每队胜一场得3分.负一场得1分.已知某篮球队在七场比赛中共得到15分.则该篮球队在这七场比赛中获胜了A ．六场B ．五场C ．四场D ．三场【题目答案】C【解题思路】设该队胜的场次是x 场.则负的场次是（7–x ）场.由题意得：3x +（7–x ）=15.解得x =4.故选C ．课后练习。
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元一次方程培优讲义
1 2
①2x — 5= 1;②8-7= 1;③x + y :④ 1
x — y = x 2;⑤3x + y = 6;
2 ⑥5x + 3y + 4z = 0;⑦1 — 1 = 8;⑧x = 0。
其中方程的个数是（
）
m n
A 5
B 、6
C 、7
D 8
举一反三:
方程的解的概念:
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
(1) 解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
(2) 判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的 值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程 的解。
元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路 重点题 型总结 及应用 知识点 一：一元 一次方 程的概 念 例1、已 知下列 各式：
【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：__________________
(1)-2X2+3=X(2) 3x-仁2y (3) x+ 1=2 (4) 2x2-1=1-2(2x-x 2)
X
【变式2】若关于X的方程mx m 2 m 3 0是一个一元一次方程，则m ___________________ .
k
2
【变式3】若关于X的方程k 2 X3 kx —0是一元一次方程，则k
2
【变式4】若关于X的方程m 2x m3 mx 5是一元一次方程，则m _____________________ . 【变式5】若关于X的方程m 2 (m 2)X2 (m 2)X5是一元一次方程，
贝 U m ______ .
【变式6】已知：(a —3)(2a + 5)X + (a —3)y + 6 = 0是关于X的一兀一次方程，a=
知识点二：方程的解
题型一：已知方程的解，求未知常数
例2、当k取何值时，关于X的方程化上5X 0.8
—的解为X 2 0.5 0.2 0.1
举一反三：
已知y m my m . (1)当m 4时，求y的值；(2)当y 4时，求m的值. 2 题型二：已知一方程的解，求另一方程的解
例3、已知X 1是关于X的方程1 - (m X)2X的解，解关于y的方程：
3
m(y 3) 2 m(2y 5).
题型三：同解问题例4、方程2x 3 3与1 3a x 0的解相同，求a的值.
例7、下列等式变形正确的是
A.若x y,则 x 5 y 5
C.若 a b,则2a 3b
c c
举一反三:
1、若ax ay,下列变形不
A. ax 5 by 5
B.
2
、
F列等式变形错误的是A.由a=b 得a+5=b+5 B.
B
.
D.
定正确的是
ax 3 by C. 由a=b 得6a=6b C.
3、运用等式性质进行的变形，正确的是（
A.如果a=b 那么a+c=b-c;
B.
C.如果a=b 那么a x 3=b- 3 ;
D.
4、下列等式变形错误的是（）
a
A.由a=b 得a+5=b+5
B.由a=b 得一
9 得x=-
y
5、运用等式性质进行的变形，正确的是（
A.如果a=b,那么a+c=b-c;
B.
C.如果a=b,那么a b c c D
.
b,则ac
1 -
ax
3
be
1
-ay D.
3
由x+2=y+2 得x=y D.
如果6+ a=b-6 那么a=b;
如果a2=3a那么a=3
b C.由x+2=y+2 得x=y D. 9
如果a b,那么a=b;
c c
如果a2=3a,那么a=3
6、如果ma=m，那么下列等式中不一定成立的是（）由x十3=3 由-3x=-
3y
1 1
A. ma+仁mb+1 —3=mb— 3 C. a=b D. —ma 一mb
2 2
7、运用等式性质进行的变形，正确的是（）。
A.如果a=b,那么a+c=b-c;
B. 如果—P ,那么a=b; c c
C.如果a=b,那么a b
D. 如果a2 3a,那么a=3
c c
知识点四：解一元一次方程的一般步骤：
例8、（用常规方法）解方程：1 X 1=2 2X 1
2 3
（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程
例9、解方程：+ 9x=- —-x
9 7 9 7
思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为___________________
常数项和为，故直接移项凑成比先去分母简单举一反三:
【变式】解方程：°" + 0.9- °.04+ 0.3x二2x—5
0.05 0.02
（二）巧用观察法解方程
11 1
例1°、解方程：2（" 3（y十2尸3— 4（y + 3）
（三）巧去括号法解方程含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。
例11、解方程：3 3 ^^—5 + 4 —6 =1
3 4 2
思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从____________ 向_______ 去
括号可以使计算简单。