一元一次方程培优讲义
人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲 含参一元一次方程》
第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。
一元一次方程培训讲义1
初一数学A 1培训（一元一次方程的解法）一、知识要点1．等式的性质2．一元一次方程的概念：b ax =，其中x 是未知数，a 、b 是常数，且0≠a .3．解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.二、典型例题例1．解下列方程：（1）43(20)67(9)x x x x --=--； （2）12123x x x -+-=-；（3）12[123(42)]163x x x ---=-． （4）()()()243563221x x x --=--+（5）0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-= （6）1)21(212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x x（7）．2311()323242x x ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦；例2．已知1x =是关于x 的方程11()23m x x --=的解，解关于y 的方程：(3)2(25)m y m y --=-．例3．已知方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同．（1）求m 的值；（2）求代数式20112010)22()23(-⋅-m m 的值．三、强化练习1．在有理数集合里定义运算“※”，其规则为a ※b ＝2a －b ．试求(x ※3)※2＝1的解．2．当k 取何值时，关于x 的方程450.80.50.20.1x k x k x ----=的解为2x =-？3、y=1是方程12()23m y y --=的解，求关于x 的方程(4)2(3)m x mx +=+的解。
4、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。
初一-第05讲-一元一次方程(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第05讲 --- 一元一次方程授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解一元一次方程应用题的典型例题，以及其中的解题思路②熟练提炼应用题等量关系，根据等量关系，设立未知数，列方程求解。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）一元一次方程概念1、方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
判断一个数是不是方程的解，只需将这个数代入方程，若方程的左边等于右边，则这个数是方程的解，否则不是。
4、等式基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式体系搭建等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
（二）解一元一次方程1、移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。
（三）一元一次方程应用 1、形积问题2、打折销售问题1、与打折销售有关的公式：①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 3、行程问题1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。
这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。
2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。
这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。
3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度4、解决实际问题一般步骤变形名称具体做法变形依据注意的问题去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数 等式基本性质2不要漏乘不含分母的项，分数线起到括号的作用 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律括号前是负号，去括号后，括号内各项均变号 移项 把含未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边等式基本性质1移项要变号合并同类项 把方程化为(0)ax b a =≠的形式 合并同类项法则系数相加，字母及其指数均不变 未知数的系数化为1 在方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=等式的基本性质2 分子、分母不要颠倒5、其他应用：工程问题、分配问题等考点一：一元一次方程相关概念例1、例1、若（m-2）23mx-﹣2m=1，是关于x的一元一次方程，则m=（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．1 【解析】解：由题意得，2m﹣3=1，m-2≠0，解得，m= -2 故选：C例2、已知：1(2)23(2)50aa b y y++-+=是关于y的一元一次方程：（1）求a，b的值（2）若x=a是﹣+3=的解，求丨5a﹣2b丨﹣丨4b﹣2m|的值【解析】解：（1）∵1(2)23(2)50aa b y y++-+=是关于y的一元一次方程，∴a+2b=0，13a+2=1，∴a=﹣3，b= 3 2（2）把x=a=﹣3，代入﹣+3=，m=26，故原式=﹣28例3、2093x x x==+是一元一次方程m+m的解，则m=【解析】将x=0带入方程得29m=，3m=±，注意到是一元一次方程，30,3m m-≠=-故考点二：解一元一次方程典例分析例1、我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x=4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x=4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，求m的值．【解析】（1）根据差解方程的意义得出ax=b的解为b﹣a，即b﹣a=b a解：（1）∵3x=4.5∴x=1.5∵4.5﹣3=1.5∴3x=4.5是差解方程（2）∵关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，∴m+2﹣6=，解得：m=例2、已知关于x的方程ax+2=2（a+x）的解是方程|x﹣|﹣1=0的解，求a的值．【解析】解：方程|x﹣|﹣1=0的解为：x=或x=﹣，把x=代入方程ax+2=2（a+x）得：a+2=2（a+），解得：a=﹣2把x=﹣代入方程ax+2=2（a+x）得：a+2=2（a﹣），解得：a=，综上可得，a=﹣2或a=例3、解方程：（1）2﹣=x﹣（2）2[x﹣（x﹣）]=x （3）|4x﹣3|﹣2=3x+4 （4）|x﹣|2x+1||=3【解析】（1）x=1 （2）x=（3）x=﹣或x=9 （4））x=﹣或x=2考点三：一元一次方程的应用例1、如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值【解析】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311解得：x=1答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm例2、如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h（1）用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V；（2）若a=12cm，h=2cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？（3）在（2）中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？（π取3.14，结果精确到0.1cm）【解析】（1）设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h，∴容器底面是一个正方形，其边长为a﹣2h，∴这个无盖长方体容器的容积V=（a﹣2h）2h；（2）若a=12cm，h=2cm，则V=（12﹣2×2）2×2=128cm3；（3）设该圆柱形容器的高度为xcm，根据题意得3.14×（）2×x=128解得x=2.5答：该圆柱形容器的高度至少是2.5cm例3、列方程解应用题某市为提倡节约用水，采取分段方式收费．若每户每月用水不超过22m3，则每立方米收费a元，若每户每月用水超过22m3，则超过部分每立方米加收1.1元．（1）小张家12月用水10m3，共交水费23元，求a的值；（2）老王家12月份共交水费71元，问老王家12月用水多少m3？【解析】解：（1）由题意得：10a=23，解得：a=2.3，（2）设老王家12月用水x m3，根据题意可得：22×2.3+（2.3+1.1）（x﹣22）=71解得：x=28，答：老王家12月用水28m3例4、甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？【解析】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得120x=80（x+1）解得x=2则慢车行驶了3小时设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣）小时，由题意得120（y﹣1﹣）+80y=720×2解得y=88﹣3=5（小时）答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时例5、有一个水池，用两根水管注水，如果单开甲管，5小时注满水池，如果单开乙管，10小时注满水池．（1）如果甲先注水2小时，然后由甲、乙共同注水，还需要多少时间才能把水池注满？（2）假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管6小时可以把一满池水放完，如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？【解析】解：（1）设这个水池的体积为单位“1”，设甲、乙共同注水，还需要x小时才能把水池注满根据题意得：+（+）x=1解得：x=2答：甲、乙共同注水，还需要2小时才能把水池注满；（2）设三管同时开放，a小时才能把一空池注满水，根据题意得：（+﹣）a=1解得：a=答：三管同时开放，小时才能把一空池注满水例6、某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚17元，问：（1）每件服装的标价是多少元？（2）每件服装的成本是多少元？（3）为保证不亏本，最多能打几折？(保留一位小数)【解析】根据同一件衣服进价是相等的，这一等量关系列方程解答。
人教版七年级上册数学《一元一次方程》教学说课培优课件
析
路程/km
速度/(km/h)
客车
70
卡车
60
卡车行驶时间 − 客车行驶时间 =
−
=1
60 70
时间/h
70
x
60
思
考
用算术方法和用方程解决这个问题，各有什么特点
？
算术方法
列方程
计算过程
根据相等关系列出的等式
只含有已知数
既含有已知数，
又含有用字母表示的未知数
小结
列方程解实际问题初始的两步：
解：设沿跑道跑x周，可以跑3000m.
400x=3000
根据下列问题，设未知数，列出方程：
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅
笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设买甲种铅笔 支，则买乙种铅笔 20 − 支.
0.3 + 0.6 20 − = 9.
巩固练习
练习
六
根据下列问题，设未知数，列出方程：
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两
种铅笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
巩固练习
练习
六
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
解方程是一个具体的过程，
方程的解是解方程的结果.
练习五
x=-3和x=2中哪个是方程2x+3=3x+1的解？
解：当x=-3时，
左边=__________=_______.
第四讲 一元一次方程培优
第四讲 一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．例1 解方程例2 解方程 0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=练习11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1112{[(4)6]8}19753x ++++= ()()()243563221x x x --=--+ 111133312222y ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=- 0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=122233x x x -+-=- 7110.2510.0240.0180.012x x x --+=- 0.10.40.2111.20.3x x -+-=3=--+--+--b a c x a c b x c b a x c b a x b a c x a c b x c b a x ++=+-++-++-3例3．若关于x 的一元一次方程2332x k x k --+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-1311D ．0 例4．若方程3x-5=4和方程0331=--x a 的解相同，则a 的值为多少？ 当x = ________时,代数式12x -与113x +-的值相等. 例5.（方程与代数式联系）a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad dc b a -=. （1）则2121-的值为 ；（2）当185)1(42=-x 时，x = .例6．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A ．b a a +B ．b a b +C ．h a b+ D ．h a h +例7．解方程b ax =（分类讨论）例8．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
七年级(上)培优讲义：第13讲 一元一次方程
第13 讲 一元一次方程一、新知建构1. 有关概念 一元一次方程 方程的解 ．2. 解一元一次方程 基本步骤 检验方法 ．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题 ． 二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2． 解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3． 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（ ）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（ ） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（ ）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（ ）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（ ） Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元 Ｃ．1.12a元 Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（ ） （A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人， 乙队有28人， 如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调 人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？ 五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值． 六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是 ．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。
一元一次方程培优讲义(精品)
举一反三：【变式】解方程：
（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后
再合并，有时可以使运算简便。
例12、解方程：
思路点拨：注意到，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
6、如果，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A. 11 —3—3 C. D.
7、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。
A.如果,那么; B.如果 ,那么;
C.如果,那么 D.如果 ,那么3
知识点四：解一元一次方程的一般步骤：
例8、（用常规方法）解方程：
（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程
例9、解方程：
（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基
本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例13、解方程： ＝1
（六）巧组合解方程
例14、解方程：
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
（1）去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
（2）去括号
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变
（3）移项
移项要变号
（4）合并同类项
只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0。若为0，则方程可能无解或有无穷多解。
一元一次方程解法培优讲义
第2课时 一元一次方程解法考点·方法·破译1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．2．会用一元一次方程解决实际问题经典·考题·赏析【例1】解方程： 11－2(x ＋1)＝3x ＋4(2x －3)【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．解： 去括号，得 11－2x －2＝3x ＋8x －12移项，得 －2x －3x －8x ＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x ＝－21系数化为1，得 1321=x 【变式题组】01．（广州）下列运算正确的是（ ）A ． －3（x －1）＝－3x －1B ． －3(x －1)＝－3x ＋1C ． －3(x －1)＝－3x －3D ． －3(x －1)＝－3x ＋302．(黄冈)解方程：－2(x －1)－4(x －2)＝1去括号结果，正确的是（ ）A ． －2x ＋2－4x －8＝1B ． －2x ＋1－4x ＋2＝1C ． －2x －2－4x －8＝1D ． －2x ＋2－4x ＋8＝103．（广州）方程2x ＋1＝3(x －1)的解是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝－3D ．x ＝－404．解下列方程：⑴7(2x －1)－3(4x －1)＝5(3x ＋2)－1 (2)3(100－2x )＝400＋15x【例2】解方程：14126110312-+=+--x x x 【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项解： 去分母时，得 4(2x －1)－2(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－12去括号，得 8x －4－20x ＝6x ＋3－12移项，得 8x －20x －6x ＝3－12＋4＋2合并，得 －18x ＝－3 系数化为1，得 61=x 回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．这五个步骤要注意灵活运用．【变式题组】01．解方程：2121364+=--x x02．（大连）若方程12151221-=--+x x x 与方程x a x a x 23262-=-+的解相同，求aa a 22-的值．【例3】解方程：35.0102.02.01.0=+--x x 【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．解：原方程变形为： 35.010)1(1002.0100)2.01.0(100=⨯--⨯-x x 即 50（0.1x －0.2）－2(x ＋1)＝3 去括号，得 5x －50－2x －2＝3移项，得 5x －2x ＝3＋10＋2 合并，得 3x ＝15系数化为1，得 x ＝5【变式题组】01．对方程7.02.01.023.01+=-+x x x 变形正确的是（ ） A ．72231+=-+x x x B ．722031+=-+x x x C ． 7223110+=-+x x x D ．72231010+=-+x x x 02．（郑州）解方程：2.15.023.01=+--x x【例4】解方程：14981522097211012-+-=-+-x x x x 【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．解：移项得20971521498211012---=---x x x x 两边分别通分得： 602535427x -= 即 125761x -= 解得 x ＝1 【变式题组】01．(大连)解方程7)3045(54=-x ，较简便的是（ ） A ．先去分母 B ．先去括号 C ． 先两边都除以54D ． 先两边都乘以54 02．解方程：18]6)432(51[7191=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++x03．解方程 ：6422012621=++++x x x x x【例5】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．1.小明拿到了哪3张卡片？ 2.你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．解：设小明拿到的三张卡上的数字为x ,x ＋6,x ＋12（1） 依题意得： x ＋x ＋6＋x ＋12＝342 合并，得 3x ＋18＝342移项，得 3x ＝324 系数化为1，得x ＝108答：这三个数为108，114，120（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是假设 x ＋x ＋6＋x ＋12＝86 合并，得 3x ＋18＝86移项，得 3x ＝324 系数化为1，得 368=x 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为368． 【变式题组】01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：…⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数； ⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？× × ×演练巩固·反馈提高01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）A ． 40元B ．35元C ． 28.9元D ． 5.1元02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为（ ）A ． 2x ＋4×20＝4×340B ．2x －4×20＝4×340C ． 2x ＋4×72＝4×340D ． 2x －4×20＝4×34003．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．600×0.8－x －20B .600×0.8＝x －20C ．600×8－x ＝20D ．600×8＝x －2004．(长沙)一轮船往返于A 、B 两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）A ． 18千米/时B ． 15千米/时C ． 12千米/时D ． 20千米/时05．（武汉）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．－2C ． 72D ．72- 06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x 元，则所列方程正确的是（ ）A ． x －5000＝5000×30.6%B ．x ＋5000×20%＝5000(1＋3.06%)C ． x ＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%)D ．x ＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%08．若x ＝2不是方程2x ＋b ＝3x 的解，则b 不等于（ ）A ．21-B ．21 C ．2 D ．－2 09．（天津）若3223=+-k kx k是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为x ＝_______10．(广东)若2x －1＝3,3y ＋2＝8，则2x ＋3y ＝_________ 11．(南京)x 为何值时，式子32-x 与式子13+-x 满足下列条件 ⑴相等 ⑵互为相反数 ⑶式子32-x 比式子13+-x 的值小113．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01cm ，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的43少0.34cm ，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习题：一、选择题：1、下列各式中不是代数式的是（ ）A 、π B 、0 C 、 D 、a +b =b +a2、用代数式表示比y 的2倍少1的数，正确的是（ ） A 、2( y – 1 ) B 、2y + 1 C 、2y – 1 D 、1 – 2y3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、4、当时，代数式的值是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、5、已知公式，若m=5，n=3，则p 的值是（ ）A 、8 B 、 C 、 D 、6、下列各式中，是同类项的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题：7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是______________。
8、代数式的意义是______________________________。
9、当m=2，n= –5时，的值是__________________。
10、化简__________________________________。
三、解答题： 11、已知当时，代数式的值是3，求代数式的值。
yx +1元)54(m n +元)45(m n +元)5(n m +元)5(m n +61,31==b a2)(b a -1216141361nm p 111+=811588152233xy y x -与yx xy 23-与x x 222与yz xy 55与()cb a 2+n m -22()()=--+2211m m 1,21==y x z x xyz 282+z z +2212、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm ，b=4cm ，r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。
13、已知A=x – 2y + 2xy ，B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B 。
14、代数式的值为3，求代数式的值是多少15、观察下面一组式子： （1）；（2）；（3）（4）…… 写出这组式子中的第（10）组式子是_______________________________； 第（n ）组式子是___________________________________； 利用上面的规建计算：=__________________；16、代简求值：，其中。
第三章：一元一次方程一、方程的有关概念 1、方程的概念（1）含有未知数的等式叫方程。
（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。
且一元一次方程的一般形式为：概念剖析：①方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程； ②等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式；③一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是1；知数的系数不为0；例1、下列式子是方程的是（ ）A 、B 、C 、D 、242-+x x 5822-+x x 211211-=⨯31213121-=⨯41314131-=⨯51415141-=⨯121111091⨯+⨯)32(3)462(2233--+---x x x x x 32-=x )0(0≠=+ab ax 953++y x 0791≥-y x 11=x21053-=+例2、下列方程是一元一次方程的是( )A 、B 、C 、D 、 例3、已知方程是关于的一元一次方程，求、、的值；2、等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。
若，则或。
（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。
若，则或； （3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。
若，则；（4）传递性：如果，且，那么，这一性质叫等量代换。
例4、用适当的数或式子填空①如果，那么____________； ②如果，那么____________； ③如果，那么___________________； ④如果，那么___________________； 二、解方程1、解方程及解方程的解的含义求得方程的解的过程，叫做解方程。
使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
例5、方程的解为____________________；例6、如果是方程的解，则 _________________；例7、程的解为，则的值为（ ） A 、2 B 、22 C 、10 D 、—2例8若与互为相反数，则_____________，__________；2、移项的有关概念把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。
这个法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。
要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。
知识概括：①移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一92=+yx 132=-x x 11=x x x 3121=-0213=++-b nx mx x m n b b a =c b c a +=+c b c a -=-b a=bc ac =cbc a =b a =a b =b a =c b =c a =532=-x +=52x 632=x =x 1233+=+b a b 3=a b 211==a 2214-=x1=x )(4)1(m x x m +=-=m )1(422-=+x ax 3=x a 2)3(+a 1-b =a =b边；②移项必变号，“+”变“—”，“—”变“+”；“×” 变“÷”，“÷”变“×”；即移加变减，移乘变除，移减变加，移除变乘；知识窗口：①解相同的方程称为同解方程；②方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理1）；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理2）；例9、解程解：根据（ ）得： （ ）得： 根据（ ）得： （ ）得： 根据（ ）得：请选择正确的答案填如上面的括号内A 、去括号B 、合并同类项C 、方程等式的性质1D 、方程等式的性质2 例10、各方程 ① ② ③ ④ 5.0815612=+--x x 12)15(3)12(4=+--x x 1231548=---x x 3412158++=-x 197=-x 752-=x62421+-=--y y y 14.13.02.07.0=--xx 32)32(96=+-x )2(511)1(21+-=-x x二、列方程初步（列代数式） 1、列代数式（1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子写出来，这就是列代数式。
（2）列代数式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。
（3）正确列代数式的关键是：①认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）；②正确判断各数量关系中的运算顺序；③要理解并掌握基本的数量关系。
如： 路程问题：路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度平均速度=总路程÷总时间轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度 逆水航行的速度=静水速度—水流速度 工程问题：工作量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 利润问题：利润=售价—成本 售价=利润+成本 成本=售价—利润 数字问题：表示数字的方法：（其中、、、、表示个位、十位、百位、千位万位的数字）。
面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。
例11、用代数式表示①甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积； ②除的商与的差的2倍大1的数；例12、设表示任意一个整数利用含有的代数式表示：①任意一个偶数；②任意一个奇数；③不能被3整除的数；④三个连续偶数的平方和； 例13、一项工程甲单独完成需要天，乙单独完成需要天，若两队合作，完成这项工程需要多少天？ 例14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，小时可以将空池注满，单开乙进水管， 小时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？例15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走全程的几分之几？例16、一轮船在A 、B 两地航行，已知A 、B 两地相距，从A 到B 是顺水，从B 到A 是逆水，轮船在静水中的速度为每小时，水流的速度为每小时，求轮船在A 、B 两地间往返一次的平均速度。
例17、轮船在A 、B 两地航行，静水中的速度为每小时，水流的速度为每小时，求轮船在A 、B 两地间往返一次的平均速度。
例18、张大佰从报社以每份0.4元的价格购进了份报纸，以每份0.5元的价格售出了份，剩万千百十个a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯100001000100101个a 十a 百a 千a 万a n m c n n a b x y skm mkm nkm mkm nkm a b余的以每份0.2元的价格退回了报社，则张大佰卖报收如_______元。
例19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多少元？例20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走，乙每小时走（），乙比甲先走小时， 小时后甲可以追上乙。
例21、上等米每千克售价为元，次等米每千克售价为元，取上等米千克和次等米千克，混合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？例22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价10%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为多少？例23、如果用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖需要多少时间？ 例24、—种商品每件进价为元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利多少元？例25、一个四位数，它的千位数字、百位数字、十位数字和个位数字分别是、、、把这个四位数的顺序逆过来（如7643变为3467），求所得的四位数与原来的四位数的差。
例26、（1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？（2）三个连续自然数之和是三的倍数？为什么？例27、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的2倍时，它能被12整除吗？为什么？ 三、列方程解应用题1、列方程解应用题的一般步骤（1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出相等关系；（3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。