2020秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1第2课时配方法导学案(新版)新人教
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法作业_1
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内容 总结 (nèiróng)
No 第二十一章 一元二次方程(fāngchéng)。解：x1＝0，x2＝3。解：x1＝x2＝－2。解：x1＝－5，x2＝1。7．请
选择你认为适当的方法解下列方程(fāngchéng)．。10．若一元二次方程(fāngchéng)式x2－8x－3×11＝0的两根为a， b，。x2－4x－5＝0。解：x1＝0，x2＝4。∴x1＝－a，x2＝－b.。(4)用因式分解法解方程(fāngchéng)x2－kx－16＝0 时，得到的两根均为整数，。2
问题：
(1)方程x2－3x＋2＝0的两个根是( ) C A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
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(2)(2019·通辽)一个菱形的边长是方程(fāngchéng)x2－8x＋15＝0的一个根，
其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )
解：直接开平方法，x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3 解：公式法，x1＝－12 ，x2＝1
(2)x2＝2x＋4；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
解：配方法，x1＝1＋ 5 ，x2＝1－ 5
解：因式分解法，x1＝52，共十九页。
8．方程(fāngchéng)3x(x＋1)＝3x＋3的解为(D ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.3公式法解方程(同步课本图文结合详解)
x-6.8
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) 2a
否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
九年级数学上册第21章一元二次方程
1.（无锡·中考）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数 根，则a满足（ ） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 1 ，此时a=5;当
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,x 2来自3 210
23 2
3,
即：x1= x2= 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
4
a 5 0 时，应满足 b2 4ac 16 4(a 5) 0 ，解得a≥1，综上所
述a≥1.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（烟台·中考）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2， 则 (x1-1)(x2-1)=______. 【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根 为 x1 1 2 ，x2 1 2 ，所以
2
2
（4）配方、用直接开平方法解方程.
(x+ p )2= p2 -q 24
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法21.2.4一元二次方
两边直接开平方, 得x-2=0, ∴x1=x2=2.
(4)移项, 得(2x-3)2-(3x-2)2=0,
因式分解, 得 [(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]=0,
即 (5x-5)(-x-1)=0,
∴5x-5=0或-x-1=0, ∴x1=1, x2=-1.
锦囊妙计
选择适当的方法解一元二次方程
已知一元二次方程(含有待定字母)的一个根求 另一个根的方法
(1)根据一元二次方程的根与系数的关系列 二元一次方程组
求解；
(2)把已知根代入原方程, 求出待定字母的 值, 再解一元二次
方程或由根与系数的关系求 出它的另一个根.
题型三 利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
例题 3
设 x1, x2 是方程 2x2- 6x-1=0 的两个根, 不解方程, 求下
第二十一章 一元二次
方程
*
因式分解法
一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
因式分解法
* 一元二次方程的根与系数的
关系
考场对接
考场对接
题型一 选取适当的方法解一元二次方程
例题1 选取适当的方法解方程： (1)9x2-4=0；(2)x2+4x+1=0；
(3)x2-4x+4=0；(4)(2x-3)2=(3x-2)2.
−
=- +2+ =- +2-2=- .
锦囊妙计
常用的代数式变形方法汇总
题型四 根的判别式和根与系数的关系的综合运用
例题4 已知关于x的一元二次方程x2+2(m+ 1)x+m2-1=0．
章丘市九中九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1第1课时直接开平方法
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a , 那么x叫做a的平方根. 2.如果 x2=a(a ≥0) , 那么x= a . 3.如果 x2=64 , 那么x=±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗 ？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
一 直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程 问题 : 一桶油漆可刷的面积为1500dm2 , 李林用 这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面 , 你能算出盒子的棱长吗 ？ 解 : 设一个盒子的棱长为x dm , 那 么一个正方体的表面积为6x2dm2 , 可 列出方程 10×6x2=1500 ,
x(x3+3)2=55, , ② 得 x3 5， 或 x3 5.③
于是 , 方程(x+3)2=5的两个根为 x1 3 5,x2 3 5
解题归纳
上面的解法中 , 由方程②得到③ , 实质上 是把一个一元二次方程〞降次” , 转化为两个一 元一次方程 , 这样就把方程②转化为我们会解的 方程了.
典例精析
例2 解以下方程 : 〔1〕(x＋1)2= 2 ; 解析 : 第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体 , 就可以运用直接开平方式求解.
解 : 〔1〕∵x+1是2的平方根 ,
∴x+1= 2 .
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2 .
〔2〕(x－1)2－4 = 0 ;
解析 : 第2小题先将－4移到方程的右边 , 再同 第1小题一样地解.
第二十一章 一元二次方程
配方式
第1课时 直接开平方式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点〕 2.运用开平方式解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点〕
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课
21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1.；-3. 2. 1 ； -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
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第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时 配方法
学习目标：1.了解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 难点
一、知识链接
1.用直接开平方法解下列方程.
(1)9x 2=1 (2)(x －2)2
=2.
2. 你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a 2+2ab +b 2=( )2
；
(2) a 2－2ab +b 2=( )2
.
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x 2+6x +9 =5 (2)x 2
+4x +1=0
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试 解方程： x 2
+6x +9 =5
填一填1 填上适当的数或式，使下列各等式成立.
(1)x 2+4x + = ( x + )2
(2)x 2－6x + = ( x － )2
(3)x 2+8x + = ( x + )2
(4)x 2－43
x + = ( x － )2
你发现了什么规律？
要点归纳：配方的方法：二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填2 x 2+px +( )2=(x + )2
想一想 怎样解方程x 2
+4x +1=0？
问题1 方程x 2+4x +1=0怎样变成(x +n )2
=p 的形式呢？
问题2 为什么在方程x 2
+4x =－1的两边加上4？加其他数行吗？
要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
把方程化为(x +n )2
=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
p7例1)解下列方程：
(1) x 2－8x +1=0； (2) 2x 2+1=3x ； (3) 3x 2
－6x +4=0.
练一练 解下列方程：
(1)x 2+8x +4=0； (2)4x 2+8x =-4； (3)-2x 2
+6x -8=0.
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x +n )2
=p 的形式：
①当p >0时，则x n p ，方程的两个根为1x n p ，2x n p . ②当p =0时，则(x +n )2
=0，开平方得方程有两个相等的实数根x 1=x 2=－n .
③当p <0时，则方程(x +n )2
=0无实数根.
思考1 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2 用配方法解一元二次方程的一般步骤？
探究点2：配方法的应用
例2 试用配方法说明：不论k 取何实数，多项式k 2
－4k ＋5 的值必定大于零.
练一练 应用配方法求最值.
(1) 2x 2－4x +5的最小值； (2)－3x 2
+ 5x +1的最大值.
例3 若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且22685250a a b b c ，试判断△ABC 的形状.
归纳总结：
1.解下列方程.
（1）x2+4x－9=2x－11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2－6x－3=0；（4）3x2+6x－9=0.
2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
22
x y y z，求(xy
462130
参考答案
自主学习 一、知识链接
1.解：(1)12
11
33
x x ， (2)122+222x x ， 2.a +b a -b
3.解：(1)可以，方程可以转化成(x +3)2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x +2)2
=3的形式，再利用开平方法求解.
课堂探究 二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试 解：方程变形为(x +3)2
=5.开平方，得35x ，∴1
23535x x ，. 填一填1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4)22()3 2
3 规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方. 填一填2 2p 2
p
问题1 解：移项，得x 2+4x =-1.两边都加上4，得x 2+4x +4=-1+4.整理，得(x +2)2
=3.
问题2 解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同.
例1 解：(1)移项，得x 2
－8x =－1，配方，得x 2
－8x +42
=－1+42
，即(x -4)2
=15.直接开平方，得415x ，
∴1244x x ==-(2)移项，得2x 2
－3x =－1，二次项系数化为1，得2
31
22x x ，配方，得2
2
2331324
2
4
x x ，即
2
314
16x .直接开平方，得3
1
44
x ，∴12112x x ，. (3)移项，得3x 2
－6x =－4，二次项系数化为1，得2423x x ，配方，得22242113
x x ，
即2
113x .因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 练一练 解：(1)移项，得x 2
+8x =－4，配方，得x 2
+8x +42
=－4+42
，即(x +4)2
=12.直接开平方，得4
23x ，
∴1
2423423x x ，. (2)整理，得x 2
+2x +1=0，配方，得(x +1)2
=0.直接开平方，得10x ，∴1
2
1x x .
(3)整理，得x 2-3x =－4，配方，得2
37
24
x ，∴原方程无实数根.
思考1 解：移项时需注意改变符号.
思考2 解：①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
探究点2：配方法的应用
例2 解：k 2－4k ＋5=k 2－4k ＋4＋1=(k －2)2＋1.因为(k －2)2≥0，所以(k －2)2＋1≥1.k 2
－4k ＋5 的值必定大于零.
练一练 (1)解：原式 = 2(x - 1)2
+3，当x =1时，有最小值3.
(2)解：原式= -3(x -1)2
- 4，当x =1时，有最大值-4.
例 3 解：对原式配方，得
2
2
3
4
50a b c ，由代数式的性质可知
2
2
30 4
0 50a b c ，，，345a b c ，，，22222
2345a b c ，所以，△ABC 为直角三
角形.
当堂检测
1.解：(1)此方程无解； (2)1262x x ，； (3)12
3+21321
4x x ，； (4)123 1.x x ， 2.解：根据题意得x 2+1=2x +4，整理得x 2－2x －3=0，配方得(x －1)2
=4，解得x 1=－1，x 2=3.
3.解：－x 2－x －1=－(x 2+x +14)+14－1=－(x +12)2－3
4.∵－(x +12)2≤0，∴－(x +12)2－34＜0.∴－x 2
－x
－1的值总是负数.当x =－12时，－x 2
－x －1有最大值－34.
4.解：对原式配方，得22
2320x y z ，由代数式的性质可知2
2
2
0 3
0 20x y z ，，，∴2 3 2.x
y
z
，，∴2
2
23
6
36.z
xy
5. 解：对原式配方，得2
2
2
1
02
a b a c b c ，
由代数式的性质可知2
2
2
0 0 0a b
a c
b c
，，，a b c ，所以，△ABC 为直角三角形.。