2011—2012学年数学人教A版必修1同步教学案：1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射

第一章 集合与函数概念
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射 课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________．
2．映射的概念
设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中____________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的__________．
一、选择题
1．已知，则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价
与住房率有如下关系：
每间房定价 100元 90元 80元 60元
住房率
65% 75% 85% 95% 要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )
A ．100元
B ．90元
C ．80元
D ．60元
4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( )
A ．－2
B ．2或－52
C ．2或－2
D ．2或－2或－52
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )
A ．13立方米
B ．14立方米
C ．18立方米
D ．26立方米
6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )
A ．f ：x →y ＝12x
B ．f ：x →y ＝13
x C ．f ：x →y ＝23
x D ．f ：x →y ＝x 题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知，则f (7)＝____________.
8．设则f {f [f (－34
)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．
9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．
三、解答题
10．已知
， (1)画出f (x )的图象；
(2)求f (x )的定义域和值域．
11．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕周界
运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．
能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}
C．{1} D．∅
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
1．全方位认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；
(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
第一章集合与函数概念
1．2.2函数的表示法
第2课时分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系(2)并集(3)分别作出每一段的图象
2．都有唯一一个映射
作业设计
1．A[∵3<6，
∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]
2．D
3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，
若－2x ＝5，则x ＝－52
，与x >0矛盾，故选A.] 5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.
令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]
6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对
应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83
∉Q ，故选C.]
7．6
解析 ∵7<9，
∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)．
又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6.
即f (7)＝6.
8.32
{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－34
<0， ∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12
. 而0<12
<2， ∴f (12)＝－12×12＝－14
. ∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32
. 因此f {f [f (－34)]}＝32
. 函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．
9．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤1
解析 由图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)
代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1. 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，
则k ＝－1. 10.
解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f (x )的定义域为R .
由图象知，当－1≤x ≤1时，
f (x )＝x 2的值域为[0,1]，
当x >1或x <－1时，f (x )＝1，
所以f (x )的值域为[0,1]．
11．解 当点P 在BC 上运动，
即0≤x ≤4时，y ＝12
×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12
×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，
y ＝12
×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，
24－2x ， 8<x ≤12.
12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.
所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]
13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .
∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，
解得k ＝12 500
. ∴d ＝12 500
v 2S . 当d ＝S 2
时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎨⎧
S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252).。