最短路径问题复习教案
最短路径问题教案 - 副本
13．4课题学习最短路径问题教案
教者：通山县杨芳中学陈荷叶
•学习内容：最短路径问题
•学习目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；
2、利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；
3、体会图形的变化“复杂问题简单化”在解决最值问题中的作用，
感悟转化思想．
•学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．•学习难点：“复杂问题简单化”解决生活中的数学问题。
•教具准备：多媒体、几何画板、三角尺、圆规
•教学过程：
一、复习并导入
前面我们研究过一些关于“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、“两点的所有连线中，线段最短”、等的问题，我们称它们为最短路径问题，本节课继续研究最短路径问题。
二、新课学习
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
1、直线L异侧有两个点
2、直线L同侧有两个点
3、考考学生：
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的
三、小结。
最短路径问题教案
最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。
2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。
3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。
4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。
二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。
例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。
最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。
常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。
2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。
3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。
4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。
5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
课题学习最短路径问题教案人教版八年级数学上册
13.4课题学习最短路径问题【教学目标】1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.【教学重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．【教学方法】情境学习法、探究实践法.【教学过程】新课导入：创设情境，提出问题：问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：②最短，因为两点之间，线段最短问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为垂线段最短.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.新课讲授：（一）牧人饮马问题问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.动手探究：探究1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.探究2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．②AC +BC= AC +B′C = AB′，② AC′+BC′= AC′+B′C′．在②AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，②AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC最短．例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F 在AD 上，∴BF =CF ，∴BF +EF =CF +EF ，∴连接CE ，线段CE 的长即为BF +EF 的最小值.∵当CE ⊥AB 时，CE 最小，∴当CE ⊥AB 时，BF +EF 的最小值.∵12AB ·CE =12BC ·AD ，∴CE =AD =5， ∴BF +EF 的最小值是5.归纳结论：求线段和的最小值问题:找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.（二）造桥选址问题活动探究：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN .桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？抽象出数学习题思考：N 在直线b 的什么位置时，AM +MN +NB 最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM +NB 最小时，AM +MN +NB 最小.AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N ，点A 移到点A ′，则AA ′ = MN ，AM + NB = A ′N + NB . 这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时， A ′N +NB 最小？如图，连接A ′B 与b 相交于N ，N 点即为所求.试说明桥建在M ′N ′上时，从A 到B 的路径AMNB 增大.（两点之间线段最短）例2：如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A 处到B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？解：作AF ②CD ，且AF =河宽，作BG ②CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′，D ′.作DD ′，EE ′即为桥.理由：由作图法可知，AF //DD ′，AF =DD ′，则四边形AFD ′D 为平行四边形，于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF最小.归纳结论：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂练习：A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如图②，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图②，在②AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．（3）如图②，在②AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．答案：课堂小结：说一说哪些问题是线段最短问题.说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.作业布置：1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）答案：A2.完成本节配套习题.【板书设计】最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.【课后反思】创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.。
最短路径问题中考复习学习教案
第十七页，共24页。
中 学数学复习——最短路径(lùjìng)问题
上次(shànɡ cì)更新: 十月 07, 2021
巩固练习
中 学 数 学 复 习(fùxí)——最 短 路径 问题
最短路径问题
1.已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点， 温温故故而而知知新新一 P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，
P
探拓究展（探二索） 范中例考学链习接 课课堂堂小结结
P●
B
M
C
巩固练习
几何画板
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上次(shànɡ cì)更新: 十月 07, 2021
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随堂练习(liànxí)四
中 学数学复习——最短路径(lùjìng)问题
最短路径问题
2.已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点， 温温故故而而知新知一新 P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，
随温堂故练而习知一新 试确定点P的位置。
温探故究而（知一新）二
D
●
随探堂究练（习二二）
探拓究展（探二索）
PP
A
●
C
范中例考学链习接MN课课堂堂小小结结B
巩固练习
几何画板
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上次更新(gēngxīn): 十月 07, 2021
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中 学 数 学 复 习(fùxí)——最 短 路径 问题
中考(zhōnɡ kǎo)链接
最短路径问题
温温故故而而知知新新 一
2. 如 图 ， 以 矩 形OABC的 顶 点 ， OA所在的直线为x轴 ，OC所 在的 直线为 y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4, OC=2,点 E、 F分 别是边 AB、 BC的中 点， 在 x轴、 y轴 上 是否分 别存在 点N、M，使得四边形MNEF的 周长 最小？ 如果存 在，请 在图中 确定点 M、N的 位置 ，若不 存在， 请说明 理由。
最短路径问题 教案
教学设计基本信息名称最短路径问题教材分析本节课是在学习了轴对称的知识后学习的与实际问题密切相关的最短路径问题，集中体现了利用数学知识解决实际问题，体现了数学知识在实际中的用处。
学情分析八年级学生中等成绩的多，优秀生和学困生较少。
知识与能力目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2.能做出一个图形经轴对称变化后的图形。
3.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。
过程与方法目标通过问题解决培养学生转化问题能力教学目标情感态度与价值观目标数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学重难点难点在实际题目中会运用最短路径问题。
教学策略与设计说明利用教学资源网站，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。
教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线问题3 你能用所学的知识证明′．AB′，三．运用新知练习2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返请画出旅游船的最短路径。
P′，P点关于课堂小结2分钟同学们谈谈这节课运用了哪些数学知识，你们学到了什么？1、利用轴对称解决两点之间最短路径问题2、轴对称知识在生活中的运用布置作业1分钟教科书66页12题。
板书设计利用轴对称解决简单的最短路径问题教学反思我对本节课的讲授结果满意，学生能逐渐由简单到复杂，逐步深入地理解了两点在直线同侧的情况，如何找最短路径。
学生能正确做图，找到要找的点，解决了最短路径问题的作图。
这是本节课的一个目标，学生实现的很好。
在别的关于最短路径问题中，学生大部分能根据轴对称找到最短路径。
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第2课时)》示范教学设计
课题学习最短路径问题（第2课时）教学目标1．利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．2．将实际问题抽象成几何图形的过程中，培养学生用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点利用平移、轴对称解决最短路径的问题．教学难点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．教学过程知识回顾上节课我们研究了两类最短路径问题：1．点A，B在直线l异侧：2．点A，B在直线l同侧：【师生活动】教师提出问题，学生作答．【设计意图】通过复习已研究过的最短路径问题，为引出本节课的课题“造桥选址问题”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）【师生活动】教师提问：1．这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？学生思考并回答：可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？教师提问：2．问题是否可以转化？学生回答：由于河岸宽度是固定的（MN长度固定），当AM＋NB最小时，AM＋MN ＋NB最小．所以问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM +NB最小．教师提问：3．能否通过图形的变化将问题转化为之前研究过的问题呢？教师提示：可以考虑将问题转化为两点在直线异侧，连接A，B两点，与直线的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．根据提示，学生思考并回答：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？教师提问：4．这是我们上节课讲的哪种类型？问题应该怎样解决？学生回答：这是我们研究的两点在直线异侧时求最短路径问题．在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．教师提问：5．试着说一下作图过程．学生独立思考后，尝试画图，寻求符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．教师提问：6．你能试着证明一下吗？师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“两点之间，线段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【归纳】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．【设计意图】通过证明得出新知，让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．二、典例精讲【例题】已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．【师生活动】教师分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．学生根据分析尝试说出作图过程，教师板书．【答案】作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点；（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．课堂小结板书设计一、将军饮马问题（复习）二、造桥选址问题。
中考专题复习―最短路径问题教案
AB L中考专题复习——路径最短问题课题：中考中的最短路径问题教学目标：1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径2、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径 二教学重点与难点重点：1、利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 2、 把立体图形转化平面图形之后确定最短路径 3、构建“对称模型”确定最短路径难点：把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径 三、教学过程知识回顾：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。
利用“垂线段最短”原理确定最短路径 1、平面图形例题1： 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为_____________ 2、立体图形（展开成平面图形）例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB 的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？二、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 1：立体图形（展开成平面图形）例题3：如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
练习（1）已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm ，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A 点爬到B 点觅食， 问它爬过的最短距离应是____________（2） 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 ___________ .2：平面图形（建立“对称模型”）要在街道旁边修建一个奶站,向居民区A,B 提供牛奶,奶站应建 在什么地方,才能使从A,B 到它的距离和最短?ABCDABABBCA图(2)EB D ACP图(3)DBAOCP例题4:如图，正方形的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BD 上一动点．连结AP 、EP ，则AP+EP 的最小值是_______； 。
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最短路径问题（复习教案）
蔡店中学余琴
教学目标：
1.知识技能：利用轴对称、平移解决实际问题中路径最短问题。
2.数学思考：能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
3.问题解决：在与他人合作和交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和
结论。
4.情感态度：通过专项讲解，归纳出方法和规律，消除学生对此类问题的陌
生感和恐惧感，提高学生解决问题的信心和解题能力。
教学重点：利用轴对称、平移作图确定使最距离最短的点
教学难点：数形结合思想和数学建模思想的培养
教学过程：
一、知识回顾：一次对称
1.直线l两侧有A、B两点，现要直线l上找一点P，要使PA+PB的和最小，请确定P的位置。
A
B
B
l
2.直线l同侧有A、B两点，现要直线l上找一点P，要使PA+PB的和最
小，请确定P的位置。
二、随堂练习
1.如图：M,N为∆ABC边AB,BC上的两点，在AC上求作一点P，使∆PMN 周长最短。
A
2.正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值是多少？
三、 合作探究：二次对称
1.如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
B
O
A
分析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ， 连结12PP ，
根据轴对称性易知：O 1P =O 2P =OP=10，∠1P O 2P =2∠AOB=60°， 因而1P 2P =10，
故△PQR 周长的最小值为10．
2. 如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边OA 某一处牧马，再到河边OB 某一处饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点F ， 2.作点D 关于直线 OB 的对称点点E ，
3.连接EF 分别交直线OA ，OB 于点G ，H ，则CG+GH+DH 最短
四、 拓展延伸
在锐角△ABC 中，AB=8，∠BAC=30°，∠BAC 的平分线交BC 于D 点，M 为AD 上的动点。
（1）若N 是AB 上的定点，要使BM+MN 的和最小，此时M 应在何处 （2）若N 是AB 上的动点，则BM+MN 最小值是_________ ．
A
分析 ：过点N 作AD 的垂线交AC 于点E ，因为∠BAC 的平分线交BC 于点D ，所以∠EAD=∠NAD ，故点N 与点E 关于AD 对称。
连接BE ，交AD 于点M ，即点M 为所求。
当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE 取最小值为4，BM+MN 的最小值是4．故填4．
五、 课堂小结
平面图形上不在同一条直线上的最短路径问题，可以通过（ ）变换，将其转换到同一直线上，利用两点之间（ ）最短等知识来解决。
六、 课后探讨
直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上求作两点C 、D ，使得AC 、CD 、DB 的和最小，且CD 的长为定值a ，点D 在点C 的右侧。
l
A B
作法：①将点A 向右平移a 个单位到1A ②作点B 关于直线l 的对称点1B ③连结11A B 交直线L 于点D
④过点A 作AC ∥1A D 交直线L 于点C ，连结BD ， 则线段AC 、CD 、DB 的和最小。
点C 、D 即为所求。