2009-2010高等数学B第二学期试卷A1 答案

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09-10(2)高数(B)复习答案

09-10(2)高数(B)复习答案D()()212122(2)ln 1(ln )2ln(2)2(2)ln 2(2ln )22ln(2)2x y v v v x y v v v z z u z v v x y vu u u u u x y x y x u x v x u x y z z u z v v x y vu u u u u x y x y y u y v y u x y +-+-⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦2．解法一：设,u cx azv cy bz =-=-则(,)0F u v = ()()x u y v z u v F F cF F cF F a F b '''''''===-+-y x u v z u v z u v u v u v u v u v F F F c cF z z x F F a F b y F F a F baF c bF cF a F b z z a b c cx y F a F b F a F b''''∂∂∴=-==-=''''''∂+∂+''''++∂∂∴+===''''∂∂++解法二：设u cx azv cy bz=-=-，则(,)0F u v =两边同时对x 求偏导()()00u u v u u v u v cF z z z z zF c aF b F c aF bF x x x x x aF bF '∂∂∂∂∂'''''-+-=⇒--=⇒=''∂∂∂∂∂+两边同时对y 求偏导()()00()u v u v v u v v v u v u v u v z z z z zF a F b c F a F b cF aF bF cF y y y y y cF zy aF bF acF bcF z z a b cx y aF bF ∂∂∂∂∂''''''''-+-+=⇒--+=⇒+=∂∂∂∂∂'∂∴=''∂+''+∂∂∴+==''∂∂+3、2,22z z z y y y z x z xy z z z z y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-=-∂∂⎛⎫⎛⎫''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、解：0(1)(1)x u v u z u v u v f f f f z x f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+0(1)(1)y u v v z u v u v f f f f zy f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+，1u v u v u v f f z zx y f f f f ''∂∂∴+=+=∂∂''''++5、解：01:1x D x y ≤≤⎧⎪≤≤原式＝2222222111112000000122()1y y y y y y dy dx e x dy e ydy e d y e e x-----===--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰6、4254RR ππ+7、解：211:101x x y z y -≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤-⎩2221231111111118(1)()2335yxx x y y ydv dx ydy dz dx y y dy dx ----Ω==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、4π9、22sin 000022222cos()2cos()3sin cos 22cos()3,2sin()3cos()2,2sin()2cos()2AO OA x D Dx y dx y x y x dyQ P dxdy dxdy dx dy xdx x x y Qy x y x x y x PP x y y y x y y x y y πππ+⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎛⎫∂∂=-====-= ⎪∂∂⎝⎭∂=++=-++∂∂=++=-++∂⎡∴++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：Q 原式=2-22cos()32cos 2OA dx y x y x dy xdx π⎤⎡⎤+++⎦⎣⎦=-=⎰⎰10、解：22222131111122211161241()()318833105x y xx x y V dv dx dy dz dx x y dy x y dxxx x dx +---Ω-===+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11、解：(),(),P yf x Q xf x ==-(),()()P Qf x xf x f x y x∂∂'==--∂∂2()()()()2()()P Q C f x xf x f x xf x f x f x y x x∂∂''⇒=⇒=--⇒-=⇒=∂∂(,)222(1,0)100()()0(0)x y xy y C C C Cyf x ydx xdy dx y xdy dy x x x x-=+-=-=-⎰⎰⎰⎰12、解：将L 分成为,OA OB 两段，:,:2OA y x OB y x ==-，则有222222222222()()()()()()LOAOBxy dx x y dy xy dx x y dy xy dx x y dy++-=++-+++-⎰⎰⎰122222222201122201[()()][((2)((2)]422(2)3x x x x dx x x x x dx x dx x dx =++-++----=+-=⎰⎰⎰⎰13、415π14、令2212:2x y z ⎧+≤∑⎨=⎩取上侧，则1122212222222224(1)(81)4(1)(81)(881)2(81)2(81)222x x y x y I ydzdx y zdxdy y dzdx y zdxdy y y dV y dxdy d dz y dxdydxdy ρθρρππ∑+∑∑Ω∑+≤+≤=-++--++=-++-+=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15、解：补充平面()221:01z xy ∑=+≤，方向取下侧，则∑与1∑围成闭区域的内侧，于是()()()()()()()()112222222222222222101212223112222121401111cos 1142144x y z x y x y x y x y I x y dydz y z dzdx z x dxdy xy dv x dxdyxy dxdy dz d r drxy x y dxdy d r rdr ππθθπππθ∑∑∑+-≤≤+≤+-+≤+≤⎛⎫=+-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭=-+++=-+++=+++-+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.312ππ=-16、解：()()0222212ln 2t t t t t t tLydx xdy xy dz e e e e e e dt ---⎡⎤-++=+++⎣⎦⎰⎰()()()()()()()22022012212222222ln 22ln 2ln 2ln 21212ln 2 2.ln 22ln 22tt t te e e e dt t e e e e ----⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎛⎫--=+- ⎪+-⎝⎭⎰四、应用题解：曲面在点0(,,)x y z 处法向量为000222222,,xy z n ab c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭切平面方程为000000222222()()()0xy z x x y y z z a b c -+-+-=即0002220x y z x y z a b c ++=该平面在三个坐标轴上截距分别为022x a ，022y b ，022z c故所围的四面体的体积为222222000000111326a b c a b c V x y z x y z ==按题意需求函数(,,,0)xyz x y z >在条件2222221x y z a b c ++=约束下的极值。

高等数学下期末2009-2010(含答案)——06-13试卷资料文档

高等数学下册试卷 2021．6．30姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共20分] 1、[4分]00x y →→=2、[4分]22Lx y ds +=⎰ , 其中222:L x y a +=3、[4分] ]向量场()()223(2)A x y i xz y j y z k =+-+++的散度为 . 4、[4分] u =在点()0,1处的du =5、[4分]交换二次积分的积分次序()()()2131321,,x x dx f x y dy dxf x y dy -+=⎰⎰⎰⎰二、[8分] 设22,y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂三、[8分] 求函数()22,f x y x y =-在圆域224x y +≤上的最大值与最小值。

四、[8分] 求锥面z =被圆柱面222x y x +=割下部分的曲面面积五、[8分] 计算2adxdy ⎰⎰六、[8分]计算曲面积分I xyzdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为半球面z =的上侧七[7分] 计算曲线积分()()2211L x dy ydx x y---+⎰，其中L 表示包含点(0,1)A -内的简单闭曲线,沿逆时针方向。

八、[7分]求如下初值问题()()2111,10yy y y y '''⎧=+⎪⎨'==⎪⎩的解九、[7分]求方程24x y y e ''-=的通解十、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）证明阿贝尔定理：若()0000n n n a xx ∞=≠∑收敛, 则当0x x <时,幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛; 若10n n n a x ∞=∑发散, 则当1x x >时,幂级数n n n a x ∞=∑发散. 十一、 [7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）将函数()()210f x x x π=-≤≤展开成余弦级数十二、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）求幂级数13nnn x n∞=+∑的收敛半径和收敛域.十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）计算二重积分Dxy dxdy ⎰⎰, 其中D 是圆域222x y a +≤十一、 [7分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dy dx 及dz dx 十二、 [6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度,并指出z 在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向z 的值不变?参考答案:一、()321201;2;3;;,6ya dx dyf x y dx π--⎰；二、231222222422z y y y f f f x y x x x∂=--∂∂；三、最大值()2,04f ±=，最小值()0,24f ±=-；五、289a ；六、343R π；七、2π；八、()1112x x y e e --=+；九、2221214x x x y c e c e xe -=++；（非化工类：十、参看教材证明；十一、仿教材例子；十二、仿教材例子）（化工类：十、412a ；十一、()()16,21313x z dy dz xdx y z dx z +=-=++；十二、方向导数5-，梯度{}3,3-，减少最快方向{}3,3-，值不变方向{}1,1±）。

同济大学2009-2010学年高等数学(B)下期末考试试卷(A)(2021年整理)

同济大学2009-2010学年高等数学(B)下期末考试试卷(A)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（同济大学2009-2010学年高等数学(B)下期末考试试卷(A)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2009—2010学年第二学期考核试卷(A 卷）《高等数学B 》 2010—7-3一. 填空题（每小题4分，满分32分）()._____624211____2,212132.1222-+=-=-=++z y x z y x 处的法线方程为－，在点曲面 ()()().______52251_____2,1212ln .22为的方向导数处沿方向，在点函数-=+=l y x z ()()()._______,sin ,cos _____,,,,.32010210102222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰----πρρϕρϕρρρϕdz z f d d dz z y x f dy dx z y x f x y x x 坐标积分形式为柱面的则三次积分为连续函数，设 ()()()()()()._____12____,10.42222++=+++=⎰x x x f dy y x yf dx y xyf x f L 关，则在整个平面上与路径无若曲线积分具有一阶连续导数，且设函数 ().0,4_____32______4.5222≥≤++∑=+⎰⎰∑z z y x dS xz ：其中曲面积分π()()()._____32____,ln .61,1,1222=++=gradu div z y x u 则设函数 ()()._____3,1____12-.710--=∑∑∞=∞=的收敛区间为处发散，则幂级数在点若幂级数n n n n n n x n a x x a()()().____21____5,01202],(2.8-=⎩⎨⎧≤<+≤<--=-πππππππ收敛到处的付里叶级数在点则上的表达式为为周期函数，它在是以设x x f x x x x x f x f二．解答题（需写出具体解答过程）()()()()()()()()()()().00,0,0,01,lim ,)(.0,0,0,0,00,0,,8.92031623不连续，所以在点令证明：处不连续在点证明函数分≠≠+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→k f kk y x f kx y y x y x y x xy y x f x ()[][][].1sin 1cos cos cos sin sin sin sin .,sin 10.1010101010102-=-+-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ydy y y y dy y y y dx y y dy dxdy y y x y x y D dxdy yy y y DD 解：所围成的闭区域与曲线是由直线其中计算二重积分分()()()()().2451251255242424.1,2410.11102102=-=-==-+=-+=-+=++Ω-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩΩΩdz z z dz z z zdv zdv zdv zdv zdvydv xdv dv z y x z y x dv z y x 由对称性得解：三坐标面围成的闭区域与是由平面其中计算三重积分分()()().2,2,1,,,..124,10.1212022221222222222222222ππϑπ-=-===+-=+-==+'=--=+=+-==++-⎰⎰⎰⎰'I I d y x ydx xdy y x ydx xdy I y x L P y x x y Q y x x Q y x y P y x L y x ydx xdy L L y x L ：在曲线内部做圆所以积分与路径无关，则解：按顺时针方向绕行为椭圆其中计算曲线积分分()()()()()()().872647231631634.,4010.13402020222122222111ππππσρρρθπ=+-=+-=++-=++++-=-==∑≤≤+=∑++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑∑Ω∑∑zD zd dz d d zdv dxdy y x dv z y I z z y x z dxdy z y x dydz z y x I 上下侧，：取解：取上侧为曲面其中计算曲面积分分 ()()()()()()()()()()()()().3113121(1131112113111312111212111211231.123110.14011010122<<----=-----=-+--+=+-+=++=++=-++=∑∑∑∞=++∞=+∞=+x x x x x x x x x x x x x f x x x x f n n n n n n n n n n n n n 解：成立范围的幂级数，写出展开式展开成将函数分()()()()()()()().32!11242!11242!12!112!212!12)!1(112!12!!21.,,0lim ,!21!!21.!1!!21101502220201201002021220022e S n n e x x x n x x x n x n x n x n x n n x n x n n x n n x S R a a n n n n a n n x n n n x n n n n n n n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n ==+∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+∞∞-+∞=⇒=+=+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=+∞→∞=∞=记收敛域为解：的和由此求级数的收敛域及和函数，并求幂级数分。

09-10高数B(下)A卷答案

（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. 1115.；2.()221xdy ydx x y -+； 3.()1,ydy f x y dx ⎰； 4.()1112； 5.()1(1)nn n x ∞=--∑，()0,2x ∈.二、选择题（每小题3分，共15分）1.A2.B3.C4. A5.D 三、（每小题7分，共21分）1. 解32222cos 24cos ux z x y x x y x∂=+⋅=+∂ ---------------3分 ()2422sin 2sin 2uy z x y y x y y∂=+⋅-=-∂ ----------------7分2. 解原式2111ye dy dx xy=⎰⎰------------------------------3分 []2111ln ye x dy y=⎰--------------------------------6分 21dy =⎰1= -----------------------------------------------7分3．解引进辅助线：从点()0,0O 到点()4,0A 有向线段OA，则 ---------- 1分由格林公式得原式L OAOA+=-⎰⎰()()4cos 2cos 33x x De y e y dxdy x dx =--+--⎰⎰⎰ ----------4分43Ddxdy xdx =+⎰⎰⎰ --------------------------------6分224π=+ --------------------------------7分四、（每小题7分，共21分）1.解引进辅助面1∑：1z =()221x y +≤，取上侧.原式11∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰()1(111)dxdydz z x dxdy Ω∑=++--⎰⎰⎰⎰⎰ ----------3分()221131xyD d d dz x dxdy πρθρρ=--⎰⎰⎰⎰⎰ -------------------------------5分()210031cos 2d d ππθρθρρ=--⎰⎰322πππ=-= -------------------------------7分 2.解设锥面被柱面截下的曲面面积为A ，则有DA =Ddxdy = -------------------5分21d d πθρρ==⎰ -------------------------------7分3.解 ()()(,)(,)(,)22x y gradf x y f x y i f x y j x y i y x j =+=+++∴(1,1)33gradf i j =+--------------------------3分设(1,1)l = ，则l的方向余弦为cos αβ==----------------5分c o s c o s x y ff f l αβ∂=+∂()()2c o s 2c o s x y y x αβ=+++ ∴ (1,1)|(1,1)c o s (1,1)c o s x y ff f lαβ∂=⋅+⋅∂33=+= --------------------------7分五、（每小题8分，共16分）1.解 1lim1nn n a R a →∞+== -----------------------------------------------2分当1x =-时原级数收敛，当1x =原级数发散，故级数111n n x n ∞+=∑收敛域为[)1,1-， ----------------5分设幂级数在[)1,1-区间内的和函数为()s x ，则1101111()nx n n n n n x s x x x x x dx n n ∞∞∞+-======∑∑∑⎰ --------------------------7分()10011ln 11x xn n x x dx x dx x x x∞-====---∑⎰⎰[)1,1x ∈- ----------------8分 2.解曲面22z x y =+的切平面的法向量为()2,2,1x y -，----------------2分平面240x y z +-=的法向量为()2,4,1-， ----------------4分则有221241x y -==-，于是1,2x y ==，从而22125z =+=，切点坐标为()1,2,5. ----------------6分故所求的切平面方程为()()()214250x y z -+---=即2450x y z +--= ----------------8分六、（每小题6分，共12分）1.证明 ① 级数1n n u ∞=∑收敛，且2lim lim 0nn n n nu u u →∞→∞== ----------------2分∴根据比较审敛法的极限形式21nn u∞=∑也收敛. ----------------3分②222n n n n u v u v +≤，而级数()22112n n n u v ∞=+∑收敛， ----------------5分∴由比较审敛法知级数1n nn u v∞=∑收敛，从而级数1n nn u v∞=∑绝对收敛----------------6分2、证明 z f x ∂'=∂， 22zf x∂''=∂ ----------------2分 ()2zf y x yϕ∂'''=⋅∂∂ ， ()z f y y ϕ∂''=⋅∂ ----------------5分 ∴()222z z z zf f y x x y y xϕ∂∂∂∂''''⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂∂∂ ----------------6。

2009-2010高等数学B第二学期试卷A1.

北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。

2. 微分方程的特解可设为________________________________________。

3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。

4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。

5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。

6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。

7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。

8.交换二次积分I=的积分顺序，则。

9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。

10. 幂级数的收敛半径为。

二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。

九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。

十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。

十三、（4分）设发散，又，证明收敛。

09高数(B)II试卷(A)答案

2009 --2010学年第二学期《高等数学（B ）Ⅱ》试卷一、试解下列各题（共20分每题4分）1．计算极限xt e x t x sin d lim 002⎰→． 2．计算广义⎰∞+13d 1x x． 3．设yye x z 2=，求y x z ∂∂∂2．4．判别级数∑∞=+1)]1[ln(1n nn 的敛散性． 5．求微分方程034=+'-''y y y 的通解．二、试解下列各题（共30分每题51．计算积分x x x d )cos( 0 2⎰π． 2．求由方程z e yz x x =-+222所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz ∂∂．（2分）3．计算二重积分⎰⎰D xy y x xe d d ，其中D 是由x 轴，y 轴，直线1=y 及1=x 所围成的闭区域．4．判断级数∑∞=110n nn ！的敛散性． 5．判别级数∑∞=+-12)12()1(n n n 的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 6．求微分方程xx y x y sin 1=+'的通解．三、试解下列各题（共30分每题61．计算积分x xe xd 1⎰-．2．设vue z =，而y x u +=，xy v =，求x z ∂∂，y z ∂∂． 3．计算二重积分⎰⎰+D y x y x d d )(，其中D 是由2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域．4．求幂级数∑∞=-13)1(n n n nx 的收敛半径及收敛域. 5．求微分方程0134=+'-''y y y 的通解.四、（8分）设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元)之间的关系为 yy x x R +++=101005200，利润额相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金为25万元,问如何分配两种广告费用可使利润最大?（用拉格朗日乘数法求解）五、（6求由曲线xy 1=与直线x y =、2=x 所围成图形的面积．六、（6设⎰-=xx f t t f 021)(d )(，且1)0(=f ，求)(x f ．。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ，即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分）类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分）由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分）当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解：分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

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北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷
课程名称：高等数学B （A 卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩
试卷说明：
1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；
2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；
3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；
4. 本试卷所有答案均写在试卷上；
5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；
6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！
一、填空：（每小题3分，共30分）
1. 微分方程sin y x ''=的通解为21sin c x c x y +--=。

2. 微分方程256x y y y xe '''-+=的特解可设为x
e
B Ax x y 2)(+=*。

3. 以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程为14)2()3()1(2
22
=++-+-z y x 。

4. 直线
223
314
x y z -+-==
-与平面3x y z ++=间的关系是__平行_____(平行、垂直、相交)。

5. 二元函数()y x f ，在点()00y x ，处两个偏导数()00y x f x ，与()00y x f y ，存在是
()y x f ，在该点处连续的_既非充分也非必要__条件。

6. 若函数f(x,y)z =在点),(00y x 处具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则有
=),y (x f x 00_____0______ ，=),y (x f y 00_____0_________。

7. 已知平面区域D 是由直线1x y +=，1x y -=及0x =所围成，则
D
dxdy ⎰⎰= 1 。

8.交换二次积分I =
⎰
⎰⎰
⎰-+y
y
dx y x f dy dx y x f dy 30
31
20
10
),(),(的积分顺序，则
=
I ⎰⎰
-x
x
dy y x f dx 32
2
),(。

9. 函数1()2f x x =-展开为1x -的幂级数的形式为 20,)1(0
<<-∑∞
=x x n n。

10.
幂级数1
n
n ∞
=∑
的收敛半径为 1 。

二、（6分）求2
(1)20x y xy '++=的通解答：2
1x
c
y +=
三、（6分）求微分方程dy y
x dx x
=+满足初始条件10x y ==的特解答：)1(-=x x y
四、（6分）求过点(2,1,3)及直线112321
x y z +--==-的平面方程
答：01033=+--z y x
五、（6分）设y)(x x z +=ln 求dz
答：dy y x x
dx y x x y x dz ++++
+=))(ln( 六、（6分）设ln z xz y =，求,z z
x y
∂∂∂∂
答：xz z x z -=∂∂12
，)
1(xz y z y z -=∂∂
七、（6分）计算 2
2
, : 01, 011D x d D x y y σ≤≤≤≤+⎰⎰其中答：12
11
0221
0π=+=⎰⎰dy y x dx I
八、（6
分）求曲面z =
z =
所围立体的体积。

答：πρρθρρ
π3
)
12(322
82
20
-=
==
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰-Ω
dz d d dv V 九、（6分）判别级数 1
21
2n
n n ∞
=-∑的敛散性答：121
lim
1<=+∞→n
n n u u ，级数收敛。

十、（6
分）判别级数11
n n +∞
=的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？
答：条件收敛。

十一、（6分）在曲面2
2
z x y =+上找点P ，使其到点1
(1,1,)2
M 的距离为最小。

答：）的坐标（
2
4,
4
1,4
1
3
3
3
P 。

十二、（6分）设()f u
具有二阶连续导数，z f =且满足222210z z z
z x y x x
∂∂∂+-+=∂∂∂，
求()f u 的表达式。

答：u c u c u f sin cos )(21+=
十三、（4分）设1
n n u ∞
=∑(0)n u >发散，又12n n S u u u =+++ ，证明2
1n n n u
S ∞=∑收敛。

证 0>n u 故12n n S u u u =+++ 单调递增。

又因为
1
n
n u
∞
=∑发散，故12n n S u u u =+++ +∞→
n
n n n n n n n S S S S S S S u 111112-=-≤--- 而∑∞
=--11)11
(n n n S S
收敛，因)(111)11(1111
∞→→-=-=∑=-n S S S S S n n
k k k n σ 故
2
1
n
n n
u S
∞
=∑收敛。