最新万有引力解题方法总结加例题
万有引力定律的案例分析-例题解析
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(完整word版)高中物理万有引力定律知识点总结和典型例题
万有引力定律人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家第必定律：全部行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：全部行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即r3k T 2开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大批观察数据的基础上归纳出的，给出了行星运动的规律。
2．万有引力定律及其应用(1)内容：宇宙间的全部物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
MmF G（1687年）r 2G 6.67 10 11 N m 2 / kg 2叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的互相作使劲， 1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。
万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤实验原理是力矩均衡。
实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用见效放大）和光学放大（借助于平面境将渺小的运动见效放大）。
万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面周边的物体m，有mg G m E mR E2（式中 R E为地球半径或物体到地球球心间的距离），可获得m E gR E2。
G(2)定律的合用条件：严格地说公式只合用于质点间的互相作用，当两个物体间的距离远远大于物体自己的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于平均的球体，r 是两球心间的距离．当两个物体间的距离无量凑近时，不可以够够再视为质点，万有引力定律不再合用，不可以够够依公式算出 F 近为无穷大。
(3) 地球自转对地表物体重力的影响。
ωF 心NO′mOF引mg甲重力是万有引力产生的，因为地球的自转，因此地球表面的物体随处球自转时需要向心力．重力其实是万有引以以以下图，在纬度为 的地表处， 万有引力的一个分力充任物体随处球一同绕地轴自转所需的向心力F向=mRcos ·ω2（方向垂直于地轴指向地轴） ，而万有引力的另一个分力就是平常所说的重力mg ，其方向与支持力 N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。
(完整版)万有引力定律经典例题
盘中心尺体査页成ftl 垃鰭藕吋’万科可力班*1那『史Jf骨=呼「黄金代樓*,其％表乐天弹表面的匪力加連讎2.中心天体质量和密度的估算⑴已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R（2）已知卫星绕天体做圆周运动的周期 T 和轨道半径rMm 4 n4 n r 3① G ~^2 =吓r? M =苛 M 3 n 3 ② 尸4 3=乔R 33n Ri •火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）A •太阳位于木星运行轨道的中心B •火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C •火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D .相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上， A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律（周期定律）知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的 比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面 积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误.答案：C2. （2016郑州二检）据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器•探测器升空1 .天体运动的分析方法G MR m= mg?天体质量:天体密度:“ gR 2M=旨3g 尸 4T GR③卫星在天体表面附近飞行时,r= R ,贝 y p=GT nN0.2题组训嫌提升能力天弹苕动的向心力来壽于天之间的万有引力 4^r-f后，先在近地轨道上以线速度 v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度 v '在火星表面附近环绕飞行•若认为地球和火星都是质量分布均匀 的球体，已知火星与地球的半径之比为 1 : 2,密度之比为5 : 7,设火星与地球表面重力加速度分别为g '和g ,下列结论正确的是（）项正确，D 项错.答案：C3•嫦娥三号”探月卫星于 2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实 现“落月”的新阶段•若已知引力常量G ,月球绕地球做圆周运动的半径「1、周期T 1,“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道（见图）半径 匕、周期T 2,不计其他天体的影响，则根据题目条件可以（ ）A •求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B .求出地球与月球之间的万有引力C .求出地球的密度 门3 r 23D.^=T 22不知道地球半径 r ，无法求出地球密度， C 错误；对4式得 g = 3G npR ,所以g ' : g = 5 : 14, A 、B 项错；探测器在大体表面飞行时，万有引力解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由 GMRRm = mg , M = P 3 n R 3,解两G M R m - = mR , M = P 4 泯3，解两式得 v = 2^y G 3np,所以 v ' : v=\f28, C充当向心力，由 解析：绕地球转动的月球受力为 誉=M ' r 1 T 2 = ，已知 嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M '，但是所有的卫星A • g： g=4： 1B • g '： g = 10 : 7在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月 卫星质量无法求出， A 错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做圆周运动 的半径r i ，根据F =可求出地球和月球之间的引力,B 正确；由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动 的中心天体一个是地球一个是月球，D 错误.答案：B Ir 反忠捉升j ---------------------------------------------------------------------------------------------------估算天体质量和密度时应注意的问题(1) 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天 体的质量，并非环绕天体的质量.(2) 区别天体半径 R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r - R ;计算4天体密度时，V=：T R 3中的R 只能是中心天体的半径. L3______ 丿考点二人造卫星的运行 授课提示：对应学生用书第57页1. 人造卫星的a 、3、v 、T 与r 的关系1. 地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.N0.1梳理主干填准记牢GMm2.近地时GMm mg = -R2-ma > a = G r > a ’ 22 m w 2r m^2»GM = gR 2.⑵周期一定：与地球自转周期相同，即 T = 24 h = 86 400 s.(3) 角速度一定：与地球自转的角速度相同. (4) 高度一定：根据 = m 4T r 得r= 4,23x 104km ，卫星离地面高度 h =r - R ~ 6R(为恒量).(5) 绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 2. 极地卫星和近地卫星(1) 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2) 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3) 两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.题组训嫌提升能力 运州I1.(2015高考福建卷)如图，若两颗人造卫星 a 和b 均绕地球做匀速圆周运动， a 、b 到地心O 的距离分别为「1、「2，线速度大小分别为 V 1、V 2,则()项正确，B 、C 、D 项错误.答案：A2. 2015年3月30号晚上9点52分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭， 将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于 31号凌晨3点34分顺利进入预定轨道.这 次发射的新一代北斗导航卫星，是我国发射的第17颗北斗导航卫星.北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括 5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步 轨道卫星•中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离 地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )B .线速度小 D .向心加速度大N0.2解析：根据万有引力定律可得A .周期大 C .角速度小V 1 A.— V 2G 呼 r 2V 1 V 2，所以A解析：卫星离地面的高度越低，则运动半径越小•根据万有引力提供圆周运动向心力 24 2 ; 4 2 3得 G M$ = m* = m w 2r = m-T ^^ = ma ,则周期 T ="'‘石Mr ，知半径 r 越小，周期越小，故 A知半径r 越小，角速度越大，故 C 错误；向心加速度 a =学寻，知半径r 越小，向心加速度 越大，故D 正确.答案：D3•“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所•假设“空间 站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面 高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致.下列说法正确的有（ ）A •“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度B •“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的 ，10倍C .站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动D •在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮速度，故A 错误；根据 G^Mm = m*得v =. GM ，离地球表面的高度不是其运动半径，所以线速度之比不是.10 : 1，故B 错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转 的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观 察到空间站向东运动，故 C 正确；在“空间站”工作的宇航员处于完全失重状态，重力充 当向心力和空间站一起做圆周运动，故D 错误.答案：C—r 辰忠提升j -------------------------------------------------人造卫星问题的解题技巧，知半径r 越小，线速度越大，故 B 错误；角速度 3=解析：根据G Mm Gm “yr = ma 得 a =~rr ，知 空间站”运行的加速度大于同步卫星运行的加 错误；线速度 v =GMGM戸,(1) 利用万有引力提供向心力的不同表达式 2 2GMm v24 n r—== mr 3= m=^ = ma n r r T(2) 解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿 第二定律.①卫星的a n 、V 、3、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生 变化.⑶要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球 绕地球公转一周为一月(27.3天)等.考点三卫星的发射和变轨问题 授课提示：对应学生用书第57页梳理主干填准记牢叩己|1. 第一宇宙速度(环绕速度)v i = 79 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度, 还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.2. 第二宇宙速度(脱离速度)V 2 = 11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度. 3. 第三宇宙速度(逃逸速度)V 3= 16! km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.-------------------------------------------1. 第一宇宙速度的两种计算方法 ^Mm. m vf 得 v 叫 /GM (1) 由 GR 2 = % 得 v = R.2(2) 由 mg = mR 得 v = . g R . 2. 卫星变轨的分析(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时 (开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行.②a n 、 V 、 3、 T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定.2Mm v o 2 n o ⑵变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，G-^r = m? = m w 2r = m 〒2r.2①当卫星的速度突然增大时，vm*，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大•当卫星进入新的轨道稳定运行时，由GM 可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加;②当卫星的速度突然减小时，＞ 疋，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小•当卫星进入新的轨道稳定运行时，由GM可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小.1.（多选）（2015高考广东卷）在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球•已知地球、火星两星球的质量比约为10 : 1，半径比约为2：1•下列说法正确的有（ ）A •探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B •探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C .探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D •探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 解析：由GMRm = mvR 得，v = ；GRM , 2v = '，，2GM ，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关， A 项错误；由F = GMm 及地球、火星的质量、半径之比可 做负功，引力势能增大， D 项正确.答案：BD 2.（多选）2013年12月2日我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道I 进入椭圆轨道n, Q 为轨道H 上的近月点•下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是 （ ）N0.2報组训竦提升能力远川知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大, 探测器脱离两星球所需的发射速度不同,C 项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力B 项正确；由2GM” 盲可知,A •发射速度一定大于 7.9 km/sB •在轨道n 上从 P 到Q 的过程中速率不断增大C •在轨道n 上经过 P 的速度小于在轨道I 上经过 P 的速度D •在轨道n 上经过 P 的加速度小于在轨道I 上经过 P 的加速度 解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于 7.9 km/s , A 正确•在轨道n 上从P到Q 的过程中速率不断增大，选项B 正确.“嫦娥三号”从轨道I 上运动到轨道n 上要减速，故在轨道n 上经过 P 的速度小于在轨道I 上经过 P 的速度，选项 C 正确.在轨道n 上经过P 的加速度等于在轨道I 上经过P 的加速度，D 错.答案：ABC3.（2016成都石室中学二诊）如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星 A 、B 、C ,在某一时刻恰好在同一条直线上•它们的轨道半径之比为 说法中正确的是（）B .三颗卫星具有机械能的大小关系为 E A V E B V E CC • B 卫星加速后可与 A 卫星相遇D • A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点 解析： 根据万有引力提供向心力G M ^p = ma ,得 a = G r ，故 a A : a B : a c=2 ：」2 ：」2r r r A r B r c1 1 1=* ：歹：32= 36 ： 9 ： 4，故A 错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故机 械能越大，故 E A V E B V E C ,故B 正确；B 卫星加速后做离心运动，轨道半径要变大，不可C 的周期应为A 的周期的27倍，故D 错误.答案：B1 :2 : 3,质量相等，则下列能与A 卫星相遇，故 C 错误；根据万有引力提供向心力 _Mm 4 n= m*27周后, C 卫星也恰回到原地点，则A •三颗卫星的加速度之比为r ，得 T = 2 所以T C即T C = ■.27T A 若 A 卫星运动反忠捉升」航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v=、代皿判断.(2) 航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大.航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速考点四天体运动中的双星或多星模型授课提示：对应学生用书第58页N0.1梳理主干牢固记忆1•模型构建片巾“ —GY绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示.2. 模型条件(1) 两颗星彼此相距较近.(2) 两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动.⑶两颗星绕同一圆心做圆周运动.3. 模型特点(1) “向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1 = F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力.(2) “周期、角速度相同”一一两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等.(3) “半径反比” 一一圆心在两颗行星的连线上，且「1 + r2= L,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比.题组训练提升能力运用|1 •双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一 点做周期相同的匀速圆周运动•研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和 周期均可能发生变化•若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T ,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）解析：设两颗双星的质量分别为m i 、m 2，做圆周运动的半径分别为 r i 、「2,根据万有 m i m 24 nm i m 24 n引力提供向心力可得G ----------- = m i r i 2 , G ---------------- = m 2「2 2，联立两式解得 m i + m 2 =r i + r 22 1 r i + r 22 1变为原来的n 倍时，两星圆周运动的周期为T ' B 正确，A 、C 、D 错误.答案：B2.（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常 可忽略其他星体对它们的引力作用•设四星系统中每个星体的质量均为 四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上•已知引力常量为 G.关于四星系统，下列说法正确的是（）A •四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B •四颗星的轨道半径均为aC ・四颗星表面的重力加速度均为 罟解析：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点, 围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 G m m _= m ' g ，解得g =罟，故C故D 正确.4 n r i + r 24 n r i + r 2 GT 2，即T 2=，因此，当两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离G m i + m 2m ,半径均为 R , 正确；由万有引力定律和向心力公式得D •答案：ACD3•如图所示，双星系统中的星球 A 、B 都可视为质点.A 、B 绕两者连线上的 0点做匀 速圆周运动，A 、B 之间距离不变，引力常量为 G ,观测到A 的速率为v 、运行周期为T ,A 、B 的质量分别为m i 、m 2.⑴求B 的周期和速率.⑵A 受B 的引力F A 可等效为位于0点处质量为 m '的星体对它的引力，试求m '.（用 m i 、m 2 表示）解析：（1）设A 、B 的轨道半径分别为r i 、r 2，它们做圆周运动的周期 T 、角速度3都相同，根据牛顿第二定律有F A = m i 32r i , F B = m 2w 2r 2，即三=需故B 的周期和速率分别为:十 十 十m i r i m i vT B =T A =T，VB=3r= 3韦2 =石2m i + m 2⑵A 、B 之间的距离r = r i +「2= 匚厂r i ，根据万有引力定律有Gm i m 2 Gm i m 'F A=，m 23 2.m i + m 23答案：⑴T mv ⑵右辰忠捉升」解答双星问题应注意 “两等”“两不等”（1）双星问题的“两等” ①它们的角速度相等.②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力 大小总是相等的.⑵双星问题的“两不等” ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半 径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.所以m '［随堂反馈］授课提示：对应学生用书第59页1. （2015高考重庆卷）宇航员王亚平在“天宫 1号”飞船内进行了我国首次太空授课， 演示了一些完全失重状态下的物理现象.若飞船质量为m ,距地面高度为 h ,地球质量为M ，半径为R ,引力常量为 G ,则飞船所在处的重力加速度大小为（ ）GMm , /口GM解析：由 2= mg '得g ' =2, B 项正确.R +h 2 R +h 2答案：B2. （2015高考北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距 离小于火星到太阳的距离，那么（ ）A .地球公转周期大于火星的公转周期B .地球公转的线速度小于火星公转的线速度C .地球公转的加速度小于火星公转的加速度D .地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：地球的公转半径比火星的公转半径小，由知能TftHINO YAN|Ll>ANB.GM R + hC.GMm R + hD. GM T 2 GMm 2 n _尹=m — 2r ，可知地球的周期比火星的周期小，故 A 项错误；由響=m可知地球公转的线速度大，故B 项错误；由G%m = ma ，可知地球公转的加速度大,项错误；由G^^m = m w 2r ，可知地球公转的角速度大，故D 项正确.答案：D3 .已知地球质量为 M ，半径为 为G.有关同步卫星，下列表述正确的是R , 自转周期为 T ,地球同步卫星质量为 m ,引力常量A .卫星距离地面的高度为GM②由m i 32r i = m 232r 2知，由于 m i 与m 2一般不相等，故 r i 与「2 —般也不相等.B •卫星的运行速度等于第一宇宙速度C .卫星运行时受到的向心力大小为G M R2rD .卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度等于第一宇宙速度，同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，B 错误；同步卫星运行时的向心力大小为F 向=GMm C 错误；由G M?m = mg 得地球表面的重力加速度 g = G^,而R +h 2RR同步卫星所在处的向心加速度g ' =-GM -, D 正确.R + h 2答案：D4. （2015成都七中二诊）2013年12月2日，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西 昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.假设嫦娥三号在环月圆轨道 和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力.则（ ）A .若已知嫦娥三号环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的 密度B .嫦娥三号由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C .嫦娥三号在环月椭圆轨道上P 点的速度大于 Q 点的速度D .嫦娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小解析：根据万有引力提供向心力 G Mm = m^r ，可以解出月球的质量 M = ^7"2，由于 r I GI 不知道月球的半径，无法知道月球的体积，故无法计算月球的密度，故A 错误；嫦娥三号在环月段圆轨道上 P 点减速，使万有引力大于向心力做近心运动，才能进入环月段椭圆轨 道，故B 错误；嫦娥三号从环月椭圆轨道上P 点向Q 点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即嫦娥三号在环月段椭圆轨道上P 点的速度小于 Q 点的速度，故 C 错误；卫星越高越慢，第一宇宙速度是星球表面近地卫星的环绕速度，故嫦解析:GMm2 n 2 ,口 2= m(R + h) ~T 2得 R + h 2 13GMT 2h= j ZT - R ，A 项错误；近地卫星的运行速度娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，故答案：D 5.—物体在距某一行星表面某一高度处由静止开始做自由落体运动，依次通过A 、B 、C 三点，已知 AB 段与BC 段的距离均为0.06 m ，通过AB 段与BC 段的时间分为0.2 s 与0.1 s ,求：(1)该星球表面重力加速度值；⑵若该星球的半径为 180 km ,则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为多少？ 解析：(1)根据运动学公式，由题意可得 1x = V 1t 1 + 2gt代入数值可求得g = 2 m/s 2.Mm 2 n _⑵对质量为 m 的卫星有 = m — 2r可知当R = r 时卫星做圆周运动的最小周期为代入数据解得 T 最小=600 n . 答案：(1)2 m/s 2(2)600 n s［课时作业］授课提示：对应学生用书第243页一、单项选择题1. (2016成都市石室中学一诊)下列说法正确的是( )A •洗衣机脱水桶脱水时利用了离心运动B •牛顿、千克、秒为力学单位制中的基本单位C .牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量D •理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，所以是不可靠的解析：洗衣机脱水时利用离心运动将附着在衣服上的水分甩掉，水做离心运动•故 A正确；米、千克、秒为力学单位制中的基本单位，而牛顿不是基本单位，故B 错误；牛顿D 正确.2x = V 1 t 1 + t 2 + 2g t 1+ t 2星球表面有Mm=m ' g提出了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了万有引力常量，故 C 错误；理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，是可靠的，故D 错误.答案：A2•欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯 581c ”.该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的 1.5倍.设想在该行星表面附近绕行星圆轨道运行的人造卫星的动能为 E k1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相冋质量的 人造卫星的动能为 E k2，则学为（E k2)A . 0.13B . 0.3C . 3.33D . 7.5解析：在行星表面运行的卫星其做圆周运动的向心力由万有引力提供 Mm v 2故有 G~r = m~,r r1所以卫星的动能为 E k = 2mv 2 = GMm =2rGM 地m故在地球表面运行的卫星的动能E k2 =2R 地答案：C 3.（2015高考天津卷）未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状 态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示•当旋 转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表 面时相同大小的支持力•为达到上述目的，下列说法正确的是（ ）A .旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大在“格利斯”行星表面运行的卫星的动能GM 行m E k1 =E k1所以有E 2GM 行m2R 行GM 地m 2R 地M 行R 地 5 1• = — XM 地 R 行 11.51033.33.B .旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C .宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D •宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到的侧壁对他的支持力等于他站在地球越大，需要的角速度越小， A 项错误，B 项正确.答案：B4. 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速 1度大小减小为原来的2则变轨前后卫星的（）A .轨道半径之比为 1 : 2B .向心加速度大小之比为 4 ： 1C .角速度大小之比为 2 : 1D .周期之比为1 : 8解析：卫星绕地球做圆周运动过程中，万有引力充当向心力,严=2?豊=4，A 项错；6节平=ma? a =号単，所以鲁=16, B 项错；由开普勒第三T 4QT" = & D项正确；因为 T =」，角速度与周期成反比，故 号=8, C 项 12 8 GG 2错.答案：D5•美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适 合居住的行星“开普勒-226”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离 地球约600光年，体积是地球的 2.4倍.已知万有引力常量和地球表面的重力加速度.根 据以上信息，下列推理中正确的是（ ）A •若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力B .若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度C .根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径D •若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径 解析：根据万有引力公式 F =，由于不知道中心天体的质量，无法算出向心力，故A 错误；根据万有引力提供向心力公式 G^Mm = mg ，有g = G%，若该行星的密度与地球表面时的支持力，则mg = mr GJ ,C 、D 项错误；半径V 1 V 2G 132因此角速度与质量无=m^? v =。
高考物理万有引力定律的应用解题技巧讲解及练习题(含答案)含解析
高考物理万有引力定律的应用解题技巧讲解及练习题(含答案)含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，行星半径为求：(1)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度g；(3)行星的第一宇宙速度v．【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出:(3)在行星表面求出:【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．2．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换．（1）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转的角速度为ω，地球半径为R ． （2）当电梯仓停在距地面高度h 2=4R 的站点时，求仓内质量m 2=50kg 的人对水平地板的压力大小．取地面附近的重力加速度g=10m/s 2，地球自转的角速度ω=7.3×10-5rad/s ，地球半径R=6.4×103km ． 【答案】（1）22111()2m R h ω+；（2）11.5N 【解析】试题分析：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，根据轨道半径求出轨道站的线速度，从而得出轨道站内货物相对地心运动的动能．（2）根据向心加速度的大小，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出人对水平地板的压力大小． 解：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等， 则轨道站的线速度v=（R+h 1）ω， 货物相对地心的动能．（2）根据，因为a=，，联立解得N==≈11．5N ．根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为11．5N ．3．半径R =4500km 的某星球上有一倾角为30o 的固定斜面，一质量为1kg 的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行．如果物块和斜面间的摩擦因数3μ=，力F 随时间变化的规律如图所示（取沿斜面向上方向为正），2s 末物块速度恰好又为0，引力常量11226.6710/kg G N m -=⨯⋅．试求： （1）该星球的质量大约是多少？（2）要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？（计算结果均保留二位有效数字）【答案】（1）242.410M kg =⨯ （2）6.0km/s【解析】 【详解】（1）假设星球表面的重力加速度为g ，小物块在力F 1=20N 作用过程中，有：F 1-mg sin θ-μmg cos θ=ma 1小物块在力F 2=-4N 作用过程中，有：F 2+mg sin θ+μmg cos θ=ma 2 且有1s 末速度v=a 1t 1=a 2t 2 联立解得：g=8m/s 2． 由G2MmR =mg 解得M=gR 2/G ．代入数据得M=2.4×1024kg（2）要使抛出的物体不再落回到星球，物体的最小速度v 1要满足mg=m 21v R解得v 1gR =6.0×103ms=6.0km/s即要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要6.0km/s 的速度． 【点睛】本题是万有引力定律与牛顿定律的综合应用，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；第二题，由重力或万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．4．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放-个小球(引力视为恒力)，落地时间为.t 已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，求：()1该行星的第一宇宙速度； ()2该行星的平均密度．【答案】(()231 2?2hGt R π． 【解析】 【分析】根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求出质量与运动的周期，再利用MVρ=，从而即可求解． 【详解】()1根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度212h gt =解得：22h g t =则由2v mg m R=求得：星球的第一宇宙速度v ==()2由222Mm hG mg m Rt==有：222hR M Gt =所以星球的密度232M h V Gt R ρπ== 【点睛】本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．5．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆。
万有引力定律(精选例题)
例题11：
中子星是恒星演化过程的一种可能结果， 中子星是恒星演化过程的一种可能结果 ， 它的密度很 现有一中子星， 30s 大 。现有一中子星 ， 观测到它的自转周期为T=1/30s。 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定， 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定 ， 不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。 不致因自转而瓦解 。计算时星体可视为均匀球体。(引 2 67× -11 力常数G=6.67×10 N ·m /kg2) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的 解析：设想中子星赤道处一小块物质， 万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时， 万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星 才不会瓦解。 才不会瓦解。
3π r= 2 GT
GT M r= 4π 2 （3）海王星发现：
2
（2）天体运动情况：
1 3
（4）证明开普勒第三定律的正确性。
四、人造卫星：基本上都是引力提供向心力
Mm v 4π 2 G 2 = m = mrω = m 2 r = 4π 2 mrf 2 = ma r r T GM 1、线速度： = 即线速度 v ∝ v r
纬度↓ ，r ↑ ，g ↓ 。
例题1：
已知下面哪组数据可以计算出地球的质量M地（引力常数G 为已知）（AD） (A)月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离r1 (B)地球“同步卫星”离地面的高度h
小结: 小结:应用的基本思路与方法 1、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，
例题3：
第一宇宙速度是用r=R 地 计算出来的，实际上人造地球 卫星轨道半径都是r＞R地，那么轨道上的人造卫星的线 速度都是（ ） （A）等于第一宇宙速度 （C）小于第一宇宙速度 （B）大于第一宇宙速度 （D）以上三种情况都可能
高考物理万有引力定律的应用答题技巧及练习题(含答案)含解析
高考物理万有引力定律的应用答题技巧及练习题(含答案)含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o （2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M（4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) t【解析】（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12gt 2， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2MmGR 所以该星球的质量为：M=2gR G= 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，由牛顿第二定律得： 22Mm v G m R R=重力等于万有引力，即mg=2MmGR，解得该星球的第一宇宙速度为：v ==2．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G ．求： (1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度v ； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度．【答案】(1)34gGRρπ= (2)v gR= (3)22324gT Rh Rπ=-【解析】（1）在地球表面重力与万有引力相等：2MmG mgR=，地球密度：343M MRVρπ==解得：34gGRρπ=（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，2vmg mR=v gR=（3）天宫一号的轨道半径r R h=+，据万有引力提供圆周运动向心力有：()()2224MmG m R hTR hπ=++，解得：22324gT Rh Rπ=-3．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m＝2.0 kg的小物块从斜面底端以速度9 m/s沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)该星球表面上的重力加速度g的大小.(2)该星球的第一宇宙速度.【答案】（1）g=7.5m/s2（2）3×103m/s【解析】【分析】【详解】（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at=-解得：26m/sa=又有：sin cosmg mg maθμθ+=解得：27.5m/sg=（2）设星球的第一宇宙速度为v，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：2mv mg R=3310m/s v ==⨯4．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L （这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R ，万有引力常量为G ，求： （1）月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；（2）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？ （3）当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少?【答案】（1）22022hV R M GL =（23）T =【解析】 【详解】（1）由平抛运动的规律可得：212h gt =0L v t =2022hv g L=由2GMmmg R = 22022hv RM GL =（2）1v ===（3）万有引力提供向心力，则()()222GMmm R H T R H π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+解得：T =5．已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ．卫星B沿半径为r （r <h ）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：（1）卫星B 做圆周运动的周期；（2）卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．【答案】（1）3/2()r T h （2）3/23/23/2π()r h r -(arcsin R h+arcsin Rr )T 【解析】试题分析：（1）设卫星B 绕地心转动的周期为T′，地球质量为M ，卫星A 、B 的质量分别为m 、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：2Mm G h ＝mh 224T π① 2Mm G r '＝m′r 224T π'② 联立①②两式解得：T′＝3/2()rT h③（2）设卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t ，在时间间隔t 内，卫星A 和B 绕地心转过的角度分别为α和β，则：α＝t T ×2π，β＝tT '×2π ④ 若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．由图中几何关系得：∠BOB′＝2（arcsinR h＋arcsin Rr ） ⑤由③式知，当r ＜h 时，卫星B 比卫星A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有：β－α＝∠BOB′ ⑥由③④⑤⑥式联立解得：t ＝3/23/23/2()r h r π-（arcsin R h＋arcsin R r ）T考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题．6．为了测量某行星的质量和半径,宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T,登陆舱在行星表面着陆后,用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码,读数为F. 已知引力常量为G.求该行星的半径R 和质量M 。
高考必备物理万有引力定律的应用技巧全解及练习题(含答案)含解析
高考必备物理万有引力定律的应用技巧全解及练习题( 含答案 ) 含分析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地址与抛出点的水平距离为x 和落地时间t，又已知该星球的半径为 R，己知万有引力常量为G，求：（1）小球抛出的初速度 v o（2）该星球表面的重力加快度g（3）该星球的质量 M（4）该星球的第一宇宙速度 v（最后结果一定用题中己知物理量表示）【答案】 (1) v0=x/t (2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【分析】（1）小球做平抛运动，在水平方向： x=vt，解得从抛出到落地时间为： v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：1h= gt2，2解得该星球表面的重力加快度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= GMmR2因此该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：G Mm m v2R2R重力等于万有引力，即mg= G MmR2，解得该星球的第一宇宙速度为：v2hR gRt2．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞翔轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞翔周期为T，月球的半径为R，引力常量为G．求：(1)嫦“娥一号”绕月飞翔时的线速度大小；(2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运转的线速度应为多大．【答案】（1）2R H（2）42R H32RHRH（ 3）T GT2T R【分析】（ 1） “嫦娥一号 ”绕月飞翔时的线速度大小2π(R H )v 1．T（ 2 ）设月球质量为M ． “嫦娥一号 ”的质量为 m ．Mm2H )依据牛二定律得Gm 4π (RH )2T 2(R23解得 M4π (R H ) ．GT 2（ 3）设绕月飞船运转的线速度为 V，飞船质量为Mm 0V 2又m 0 ，则 Gm 023M4π (R H ) ．GT 2联立得 V2π RHRHT R3． 一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为 r ，周期为 T ，引力常量为 G ，行星半径为 求：(1) 行星的质量 M ；(2) 行星表面的重力加快度g ； (3) 行星的第一宇宙速度v ．【答案】 （1） （ 2） （ 3）【分析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为 m ，依据万有引力定律求出行星质量(2)内行星表面求出 :(3)内行星表面求出 :【点睛】此题重点抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．4．万有引力定律揭露了天体运动规律与地上物体运动规律拥有内在的一致性．（1）用弹簧测力计称量一个相关于地球静止的物体的重力，随称量地点的变化可能会有不 同结果．已知地球质量为M ，自转周期为 T ，引力常量为 G ．将地球视为半径为R 、质量分布平均的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F 0．① 若在北极上空超出地面h 处称量，弹簧测力计读数为 F 1，求比值 的表达式，并就h=1．0%R 的情况算出详细数值（计算结果保存两位有效数字）； ② 若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F 2 ，求比值的表达式．（ 2）假想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r 、太阳半径为 R s 和地球的半径 R 三者均减小为此刻的 1 ．0%，而太阳和地球的密度平均且不变．仅考虑太阳与地球之间的互相作用， 以现实地球的 1 年为标准，计算 “假想地球 ”的 1 年将变成多长？2 3【答案】（ 1） ① 0.98，②F 214R2F 0GMT（ 2） “假想地球 ”的 1 年与现实地球的 1 年时间同样【分析】试题剖析：（ 1）依据万有引力等于重力得出比值的表达式，并求出详细的数值．在赤道，因为万有引力的一个分力等于重力，另一个分力供给随处球自转所需的向心力，依据该规律求出比值的表达式（ 2）依据万有引力供给向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，进而进行判断．解：（ 1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是①②由公式 ①② 能够得出：=0.98．③由① 和③ 可得：（2）依据万有引力定律，有又因为，解得从上式可知，当太阳半径减小为此刻的 1.0%时，地球公转周期不变．答：（1）=0.98．比值（2）地球公转周期不变．仍旧为 1 年．【评论】解决此题的重点知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力供给随处球自转所需的向心力．5．天文学家将相距较近、仅在相互的引力作用下运转的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很广泛．利用双星系统中两颗恒星的运动特点可计算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星环绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试计算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【分析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、 r2，角速度分别为w1,w 2．依据题意有w1=w2①（1分）r1+r2=r② （1分）依据万有引力定律和牛顿定律，有G③（3分）G④（3分）联立以上各式解得⑤ （2分）依据解速度与周期的关系知⑥ （2分）联立 ③⑤⑥ 式解得（3 分）此题考察天体运动中的双星问题，两星球间的互相作使劲供给向心力，周期和角速度同样，由万有引力供给向心力列式求解6． 假定在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星 ，若这颗卫星在距该天体表面高度为 h 的轨道做匀速圆周运动 ,周期为 T ，已知万有引力常量为 G ，求 : (1)该天体的质量是多少 ? (2)该天体的密度是多少 ?(3)该天体表面的重力加快度是多少? (4)该天体的第一宇宙速度是多少 ?【答案】 (1)4 2 (R h)3；3 (R h) 34 2 (R h)3；4 2 (R h)3GT(2)2R 3； (3)(4)RT 22GT R 2T2【分析】【剖析】（ 1）卫星做匀速圆周运动，万有引力供给向心力，依据牛顿第二定律列式求解； （ 2）依据密度的定义求解天体密度；（ 3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解；（ 4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．【详解】（1）卫星做匀速圆周运动 ,万有引力供给向心力 ，依据牛顿第二定律有 :Mm22G( R h)2 =m T(R+h)解得 ： M= 4 2 (R h)3①GT 2（2）天体的密度 ：42(R h)3 3M GT 2 3 ( R h)ρ= =4=GT 2R 3 ．V3R3（3）在天体表面 ，重力等于万有引力，故 :Mm ②mg=GR 2联立①②解得 ： g=4 2 (R h)3③R 2T 2（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度 ，依据牛顿第二定律 ，有：mg=m④联立③④解得 ： v= gR = 4 2( R h)3．RT 2【点睛】此题重点是明确卫星做圆周运动时，万有引力供给向心力，而地面邻近重力又等于万有引力，基础问题．v 2R24－1122，一7．地球的质量 M=5.98 × 10kg ，地球半径 R=6370km ，引力常量 G=6.67 × 10 N ·m /kg 颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为 v=2100m/s ，求：（1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度 h 的表达式（2）此高度的数值为多少？（保存3 位有效数字）【答案】（ 1 ） GM 7hR （ 2） h=8.41 × 10mv 2【分析】试题剖析：（ 1 ）万有引力供给向心力，则GM解得：hv 2R×7（ 2）将（ 1）中结果代入数占有 h=8.41 10m 考点：考察了万有引力定律的应用8．“嫦娥一号 ”探月卫星在空中的运动可简化为如图 5 所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停靠轨道，在停靠轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工 作轨道 .已知卫星在停靠轨道和工作轨道运转的半径分别为R 和 R 1，地球半径为 r ，月球半径为 r 1，地球表面重力加快度为g ，月球表面重力加快度为 .求：(1)卫星在停靠轨道上运转的线速度大小；(2)卫星在工作轨道上运转的周期.【答案】 (1) (2)【分析】（1）卫星停靠轨道是绕地球运转时，依据万有引力供给向心力：解得：卫星在停靠轨道上运转的线速度；物体在地球表面上，有，获得黄金代换 ，代入解得 ；（2）卫星在工作轨道是绕月球运转，依据万有引力供给向心力有，在月球表面上，有，得 ，联立解得：卫星在工作轨道上运转的周期．9． 侦探卫星在经过地球两极上空的圆轨道上运转,它的运转轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的状况所有都拍摄下来 ,卫星在经过赤道上空时,卫星上的拍照像机起码应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为,R 地面处的重力加快度为 g,地球自转的周期为 T ．4 2 ( h R) 3【答案】 lgT【分析】 【剖析】【详解】设卫星周期为 T 1 ,那么 :Mm 4 2m( R h), ①G2T 12( R h)又MmG R 2mg , ②由①②得T 12 ( h R) 3R.g设卫星上的摄像机起码能拍摄地面上赤道圆周的弧长为 l ,地球自转周期为 T ,要使卫星在一天(地球自转周期 )的时间内将赤道各处的状况全都拍摄下来,则Tl 2 R .T 1因此2 RT 14 2 (h R)3lT.Tg【点睛】摄像机只需将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处所有拍摄下来；依据万有引力供给向心力和万有引力等于重力争出卫星周期 ；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再依据弧长与圆心角的关系求解．10． 今年 6 月 13 日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观察卫星高分四号正式投入使 用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观察卫星．如下图，卫星，已知地球半径为R ，地球自转的周期为T ，地球表面的重力加快度为A 是地球的同步g,求：（ 1）同步卫星离地面高度 h（ 2）地球的密度 ρ(已知引力常量为 G)2 23g【答案】（ 1） 3gR TR （2）4 24 GR【分析】【剖析】【详解】（ 1）设地球质量为 M ，卫星质量为 m ，地球同步卫星到地面的高度为 h ，同步卫星所受万有引力等于向心力为G mM4 2 R hm( R h)2T2在地球表面上引力等于重力为MmGR2mg故地球同步卫星离地面的高度为h3gR 2T242R（2）依据在地球表面上引力等于重力MmGR2mg联合密度公式为gR 2MG3gV4R 3 4GR3。
万有引力专题(含例题)
万有引力专题（一）不同公式和问题中的含义不同万有引力定律公式中的指的是两个质点间的距离，在实际问题当中，只有当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，定律才适用，此时指的是这两个物体间的距离；定律也可适用于两个质量分布均匀的球体之间，此时指的是这两个球心的距离。
而向心力公式中的，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径，开普勒第三定律中的指的是椭圆轨道的半长轴。
可见，同一个在不同公式中所具有的含义迥异。
（二）同步卫星和一般卫星的区别任何一颗地球卫星的轨道平面都必须通过地心，由万有引力提供向心力，其高度、速度、周期一一对应。
地球同步卫星相对于地面静止，和地球自转具有相同的周期，为24小时。
它只能位于赤道上方处，线速度为。
一般卫星的轨道是任意的，周期、线速度可以比同步卫星的大，也可比同步卫星的小，线速度最大值为，最小周期大约84min（近地卫星）。
（三）稳定运行和变轨运动的区别卫星绕天体稳定运行时，由万有引力提供向心力，得，由此可知，轨道半径越大，卫星的速度越小。
当卫星由于某种原因使速度突然改变时，，运行轨道发生变化。
若突然变大，，卫星做离心运动；若突然变小，，卫星做近心运动。
注意不能通过判断卫星如何变轨，因为变轨过程中卫星的速度改变，但是待卫星再次达到稳定状态时，仍有成立。
（四）赤道上的物体和近地卫星的区别赤道上的物体在地球自转时受到两个力作用：地球对它的万有引力和支持力。
这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力，即，这里此时物体的向心加速度，远远小于地面上的重力加速度，在近似计算中可忽略自转的影响，认为地面上物体的重力等于万有引力。
绕天体运行的卫星只受万有引力作用，处于完全失重状态，故。
卫星的向心加速度等于卫星所在处的重力加速度。
对近地卫星，有。
（五）卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系1. 由，得故越大，越小；2. 由，得故越大，越小；3. 由，得故越大，T越大。
练习题1. 如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为和，相距为，万有引力常量为G，求：（1）双星转动的中心位置；（2）转动周期。
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一．三个解题思路
1.思路一：万有引力等于向心力（适用于天体运动）
__________=F向=ma向=___________=___________=____________
2.思路二：万有引力等于重力（常用于近地面的物体）
忽略天体自转的影响，天体表面的物体重力等于万有引力
1.“黄金代换”
二．万有引力定律应用典例
1.第一宇宙速度的两种求法：
第一宇宙速度又叫环绕速度，它是在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具备的速度。
它既是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度。
2.天体质量的两个计算方法
A.通过观察绕被测天体（中心天体）旋转的行星的运行周期T和轨道半径r，
B.对于没有卫星的天体，已知天体半径R和天体表面重力加速度g，忽略天体自转影响可得
3.天体密度的计算：
A.由天体的卫星绕天体做圆周运动，已知天体半径R和轨道半径r以及周期T
其中，卫星环绕天体表面运动时，r约等于R
B.对于没有卫星的天体，已知天体表面重力加速度g,天体半径R
4.万有引力提供星体做圆周运动的向心力人造地球卫星的绕行速度，角速度，周期与半径的
关系
A. r v
B. r ω
C. r T
题型一开普勒定律的应用
1.已知一行星，它的轨道半径是地球绕太阳运动半径的3倍，求该行星围绕太阳一周所需要
的时间。
题型二对万有引力定律的理解
2.如图所示，在距一质量为M，半径为T，密度均匀的球体R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F，当从球M中挖去一个半径为R/2的小球时，剩下部分对m 的万有引力为F’，则F与F’的比值为多少?
题型三万有引力与重力
3.物体在距离地心4R(R是地球半径)处，由于地球的作用力而产生的加速度为g’，则g’/g 为 A.1 B.1/9 C.1/4 D.1/16
题型四万有引力与其他知识的综合应用
4.某星球的半径R'是地球半径R的1/2,该星球的质量m'是地球质量m的4倍.已知在地球表面以初速度v0竖直上抛的物体能到达的最大高度为H,问在该星球表面上以同样大小的初速
度竖直上抛的物体能到
某星球的半径R'是地球半径R的1/2,该星球的质量m'是地球质量m的4倍.已知在地球表面以初速度v0竖直上抛的物体能到达的最大高度为H,问在该星球表面上以同样大小的初速度
竖直上抛的物体能到达的最大高度H'多大?
2.航天飞机在进入绕地球做匀速圆周运动的轨道后，有一个宇航员缓慢走出机外，他将()
A．向着地球中心方向落向地球B．做平抛运动C．仍沿原轨道做匀速圆周运动 D．由于惯性做匀速直线运动
3.若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求
出
A．该行星的质量B．太阳的质量C．该行星的密度D．太阳的密度3人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为2T，下列办法中可能的是（）
A．r不变，使线速度为v/2
B．v不变，使轨道半径增为2r
C．使轨道半径变为 3 4 r
D．无法实现。