曲线积分与曲面积分1

曲线积分与曲面积分曲线积分1 计算曲线积分⎰+Lds y x )(, 其中L 是x x y --=|1|,20≤≤x .解 曲线参数化.曲线L 是一条折线. 要分段计算. 以x 为参数.⎰+L ds y x )(=)15(21)1(5)21(2110+=-+-+⎰⎰dx x dx x x 2 计算曲线积分⎰++Γds z y x )(222, 其中Γ是曲面x y z 22292++=与x z +=1的交线.解 代入化简被积函数. 曲面x y z 22292++=和x y +=1的交线是一个圆. 坐标原点到平面x z +=1的距离等于||001212+-=, 于是这个圆的半径等于921222-⎛⎝ ⎫⎭⎪=, 周长等于π4. 又因为曲线Γ是曲面x y z 22292++=和x z +=1的交线, 所以Γ上所有点满足球面方程. 代入, 得⎰++Γds z y x )(222=⎰Γds 29=18π3 计算曲线积分||y ds L⎰, 其中L 是双纽线θ2cos 2a r =.解 曲线参数化. 奇偶对称性.选极角为参数. 利用奇偶对称性. 计算在第一象限的部分, 则θ2cos )(22ar r ='+, 代入公式, 得||y ds L ⎰=θθθθπd aa ⎰402cos sin 2cos 4=a )224(- 4 计算曲线积分⎰Γds x 2, 其中Γ是曲面x y z a 2222++=与x y z ++=0的交线.解 轮换对称性. 代入化简被积函数.因为曲线Γ关于平面x y =及x z =都对称, 所以⎰Γds x 2⎰++=Γds z y x )(3122232323a ds a πΓ==⎰ 结论： 设分段光滑曲线)(x y y =关于y 轴对称, 将它从左到右定向记作L . L 1是它的位于右半平面的部分. 又设函数P x y Q x y (,),(,)在L 上连续, 且满足P x y P x y (,)(,)-=,Q x y Q x y (,)(,)-=, 则⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(2L dx y x P , ⎰=Ldy y x Q 0),(.5. 计算曲线积分⎰+--+Lyx dy y x dx y x 22)()(, 其中L 是圆周222a y x =+的正向. 解 曲线参数化.将t a x cos =,t a y sin =代入, 得⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()(ππ220-=-=⎰dt6. 计算曲线积分dx dy x y L++⎰||||, 其中L 是由曲线L y x 122:=-和L y x 222:=-围成的区域的边界的正向.解 曲线参数化. 奇偶对称性.不考虑方向, 曲线L 关于y 轴对称, 被积函数关于变量y 是偶函数, 用奇偶对称性, 有dyx y L ||||+=⎰0. 被积函数关于变量x 是偶函数, 曲线L 1和L 2在右半平面的部分分别记作L 1+和L 2+, 则dx x y L ||||+⎰=21dx x y L ||||++⎰+22dxx y L ||||++⎰两段曲线具有不同的表达式, 需分别计算. 计算在+1L 上的积分时, 以x 为参数; 计算在L 2+上的积分时, 以极角为参数. 代入公式, 得dx dy x y L++⎰||||=22202dx x x +-⎰+⎰+-20sin 2cos 2sin 22πθθθθd =2)234ln(32π-+格林公式1. 计算曲线积分1222-⎛⎝ ⎫⎭⎪+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰y xy x dx x y x y x y x dy L cos sin cos , 其中L 是由曲线x y y 222+=, x y y 224+=, x y y x ==33,围成区域D 的正向边界.解 用格林公式计算.根据格林公式, 有1222-⎛⎝ ⎫⎭⎪+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰y x y x dx x y x y x y x dy L cos sin cos =⎰⎰D xd σ2 用二重积分的换元法. 令u x y y v yx =+=22,, 则区域D 变成uov 平面上的矩形24133≤≤≤≤u v ,. 雅可比行列式J uv v =+2221(), 代入公式, 得2xd D σ⎰⎰=dv uv v uv v du 211222224133++⎰⎰()=1432. 计算曲线积分x y dx y xy x x y dy L2222+++++⎰[ln()], 其中L 是曲线y x =sin 上从点)0,(π到点)0,2(π的弧.解 添加一段弧成闭路, 用格林公式计算.添加x 轴上从点)0,2(π到点)0,(π的直线段, 记它们共同围成的区域为D , 用格林公式, 得x y dx y xy x x y dy L2222+++++⎰[ln()]=σd y x yy x yy D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++22222⎰-ππ2xdx =22394π+3. 计算曲线积分⎰+++-L x yx dy y x dx y e 2233)sin ()(, 其中222:R y x L =+的正向. 解 化简被积函数, 用格林公式计算.因为被积函数在原点没有定义, 不能直接用格林公式. 将曲线方程代入被积函数的分母, 得⎰⎰++-=+++-L x L x dy y x dx y e Ry x dy y x dx y e )sin ()(1)sin ()(3322233 这时可以使用格林公式了. 记222:R y x D =+, 则⎰⎰⎰+=++-DL d y x Rdy y x dx y e R σ)33(1)sin ()(12223322223R π= 4. 设函数f x ()>0有连续的偏导数, 求证: ⎰≥-L dx x f ydy y xf π2)()(, 其中L 是圆周()()x a y a -+-=221的正向.证 用格林公式证明不等式. 用格林公式, 有xf y dy y f x dx L()()-⎰=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+D d x f y f σ)(1)(. 因为区域D 关于直线y x =对称, 用轮换对称性, 有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+D d x f y f σ)(1)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+D d x f x f σ)(1)(πσ22=≥⎰⎰D d5. 求极限⎰++++→Lt dy ny mx dx by ax t )()(1lim20, 其中L 是圆周222t y x =+的正向.解 用格林公式求极限.设L 围成的区域为D , 根据格林公式, 有 ⎰++++→Lt dy ny mx dx by ax t )()(1lim 20⎰⎰-=+→Dt d b m t σ)(1lim2)()(1lim 220b m t b m t t -=-=+→ππ6. 设函数f x ()有连续导数, 则曲线积分f x y xdx ydy L()()22++⎰与路径无关.证 用曲线积分与路径无关的条件.计算可得, ∂∂∂∂P y xyf x y Q x='+=222(), 满足曲线积分与路径无关的条件. 7. 求函数)(x p , 使得曲线积分⎰+++Ly y dy x xe dx y xp e )()]([2与路径无关.解 用曲线积分与路径无关的条件.根据曲线积分与路径无关的条件, 有)(2y p x e x e y y '+=+, 即2)(='y p . 积分, 得C y y p +=2)(.8. 计算曲线积分⎰+-+-L y c x yd ydx c x 2/322])[()(, 其中L 是曲线y b aa x =-22上从点(,)a 0到点(,)0b 的弧(,)00<<<c a b .解 曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.计算可得x Q y c x c x y y P ∂∂∂∂=+---=2/522])[()(3, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 先从点(,)a 0沿直线到点),(b a , 再从点),(b a 沿直线到点(,)0b .⎰+-+-L y c x ydy dx c x 2/322])[()(=⎰+-b y c a ydy 02/322])[(+⎰+--02/322])[()(a b c x dx c x=1122a c c b--+9. 计算曲线积分12y yf xy dx xf xy x y dy AB +⎡⎣⎢⎤⎦⎥+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰()(), 其中函数f x ()有连续导数,点A B 32312,,(,)⎛⎝ ⎫⎭⎪. 解 用条件判定曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.计算可得x Q yxy f xy xy f y P ∂∂∂∂=-'+=21)()(, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 沿曲线2=xy 从点)32,3(A 到点)2,1(B .⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+AB dy y x xy xf dx xy yf y 2)()(1 dx x f x f xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=132)2(2)2(22413-==⎰dx x10. 计算曲线积分xdy ydxx y L -+⎰22, 其中L 是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线.证 用复连通区域的格林公式. 选择比较简单的闭路.积分式在坐标原点无意义, 取0>ε足够小, 使得圆周222:ε=+y x C 在L 的内部. 因为被积函数满足微分方程xQ y P ∂∂=∂∂, 所以在L 与C 之间的区域上的二重积分等于零. 于是在用多连通区域的格林公式时, 相当于换成另一条闭路,xdy ydx x y L -+⎰22=xdy ydx x y C -+⎰22=πθεθεθεπ2sin cos 2022222=+⎰d 11. 验证e ydx ydy x(cos sin )-是某个函数u x y (,)的全微分, 并求出一个这样的函数.解 用全微分的条件. 计算可得xQy e y P x ∂∂∂∂=-=sin , 满足全微分的条件. 选坐标原点为始点, 则 ⎰⎰-=yx xx ydy e dx e y x u 0sin ),(1cos cos 1-=-+-=y e e y e e x x x x验算: 0)0,0(=u .曲面积分结论1.设光滑曲面∑关于xoy 平面对称, 1∑是∑在上半空间的部分. 函数),,(z y x f 在曲面∑上连续, 且满足),,(z y x f -=),,(z y x f , 则⎰⎰⎰⎰=1),,(2),,(∑∑dS z y x f dS z y x f .2.设函数),,(z y x f 在光滑曲面∑上连续, ∑的面积记作A , 则存在点∑ζηξ∈),,(M , 使得⎰⎰∑dS z y x f ),,(=A f ),,(ζηξ.1. 计算曲面积分⎰⎰+∑dS y x)(22, 其中∑是锥面z x y z =+≤221,.解 向坐标平面投影.向xoy 平面的投影区域为D x y :221+≤. 1222++=z z x y . 用计算公式, 得⎰⎰+∑dS y x )(22=()x y dxdy D222+⎰⎰=222012πθπ=⎰⎰rdr r d2. 计算曲面积分()x y z dS ++⎰⎰∑, 其中∑是z x y z =+≤221,.解 奇偶对称性.曲面关于xoz 平面和yoz 平面对称, 因此0)(=+⎰⎰∑dS y x .⎰⎰⎰⎰+++=Ddxdy y x y x zdS 2222441)(∑⎰⎰+=πθ2012341dr r r d )1525(60+=π3. 计算曲面积分⎰⎰++∑dS z y x )32(222, 其中∑是球面2222R z y x =++解 轮换对称性.因为球面2222R z y x =++关于平面x z =和y z =都对称, 所以⎰⎰∑dS x2=⎰⎰∑dS y 2=⎰⎰∑dS z 2于是,⎰⎰++∑dS z y x )32(222=⎰⎰++∑dS z y x )(2222=28R π结论 设光滑有向曲面∑关于yoz 平面对称, 函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在∑上连续, 且),,(),,(z y x P z y x P =-, ),,(),,(z y x Q z y x Q -=-,),,(),,(z y x R z y x R -=-, 则⎰⎰=∑dydz z y x P ),,(⎰⎰=∑dzdx z y x Q ),,(⎰⎰=∑0),,(dxdy z y x R . 4. 计算曲面积分⎰⎰+∑zdxdy dydz x 2, 其中∑是锥面z x yz =+≤221,的下侧.解 向坐标平面投影. 奇偶对称性.曲面∑关于yoz 平面对称, 被积函数2x 关于x 是偶函数, 于是⎰⎰=∑02dydz x .⎰⎰⎰⎰+-=∑D dxdy y x zdxdy 22πθπ3220102-=-=⎰⎰dr r d 5. 计算曲面积分⎰⎰-+-+-∑dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(, 其中∑是圆锥面22y x z +=, h z ≤的下侧.解 轮换对称性.曲面∑关于平面x y =对称, 用轮换对称性, 得⎰⎰-+-+-∑dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(=⎰⎰-+-+-∑dxdy x y dzdy y z dxdz z x )()()(于是⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(=06.计算曲面积分)()1(⎰⎰+++∑dxdy dzdx dydz yz x , 其中∑是柱面y x =2, y ≤1,10≤≤z 的右侧.解 向坐标平面的投影是曲线弧.因为曲面∑在xoy 平面的投影是一条曲线, 所以0)1(=+⎰⎰∑yzdxdy x .曲面∑关于yoz 平面对称, 函数yz 关于x 的是偶函数, 所以0=⎰⎰∑yzdydz ; 函数xyz 关于x 的是奇函数, 所以0=⎰⎰∑xyzdzdx .记1∑是∑在第一卦限的部分, D 1是1∑在yoz 平面上的投影, 2D 是1∑在zox 平面上的投影, 用计算公式, 得)()1(⎰⎰+++∑dxdy dzdx dydz yz x=⎰⎰⎰⎰+1122∑∑yzdzdx xyzdydz ⎰⎰⎰⎰+=2122/322D D zd x zd yσσ=⎰⎰1012/32zdy ydz+⎰⎰10122zdx x dz =1511。