2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--压轴小题
北京市朝阳区2018届高考二模数学试题(文)含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则AB =（ ）A ．(2]-∞，B ．(1)+∞，C ．(12)，D ．[1)+∞， 2.计算2(1)i -=（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（ ）A ．1B ．3-C ．1-D ． 72-4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ）AB 62- C.625.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．恒为正B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是 ；渐近线方程是 .11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 . 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 ．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R .（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值.16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17.（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19. 已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。
(完整版)北京市海淀区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B I ð= （A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6} （2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（A ） 1i z =-+ （B ） 1i z =+ （C ） +i z 是实数 （D ） +i z 是纯虚数 （3）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为 （A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则 （A ）11x y>（B ） 11()()22x y >（C ） cos cos x y >（D ） ln(1)ln(1)x y +>+（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（A ）m n （B ） n m （C ）m n π （D ） n mπ（6）设C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1，2，……300表示，并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况.其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，，01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.， 根据如图所示的程序框图，下列说法中错误的是 （A ）m 为选择历史的学生人数 （B ）n 为选择地理的学生人数（C ）S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D ）S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>，则函数()()()F x g x f x =- （A ）有极小值，没有极大值 （B ）有极大值，没有极小值（C ）至少有两个极小值和一个极大值 （D ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
最新-北京市丰台区2018年高三二模(文数) 精品
北京市丰台区2018年高三二模 2018.5数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A)–1(B) 35-(C) i - (D) 3i 5-2．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是(A)若a b =，则a b =- (B) 若a b =-，则a b ≠ (C)若a b ≠，则a b ≠-(D) 若a b ≠-，则a b ≠3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 (A)152(B)516(C) 516-(D) 52-4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③(D) ④5．函数()sin ()f x x x x =+∈R(A) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 (B) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 (C) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数(D) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 的中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) -7(B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b=+的图象可能是P 1A(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2A ，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合A =｛x ｜2x -x 2>0｝，B =｛x ｜x >1｝，则AB =______．10．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，则ˆb =______，据此模型可预测2018年该地区的恩格尔系数(%)为______．11．已知cos 2sin θθ=，则cos 2θ 的值为______． 12．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是______．13．已知双曲线2222128x y m m-=+上一点M 到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．QPBACD14．在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数1()cos (cos )2f x x x x =--． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示：（Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（Ⅱ）求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点．（Ⅰ）若Q 是P A 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若P A =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．18.（本小题共13分）14387255511109乙甲已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F ∆的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1N A A M λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．20.（本小题共13分）已知函数f (x )=ln x ，()bg x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当x >1时，f (x )<g (x )成立； （Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2018年高三二模数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{}12x x << 10． -2，31.25 11．3512． 63 13．5414．1 注：第10题第一个空答对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：因为1()cos (cos )2f x x x x =--＝21cos cos 2x x x -＝1cos 23222x x +-＝1cos 222x x ＝cos(2)3x π+． （Ⅰ）()6f π＝cos(2)63ππ⨯+＝12-． ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以 42333x πππ≤+≤．当 23x π+=π，即3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-．当 3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． ……………………13分16．解：（Ⅰ）由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：95+102+105+107+111=1045， 方差为2222221=[(95104)+(102104)+(105104)+(107104)+(111104)]=28.85S -----甲．乙种棉花的平均亩产量为：98+103+104+105+110=1045， 方差为2222221=[(98104)+(103104)+(104104)+(105104)+(110104)]=14.85S -----乙．因为 22>S S 乙甲，O Q P BAC D所以乙种棉花的平均亩产量更稳定． ……………………8分（Ⅱ）从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95，102)，(95，105)，(95，107)，(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102，111)，(105，107)，(105，111)，(107，111) 共10种， 设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A ， 包括的基本事件为(105，107)，(105，111)，(107，111)共3种．所以3()=10P A ． ……………………13分 答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为310．17．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ．因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点．因为 Q 是P A 的中点， 所以 OQ // PC ， 因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，所以PC //平面BDQ ． ……………………5分 （Ⅱ）因为 底面ABCD 为菱形， 所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点．因为 PB =PD ，所以 PO ⊥BD ．因为 PO ∩BD =O ，所以 BD ⊥平面P AC ．因为 CQ ⊂平面P AC ，所以 BD ⊥CQ ． ……………………10分 （Ⅲ）因为 P A =PC ，所以 △P AC 为等腰三角形 ． 因为 O 为AC 中点， 所以 PO ⊥AC ．由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P -ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC =60º，所以所以所以13P ABCD V -=⨯=P ABCD V -= ……………………14分 18．解：（Ⅰ）因为35232S a S a =⎧⎨=⎩ 所以112123()43()a d a d a d a +=+⎧⎨+=⎩，即122223a da a =⎧⎨=⎩．因为252a a =，0d ≠， 所以20a ≠．所以112a d =⎧⎨=⎩．所以21n a n =-． ……………………6分 （Ⅱ）因为*12()n an n b b n N +-=∈，所以1212ab b -=，2322a b b -=，……112n a n n b b ---=．相加得 1121222n a a an b b --=+++=1323222n -+++=12(41)3n -- ……………………13分即21213n n b -+=．19．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=．因为焦距为c当点P 在短轴的顶点时，P 到F 1F 2的距离最大，所以此时△PF 1F 2的面积最大，所以121222PF F Sc b =⋅⋅=， 所以b = 因为2224a b c =+=， 所以24a =，椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在，可设为k ，则直线l ：(1)y k x =-．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22240(1)x y y k x ⎧+-=⎨=-⎩ 消y 得 2222(21)4240k x k x k +-+-=．显然0∆>，且 2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+．因为直线l 交y 轴于点N ，所以(0,)N k -．所以 11(1,)AM x y =--，11(,)NA x k y =+，且1NA AM λ= 所以 1111x x λ=-，同理2221x x λ=-． 所以12121212121212()28111()3x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 即12λλ+为定值是83-. ……………………14分 20．解：（Ⅰ）因为()f x 与()g x 的图象在x 轴上有公共点(1，0)，所以(1)0g =，即0a b +=． 又因为1()f x x '=，2()bg x a x'=-， 由题意(1)(1)1f g ''==，所以12a =，12b =-． ……………………4分 （Ⅱ）设11()()()ln ()22F x f x g x x x x=-=--， 则2211111()(1)0222F x x x x'=--=--<．所以()F x 在1x >时单调递减．由(1)0F = 可得当1x >时，()0F x <即()()f x g x <． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得，11()ln 2x x x-> (1)x >． 令1k x k +=，则111111111ln ()(1)(1)()212121k k k k k k k k k k ++⎡⎤<-=+--=+⎢⎥+++⎣⎦， 所以111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3...,k n =． 将上述n 个不等式依次相加得 11111ln(1)(...)2232(1)n n n +<++++++， 所以1111...ln(1)ln(1)232(1)nn n n n ++++>++>++． ……………………13分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--概率统计解答题
2018北京各城区高三二模数学（文）分类汇编--概率统计解答题【西城二模】17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率． 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人．……………… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=， 10.100.200.300.40b =---=．………………4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．……………… 6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． ……………… 8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中，有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病，………………10分 有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分【海淀二模】（18）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率； （Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论） 18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分【东城二模】（17）（本小题13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组．A 组：128，100，151，125，120．B 组：100，102，96，101， a ．已知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率； （Ⅲ）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义． （17）（共13分）解：（Ⅰ）因为B 组数据的中位数为100，所以100a ≤．因为从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45， 所以100a ≥． 所以100a =. …………5分 （Ⅱ）从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分【朝阳二模】17.（本小题满分14分）某市的一个义务植树点,统计了近10年栽种侧和银杏的数据（单位:株）,制表如下:（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数;（Ⅱ）从统计的数据中,在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中,任意抽取2年,恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.【解析】解:（Ⅰ）这10年栽种银杏数量从小到大排列为:3300,3400,3600,3600,3700,3700,4200,4200,4200,4400中位数为3700平均数为3830（Ⅱ）栽种侧柏与银杏数量之差绝对值不小于300株的年份有:2009,2010,2011,2013,2014共5年任意抽取2年的基本事件如下:（2009,2010）,（2009,2011）,（2009,2013）,（2009,2014）（2010,2011）,（2010,2013）,（2010,2014）（2011,2013）,（2011,2014）（2013,2014）共10种情况恰有1年栽种侧柏数量比银杏数量多的情况为 （2009,2010）,（2009,2013）,（2009,2014） （2010,2011）,（2011,2013）,（2011,2014） 共6种情况 所以63105P == 【丰台二模】（18）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）分别求出A 组客户与B 组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A ，B 两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A 组客户的“实际平均续航里程数”不小于B 组客户的“实际平均续航里程数”的概率； （Ⅲ）试比较A ，B 两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明） （18）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……2分（Ⅱ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ． 从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种，……………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． …………………7分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分 则3()8P M =． …………………10分 所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38． （III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分 【昌平二模】 17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I (II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率. 17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .150图1 A 地空气质量指数（AQI ）0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =【顺义二模】17. （本小题满分13分）2018年2越25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕,中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种）,按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人,具体的调查结果如下表:（Ⅰ）若该班女生人数比男生多4人,求该班男生人数和女生人数;（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;（Ⅲ）若从该班调查对象的女生中随机选取2人进行追踪调查,记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ,求1ξ=时对应事件的概率..【房山二模】（17）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案
2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分 （Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）方法1： 因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分 【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ． （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯． 因为11b =，212b =， 所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以11(21)12n n b n b n +==-+． 所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列． 所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分 【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】 （16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ． （16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分 因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即1(31)2nn T =-．…………………13分 【昌平二模】 16.（本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分 【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】 （15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =． 所以5154264b -=⨯=． 由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。
北京市丰台区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案
北京市丰台区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，2{|230}A x xx =--<，则UA =ð(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x > (D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a = (A) 3(B) 23(C)(D)（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的俯视图侧视图正视图体积为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是 (A)2log ()y x =-(B) xx y -=1(C)21y x =-+ (D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 (A) 25 (B)20(C) 13(D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是(A) 14(B) 12(C) 2(D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色(A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年北京市各区高三文科数学试题分类汇编----圆锥曲线
2018年北京高三模拟考试数学文科试题分类汇编----解析几何（2018年朝阳期末）10．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是 221x y -= ．(2018年东城期末)（10）双曲线2212y x -=的渐近线方程为_____y =?____． (2018年海淀期末)（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为x y =，则实数a 的值为 1 .(2018年西城期末)10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是__2213y x -=__．(2018年丰台期末)7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF =（ C ） A ．1 B ．32C ．3D ．6 13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线不是双曲线”的一个m 的值是13m ≤≤之间的数即可 ．(2018年石景山期末5．“10m >”是“”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．抛物线24y x =上一点到此抛物线焦点的距离为___3____. (2018年昌平期末)12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为y =，则实数a (2018年通州期末)10．已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是____3___.(2018年房山期末)（7）双曲线221y x m-=D ） （A ）12m >（B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m > （10）若抛物线px y 22=的焦点坐标为)0,2(，则p = 4 ，准线方程为 -2 ． （2018年朝阳一模）5.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB =，则线段AB 的中点M 到直线10x +=的距离为 （ B ）A ．2 B. 4 C ．8 D ．1610.双曲线2214x y -=的焦距为_____；渐近线方程为____12y x =±_____． (2018年东城一模)（10）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为1(,0)4，则p =____12___． (2018年海淀一模)（5）若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ D ）(A) 1p < （B ） 1p > （C ） 2p < （D ） 2p >（10）已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点，则C 的离心率为2 .(2018年西城一模)11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =；双曲线的渐近线方程是__0x =__． (2018年丰台一模)（4）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为 （ B ） (A) 28y x = (B) 28x y =-(C) 2y =(D) 2x =(2018年石景山一模)10.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是______y =_______. (2018年房山一模)（9）抛物线24x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为 12 .(2018年顺义一模)9. 已知双曲线221x y m-=的一个焦点为(-,则该双曲线的方程为_____2217x y -=______.（2018年朝阳二模）（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 3 ；该双曲线的渐近线方程为 y = ． (2018年东城二模)（10）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线的离心率为____． (2018年海淀二模)（6）设曲线C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（ A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）已知抛物线C 的焦点为(0,1)F ，则抛物线C 的标准方程为__24x y =__.(2018年西城二模)12．双曲线22:1916y x C -=的焦距是__10__；若圆222(1)(0)x y r r -+=>与双曲线C 的渐近线相切，则r =__35__．(2018年丰台二模)（3）设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =（ C ）(A)(B)(C)(D) (2018年昌平二模)10. 若抛物线212x y =，则焦点F 的坐标是 (0,3) .(2018年房山二模)（9）双曲线2221-=y x a 的渐近线为x y 2±=，则该双曲线的离心率为 26 ．(2018年顺义二模)12． 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>经过点()4,1，且与2214x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为_____221123x y -=_____，渐近线方程为_____12y x =±_____． （2018年朝阳期末） 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个焦点坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行． 解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==.所以椭圆C 的方程为2215x y +=. …………………………3分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，所以||||FG DN =.所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，所以11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.所以22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-， 所以2F y y =.所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. …………………………14分(2018年东城期末) （20）（本小题13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F 与短轴两个端点的连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点Q 为椭圆C 上一点，过原点O 且垂直于QF 的直线与直线2y =于点P ，求△OPQ 面积S 的最小值．解：（Ⅰ）由题意，得2221,1,,b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=． ………4分（Ⅱ）设00(,)Q x y ，(,2)P m ，则220012x y +=．① 当0m =时，点(0,2)P ，Q点坐标为(或，122S ==．② 当0m ¹时，直线OP 的方程为2y x m=．即20x my -=， 直线QF 的方程为(1)2my x =--． 点00(,)Q x y 到直线OP 的距离为d，||OP =所以，000011|||2|||222mS OP d x my x y =⋅⋅=⨯-=-． 又00(1)2my x =--，所以202200000000(1)2212||||||1121x y x x S x x x x x --+=+=+=⨯--- 00001111|1|(|1|)212|1|x x x x =⨯-+=-+--0x ≥<01)x ≠， 当且仅当001|1||1|x x -=-，即00x =时等号成立，综上，当00x =时，S 取得最小值1. ………13分(2018年海淀期末) 19. （本小题14分）已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=， ------------------------2分32222==a c e ，故36=e . ------------------------4分（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧=-+=+023322y x m y x ，得到03122=-+m x x 12-4，依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， ------------------------6分12|PQ x x =-== ------------------------7分原点到直线l 的距离2=d ------------------------8分所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅== ------------------------9分解得 73m =>1， 故椭圆方程为223177x y +=. ------------------------10分 （Ⅲ）直线l 的垂线为:ONy x =， ------------------------11分由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ， ------------------------12分 因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1. ------------------------14分(2018年西城期末) 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则c == [ 4分]所以椭圆C 的离心率c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分] 所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=， 解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形， 所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分](2018年丰台期末)19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点(B 在椭圆C 上，12F BF ∆是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点A 在椭圆C 上，线段1AF 与线段2BF 交于点M ，若12MF F ∆与12AF F ∆的面积之比为2:3，求点M 的坐标.19．解：（Ⅰ）由题意(B 是椭圆C 短轴上的顶点，所以b =因为12F BF ∆是正三角形，所以122F F =，即1c =. 由2224a b c =+=，所以2a =.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，(),A A A x y ，依题意有00x >，00y >，0A x >，0A y >. 因为121223MF F AF F S S ∆∆=，所以01213A x x +=+，且023A y y =， 所以0312A x x +=，032A y y =，即00313,22x A y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为点A 在椭圆上，所以22143A A x y +=，即220031322143x y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以200152270x x -+=，解得01x =，或0715x =. 因为线段1AF 与线段2BF 交于点M ， 所以01x <，所以0715x =. 因为直线2BF的方程为)1y x =-， 将0715x =代入直线2BF的方程得到0y =. 所以点M的坐标为715⎛ ⎝⎭.(2018年石景山期末) 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值. 解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+， 所以22224,3a c b c == ……… 2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ………4分椭圆方程为2211612x y +=……… 5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x yB x y………6分设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= ………8分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+1216||2x x =⨯⨯-==………13分 当0t =时，S最大为 ………14分(2018年昌平期末) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，(,0),(0,1)A a B ，圆O ：221x y +=的圆心到直线AB.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆O 相切，且与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值. 解：（Ⅰ）由已知得，直线AB 的方程为:1,0xy x ay a a+=+-=即：. 由1a >, 得点O 到直线AB解得a故椭圆C 的方程为 2213x y +=. ……………5分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，代入2213x y +=，得y =PQ =. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O1,=即221m k =+由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得222(13)63(1)0k x kmx m +++-= 所以22222223612(13)(1)12(13)24,k m k m k m k ∆=-+-=+-= 由0,∆>得0k ≠，设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则212122263(1),1313km m x x x x k k-+=-=++，所以PQ ｜｜222(1)2213k k k++≤+ 当且仅当2212,k k +=即1k =±时，||PQ综上所述，||PQ…………… 14分(2018年通州期末) 19．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =， 所以1b =，c a =……………………2分所以由222a b c =+，得22.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分 （Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,P x y ，()22,Q x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k-⋅=+……………………7分 因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分 所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k-⋅-++=++ 所以2420.12k kmk-+=+ 所以420.k km -+=……………………12分 因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分(2018年房山期末) （19）（本小题14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左顶点为()0,2-A ，且过点2⎛ ⎝⎭1，.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）若直线1:-=ty x l 交椭圆C 于1122(,),(,)P x y Q x y ． （i ）求证：12234y y t =-+；（ii ）若△APQ 的面积为45，求t 的值． （19）解：（Ⅰ）由题：2=a又过点（231，），143412=+∴b1=∴b 222b a c -= 3=∴c 23==∴a c e 1422=+∴y x …………………5分（Ⅱ）（1）由题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14122y x ty x 整理得：032)4(2=--+ty y t 43,42221221+-=+=+∴t y y t y y 43221+-=∴t y y …………………9分（2）由题，直线l ：1-=ty x 恒过）（0,1-.设直线l 与x 轴交于点M ，则M ）（0,1- 1|AM |=∴412)42(4)(|y -y |2222122121+++=-+=t t y y y y ||||2121y y AM S APQ -⋅=∴∆=21∴412)42(222+++t t =54 4247110t t ∴+-=21,t ∴=或211-()4t =舍 1±=∴t …………………14分19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且直线1l 与2l 的斜率互为相反数，直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 的斜率为1k ，直线BF 的斜率为2k .证明：12k k +为定值．解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ……………… 5分（Ⅱ）证明：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --， 则1323121323y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 21212313232()2[]()()x x x x x k x x x x +++=-+． 由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．所以2121231213232()2[]0()()x x x x x k k k x x x x ++++==-+． 故12k k +为定值，定值为0. ………………14分（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N ．求证：过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点．解：（Ⅰ）由题意得23a c a⎧=⎪⎨=⎪⎩解得1c =．所以2222b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22132x y +=． ………5分（Ⅱ）由题意知，圆O 的方程为223x y +=．设(3,)N t ，00(,)M x y ， 22003x y +=． 由22||3||ON MN =+，得22220033(3)()+t x y t =+-+-， 即2222000093692t x x y ty t +=+-++-+，即2200003620x x y ty +-+-=． 因为22003x y +=， 所以00330x y t +-=．当0t =时，01x =，直线l 的方程为1x =，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． 当0t ≠时，直线MN 的方程为003()y y x x t-=--，即0033ty ty x x -=-+，即3(1)ty x =--，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． 综上所述，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． ………14分(2018年海淀一模) （19）（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点. 求证：点1F 在以MN 为直径的圆上.19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>> ，则222112c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ .…………………….…2分得2,a b == .…………………….…4 ，所以椭圆方程为221.43x y += .…………………….…5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A .当直线PQ 不存在斜率时，可得33(1,),(1,)22P Q --- 直线AP 方程为()122y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,同理，得(4,3)N --. 所以()()113,3,3,3F M F N =-=--,得110FM F N ⋅=. 所以190MF N ∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…7分当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为()1y k x =+ ，()11,y x P 、()22,y x Q .由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k x k x k +++-=.显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++, .…………………….…8分 直线AP 方程为11(2)2y y x x =--，得116(4,)2y M x --- ,同理，226(4,)2y N x ---. .…………………….…9分所以12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---.121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2 .…………………….…10分因为()()11221,1y k x y k x =+=+所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22 .…………………….…11分 ()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==-所以110FM F N ⋅= ..…………………….…13分 所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分 综上，F 在以MN 为直径的圆上.(2018年西城一模) 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222a b c =+． [ 3分] 解得 2a =，b =所以椭圆C 的方程为 22142x y +=． [ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=， [ 7分] 且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=． [ 9分]将 2242m n -=代入上式，得 2(2)()204m m t m ---+=． [10分] 因为 22m -<<， 所以 202mt m +-+=， 即 22m t =+． [12分] 所以 2222t -<+<， 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分](2018年丰台一模) （19）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为)0,3(F ，点(2,0)A -在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．解：（Ⅰ）依题意，c =……………………1分点(2,0)A -在椭圆C 上．所以2=a ． ……………………2分 所以2221b a c =-=． ……………………3分所以椭圆C 的方程为1422=+y x ． ……………………4分 离心率23==a c e ． ……………………5分 （Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，所以可设(,)D m n ，(,)E m n --，(2)m ≠± ……………………6分所以1422=+n m ． ……………………7分 直线AD ：(2)2ny x m =++． 当0=x 时，22+=m n y ，所以)22,0(+m nM ． ……………………8分 直线AE ：(2)2ny x m -=+-+． 当0=x 时，22+--=m n y ，所以)22,0(+--m nN ． ……………………9分 设以MN 为直径的圆与x 轴交于点0(,0)G x 和0(,0)H x -,（00x >）， 所以，02(,)2n GM x m =-+，02(,)2nGN x m -=--+， ……………………10分 所以220244n GM GN x m -⋅=+-．因为点G 在以MN 为直径的圆上，所以0GM GN ⋅=，即2202404n x m-+=-． ……………………12分 因为1422=+n m ，即2244m n -=， 所以22202244144n m x m m-===--，所以01x =． ……………………13分 所以(1,0)G ，(1,0)H -．所以2GH =．所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值2． ……………………14分(2018年石景山一模) 19．（本小题共13分）已知椭圆E :22221x y a b +=(0)a b >>的离心率e =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆E 于点P ．证明：OM OP ⋅为定值（O 为坐标原点）．（Ⅰ）解：因为2c = 所以c = ………………1分因为c e a ==b c ==． ………………3分 因为222a b c =+， 所以24a =． ………………4分所以椭圆方程为22142x y +=． ………………5分 （Ⅱ）方法一：证明：C (－2，0)，D (2，0)，设()()0112,,,M y P x y ，则OP uu u r ＝()11,x y ，OM uuu r＝()02,y ． ………………7分直线CM ：()024y y x =+，即0042y y y x =+． ………………8分代入椭圆方程2224x y +=，得222200011140822y x y x y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，所以()()22001220048281288y y x y y --=-⨯=-++． ………………10分 所以012088y y y =+． 所以OP uu u r ＝()2002200288,88y y y y ⎛⎫- ⎪-⎪++⎝⎭． ………………12分 所以OP uu u r ·OM uuu r ＝()2220002220004884324888y y y y y y -+-+==+++． 即OM uuu r ·OP uu u r为定值． ………………13分方法二：设(,),(2,)P x y M t ，由CP CM λ=uu r uuu r 可得24y t x =+，即42y t x =+. ∵点(,)P x y 在22142x y +=上∴2242(4)y x =-.∴2OM OP x ty ⋅=+u u u r u u u r 242(2)(2)22422y x x x x x x+-=+=+=++.∴OM OP ⋅uuu r uu u r为定值4.方法三：因为直线CM 不在x 轴上，故可设:2CM l x my =-.由221422x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(2)40m y my +-=， ∴222424,22P P m m y x m m -==++，即222244(,)22m mP m m -++．在直线2x my =-中令2x =，则4M y m =，即4(2,)M m． ∴2224816422m OM OP m m -⋅=+=++uuu r uu u r .∴OP OM ⋅uu u r uuu r为定值4.(2018年房山一模) （19）（本小题13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F ()1,0作斜率为()0k k ≠的直线l ，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P，求证：|||MN PF =． （19）（Ⅰ）根据题意22212b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=…………5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(21)4220k x k x k +-+-=由0∆>得k R ∈且0k ≠设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点00(,)Q x y 那么2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+212000222,(1)22121x x k kx y k x k k +-===-=++ 设(,0)P p ，根据题意PQ MN ⊥所以20202121221ky k k x p kp k -+==---+，得2221k p k =+ 所以22221||12121k k PF k k +=-=++||MN =22)21k k +=+|||MN PF = …………14分(2018年顺义一模)20.（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E ，两点()3,01P ，⎪⎭⎫⎝⎛-23,12P 在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆E 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）设直线l 不经过点()3,01P 且与椭圆E 相交于N M ,两点，直线M P 1与直线N P 1的斜率分别为21,k k ，若321-=+k k .求证：直线l 恒过某定点.解：（1）∵椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E ，过点()3,01P ，⎪⎭⎫⎝⎛-23,12P，∴b =分 ∴2191143a +⋅=，解得24,2a a ==，∴1c =-----------3分 因此椭圆E 的方程为22143x y +=，交点坐标为12(1,0),(1,0)F F - -----------5分 （2） ①当直线l 斜率不存在时，设l ：(0)x t t =≠， (,),(,)M M M t y N t y -则12M M y y k k t t-+=+=2t =， 此时直线过椭圆的右顶点，不存在两个交点，所以这种情况不成立 --------------------6分 ②当直线l 斜率存在时，设l：1122((,),(,)y kx m m M x y N x y =+由题意可知，0,k m ≠≠120,0x x ≠≠. 联立方程223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=∴21212228412,(3434km m x x x x m k k-+=-=≠++ .-----------------------9分则121212y y k k x x +=+21212112()()x kx m x kx m x x +++=（2018年朝阳二模）（19）（本小题满分14分）已知椭圆W ：22214x y b +=(0)b >的一个焦点坐标为. （Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =2221b a c =-=.则椭圆W 的方程为2214x y +=.离心率c e a ==…………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，则C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-， 000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-．因为点M 在椭圆W 上，则220014x y +=，所以220044x y =-． 则200014(1)x OE GE y y ⋅=-+-0011y y =--+0=．因此OE GE ⊥．故90OEG ∠=． ……………14分(2018年东城二模) （20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线ABABF的周长为定值．解：（Ⅰ）由题意得221,1,2a b c a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）①当AB 垂直于x 轴时，AB方程为x =2A，2B -，(1,0)F ．1(42AF BF ===．因为AB =所以4AF BF AB ++=． ②当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为m kx y +=． 因为原点O 到直线AB=223(1)m k =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，即222(34)8120k x kmx k +++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k -+=+，21221234k x x k =+．所以12|||AB x x =-====24||||34m k k=+． 因为A ,B 在y 轴右侧，所以0mk <，所以24||34mkAB k =-+．22211221121121(1)(1)3(1)412441(2)2.AF x y x x x x x =-+=-+-=-+=- 所以11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以121||||4()2AF BF x x +=-+221844()423434km kmk k -=-=+++． 所以2244||||||443434km kmAF BF AB k k++=+-=++． 综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4． ………14分(2018年海淀二模) （20）（本小题14分）已知椭圆C ：2222=+y x 的左右顶点分别为1A ，2A . （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长与离心率；（Ⅱ）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线P A 1与Q A 2交于点M ，直线Q A 1与PA 2交于点N .求证：直线MN 垂直于x 轴.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=, …………………1分所以1,1a b c ===. …………………2分所以长轴长为2a =，离心率2c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，……………5分联立可得2121)M k k x k k +=-. …………………6分同理可得4343)N k k x k k +=-. …………………7分下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. …………………10分 同理231.2k k =- …………………11分所以1221211211222())1122N M k k k k x x k k k k --++===----. …………………13分 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+. …………………5分由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. …………………7分直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =，…………………8分x x =，得x =21121221[((((y x y x x y x y x -=+ …………………9分其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x -=+-+1212()()x x m x x ++-+122121224()12()()12kmm x x km x x m x x k-=+-++=+-=+-+…………………11分12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x ++++1212212()()kx x m x x x x =++-221222121222242()12124()12()12m km k m x x k k k x x kx x k--=++-++-=+-+=+-+ …………………12分所以2M kx m-=，即点M 的横坐标与,P Q 两点的坐标无关，只与直线l 的方程有关. …………………13分 所以2N M kx x m-==，直线MN 垂直于x 轴. …………………14分(2018年西城二模). 20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．(2018年丰台二模) （20）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点P 的坐标为(4,3)，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当247MN =时，求直线l 的斜率； （Ⅲ）求证：21k k +为定值．（Ⅰ）解：依题意 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =， …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）解：椭圆得右焦点(1,0)F ．当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，3MN =，不合题意． …………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………7分所以2122834kx xk+=+，21224(3)34kx xk-=+．…………………8分因为247MN==，…………………9分247=，所以2212347kk+=+，所以1k=±．…………………10分（Ⅲ）证明：当直线l的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M，3(1,)2N-，此时123922233k k+=+=．…………………11分当直线l的斜率存在时，设直线l：(1)y k x=-，11(,)M x y，22(,)N x y．此时21211221221121)(416)4)(3()4)(3(4343xxxxxyxyxyxykk++---+--=--+--=+．分子化为21122121)(4)(324yxyxyyxx+++-+-248))(53(22121++++-=kxxkxkx．所以222222222143)3(4438416248438)53(43)3(42kkkkkkkkkkkkk+-++⨯-+++⨯+-+-⨯=+)3(8)43(4)43)(3(2)53(2)3(2222222-+-+++++--⨯=kkkkkkkkk299181822=++=kk．综上所述，12k k+为定值2．…………………14分(2018年昌平二模)19. (本小题14分)已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>的经过点(0,1).（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于,A B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点(0)M m，，求实数m的取值范围.解：（Ⅰ）由题意，得2221b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210kxk x k +-+-=，由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 所以121222(2)12k y y k x x k-+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得210=1122k m k k k<=≤++，当且仅当k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，210=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当k =时“=”成立． 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎢⎣⎦．--------------------14分(2018年房山二模) （19）（本小题14分）椭圆()222210+=>>：x y C a b a b的离心率为12，O 为坐标原点，F 是椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 上一点，且⊥AF x 轴，AFO ∆的面积为34． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点()()000,0≠P x y y 的直线l ：00221x x y y a b +=与直线AF 相交于点M ，与直线4x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MFNF 恒为定值，并求此定值．（19）（Ⅰ）设(,0)F c ，(,)A c d 则22221c d a b+= 又12c a =||d ∴=，因AFO ∆ 的面积为341133||,224c d c b bc ∴===由2222ab c a c bc ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为22143x y += …………5分 （Ⅱ）由(1)知直线l 的方程为00143x x y y += (y 0≠0)，即y ＝001234x x y - (y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝1，所以直线l 与AF 的交点为M 00123(1,)4x y -， 直线l 与直线x ＝4的交点为N 0(4,33)x -，则|MF |2|NF |2＝202002220000123()4(4)331616(1)9()x y x x y x y --=-+-+ 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则2200143x y +=.2200334x y =- 代入上式得|MF |2|NF |2＝2220002222000000(4)(4)(4)1148121632164(816)4(4)4x x x x x x x x x ---====-+-+-+- 所以|MF ||NF |=12，为定值． …………14分(2018年顺义二模)20．（本小题满分13分） 已知椭圆22:143x y G +=的左焦点为F ，左顶点为A ，离心率为e ，点()(),02M t t <-，满足条件FA e AM =． （1）求实数t 的值．（2）设过点F 的直线与椭圆G 交于P ，Q 两点，记M PF 和MQF 的面积分别为1S ，2S ，若12=2S S ，求直线l 的方程．【解析】（1）椭圆22:143x y G +=， ∴2a =，b =1c =， 则12c e a ==， 1FA a c =-=，2AM t =--， ∵12FAe AM ==， ∴22AM t =--=，解得4t =-．（2）若直线l 的斜率不存在，则有12S S =，不符合题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+， 由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得()22224384120k x k x k +++-=， 则2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+， ()()121211y y k x k x +=+++()122k x x k =++228243k k k k -=⨯++ 2643k k =+， ()()121211y y k x k x =+⋅+()212121k x x x x =+++22222412814343k k k k k ⎛⎫--=++ ⎪++⎝⎭ 22943k k -=+， ∵M PF 和MQF 的面积分别为1112S MF y =，2212S MF y =， ∴1112222y S y S y y ==-=， 即122y y =-， ∴122y y y +=-，()221221222y y y y y =-=-+， 则22229624343k k k k -⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭， 整理得28143k =+，解得k =，故直线l 的方程为)1y x =+或)1y x =+．。
2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--压轴小题
为轴旋转 x 弧度，且始终在水平放置的平面
上方 . 如果将四面体 ABCD 在平面 内正投影面积看成关于 x 的函数，
记为 S(x) ，则函数 S( x) 的最小值为
； S( x) 的最小正周期为
．
2/ 4
2
【答案】
;π
4
【昌平二模】
8. 2011 年 7 月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过 必纳税，超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
表示服用第 i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第
二次达到峰值一半时所用的时间 ( 单位： h) ，点 Ai 的纵坐标表示第 i 种药的血药浓度的峰值． （ i 1,2,3 ）
①记 Vi 为服用第 i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则
（ B） 4
（C） 6
（D） 8
（ 14）已知集合 a,b, c 2,3,4 ，且下列三个关系： a 3, b 3, c 4 有且只有一个正确，则函数
2x, x b,
fx
2
的值域是
．
x c a, x b,
(14) 3,
【丰台二模】
（ 8）某游戏开始时，有红色精灵 m 个，蓝色精灵 n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并 成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时， 剩下的精灵的颜色
3/ 4
（ A） 0
（B） 1
（ C） 2
（D） 3
14. 在某艺术团组织的“微视频展示”活动中 , 该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评量”和“专家评分”中至少有一项高于
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2018北京各城区高三二模数学（文）分类汇编--压轴小题
【西城二模】
8．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安
全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
（A ）A
（B ）B
（C ）D
（D ）E
14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪
=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数
()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____
．
【海淀二模】（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+，则函数()F x =()g x ()f x -
A. 有极小值，没有极大值
B. 有极大值，没有极小值
C. 至少有两个极小值和一个极大值
D. 至少有一个极小值和两个极大值
（14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中， （写出所有可能性的序号）
【东城二模】（8）已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题：
① 当(43)x ∈--，时，()0f x ≥； ② ()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；
④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是
（A ）①② （B ）②③
（C ）②④ （D ）③④
（14）血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml ），通常用血药
浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i =） ①记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123,,V V V 中最大的是_________；1V
②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123,,T T T 中最大的是________．3T
【朝阳二模】
8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7
14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．
【昌平二模】
8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款
A. 45元
B. 350元
C. 400元
D. 445元
14．已知函数()22,1
ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪
⎩
‚‚
①当1a =时，函数()f x 极大值是
；
②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ .
【顺义二模】
8. 已知点(1,1)A --.若曲线T 上存在两点,B C ,使ABC !为正三角形,则称T 为“正三角形”曲线.给定下列三条
曲线:
①30(03)x y x +-=≤≤;②222(0)x y x +=≤≤;③1
(0)y x x
=>.
其中，“正三角形”曲线的个数是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
14.
在某艺术团组织的“微视频展示”活动中,该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两个角度来进
行评优.若A 视频的“点赞量”和“专家评分”中至少有一项高于B 视频,则称A 视频不亚于B 视频.已知共有5部微视频展,如果某微视频不亚于其他4部视频,就称此视频为优秀视频.那么在这5部微视频中,最多可能有______个优秀视频. 5 【房山二模】
（8）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，11
,24
AE BF ==．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边
碰撞的次数为
（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8
（14）已知集合{}{}4,3,2,,=c b a ，且下列三个关系：4,3,3≠=≠c b a 有且只有一个正确，则函数
()()2
2,,,,
⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩x x b f x x c a x b 的值域是 ． (14) [)+∞,3 【丰台二模】
（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色
(A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关
(D) 与m ，n 的奇偶性都无关
（14）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥
1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ； ② 线段BM 的长为定值；
③ 存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒． 其中正确的命题是 ．（写出所有．．正确命题的序号） （14）①②
A 1
M
E
D
C
B
A。