2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级(上)月考数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州市江干区第一学期九年级数学水平测试试卷及详细答案
2019-2020学年江干区第一学期水平测试九年级数学各位同学：1．本试卷满分120分，考试时间为100分钟。
2．答题前，必须在答题纸指定位置填写学校、姓名、座位号和准考证号。
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明。
4．不能使用计算器；考试结束后，上交答题纸。
试题卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ） A.21 B. 103 C. 51 D. 107 2. 如图，直线l 1 // l 2 //l 3，若AB=6，BC=9，EF=6，则DE=（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 3. 已知△ABC ∽△A’B’C’，AB=8，A’B’=6，则''C B BC=（ ） A. 2 B.34 C. 3 D. 916 4. 在平面直角坐标系中，函数)5)(3(-+=x x y 的图象经变换后得到)3)(5(-+=x x y 的图象，则这个变换可以是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠CDB=28°，则∠AOC=（ ） A. 56° B. 118° C. 124° D. 152°6. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式为（ ）A. 7)4(2+-=x yB. 7)4(2++=x yC. 25)4(2--=x yD. 25)4(2-+=x y 7. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x (cm)统计如下： 组别（cm ）160≤x170160≤<x180170≤<x180>x人数1542385根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm 的概率是（ ） A. 0.05 B. 0.38 C. 0.57 D. 0.958. 如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD=AB=5，AD ⊥AB 于点A ，过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点E ，若DE=2，则△ADC 的面积为（ ）A. 24B. 4C.6125 D. 3259. 点A （1，y 1），B （-2，y 2）在函数2)1(2++-=x y 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. 212y y >> B. 122y y >> C. 221>>y y D. 212>>y y 10. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，C 为弧AB 的三等分点（更靠近A 点），点P 是⊙O 上一个动点，取弦AP 的中点D ，则线段CD 的最大值为（ ） A. 2 B.7 C. 32 D. 13+二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 由4m =7n ，可得比例式：nm= 。
[已校验]2019-2020学年杭州市江干区第一学期九年级数学试卷
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2019学年第一学期期末教学质量检测九年级数学一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搜匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．12B．310C．15D．7102．如图，直线l1∥l2//l3，若AB=6，BC=9，EF=6，则DE=（）A．4B．6C．7D．93．已知△ABC∽△A´B´C´，AB=8，A´B´=6，则BCB C''=（）A．2B．43C．3D．1694．在平面直角坐标系中，函数y=（x+3）（x-5）的图象经变换后得到y=（x+5）（x-3）的图象，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠AOC＝（）A．56°B．118°C．124°D．152°6．用配方法将二次函数y =x 2-8x -9化为y=a （x-h ）2+k 的形式为（）A ．y =(x -4)2+7B ．y =(x +4)2+7C ．y =(x -4)2-25D ．y =(x +4)2-257．为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如下：根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm 的概率是（）A ．0.05B ．0.38C ．0.57D ．0.958．在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD=AB =5，AD ⊥AB 于点A ，过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点E ，若DE =2，则△ADC 的面积为（）A ．42B ．4C ．1256D ．2539．点A （1，y 1），B （-2，y 2）在函数y =（x +1）2+2的图象上，则下列结论正确的是（）A ．2>y 1>y 2B ．2>y 2>y 1C ．y 1>y 2>2D ．y 2>y 1>210．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，C 为弧AB 的三等分点（更靠近A 点），点P 是⊙O 上个动点，取弦AP 的中点D ，则线段CD 的最大值为（）A ．2B 7C ．3D 31二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．由4m=7n ，可得比例式：m n=．12．如图，△ABP 是由△ACD 按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP =60°，则在这转过程中，旋转中心是，旋转的角度为．组别（cm ）x ≤160160<x ≤170170<x ≤180x >180人数154238513．如图，让此转盘自由转动两次，两次指针都落在阴影部分区域（边界宽度忽略不记）的概率是．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=70°，则∠EAC的度数为．15．如图，函数y=ax2+bx+c与y=mx+n的图象交于A（-1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2+mx+c>n 的解集是．16．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE=．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17．（本小题6分）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，若CEBC=CDAC=23，AB=8cm，求DE的长．18．（本小题8分）在一个不透明的盒子中，共有三颗白色和一颗黑色围棋棋子，它们除了色之外没有其他区别、随机地从盒子中取出一颗棋子后，不放回再取出第二颗棋子，请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出恰好取出“一白一黑”两颗棋子的概率来．19．（本小题8分）已知一个二次函数y1的图象与x轴的交点为（-2，0），（4，0），形状与二次函数y2=ax2相同，且y1的图象顶点在函数y=2x+b的图象上（a，b为常数），则请用含有a的代数式表示b．20．（本小题10分）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB=2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．21．（本小题10分）如图1，在形ABCD中，AE⊥BD于点E．（1）求证：BE·BC=AE·CD；（2）如图2，若点P是边AD上一点、且PE⊥EC．求证：AE·AB=DE·A P．22．（本小12分）已知，二次函数y=x2+2mx+n（m，n为常数且m≠0）．（1）若n=0，请判断该函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若点A（n+5，n）在该函数图象上，试探索m，n满足的条件；（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图象上，且p<q<r，求m的取值范围．23．（本小题12分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，弧AC=弧BD，点D在弧AB上，连结CO，并延长CD交线段AB于点F，连结OA，OB，且OA=2，∠OBA=30°．（1）求证，∠OBA=∠OCD；（2）当△AOF是直角三角时，求EF的长：=4S△CEF，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由．（3）是否存在点F，使得9S△AOF。
杭州采荷中学教育集团2019学年第一学期阶段质量检测九年级数学(问卷)
杭州采荷中学教育集团2019学年第一学期阶段质量检测九年级数学(问卷)一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)1．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．购买一张彩票，中奖B ．射击运动员射击一次，命中靶心C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是180° 2．已知⊙O 的半径为2，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：D F ＝3：2，BC ＝6，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．54.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝45°，⊙O 的半径为2，则的长等于（ ）．A ．πB ．2πC ．41π D ．21π 5.已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，则AC 的长为（ ）A ．（6﹣2）B ．（2﹣2）C ．（﹣1）D ．（3﹣）6.如图，若G 是△ABC 的重心，若当S △BGC =3cm 2，则S △ABC =（ ）A.6 cm 2B.9cm2C.12cm2D.15cm 27.某同学在用列表描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象时，列出了下面的表格，其中m 为常数，那么当x ＝5时，y 的值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．38.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，DE ：EC ＝2：3，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ．若S △DEF ＝2，则S △ABE ＝（ ）A ．15.5B ．16.5C ．17.5D ．18.59.如图，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 延长线上的一点，D 在⊙O 上（不与点A ，点B 重合），连接PD 交⊙O 于点C ，且PC ＝OB ．设∠P ＝α，∠B ＝β，下列说法正确的是（ ）A ．︒=90α＋βB ．︒=18023βα＋C ．︒=18045βα＋D ．︒=30β－α10.已知二次函数()()a x x a y －－1=（a 为常数，且0≠a ），下列结论一定正确的是（ ）.A.若0＞a ，则a x a＜＜2时，y 随x 的增大而增大B.若0＞a ，则a x a＜＜2时，y 随x 的增大而减小C.若0＜a ，则2ax a ＜＜时，y 随x 的增大而增大D.若0＜a ，则2ax a ＜＜时，y 随x 的增大而减小二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11.已知75=a b ，则aba ＋=_______.12.将二次函数y ＝x 2﹣4x +5化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式为 ．13.如图，点A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，点B 是优弧ABC 的中点，如果∠ABC ＝70°，那∠ADB ＝ ．14.若二次函数bx ax y ＋2=与x 轴的一个交点坐标为（﹣3,0），则该二次函数的对称轴为直线_________.15.如图所示，边长为3厘米的正方形ABCD 与边长为4厘米的正方形CEFG 并排放在一起，以点C 为圆心，CE 长为半径画弧EG.连结AE 、AG ，则线段AE 、AG 与弧EG 所围成阴影部分的面积是_____平方厘米.16.在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝2，点D 在射线AB 上，在构成的图形中，△ACD 为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则CD 的长是 ．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17.（本题满分6分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其 他差别．（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是 ．（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率．18.（本题满分8分）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD ＝8cm ，AE ＝2cm ， （1）求⊙O 的半径； （2）求O 到弦BC 的距离．19.（本题满分8分）如图所示，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，点E 为线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合），分别过点E 、C 作AE 、BC 的垂线，两条垂线相交于点D ． （1）证明：∠AEB ＝∠CDE ；（2）设BE ＝x ，CD ＝y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．20.（本题满分10分）如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开，已知篱笆的总长为90m （篱笆的厚度忽略不计）设AB=x 米，AD=y 米． （1）用含有x 的代数式表示y ；（2）设矩形土地ABCD 面积为S 平方米，当2012≤≤x 时，求S 的取值范围．21.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，AC ＝16，BC ＝20，点D ，E 分别在边AC 、BC 上，AD ＝6，∠B +∠ADE ＝180°，连结AE （1）求证：△EDC ∽△ABC ； （2）求BE 的长；（3）若AB ＝12，求△ABE 的面积．22. （本题满分12分）已知二次函数()12＋－－﹣m m x y =（m 为常数） （1）若二次函数的图象经过点（3，﹣2），求m 的值；（2）若二次函数()12＋－－﹣m m x y =与x 轴有两个不同的交点，求m 的取值范围； （3）点A （1x ，1y ）与点B （2x ，2y ）在函数图象上，若21x x ＜，m x x 221＞＜，试比较1y 和2y 的大小.23.（本题满分12分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝10，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接DE 和DB ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，交BD 于点P ． （1）求证：AD ＝DE ；（2）若CE ＝2，求线段CD 的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE 的面积．。
杭州市采荷中学2019-2020学年初三第一学期10月月考数学试卷(含解析)
杭州市采荷实验中学2019-2020学年第一学期10月月考九年级数学 试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1.函数22-=x y 图象的顶点坐标是（ ）A. （1，-1）B. （1，1）C. （0，-2）D. （0，2）答案：C.2.已知⊙P 的半径为4，若点A 到圆心P 的距离为3，则点A （ ）A. 在⊙P 内B. 在⊙P 上C. 在⊙P 外D. 无法确定答案：A.3.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M.以下结论不正确的是（ ）A. AM=BMB. OM=CMC. 弧AC=弧BCD. 弧AD=弧BD答案：B.4.将二次函数2ax y =的图象向左平移一个单位，得到的函数图象经过点（1，4），则平移后的函数表达式为（ ）A. 2x y =B. 2-x y =C. ()21-x y =D. ()21+=x y 答案：D.5.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若弧BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 50°答案：B.6.如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，当A′B′⊥AC于点D．∠A＝47°，∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（）A. 44°B. 43°C. 42°D. 40°答案：C.7.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是（）A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根答案：C.8.已知二次函数解析式为862+-=x x y ，当1＜x ＜4时，则y 的取值范围是（ ）A. -1≤y ＜3B. -1＜y ＜3C. -1＜y ＜0D. 0＜y ＜3答案：A.9.如图，A 、B 、C 三点在圆上，在△ABC 中，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，D 是弧BAC 的中点，连结DB ，DC ，则∠DBC 的度数为（ ）A. β21-αB. β2α+C. 2β-2α-90D. 2βα+ 答案：D.10.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝6cm ，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以3cm/s 的速度移动，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），则下列图象中，能反映y 与x 之间关系的是（ ）A.B.C.D.答案：B. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．△ABC 三边长为6、8、10，则△ABC 的外接圆半径为_________。
浙江省杭州采荷实验中学2024-2025学年九年级上学期10月份数学月考试题
浙江省杭州采荷实验中学2024-2025学年九年级上学期10月份数学月考试题一、单选题1．抛物线24y x =-的顶点坐标为（ ） A ．()0,4-B ．()4,0-C ．()2,0D ．()2,0-2．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1B ．车辆随机经过一个路口，遇到红灯C ．任意画一个三角形，其内角和是180︒D ．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形3．如图， 四边形ABCD 是O e 的内接四边形， 若3D B ∠=∠ ，则B ∠ 的度数为（ ）A ．30oB ．36oC ．60oD ．45o4．在不透明的口袋中装有2个白球，1个红球，它们除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．第二次摸到红球的概率为（ ） A ．59B ．49C ．13D ．25．若将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（ ）A ．23(2)4y x =+-B ．23(2)4y x =++C ．23(2)4y x =--D ．23(2)4y x =-+6．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）A ．0.78B ．0.79C ．0.8D ．0.857．已知在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，则ABC V 的外接圆直径为（ ） A ．5B ．12C ．13D ．6.58．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是()A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9．如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC ，OC 交于点D ，E ．设∠A =α，∠C =β（ ）A ．若α+β=70°，则»DE 的度数为20°B ．若α+β=70°，则»DE 的度数为40°C ．若α﹣β=70°，则»DE的度数为20° D ．若α﹣β=70°，则»DE的度数为40° 10．已知二次函数()()()1y x a x b a b =---<，且1x ，2x ()12x x <是方程()()10x a x b ---=的两个根，则实数a ，b ，1x ，2x 的大小关系为（ ）A ．12a x b x <<<B ．12a x x b <<<C ．12x a x b <<<D ．12x a b x <<<二、填空题11．已知二次函数图象的顶点坐标是()2,1-，且与抛物线22y x =的形状和开口方向均相同，则这个二次函数的解析式是．12．如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是．13．若点()11,A y -，()22B y ,，()33,C y 在抛物线228y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是．14．如图，正六边形ABCDEF 与正方形AGDH 都内接于O e ，连接BG ，则弦BG 所对圆周角的度数为．15．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是»AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是．16．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，以AB 为直径向外作圆O ，P 是半圆O 上的一个动点，M 是CP 的中点，当点P 沿半圆O 从点A 运动至点B 时，点M 的运动路径长为．三、解答题17．已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣3（a ≠0）的图象经过点（2，0）． (1)求a 的值．(2)求二次函数图象与x 轴的交点坐标．18．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择： 径赛项目：200m ，400m ，800m （分别用1A 、2A 、3A 表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用1B 、2B 表示）(1)该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；(2)该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．19．如图是一个66⨯的正方形网格，格点A ，B ，C 均在¼ABC 上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上）(1)在图1中画出¼ABC 所在圆直径BD ．(2)在图2中作67.5CAE ∠=︒，且点E 在¼ABC 上．20．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB L =，称为跨度，桥面最高点到AB 的距离CD h =称拱高，当L 和h 确定时，有两种设计方案可供选择．①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度32L =米，拱高8h =米．(1)如果设计成抛物线型，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式：(2)如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；21．如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．(1)求证：BCO D ∠=∠；(2)若2CD AE ==，求阴影部分面积．22．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为1C ，把锅盖纵断面的抛物线记为2C ．(1)求1C 和2C 的解析式；(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm ，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm ，高度为3.2dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．23．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，顶点为D ，点B 的坐标为()3,0．(1)填空，点D 的坐标为________，抛物线的解析式为___________；(2)P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P 、使PAC V 是以AC 为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当二次函数2y x bx c =++的自变量x 满足2m x m ≤≤+时，函数y 的最小值为54，求m 的值．24．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数． (2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．。
杭州市采荷实验中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4 2．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12 3．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 4．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x+= 5．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝6050 6．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18 7．当分式2369x x x --+的值为0时，则x 等于（ ） A ．3 B ．0 C ．3± D ．-38．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长D ．线段DF 的长 9．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜010．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==11．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．1或012．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0 二、填空题13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x 步，列出方程_______． 15．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________16．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程260x x a -+=的两个实数根，且221212x x -=，则a =________．17．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．18．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．19．若()22214x y +-=，则22x y +=________．20．已知a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b ，则11a b+＝_____． 三、解答题21．关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=． （1）判断方程根的情况，并说明理由．（2）若1x =是方程的一个根，求k 的值和方程的另一根．22．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．23．解方程：2x²-4x-3=0．24．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 25．如图，在ABC 中，13AB AC ==厘米，10BC =厘米，AD BC ⊥于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD 的长；（2）当PDC △的面积为15平方厘米时，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在射线CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动．是否存在t ，使得112PMD ABC S S =？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．26．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2．D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．3．D解析：D【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、()()224541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．B解析：B【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．D.211x x+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意． 故选B ．【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．5．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B解析：B【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．【详解】解：解方程x 2-9x+18=0，得x 1=3，x 2=6，当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．7．D解析：D【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可．【详解】 依题意得：230690x x x ⎧-⎨-+≠⎩＝，解得x ＝−3．故选：D【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD中，由勾股定理得，BD =∴a ， 解方程2240x ax +-=得x a =±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．9．C解析：C【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭， 解得：a >−2，∵a <0，∴−2<a <0．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键． 10．A解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．A解析：A【分析】由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．【详解】解：∵-1是方程x 2+mx=0的根，∴1-m=0，∴m=1，故答案为：A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键．12．A解析：A【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．二、填空题13．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：2-+=x x3710【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】-+=-(32)(1)83x x x23322830+---+=x x x x2x x-+=3710故答案为：2-+=．3710x x【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．x（16-x）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程【详解】解：矩形的长为x步则宽为（16-x）步∴x（16-x）=60解析：x（16-x）=60【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x ）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程．【详解】解：矩形的长为x 步，则宽为（16-x ）步，∴x （16-x ）=60．故答案为：x （16-x ）=60【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解：∵m 是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根，得21m m +=，代入求值．【详解】解：∵m 是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，即21m m +=，原式()222018220182020m m =++=+=．故答案是：2020．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义． 16．8【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：解方程可得进一步可得结论【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：又∴∴∴解得故答案为：8【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是 解析：8【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：126x x +=，12x x a =，解方程221212x x -=可得122x x -=，进一步可得结论．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：126x x +=，12x x a =，又221212x x -=，∴1212()()12x x x x +-=∴122x x -=，∴22121212()()43644x x x x x x a -=+-=-=解得，8a =，故答案为：8．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 17．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一 解析：3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则：()1+116,x x x ++=()2116,x ∴+=14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =答：每轮传染中平均一个人传染了3人．故答案为：3.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．18．10【分析】设共有x 个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x 个队参加比赛根据题意得：2×x （x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x 个队参加比赛，根据题意得：2×12x （x-1）=90， 整理得：x 2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．19．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．20．【分析】根据一元二次方程根的定义得到ab 是一元二次方程的两根得到a 和b 的和与积再把两根和与两根积求出代入所求的式子中即可求出结果【详解】解：∵a2+1＝3ab2+1＝3b 且a≠b ∴ab 是一元二次方程解析：3【分析】根据一元二次方程根的定义得到a 、b 是一元二次方程的两根，得到a 和b 的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．【详解】解：∵a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b∴a ，b 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根，∴由韦达定理得：a +b ＝3，ab ＝1， ∴113a b a b ab++==． 故答案为：3．【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．三、解答题21．（1）有两个实数根，证明见解析；（2）1k =，2x =【分析】（1）利用根的判别式进行判断根的情况，即可得到答案；（2）把1x =代入方程，即可求出k 的值，然后解一元二次方程，即可得到另一个根．【详解】解：（1）根据题意，在一元二次方程()2220x k x k -++=中， ∵2(2)42k k ∆=+-⨯，244k k =-+，2(2)0k =-，∴对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根．（2）∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根．∴1(2)120k k -+⨯+=，解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，∴原方程的另一根为22x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及根的判别式，牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键．22．（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =，24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．1222,22x x +-== 【分析】 利用公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：2x²-4x-3=0∵ a=2，b=-4，c=-3，∴()()22=b 4442340ac ∆-=--⨯⨯-=＞0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴x ===∴12x x ==． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题关键． 24．（1）123x x ==-； （2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-． （2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．25．（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t 的值为2或 294或 294-，使得S △PMD =112S △ABC ． 【分析】 ①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×12=15即可求出t ； ③根据题意列出PD 、MD 的表达式解方程组，由于M 在D 点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD ⊥BC ，∴BD=CD=5cm ，且∠ADB=90°，∴AD 2=AC 2-CD 2∴AD=12cm ．（2）AP=t ，PD=12-t ，又∵由△PDM 面积为12PD×DC=15， 解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t ，使得S △PMD =112S △ABC ． ①若点M 在线段CD 上，即 0≤t≤52时，PD=12-t ，DM=5-2t ， 由S △PMD =112S △ABC ， 即 12×(12−t)(5−2t)＝5， 2t 2-29t+50=0解得t 1=12.5（舍去），t 2=2．②若点M 在射线DB 上，即52≤t≤12． 由S △PMD =112S △ABC 得 12(12−t)(2t−5)＝5， 2t 2-29t+70=0解得 t 1＝294+，t 2＝294-． 综上，存在t 的值为2或或，使得S △PMD =112S △ABC ． 【点睛】 此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．26．（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵0x >，∴9x x +≥又∵6=， ∴96x x+≥ ∴9x x+的最小值为6； （2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD面积364913x x =+++≥，∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
杭州市采荷实验学校九年级数学上册第二单元《二次函数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．根据下列表格中的对应值： x 1.981.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程0ax bx c ++=（，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ）A ．1.00 1.98x <<B ．1.98 1.99x <<C ．1.99 2.00x <<D ．2.00 2.01x << 4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x = 5．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤< 6．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当-a b 为整数时，ab 的值为( )A ．34或1B ．14或1C ．34或12D ．14或12 7．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．233y x =+B ．231y x =-C ．()2321y x =++D ．()2321y x =-+ 8．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n9．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 10．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图所示，一段抛物线：()233044y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）A ．()2020,3B ．()2020,3-C ．()2022,3D ．()2022,3- 12．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（ ）A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位二、填空题13．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：与x 轴只有一个交点；乙：对称轴是直线x ＝4；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．14．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．15．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．16．抛物线2(3)y a x m =-+与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为__________．17．二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则201220132013A B A △的边长=________．18．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．19．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________．20．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________． 三、解答题21．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：x ﹣2 1 5y m n p的大小关系为 （用“＜”连接）．22．已知二次函数21122y x kx k =++-． （1）求证：不论k 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴总有公共点；（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为()3,0，求B 点坐标．23．已知二次函数2(2)1y x =--，（1）确定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）如图，观察图象确定，x 取什么值时，①y ＞0，②y ＜0，③y ＝0．24．平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）将点C 向右平移n 个单位，再次落在二次函数图象上，求n 的值；（3）对于这个二次函数，若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围．25．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A'B'O．一抛物线经过点A'、B'、B．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C选项错误；当a＜0，c＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A选项错误，D 选项正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．B解析：B【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题；【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 3．D解析：D【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大，当 2.00x =时，0.030y =-<，当 2.01x =时，0.010y =>，∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．4．D解析：D【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案．【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．5．D解析：D【分析】根据判别式的意义得到△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a ，根据二次函数的性质得到a≥-1，从而得到实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．【详解】解∵抛物线22236y x ax a a =-+-+与x 轴没有公共点，∴△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=-22a -=a ，抛物线开口向上， 而当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，∴a≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 6．A解析：A【分析】由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可．【详解】解：∵二次函数()220y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-， ∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<，∴2a b +=，且0,2a a b >-<，∴02,02a b <<<<，∴22a b -<-<，∵-a b 为整数，∴1a b -=或0或-1，若1a b -=时，则有31,22a b ==，从而34ab =； 若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =； 若1a b -=-时，则有13,22a b ==，从而34ab =； 故选A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 7．A解析：A【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．【详解】解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得233y x =+，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 8．A解析：A【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题．【详解】解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =---∴1a =∴该二次函数的抛物线开口向上∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根∴当x m =或x n =时，0y =∵当x p =或x q =时，2y =-∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间．故选：A【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．9．C解析：C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96aEF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝58-．∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．10．C解析：C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．11．D解析：D 【分析】 解方程2334x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可． 【详解】当y ＝0时，2334x x -+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0），∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3， ∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，∴抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022，当x ＝2022时，y ＝34（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．12．C解析：C 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可． 【详解】解：因为()2526y x =-+-．所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2526y x =-+-．故选：C ． 【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．二、填空题13．y ＝（x ﹣4）2或y ＝﹣（x ﹣4）2【分析】根据甲乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（40）再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（03）或（0﹣3）然后利用待定系数法求出抛物线解析式解析：y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【详解】解：∵抛物线与x 轴只有一个交点且对称轴是直线x ＝4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，0）， ∵抛物线与y 轴的交点到原点的距离为3．∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2， 把（0，3）代入得3＝a （0﹣4）2，解得a ＝316，此时抛物线的解析式为y ＝316（x ﹣4）2；把（0，﹣3）代入得﹣3＝a （0﹣4）2，解得a ＝﹣316，此时抛物线的解析式为y ＝﹣316（x ﹣4）2；综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 故答案为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．14．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y 的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c ＞0∴＞0∴＞0 解析：①②④【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为0212x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当0x =和2x =时，y t =， ∴对称轴为0212x +==， ∴当1x =-，3x =时，y 的值相等， ∴0p =，∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确； ∵当0x =时，y t =，且c ＞0， ∴t c =＞0， ∴202p t t +=+＞0，故③错误；∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =， ∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵12bx a=-=， ∴2b a =-＞0，故①正确； ∵当3x =时，0y =，∴930a b c ++=， ∴30a c +=， ∴3c a =-，∴443a c a a a --=-+=-， ∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0， ∴2am bm c a b c ++≤++，∴2am bm a b +≤+， ∴2am bm a +≤-，∴24am bm a c +≤--，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④； 故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键．15．【分析】连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D 根据正方形的性质求得∠BOA=45°OB=根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）代入抛物线即可求解【详解】如图连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D ∵四边形OABC 解析：26-【分析】连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=22，根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（6-,2-）,代入抛物线()20y ax a =<即可求解． 【详解】如图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ， ∵四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴∠BOA=45°，OB=22， ∵AC 与x 轴负半轴的夹角为15°， ∴∠AOD=45°﹣15°=30°， ∴BD=12OB= 2，OD= 22OB BD -= 82-= 6, ∴点B 的坐标为（6-,2-）, ∵点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则：()262a -=-，解得：26a =-， 故答案为26a =- 故答案为：26-．【点睛】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B 的坐标．16．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线的对称轴为此抛物线与x 轴的一个交点为它与x 轴的另一个交点为即则关于x 的一元二次方程 解析：121,5x x ==【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】抛物线2(3)y a x m =-+的对称轴为3x =， 此抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)，∴它与x 轴的另一个交点为(231,0)⨯-，即(5,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为121,5x x ==，故答案为：121,5x x ==． 【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．17．2013【分析】分别过B1B2B3作y 轴的垂线垂足分别为ABC 设A0A1=aA1A2=bA2A3=c 则AB1=aBB2=bCB3=c 再根据所求正三角形的边长分别表示B1B2B3的纵坐标逐步代入抛物线解析：2013 【分析】分别过B 1，B 2，B 3作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设A 0A 1=a ，A 1A 2=b ，A 2A 3=c ，则AB 1，BB 2，CB 3，再根据所求正三角形的边长，分别表示B 1，B 2，B 3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x 2中，求a 、b 、c 的值，得出规律． 【详解】分别过1B ，2B ，3B 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设01A A a =，12A A b =，23A A c =，由勾股定理则1AB ==，2BB =，3CB =，1111312233AA AB a a ==⨯=，则13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 2231233BA BB b b ==⨯=，则23,22b B b a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 33312233CA c c ===，则33,22c B c a b ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 在正011A B A △中，13,2a B ⎫⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得223234a a =⨯，解得1a =，即011A A =，在正122A B A △中，23,12b B ⎫+⎪⎪⎝⎭， 代入223y x =中，得2231234b b +=⨯，解得2b =，即122A A =，在正233A B A △中，33,32c B ⎫+⎪⎪⎝⎭， 代入223y x =中，得2233234c c ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，解得3c =，即233A A =，…，依此类推由此可得201220132013A B A △的边长2013=． 故答案为：2013.【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．18．【分析】先求得对称轴再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标即可求解【详解】抛物线的对称轴由图象得抛物线与轴的一个交点的坐标为(30)∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为(-10)∴元二次解析：11x =-，23x = 【分析】先求得对称轴1x =，再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可求解． 【详解】抛物线的对称轴212ax a-=-=， 由图象得抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0)， ∴元二次方程2230ax ax -+=两根为1213x x =-=，． 故答案为：1213x x =-=，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，理解方程20ax bx c ++=的根就是函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴的交点的横坐标是解题的关键．19．【分析】要求抛物线与x 轴的交点即令y ＝0解方程即可【详解】令y ＝0则x2+2x ﹣3＝0解得x1＝﹣3x2＝1则抛物线y ＝x2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣30）（10）故答案为：（﹣30）（10） 解析：()()3.0,1,0-【分析】要求抛物线与x 轴的交点，即令y ＝0，解方程即可．【详解】令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1．则抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）． 故答案为：（﹣3，0），（1，0）． 【点睛】此题考察二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即为二次函数图像与x 轴交点的横坐标．20．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5 【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根． 【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b=++=4， ∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b=++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-， ∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =， ∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5， 故答案为：x=﹣1或﹣5． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键．三、解答题21．（1）二次函数y ＝ax 2的图象随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y ＝﹣2x 2+c 的图象随着c 的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p ＜m ＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax 2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断． 【详解】解：（1）二次函数y ＝ax 2的图象随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y ＝﹣2x 2+c 的图象随着c 的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变； （2）∵函数y ＝ax 2与函数y ＝﹣2x 2+c 的形状相同， ∴a ＝±2，∵抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位得到y ＝ax 2﹣2，与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合， ∴c ＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y ＝﹣2x 2+c 可知，抛物线开口向下，对称轴为y 轴， ∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0， ∴p ＜m ＜n ， 故答案为：p ＜m ＜n ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 22．（1）见解析；（2）B （1-，0） 【分析】（1）令y=0得到关于x 的一元二次方程，再用k 表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；（2）把A 点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令0y =，可求得方程的解，可得出B 点坐标． 【详解】（1）证明：令0y =可得：211022x kx k ++-=， ∵12a =，b k =，12c k =-， ∵22114422b ac k k ⎛⎫=-=-⨯⨯- ⎪⎝⎭221k k =-+()210k =-≥，∴不论k 为任何实数，方程211022x kx k ++-=， 二次函数21122y x kx k =++-的图象与x 轴总有公共点；（2）解：∵A （3，0）在抛物线21122y x kx k =++-上， ∴21133022k k ⨯++-=，解得1k =-， ∴二次函数的解析式为21322y x x =--， 令0y =，即213022x x --=， 解得3x =或1x =-， ∴B 点坐标为（1-，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键．23．（1）开口方向：向上，对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，-1）；（2）①1x <或3x >时y>0，②13x <<时，y<0；③x=1或x=3时，y=0．【分析】（1）根据顶点式可直接推出抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）令y=0，求出关于x 的方程的解，结合图象即可解答． 【详解】解：（1）由于二次项系数为正数，则抛物线开口向上； 根据顶点式可知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-1）． （2）令y=0，则原式可化为（x-2）2-1=0， 移项得，（x-2）2=1， 开方得，x-2=±1， 解得x 1=1，x 2=3．则与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）． 如图：①当x ＜1或x ＞3时，y ＞0； ②当x=1或x=3时，y=0； ③当1＜x ＜3时，y ＜0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式及正确画出图象，利用数形结合是解题的关键． 24．（1）234y x x =--；（2）3n =；（3）12x >-【分析】（1）把A,B 代入解析式求出b,c ，即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线的对称性即可求得；（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数2+y x bx c =+的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -， ∴164010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩， 解得34b c =-⎧⎨=-⎩， ∴234y x x =--．（2）依题意，点C 的坐标为()0,4-， 该二次函数图象的对称轴为322b x =-=， 设点C 向右平移n 个单位后，所得到的点为D ，由于点D 在抛物线上，∴C ，D 两点关于二次函数的对称轴32x =对称． ∴点D 的坐标为()3,4-．∴3n CD ==．（3）依题意，即当自变量取4x +时的函数值，大于自变量为x 时的函数值． 结合函数图象，由于对称轴为32x =，分为以下三种情况： ①当342x x <+≤时，函数值y 随x 的增大而减小，与题意不符； ② 当342x x <<+时，需使得33422x x -<+-，方可满足题意，联立解得1322x -<<； ③342x x ≤<+时，函数值y 随x 的增大而增大，符合题意，此时32x ≥． 综上所述，自变量x 的取值范围是12x >-． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．25．（1）12；（2）27y -≤< 【分析】（1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．26．（1）22y x x =-++；（2）存在，P （1，2）．【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（−1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可．【详解】解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（−1，0），B′（0，2），∵A′（−1，0），B′（0，2），B （2，0），设抛物线的解析式为：y ＝a （x ＋1）（x−2）将B′（0，2）代入得出：2＝a （0＋1）（0−2），解得：a ＝−1，故抛物线的解析式为y ＝−（x ＋1）（x−2）＝−x 2＋x ＋2；（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0，P 点坐标满足y ＝−x 2＋x ＋2．连接PB ，PO ，PB′，∴S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ， ＝12×1×2＋12×2×x ＋12×2×y ， ＝x ＋（−x 2＋x ＋2）＋1，＝−x 2＋2x ＋3，∵A′O＝1，B′O＝2，∴△A′B′O面积为：1×1×2＝1，2假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4＝−x2＋2x＋3，即x2−2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，此时y＝−12＋1＋2＝2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换−旋转，利用四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍得出等式方程求出x是解题关键．。
浙江省杭州市江干区2019-2020学年九年级(上)期末数学模拟试卷(含答案)
杭州市江干区2019—2020年度第一学期期末考试模拟试题九年级数学（时间90分钟，满分120分）班级姓名学号分数________一、选择题1.下列函数是二次函数的是( ).A. y＝2xB. y=1x+xC. y＝x+5D. y＝(x+1)(x﹣3)2.由5a＝6b(a≠0)，可得比例式( ).A. ab=65B.ab=56C.65ba= D.56ba=3.二次函数y＝﹣2(x﹣1)2+3的最大值是( ).A. ﹣2B. 1C. 3D. ﹣14.学校组织校外实践活动，安排给九年级两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是( ).A. 14B.12C.34D. 15.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝( )A. 70°B. 110°C. 120°D. 140°6.如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是( ).A. AE AFAB BC= B.AE AFAB DF=C.AE FE AB FC=D. AE AF BE BC=7.若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(32-，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为( ). A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y3＜y18.四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是( ). A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁9.已知，如图一张三角形纸片ABC，边AB长为10cm，AB边上的高为15cm，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是( ). A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 10.如图，把边长为4的正方形ABCD绕A点顺时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是( ).A. 12D. 8+二、填空题11.已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝____．12.如图，已知正三角形ABC，分别以A、B、C为圆心，以AB长为半径画弧，得到的图形我们称之为弧三角形．若正三角形ABC的边长为1，则弧三角形的周长为_____．13.如图，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CD⊥AB，G是弧AC上任意一点，连结AG、GD，则∠G＝_____．14.如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点(P不与B重合)，M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为______．15.如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则FCFD的值是____．16.如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则APAB＝_____．三、解答题17.如图，一个人拿着一把长为12cm的刻度尺站在离电线杆20m的地方．他把手臂向前伸直，尺子竖直，尺子两端恰好遮住电线杆，已知臂长约为40m，求电线杆的高度．18.某水果公司以2元千克的成本购进1000千克柑橘，销售人员从柑橘中抽取若干柑橘统计损坏情况，结果如下表：(1)请根据表格中的数据，估计这批柑橘损坏的概率(精确到0.01)；(2)公司希望这批柑橘能够至少获利500元，则毎干克最低定价为多少元？(精确到0.1元)． 19.花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，毎盆的盈利与毎盆的株数构成一种函数关系．每盆植入2株，每株盈利4元，以同样的栽培条件，当株数在2到9株之间时，若每盆增加一株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆盈利达到最大，应该植多少株？ 20.如图，BC 是⊙O 的直径，四边形ABCD 是矩形，AD 交⊙O 于M 、N 两点，AB ＝3，BC ＝12． (1)求MN的长；(2)求阴影部分的面积．21.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以腰AB 为直径作半圆，分别交BC 、AC 于点D 、E ，连结DE ． (1)求证：BD ＝DE ；(2)若AB ＝13，BC ＝10，求CE 的长．22.已知二次函数y ＝(x ﹣m)2﹣(x ﹣m)．(1)判断该二次函数图象与x 轴交点个数，并说明理由； (2)若该二次函数的顶点坐标为(72，n)，求m 、n 的值； (3)若把函数图象向上平移k 个单位，使得对于任意的x 都有y 大于0，求证：k ＞14． 23.如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 边上(不与点B 、C 重合)，连接AE 、BD 交于点G ． (1)若AG ＝BG ，AB ＝4，BD ＝6，求线段DG 的长； (2)设BC ＝kBE ，△BGE面积为S ，△AGD 和四边形CDGE 的面积分别为S 1和S 2，把S 1和S 2分别用k 、S 的代数式表示； (3)求21S S 的最大值．期末数学试卷解析版一、选择题1.下列函数是二次函数的是( ).A. y＝2xB. y=1x+xC. y＝x+5D. y＝(x+1)(x﹣3) 【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；B、y＝1x+x，不是整式，故此选项错误；C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；D、y＝(x+1)(x﹣3)，是二次函数，故此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握函数的定义是解题关键．2.由5a＝6b(a≠0)，可得比例式( ).A. ab=65B.ab=56C.65ba= D.56ba=【答案】A【解析】【分析】逆用比例的基本性质，把5a＝6b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和5做比例的外项，则相乘的另两个数b和6就做比例的内项即可．【详解】解：5a＝6b(a≠0)，那么a：b＝6：5，即a b=65. 故选A．【点睛】考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．3.二次函数y＝﹣2(x﹣1)2+3的最大值是( ).A. ﹣2B. 1C. 3D. ﹣1【答案】C【解析】【分析】直接利用二次函数的最值问题求解．【详解】解：二次函数y＝﹣2(x﹣1)2+3的最大值是3．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值．4.学校组织校外实践活动，安排给九年级两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是( ).A. 14B.12C.34D. 1【答案】B【解析】【分析】画树状图为(用A、B表示两辆车)展示所有4种等可能的结果数，再找出小明和小慧乘同一辆车的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：(用A、B表示两辆车)共有4种等可能的结果数，其中小明和小慧乘同一辆车的结果数为2，所以小明和小慧乘同一辆车的概率＝24＝12．故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．5.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝( )A. 70°B. 110°C. 120°D. 140°【答案】D【解析】【分析】作AB所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：作AB所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6.如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是( ).A. AE AFAB BC= B.AE AFAB DF=C. AE FEAB FC= D.AE AFBE BC=【答案】A【解析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到AE CD =AFDF=EFFC，用AB等量代换CD，得到AECD=AFDF=EFFC；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得AEBE=AFBC，由此可判断A选项中的比例是错误的．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，∴AECD=AFDF=EFFC，而AB=CD，∴AECD=AFDF=EFFC，而AB=CD，∴AEAB=AFDF=EFFC；又∵AF∥BC，∴AEBE=AFBC．故选A．7.若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(32-，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为( ).A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y3＜y1＜y2D. y2＜y3＜y1【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线对称轴，根据题意可知抛物线开口向上，再根据三个点与对称轴距离的大小及抛物线的增减性即可判断纵坐标的大小．【详解】解：抛物线的对称轴是x＝﹣1，开口向上，且与x轴无交点，∴与对称轴距离越近的点对应的纵坐标越小．A、B、C三点与对称轴距离按从小到大顺序是A、C、B，∴y1＜y3＜y2，故选B．【点睛】本题主要考查了抛物线先上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．8.四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是( ). A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【解析】【分析】将甲乙丙丁四人的结论转化为等式和不等式，然后用假设法逐一排除正确的结论，最后得出错误的结论．【详解】解：四人的结论如下：甲：b+2a＝0，且a＜0，b＞0；乙：a﹣b+c＝0；丙：a＜0，且2414ac ba-=-，即：4ac﹣b2＝﹣4a；丁：4a+2b+c＝﹣2．若甲、乙、丁正确，联立，解得：c＝﹣2，a＝23＞0，与甲矛盾，故其中必有一个错误，所以丙是正确的；若甲乙正确，则：c＝﹣3a，b＝﹣2a，代入丙：﹣12a2﹣4a2＝﹣4a，得：a＝14＞0，与甲矛盾，故甲乙中有一个错，所以丁正确；若乙正确，则b＝a+c，代入丙：4ac﹣(a+c) 2＝﹣4a，化简，得：﹣(a﹣c)2＝﹣4a，故a≥0，与丙中a＜0矛盾，故乙错误．因此乙错误．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的特征，熟知二次函数的性质和合理推理是解题的关键．9.已知，如图一张三角形纸片ABC，边AB长为10cm，AB边上的高为15cm，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是( ).A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C【解析】【分析】根据相似的判定与性质每一层的靠上的边的长度，从而判定可放置的正方形的个数及层数．【详解】解：作CF⊥AB于点F，设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E，∵DE∥AB，∴15215DEAB-=，即131015DE=，解得：DE＝263，而2632整数部分是4，∴最下边一排是4个正方形．第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．则15415GHAB-=，解得GH＝223，而2232整数部分是3，∴第二排是3个正方形；同理：第三排是：3个；第四排是2个，第五排是1个，第六排是1个，则正方形的个数是：4+3+3+2+1+1＝14．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质等问题，解题的关键是在掌握所需知识点的同时，要具有综合分析问题、解决问题的能力．10.如图，把边长为4的正方形ABCD绕A点顺时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是( ).A. 12 D. 8+【答案】C【解析】【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝4，∠DAB＝90°，由旋转的性质可得AB＝AB'＝AD＝4，∠BAB'＝30°，由“HL”可证Rt△AOB'≌Rt△AOD，可得DO＝＝B'O，即可求四边形AB′OD3的周长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝4，∠DAB＝90°∵旋转∴AB＝AB'＝AD＝4，∠BAB'＝30°∴∠DAB'＝∠DAB﹣∠BAB'＝60°，∵AD＝AB'，AO＝AO∴Rt△AOB'≌Rt△AOD(HL)∴∠DAO＝∠B'AO＝30°，DO＝B'O，∴AD＝4∴DO B'O∴四边形AB′OD′的周长＝AD+AB'+DO+B'O＝故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．二、填空题11.已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝____．【答案】±6【解析】【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【详解】解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．则 6.b===±故答案为±6．【点睛】本题主要考查了比例线段，关键是根据比例中项的定义解答．12.如图，已知正三角形ABC，分别以A、B、C为圆心，以AB长为半径画弧，得到的图形我们称之为弧三角形．若正三角形ABC的边长为1，则弧三角形的周长为_____．【答案】π【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据弧长公式求出AB的长，计算即可．【详解】解：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴AB＝60π1π, 1803⨯==则弧三角形的周长π3π3=⨯=，故答案为π．【点睛】本题考查的是弧长的计算、等边三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．13.如图，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CD⊥AB，G是弧AC上任意一点，连结AG、GD，则∠G＝_____．【答案】60°【解析】【分析】连接OD，BD，根据含30°的直角三角形的性质和圆周角定理解答即可．【详解】解：连接OD，BD，∵CD⊥AB，E是OB的中点，∴∠OED＝90°，2OE＝OD，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠G＝60°，故答案为60°．【点睛】此题考查圆周角定理，关键是根据含30°的直角三角形的性质和圆周角定理解答．14.如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点(P不与B重合)，M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为______．【答案】y＝﹣25x2+2x(0＜x≤3)【解析】【分析】过点M 作ME ⊥AD ，垂足为点E ，延长EM 交BC 于点F ，由矩形的性质可得出AD ＝BC ＝3，∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，利用勾股定理可求出BD 的长，由ME ⊥AD ，可得出∠DEM ＝∠A ＝90°，结合∠EDM ＝∠ADB ，可得出△DEM ∽△DAB ，利用相似三角形的性质可用含x 的代数式表示出EM ，进而可得出MF 的长，再利用三角形的面积公式即可得出y 关于x 的函数关系式． 【详解】解：过点M 作ME ⊥AD ，垂足为点E ，延长EM 交BC 于点F ，如图所示． ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ＝BC ＝3，∠A ＝90°． 在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝3，∴BD 5．∵ME ⊥AD ，∴∠DEM ＝∠A ＝90°． 又∵∠EDM ＝∠ADB ， ∴△DEM ∽△DAB ，∴,EM DMAB DB= ∴EM ＝AB DM DB ⋅＝45x ，∴MF ＝AB ﹣EM ＝(4﹣45x)，∴y ＝12BP •MF ＝﹣25x 2+2x ．故答案为y ＝﹣25x 2+2x(0＜x≤3)．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、由实际问题抽象出二次函数关系式以及三角形的面积，利用矩形的性质及相似三角形的性质找出MF 是解题的关键．15.如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则FCFD的值是____．【答案】1 2【解析】【分析】观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB＝BE＝6，那么BD＝EC＝2，即可得到EC、AD的长，由此得解．【详解】解：由题意知：AB＝BE＝6，BD＝AD﹣AB＝2，AD＝AB﹣BD＝4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得1,2 CEAD=即DF＝2CF，∴CF：FD＝1：2＝12，即1.2 FCFD=故答案为12．【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握变换的性质是解决问题的关键．16.如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则APAB＝_____．【解析】 【分析】设正六边形ABCDEF 的边长是2，如图连结AE ，根据正六边形的性质求出∠F 的大小，进一步得到∠FEA 的大小，从而证得∠AEP ＝90°，然后求出AE 与EP 的长，根据勾股定理求出AP 的长，最后求出APAB即可. 【详解】设正六边形ABCDEF 的边长是2，如图连结AE ，在正六边形中，∠F=16×（6－2）•180°=120°，∵AF=EF ，∴∠AEF=∠EAF=12（180°－120°）=30°，∴∠AEP=120°－30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2×2＝P 是ED 的中点，∴EP=12×2=1，在Rt △AEP 中，.∴AP AB .【点睛】本题主要考查正多边形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点的综合应用，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题关键.三、解答题17.如图，一个人拿着一把长为12cm 的刻度尺站在离电线杆20m 的地方．他把手臂向前伸直，尺子竖直，尺子两端恰好遮住电线杆，已知臂长约为40m ，求电线杆的高度．【答案】电线杆高度为6m ．【解析】 【分析】先求出△ABC ∽△AEF ，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF 的高．【详解】解：作AN ⊥EF 于N ，交BC 于M ， ∵BC ∥EF ， ∴AM ⊥BC 于M ， ∴△ABC ∽△AEF ， ∴,BC AMEF AN= ∵AM ＝0.4m ，AN ＝20m ，BC ＝0.12m ， ∴EF ＝0.12200.4⨯＝6(m)．答：电线杆的高度为6m ．【点睛】此题主要利用了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比是解题关键．18.某水果公司以2元千克的成本购进1000千克柑橘，销售人员从柑橘中抽取若干柑橘统计损坏情况，结果如下表：(1)请根据表格中的数据，估计这批柑橘损坏的概率(精确到0.01)；(2)公司希望这批柑橘能够至少获利500元，则毎干克最低定价为多少元？(精确到0.1元)．【答案】（1）柑橘的损坏概率为0.10；（2）出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润500元．【解析】【分析】（1）根据表中的损坏的频率，当实验次数增多时，柑橘损坏的频率稳定在0.1左右，所以柑橘的损坏概率为0.10；（2）根据估计的概率可以知道，在1000千克柑橘中完好柑橘的质量为1000×0.9＝900千克，列方程求解即可．【详解】（1）根据题意可得：柑橘的损坏概率为0.10；（2）设每千克柑橘的销售价为x元，则应有900x＝2×1000+500，解得x≈2.8．答：出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润500元．【点睛】此题主要考查了概率的估算，明确当实验次数增多时，频率会越来越稳定是解题关键.19.花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，毎盆的盈利与毎盆的株数构成一种函数关系．每盆植入2株，每株盈利4元，以同样的栽培条件，当株数在2到9株之间时，若每盆增加一株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆盈利达到最大，应该植多少株？【答案】每盆植5株时能使单盆取得最大盈利．【解析】【分析】假设每盆花苗增加a株，则每盆花苗有(a+2)株，得出平均单株盈利为(4﹣0.5a)元，根据总利润＝平均单株盈利×每盆株数，列出函数表达式，根据二次函数性质求解．【详解】解：设每盆花苗(假设原来花盆中有2株)增加a(a为偶数)株，盈利为y元，则根据题意得：y＝(4﹣0.5×a)(a+2)＝﹣12(a﹣3)2+252，∴当a＝3时，y＝12.5，∴每盆植5株时能使单盆取得最大盈利．【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出二次函数表达式是解题关键．20.如图，BC是⊙O的直径，四边形ABCD是矩形，AD交⊙O于M、N两点，AB＝3，BC＝12．(1)求MN的长；(2)求阴影部分的面积．【答案】(1)线段MN的长度为(2)【解析】【分析】(1)作OE⊥AB于E，连接OM，由垂径定理得到ME＝EN＝12MN，根据勾股定理得到ME＝＝，于是得到结论；(2)连接ON，根据三角函数的定义得到∠MOE＝60°，求得∠BOM＝∠CON＝30°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：(1)作OE⊥AB于E，连接OM，则ME＝EN＝12 MN，∵BC＝12，∴OM＝6，在矩形ABCD中，OE⊥AD，∴OE ＝AB ＝3，∵在△OEM 中，∠OEM ＝90°，ME ＝∴线段MN 的长度为(2)连接ON ，在Rt △OME 中，∵cos ∠MOE ＝OE OM ＝12， ∴∠MOE ＝60°，∴∠MON ＝120°，∴∠BOM ＝∠CON ＝30°，∴阴影部分的面积＝2606360π⋅⨯+12【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点，关键是构造直角三角形．21.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以腰AB 为直径作半圆，分别交BC 、AC 于点D 、E ，连结DE ．(1)求证：BD ＝DE ；(2)若AB ＝13，BC ＝10，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)CE ＝5013． 【解析】【分析】(1)连接AD，DE，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，于是得到结论；(2)根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝12BC＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：(1)连接AD，DE，∵AB为半圆的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=DE,∴BD＝DE；(2)∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC＝5，∵∠CDE＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CA CE BC，∴5CE＝1310，∴CE＝50 13．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22.已知二次函数y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)．(1)判断该二次函数图象与x轴交点个数，并说明理由；(2)若该二次函数的顶点坐标为(72，n)，求m、n的值；(3)若把函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y大于0，求证：k＞14．【答案】(1)该二次函数图象与x轴有2个交点；(2)m＝3，n＝﹣14；(3)证明见解析．【解析】【分析】(1)先把解析式整理y＝x2﹣(2m+1)x+m2+m，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断该二次函数图象与x轴交点个数；(2)利用顶点坐标公式得到﹣(21)2m-+＝72，14-＝n，然后解方程即可得到m、n的值；(3)配成顶点式得到抛物线y＝(x﹣212m+)2﹣14的顶点坐标为(212m+，﹣14)，利用平移得到平移k个单位后抛物线的顶点坐标为(212m+，﹣14+k)，利用平移后的抛物线在x轴上方得到﹣14+k＞0，从而得到k的范围．【详解】(1)解：该二次函数图象与x轴有2个交点．理由如下：y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)＝x2﹣(2m+1)x+m2+m，∵△＝(2m+1)2﹣4(m2+m)＝1＞0，∴该二次函数图象与x轴有2个交点；(2)解：∵该二次函数的顶点坐标为(72，n)，∴﹣(21)2m-+＝72，14n-=，∴m＝3，n＝﹣14；(3)证明：y＝x2﹣(2m+1)x+m2+m＝(x﹣212m+)2﹣14，抛物线y＝(x﹣212m+)2﹣14的顶点坐标为(212m+，﹣14)，把抛物线y＝(x﹣212m+)2﹣14向上平移k个单位后顶点坐标为211,24mk++⎛⎫-⎪⎝⎭，∵把函数图象向上平移k 个单位，使得对于任意的x 都有y 大于0，∴平移后的抛物线在x 轴上方， ∴﹣14+k ＞0， ∴k ＞14． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23.如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 边上(不与点B 、C 重合)，连接AE 、BD 交于点G ．(1)若AG ＝BG ，AB ＝4，BD ＝6，求线段DG 的长；(2)设BC ＝kBE ，△BGE 的面积为S ，△AGD 和四边形CDGE 的面积分别为S 1和S 2，把S 1和S 2分别用k 、S 的代数式表示；(3)求21S S 的最大值．【答案】(1)DG ＝103；(2)S 1＝k 2S ；S 2＝(k 2+k ﹣1)S ；(3)21S S 的最大值为54． 【解析】【分析】(1)证明△BAG ∽△BDA ，利用相似比可计算出BG ＝83，从而得到DG 的长； (2)先证明△ADG ∽△EBG ，利用相似三角形的性质得1S S ＝(AD BE )2＝k 2，DG AD BG BE =＝k ，所以S 1＝k 2S ，根据三角形面积公式得到S △ABG ＝1S k ，再利用菱形的性质得到S 2＝S 1+1S k﹣S ＝k 2S+kS ﹣S ＝(k 2+k ﹣1)S ； (3)由于2222211111151,24S k k S k k k k +-⎛⎫==+-=--+ ⎪⎝⎭然后根据二次函数性质解决问题．【详解】解：(1)∵AG ＝BG ，∴∠BAG ＝∠ABG ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴∠BAG ＝∠ADB ，∴△BAG ∽△BDA ， ∴BA BD BG BA =，即46,4BG = ∴BG ＝83， ∴DG ＝BD ﹣BG ＝6﹣83＝103； (2)∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝AD ＝kBE ，AD ∥BC ，∵AD ∥BE ，∴△ADG ∽△EBG ， ∴1S S ＝(AD BE )2＝k 2，DG AD BG BE=＝k ， ∴S 1＝k 2S ， ∵1,S DG k S ABG BG== ∴S △ABG ＝1S k ， ∵△ABD 的面积＝△BDC 的面积，∴S 2＝S 1+1S k﹣S ＝k 2S+kS ﹣S ＝(k 2+k ﹣1)S ； (3)∵2222211111151,24S k k S k k k k +-⎛⎫==+-=--+ ⎪⎝⎭ ∴21S S 的最大值为54． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。
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2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．已知3：x＝6：12，则实数x的值为（）A．4B．6C．12D．242．下列条件可以确定而且只能确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点3．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣34．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm6．如图，圆心角∠AOB＝120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．现有以下命题：①平分弦的直径垂弦，平分弦所对的弧；②等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等；③在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角也相等；④各边都相等的多边形是正多边形．正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知点（﹣1，y1），（3，y2），（，y3）在函数y＝x2+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y29．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C．D．10．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）A．13B．7C．5D．8二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长等于．（结果保留π）12．某公司生产一种新型手杖，其长为1m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为m．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）13．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（计算结果保留π）15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17．已知，求下列算式的值．（1）；（2）．18．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．19．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）求证：BD＝CD；（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．21．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）（1）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（2）已知点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．23．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角等腰三角形时，求此时点D的坐标；（3）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．【解答】解：因为3：x＝6：12，可得：x＝6，故选：B．2．【解答】解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C、直径确定，圆就确定，故符合题意；D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；故选：C．3．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位所得直线的解析式为：y ＝（x+1）2﹣8；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣5）2﹣8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣3．故选：D．4．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．5．【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD＝CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC＝＝120°，∴∠ABD＝×120°＝60°，∴∠BAD＝30°，AD＝AB•cos30°＝2×＝，∴a＝2cm．故选：A．6．【解答】解：设点E是优弧AB（不与A、B重合）上的一点，∵∠AOB＝120°，∴∠AEB＝60°，∴∠BP A＝180°﹣∠AEB＝180°﹣∠BPC，∴∠BPC＝∠AEB＝60°．故选：B．7．【解答】解：：①平分弦（不是）的直径垂直弦，平分弦所对的弧，故原命题错误；②等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，正确；③在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，故原命题错误；④各边都相等、各角也相等的多边形是正多边形，故原命题错误，正确的有②，故选：A．8．【解答】解：∵由函数y＝x2+2x+m可知则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，而点A（﹣1，y1）在对称轴上，（3，y2）、（，y3））在对称轴的右侧，∴y2＞y3＞y1．故选：C．9．【解答】解：如图，连接OD，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝2，即CD的最大值为2，故选：B．10．【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD ＝8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，且CD＝8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：由题意得，R＝6，n＝120°，故可得弧长l＝＝24π．故答案为：24π．12．【解答】解：装饰品离手杖下端的距离＝×1＝，所以装饰品离手杖上端的距离＝1﹣＝（m）．故答案为．13．【解答】解：∵＝，∴∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，∴∠BPC＝∠BCO＝50°，故答案为50°．14．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ADO﹣S扇形ODB＝×2×2﹣××﹣＝﹣，故答案为﹣．15．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故答案为：2．16．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故答案为①②⑤．三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17．【解答】解：（1）∵，∴＝；（2）∵，∴设a＝3k，则b＝2k，∴＝＝＝．18．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．19．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．20．【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB＝BD＝CD∴AE＝EC，∴CD＝CE，∵∠C＝60°，∴△EDC是等边三角形，∵DH⊥EC，CD＝4，∴DH＝CD•sin60°＝2．21．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），∴0＝256a+8，a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣16≤x≤16）；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x＝OE＝16﹣4＝12，EF＝y＝3.5米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH＝D E′＝16﹣4＝12，O F′＝R＝20，在Rt△OH F′中，H F′＝，∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米；圆弧型桥墩高4米．22．【解答】解：（1）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（2）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2．23．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①当t＜1时，即MN在y轴左侧，当点P在第二、三象限时，PC＜PB，故△PBC不可能是直角等腰三角形；②当t＞1时，当点直线MN在对称轴左侧时，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点B作y轴的平行线交EM的延长线于点F，∵∠BMF+∠MBF＝90°，∠MBF+∠CME＝90°，∴∠CME＝∠MBF，MB＝MC，∠MFB＝∠CEM＝90°，∴△MFB≌△CEM（AAS），∴ME＝2t﹣1＝BF＝OE，EC＝MB＝5﹣2t，CO＝CE﹣OE＝5﹣2t﹣（2t﹣1）＝2，解得：t＝1则OM＝2﹣1＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+x+2＝3，故点D（1，3）；当点MN在对称轴右侧时，同理可得：点D（3，2）；综上，点D（1，3）或（3，2）；（3）如图2，∠ACO+∠CAO＝90°，∠AQC+∠OAC＝90°，∴∠ACO＝∠CQA，同理∠CQ′A＝∠ACO，则A、C、Q、Q′四点公圆，且圆心R在x轴上，连接QR、RC，设圆的半径为r，则在△COR中，AO＝1，OR＝r﹣1，CO＝2，MO＝×2﹣1＝，则（r﹣1）2+4＝r2，解得：r＝，在△AQM中，MR＝﹣＝0，故点MR重合，则QM＝Q′M＝r＝，故点Q的坐标为：（，）或（，﹣）．。