【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十四

2018届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x||x+1|＜3，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( )A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣4＜x＜2} 2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为( )A．﹣3 B．0 C．3 D．123．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．10084．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∀x∈R，都有2x≥2x”的否定为“∃x0∈R，使得2x≤2x0”D．“a=0”是“直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行”的充要条件5．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，点D在BC上，AD=BD=1，AB=，则∠BAC=( )A．120°B．150°C．135°D．90°6．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=2f（x），已知x∈[﹣1，0]，f（x）=x2+x，当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，则实数m的取值范围是( )A．m≤1 B．0＜m≤1 C．m≥1 D．0＜m≤27．若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为( ) A．B．C．D．8．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A1、A2分别为其左右顶点，过坐标原点且斜率为k（k≠0）的直线交双曲线C于P1、P2，则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为( )A．8 B．2 C．6 D．4二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知+1=2i（i是虚数单位），则实数a=__________．10．在x（x+a）10的展开式中，x8的系数为15，则a=__________．11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为__________．12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为__________．13．极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为__________．14．若函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，k为非零常数，则实数x的取值范围为__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）解析式；（2）若f（x0）=（＜x0＜），求cos2x0的值．16．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：星期先秦文化趣味数学国学网络技术星期二星期四根据上表：（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC ⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦角；（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，P为椭圆C上的动点．（1）求椭圆的方程；（2）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ（≤λ＜1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么函数．19．在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N•），{b n}的前n项和为S n，求满足S n﹣1＞a n+b n的n的最小值．20．已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．二模试卷（理科）答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x||x+1|＜3，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( ) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣4＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中不等式变形得：﹣3＜x+1＜3，解得：﹣4＜x＜2，即M=（﹣4，2），∵N={0，1，2}，∴M∩N={0，1}，故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为( ) A．﹣3 B．0 C．3 D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣6，3），代入目标函数得z=﹣6+3×3=﹣6+9=3．即z=x+3y的最小值为3．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．1008考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣...（﹣1）n﹣1•n，根据当n=2015时，程序运行终止，得S=1﹣2+3+ (2014)解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…+（﹣1）n﹣1•n，∵当n=2015时，不满足条件k＜2015，程序运行终止，∴S=1﹣2+3﹣…﹣2014=﹣1007．故答案为：﹣1007．点评：本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．4．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∀x∈R，都有2x≥2x”的否定为“∃x0∈R，使得2x≤2x0”D．“a=0”是“直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行”的充要条件考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于选项A：利用向量的共线的充要条件即可判断，对于选项B；根据复合命题的真假即可判断；对于选项C；根据命题的否定，即可判断；对于选项D；根据两直线的平行的充要条件即可判断．解答：解：对于选项A：若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=，且λ≠0，故A错误；对于选项B；若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误；对于选项C；命题“∀x∈R，都有2x≥2x”的否定为“∃x0∈R，使得2x＜2x0”，故C错误；对于选项D；直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行，则（a+1）a=2a2，且（﹣2a﹣1）（a+1）≠2×（﹣3），解得a=0，故D正确．故选：D．点评：本题考查了命题的真假的判断，涉及了向量，复合命题，命题的否定，两直线平行等知识，属于基础题．5．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，点D在BC上，AD=BD=1，AB=，则∠BAC=( )A．120°B．150°C．135°D．90°考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：在△ABD中，由余弦定理可求得cos∠ADB=﹣．cos∠DAB=，从而可求∠ADB，∠DAB的值，即可求∠ADC．∠CAD，从而可求∠BAC=∠CAD+∠DAB的值．解答：解：∵在△ABD中，cos∠ADB===﹣．cos∠DAB===，∴∠ADB=120°，∠DAB=30°∴∠ADC=180°﹣∠ADB=60°．∴∠CAD=180°﹣∠ACB﹣∠ADC=90°∴∠BAC=∠CAD+∠DAB=90°+30°=120°．故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理的综合应用，属于基本知识的考查．6．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=2f（x），已知x∈[﹣1，0]，f（x）=x2+x，当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．m≤1 B．0＜m≤1 C．m≥1 D．0＜m≤2考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：可先根据已知条件求出函数在区间[1，2]上的解析式，然后根据f（x）≤构造出关于m的不等式求解即可．解答：解：因为f（x+1）=2f（x），所以f（x）=2f（x﹣1）=4f（x﹣2）．设x∈[1，2]，则x﹣2∈[﹣1，0]．所以此时f（x）=4f（x﹣2）=4（x﹣2）2+4（x﹣2）=4[（x﹣）2﹣]，x∈[1，2]．易知f（x）max=f（1）=f（2）=0，所以要使当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，只需即可．所以，因为y=log在定义域内是减函数．所以0＜m≤1．故选B．点评：本题考查了不等式恒成立问题的解决方法，一般转化为函数最值问题求解，此例要注意对条件“f（x+1）=2f（x）”的转化作用的体会．7．若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件容易得到，O是△ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值．解答：解：，A=120°；∴；O是△ABC的重心；∴；∴；∴；∴的最小值为．故选C．点评：考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法．8．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A1、A2分别为其左右顶点，过坐标原点且斜率为k（k≠0）的直线交双曲线C于P1、P2，则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为( )A．8 B．2 C．6 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点，利用斜率公式，结合离心率为，即可得出结论．解答：解：设P1（x，y），P2（m，n），则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为==，∵离心率为，∴=，∴=2，∴=4，∴A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为4，故选：D．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知+1=2i（i是虚数单位），则实数a=5．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵+1=2i，∴ai+2﹣i=2i（2﹣i），2+（a﹣1）i=4i+2，∴a﹣1=4，可得a=5．故答案为：5．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．在x（x+a）10的展开式中，x8的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由条件利用二项式展开式的通项公式，求得x8的系数为•a3=15，从而得到a的值．解答：解：由于在x（x+a）10的展开式中，由x8的系数为•a3=15，求得a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥的一部分，结合三视图中的数据，求出几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥的一部分，且底面是半径为2的圆面，高为2，∴该几何体的体积为：V几何体=×π•22×2=．故答案为：．点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，解题的根据是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为1．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OD，BC，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD ∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；解答：解：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE．又AE⊥DE，∴DE⊥OD．而OD为半径，∴DE是⊙O的切线；连接BC，交OD于G，AB是圆的直径，所以AC⊥BC，所以四边形CEDG是矩形，∵OD∥AE，O是AB中点，∴G是BC中点，∴CG=DE=BC=3，∴BG=3，OG=4，∴DG=1，所以CE=1；故答案为：1．点评：本题考查了圆周角定理以及切线的判断、矩形的判断等知识点；比较综合，但难度不大．13．极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．14．若函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，k为非零常数，则实数x的取值范围为[，]．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：由|t﹣k|+|t+k|≥|（t﹣k）﹣（t+k）|=2|k|，（|t﹣k|+|t+k|）min=2|k|，|t﹣k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立转化为f（x）≤2 即|x﹣1|+|x﹣2|≤2，解绝对值不等式可得x的取值集合解答：解：∵f（x）=，∵|t﹣k|+|t+k|≥|（t﹣k）﹣（t+k）|=2|k|∴（|t﹣k|+|t+k|）min=2|k|问题转化为f（x）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2显然由得2＜x≤或得x＜1∴实数x的取值集合为[，]故答案为：[，]点评：本题考查了绝对值不等式的几何意义，不等式的恒成立转化为求解函数的最值问题是关键，属于中档题，三、解答题（共6小题，满分80分）15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）解析式；（2）若f（x0）=（＜x0＜），求cos2x0的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象可知A，T，由周期公式可求ω，由sin（2×+φ）=1，又|φ|＜，可求φ，即可求得函数f（x）解析式．（2）由f（x0）=，可求sin（2x0+）=，又＜x0＜，则可求cos（2x0+），由两角差的余弦函数公式即可求值．解答：解：（1）由图象可知A=1，周期T=2（）=2×=π，所以ω==2，…3分sin（2×+φ）=1，又|φ|＜，则φ=．所以f（x）=sin（2x+）…6分（2）因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=，又＜x0＜，则2x0+＜π，可得：cos（2x0+）=﹣=﹣…9分所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=﹣=…12分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．16．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：星期先秦文化趣味数学国学网络技术星期二星期四根据上表：（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由图表可得星期二、星期四满座的概率，然后由对立事件及相互独立事件的概率得答案．（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．然后利用相互独立事件和互斥事件的概率求得概率，列出频率分布表，再由期望公式求得期望．解答：解：（1）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为时间A，则P（A）=．（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4P故ξ的期望为Eξ=0×．点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．17．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC ⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦角；（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结DO，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面CDM 的法向量与平面ACD的法向量的夹角的余弦值的绝对值；（3）设，（0≤λ≤1），利用向量的加法法则及线段垂直的向量表示可得，利用向量数量积运算计算即可．解答：（1）证明：∵AB=4，AC=2，AD=2，∴AC⊥BC，AD⊥DC，则取AC中点O，连结DO，则DO⊥AC，∵平面ADC⊥平面ACB，DO⊂平面ADC，∴DO⊥平面ACB，∴DO⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD；（2）解：分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（，0，0），B（﹣，2，0），M（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，0，），=（，，0），=（，0，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），由，可得，令x=1，得=（1，﹣1，﹣1），又平面ACD的法向量为=（0，1，0），∴==，∴二面角A﹣CD﹣M的余弦角为；（3）解：由E点在棱BD上，设，（0≤λ≤1），故=（0，0，）+λ（﹣，2，﹣）=（﹣λ，2λ，（1﹣λ）），由OE⊥BD，得，即2λ+8λ﹣2（1﹣λ）=0，解得，∴=（﹣，2，﹣），=（0，﹣，）+（﹣，2，﹣）=（﹣，﹣4，5），平面CDM的法向量为=（1，﹣1，﹣1），设直线ME与平面CDM所成的角为θ，∴sinθ====．点评：本题考查线面垂直的判定定理，求二面角及线面角，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，P为椭圆C上的动点．（1）求椭圆的方程；（2）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ（≤λ＜1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么函数．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）圆的方程为：x2+y2=b2，圆心到直线x﹣y+2=0的距离d===b，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈，由=λ（≤λ＜1），可得，而，代入化简整理可得：（3λ2﹣1）x2+3λ2y2=6，，对λ分类讨论即可得出．解答：解：（1）圆的方程为：x2+y2=b2，圆心到直线x﹣y+2=0的距离d===b，又，a2=b2+c2，解得，c=1．∴椭圆的方程为．（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈，∵=λ（≤λ＜1），∴，而，∴，整理得（3λ2﹣1）x2+3λ2y2=6，，（i）当时，点M的轨迹方程为：y2=6，即y=，，其轨迹是两条平行直线；（ii）当时，点M的轨迹方程为：，∵0＜3λ3﹣1＜3λ2，∴轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆，满足的部分．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式公式、两点之间的距离公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N•），{b n}的前n项和为S n，求满足S n﹣1＞a n+b n的n的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过a3，a2+a4，a5成等差数列，可得q=2，进而可得结论；（2）通过b1++…+=a n（n∈N*），可得b n=，易得当n=1时不满足题意；当n≥2时利用错位相减法计算即可．解答：解：（1）设数列{a n}的公比为q，∵a3，a2+a4，a5成等差数列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解q=2，又∵a1=1，∴a n=2n﹣1；（2）∵b1++…+=a n（n∈N*），∴当n=1时，b1=a1=1，当n≥2时，=a n﹣a n﹣1=2n﹣2，∴b n=n•2n﹣2，即b n=，∴当n=1时，S1=b1=1，∴S1﹣1=0，不满足S1﹣1＞a1+b1；当n≥2时S n=1+2×20+3×21+…+n×2n﹣2，∴2S n=2+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，两式相减得：﹣S n=1+21+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1==（1﹣n）2n﹣1﹣1，∴S n=1+（n﹣1）2n﹣1．要使S n﹣1＞a n+b n，只需（n﹣1）2n﹣1＞2n﹣1+n×2n﹣2，解得n＞4，∴满足S n﹣1＞a n+b n的n的最小值为5．点评：本题考查等差数列、等比数列的概念及性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可；（2）求函数的导数，根据函数的导数和极值之间的关系，结合直线的斜率公式求解和证明即可．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=1+=，∵函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，∴f′（1）=2+2a=0，解得a=﹣1．∵f（1）=1=b，∴a+b=0．（2）①∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不等的正根，即x2+2ax+1=0有两个不等正根，令g（x）=x2+2ax+1，∵g（0）=1，∴，解得a＜﹣1，即实数a的取值范围（﹣∞，﹣1]；②由①知x1x2=1，x1＜1＜x2．x2﹣＞0，故==（1++）﹣1=，令h（x）=2lnx﹣x+，则h′（x）=，∴函数h（x）单调递减，h（x2）＜h（1）=0，∴2lnx2﹣x2+＜0，∴＜1，∵a＜﹣1，∴＞a，即．点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．。