一类二阶微分方程三点边值问题的正解
一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性
解以及多个正解 的存在性． 抽象空 间中带脉冲的奇异边 值问
题是脉冲微分方程领域 比较新的分支 ， 文献 ［ ． ］ ７ 【 分别讨 论 ］８
了两类奇异脉 冲微分方 程解及正解 的存在性 ． 文献【】 Ｒ １在
ｙｘ ．∈ＣＰＰ， ∈ｃＰＸＥＰ，＝ｘ Ｃ［ＥＸ １ ｔ － ∈ＰＩ ［， Ｉ ［ ，］ ｛∈Ｐ ，］ （ｔ ｋ 】ｋ Ｑ Ｊ ｘ） ＞０ ∈
非线性脉冲微分方程是微分方程的一个 重要分支 ， 文献
【 ， 】 ［， 】１１ １【 及 ６ 【 ， ０针对不 同的方程类型， 】２ 】９ ［ 在不同的空 间中分
Ｐ ［Ｅ＝ｘ －￣， （ ｔ 续 ， ｔｔ左 连 续 右 极 限 ＣＪ Ｉ｛Ｊ－ ｘ Ｉ ＃ｔ连 ， ：－Ｅ ’） 在 在 ＝ｋ
引理 ２ ｘ Ｃ【Ｅ ｎｃ［，】 【 ＥＰ ，］ 。’ 是方 程（） 剖 Ｊ ＪＥ １的正解 当且仅 当 ｘ Ｃ［Ｅ是方程（ 正的不动点． ＥＰ ，］ Ｊ ２ ）
则 Ａ在 Ｐ ｃｎ。 ｎ（ ） 中至少有一个不动点． 考察算子方程 Ａ （＝ （ 中 ｘＩｘ１ ） ） 其
解的存在性 ， ２ Ｂ ｎｃ 间中利用严格集压缩算子 范 文【】 ａａｈ空 在
数形式 的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论 了方程（） １的一种特
Ａ（ Ｇ，（ （ｘ） ＋ Ｉ （＋—ｉ （ｘ ） ｘ： （），）（ｄ ∑［ｘ）（Ｏ（ｋ’ ］ ｔ ） ｔ ｓ ｓ ・ ｓ ｋｔ ｔ ｋｔ ㈨ ｓ ｘ ，ｓ ｆ ） （ｋ ｔ ｘ） ） ，
，
ｓ１ｔ ｃ （７ （ ） ｃｔ － ＋ ｑ－ ￣
１ ｅｑ － ｃ
Ｔ≤ｓ ≤１ ｌ ≤ｔ
记 Ｉ ｂ】 。 ＝ ’ ．
一类二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性
文 章 编 号 ： ０ ８ ０ ７ （ ０ １ ０ — ０ ３ ０ １ ０ — １ １ ２ １ ） ２０ ２ — ８
一
类 二 阶 奇 异 微 分 方 程 边 值 问 题 正 解 的存 在 性 苏 源自恒 ， 志 明 ， 郭 白定 勇
（ 州 大 学 数 学 与信 息科 学 学 院 ， 东 广 州 ５ ０ ０ ） 广 广 １ ０ ６
正 解 。 结 果 推 广 了现 有 文 献 中 的相 关 结 论 。 该
关 键 词 ： 阶 奇 异 微 分 方 程 ； 解 ； 值 问题 ； 界 点 理 论 二 正 边 临 中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ １ 文 献 标 志码 ： Ａ
１ 引 言 及 主 要 结 果
在微分 方 程研究 的诸 多方 向中 ， 值 问题 正解 的存在 性具 有广泛 的应用背 景 和重要 的理论 意义 。 边 例
＋ 。 。１ ８ 。 ９ １年 ， ｅｅｔｃ ｉ Ｌ 运用 打靶 法 在 边 值条 件 （ ） ０和 甜 Ｍ ） Ｂ ｒｓｙｋ 等 ４ ０＝ （ 一０下 ， 研究 二 阶微 分 方 程 ＋（ Ｎ一１ Ｉ＝ｆ ｕ 正解 的存 在性 ， 中 ， ） ｔ （） 其 Ⅳ＞ １ 正整数 。２ ０ 为 ０ ５年 ， ｏ ｈ ｕ ｅ等［改 进 了文 献 Ｅ ］ Ｂ ｎｅｒ ５ ４ 的 方 法 ， 与 文 献 Ｅ － 同的边 值 条 件 下 ， 正 整 数 Ｎ＞ １ 推 广 到任 意 实 数 正 ０ 研 究 了二 阶微 分 方 程 在 ４相 ］ 将 ， ＞ ，
（） １
（） ２
其 中 ， Ｅ（ ， × ，（） 一个 连续 函数 ， ０ 一０ 故 方程 （） ￡ Ｍ Ｏ ＋ｃ ） ｃ￡是 ３ Ｐ（ ） ， １ 在 一０处具 有奇 异性 。 在本 文 中 ， 如下 的基本 假设 ： 作
一类二阶三点非齐次边值问题正解的存在性
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈｓｐ ｐ ｒ ｗ ｕ ｙｔ ｅｅ ｉ ｅ ｃ ｆ ｏｉ ｖ ｏｕｉｎｏ ｅ ｉｄ—ｏ ｄ ｒ ｈｅ ｓ ｒ ｃ ｎｔｉ ａ ｅ ， ｅ ｓ ｄ ｈ ｘｓ ｎ ｅｏ ｐ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｆ ａ ｓｃｎ ｔ ｔ ｉ ｏ ｒｅ ｔｒｅ—ｐ ｉ ｔ ｏ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｏ ｎ － ｏｎ ｎ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｂ ｕ ｄ ｎ ａｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｒ ａ ｗ￣ｅ Ｂ ｓｎ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ， ｅ ｇ ｔａｒ ｓｌ ｏ ｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ｅ ｐ ｓ ｉｅ ｓ ｌｔ ｎ ｕ ｍ． ｙ ｕ ｉｇ Ｓ ｈ ｎ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏｅ ｗ ｅ ｕｔｆ ｔ ｘｓ ｎ ｅｏ ｔ ｏ ｉ ｖ ｏｕｉ ． ｉ ｔ ｅ ｈ ｔ ｆ ｈ ｔ ｏ Ｋｅ ｗ ｒ ｓ Ｂ Ｌ１ａ ｙｖ ｌ ｅ ｐ ｙ ｏ ｄ ｏｕｄ ｒ ａｕ ｗ￣ｅ ｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ ｅ ｉ ｅ ｃ ｆｔｅ ｐ ｓ ｉｅｓ ｌｔ ｎ ｍ ｉ ｄ ｐ ｉｔｔ ｏ ｅ ｘｓ ｎ ｅｏ ｏｉ ｖ ｏｕｉ ｘ ｈ ｔ ｈ ｔ ｏ
１ 引 言
非线性 微 分方程 边 值 问题 的研究 首先 是 由 Ｉ’ Ｉｉ 始的 ， ｕｔ讨 论 了几类 三 点 问题 。后 ｎ开 Ｇｐ ａ
来更多的多点边值 问题引起人们更加普遍的兴趣。刘斌 ［］ １ 讨论了下面的边值问题 ：
（ ） （ ）（ （ ） ＝ （ ＜ｆ ） ｕ（） ０ ｕ １ ＝Ⅱ （ ） ｆ ＋Ⅱ ｆ 厂ｕ ｆ） ｏｏ ＜１， Ｏ ＝ ， （ ） ｕ 叩 （ ．） １１ 其中 ０ ＜１０ ７ ， ＝［，］ Ｅ Ｃ ［ ， ＜ａ ， ＜７ ＜１， ０ １． （０ ＋∞）［ ， ｆ ， ＋∞） ； （ ） （０ １，０ ＋∞）并 ０ ） Ⅱ ｆ ∈Ｃ ［ ，］ ［ ， ）
一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌｆ ｈ ｅｇＵ ｉ ｒｉ Ｎ ｔ ａＳ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｉ ｎ ｎｖ ｓｙ（ ａ ห้องสมุดไป่ตู้ ｅ ｅ ｉｏ ） Ｃ ｆ ｅ ｔ ｕ ｌｃ ｎ Ｅ ｉ
Ｖ０． ． １２６ Ｎｏ ３
且
ａ
（－）Ｏ １ｓ ｆ 一． ， ｋｔ） （ｓ ，＝ （＿） １ ｓ ， （ ｓ （ ｓ， １ ）ｔ ） － －－
０≤ ｔ ｓ － ≤ ＜ ｑ ￣
０≤ｔ ≤１且 ｓ ≤ｓ ≥
≤ ｇ≤ ｔ １ ≤
Ｊ１一 （ｓ 。 ＝０－咖２ｄ＋ —咖】 ＜ 。ｂ （￥ （ｓ ｏ８ ｓ ＋ （ ） ｄ １－ ｓ ＜ ）
１ ５言 Ｉ
为 了证明此定理 ， 我们首先做如下准备 ：
２ 预 备 知 识 和 引 理
非线性常微分方程三点边值问题的研究起源于 Ｃｕ ｔ ｐ ［ ａＪ
此后 ，许 多作 者借 助于 Ｌｒｙ ｓｈｕ ｅ 连续性理论及 ｋａ— ｅａ—ｃａｄ ｒ ｒｓ ｎ ｓｌ ｉ ｓ ｏｅ ｋｉ 不动点理论 （ １【 【 【］ 究 了三点边值 问题． ｓ ’ 见【】 】 】 ） ２３４ 研
（． １） １
ｎ： ｎＫ．
那么 Ａ至少有一个不动点在 Ｋｆ（ ＼Ｑ。． ３ ）
引 理 ２２ （ １［１【０） 设 ０ １ ｌ ． ［ 、 、１】 ７ ９ ＜１ ， ＜ ｄＥＲ 则 对 于 ＶＹ ∈
正解 的存在性． 中 ｅ（，） ｔＯ 其 Ｏ１，ｏ ． ＜ 定义 （， ｅｃ ｏ１×ｃ ０１被称 为边 值问题 （ ．） ｕ ） ￣， ｖ （ ） ２ ，） （ １ 的一 １
Ｍａ ． ０ ０ ｒ２ １
一类二阶微分方程边值问题的正解
ｌ（ ＩＩ ｌ ＋ｌ Ｉ ｘｔ ，Ｉ ｌ Ｉ ） １ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
近年 来 ． 分 方程 边 值 问题 正 解 的存 在 性 问题 微
后 ， ，） 用 尺 是一个 Ｂ ｎ ｃ 间 。 ｅ Ｃ ， ｎ ｃ ， ａａｈ空 ｘＰ Ｒ） ２ Ｒ 叫做 问题 （ ．） ） １１ 的解 ， 满足 （．） 它 １１ 中的所 有等式 。
ｆ１
Ｊ＝ｔ ， ＋考 虑如 下脉 冲积 分边 值 问题 ： ｍ （ ｔ。 ｍ）
（） Ｉｆ，（ ｆ） ０ ｆ ＋． ） （） ＝ ， ｌ （
Ａ Ｘ
＂
（ ）Ｅ ， 是 非负 的 ， 且 （， ， ≥１ 里 Ｈ３ Ｌ 【 １ ｇ ０】 并 ０１ ） 这
ｒ１
ｔ ∈Ｊ
Ｊｇｄｒ Ｊ （ｔ 。（ｔ 。ｔ 。 ｔ）ｔ ｇｄ ｔ， ）
要 条件 为 中诸 函数 ） 及其 导数 ） 都在． 一致 有 ， 上
０ ｄ
（ 卜
（
） ＋
ｒ ）
（ 卜
＋∑ （ ｔｌｕｋ，ｔ以 ｆ ＤＡ（） Ｅ — ｔ）
定 理 １ 设条件 ） （ ３ 立 。如 果下 列条 件 之 ： 一／ ） ／成
一
界 且在 每个Ｊ（＝ ， ， ， ， 上等 度连续 。 ｋ ０ １２ … ｋ
令 ． ０１ ， ＝０ ｔ＜ｏ ＜ ＋ １ ，＝ ｛ ， ， ， ０ ｔ １ｔ ：［ 】 ＜ … ＜ １ ， ｔ ｔ ＝ １２
…
意 子 区间 不恒 为 ０ 。 ２ Ｃ ， 。０且 ｈ ） （ ，】 有界 ＝１２ … ， 。 一。 ， ， ｍ）
，
ｔ｝Ｒ ＝［，－ ， ｔ，＋ ， ０ １ … ， １ ｍ， ｍ ， ０ － ＝（ ｌ Ｋ＝ ， ， ｍ一 ， ４ ∞１ ｋ 】
一类变号二阶三点边值问题正解的存在性
ｒ ＋Ａ ｆ （ ｔ ， Ｍ （ ￡ ） ）＝ ０ ， ０＜ｔ ＜１ ，
另外对于 ［ ０ ， １ ］ 上的任一子区间 ， ｈ （ ｔ ） 不恒为零 ； （ Ｈ ３ ）Ａ Ｓ ｈ （ 叼一 ８ ｔ ） ≥ 一 （ ７ ７ ＋ｔ ） ， ｔ ∈［ ０ ， １一 叼］ ， 其 中 ｈ （ ｔ ）＝ｍ ａ ｘ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， ｈ 一 （ ｔ ） ＝一 ｍ ｉ ｎ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， 且
∈［ ０ ， １ ］ ， ｕ （ ０ ）＝ （ ７ ／ ） ， Ｍ （ １ ）＝ １ ３ ｕ （ 叼） 至少一 个正解的存在性．
关键 词 ： 变号 ； 边值 问题 ； 格 林 函数 ； 正 解 中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． １ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ３ － ０ ９ ７ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ０１ － ６ ５ － ０ ４
（ Ｈ１ ） ＿ 厂 ∈Ｃ （ ［ ０， ＋。 。） ， （ ０， ＋ ） ） ， 且ｊ Ｅ 减； （ Ｈ ２ ）ｈ∈Ｃ （ ［ ０， １ ］ ， Ｒ） 且ｈ （ ｔ ） ＞０ Ｉ ， ｔ ∈［ ０ ， ］ ； （ ｔ ） ≤
０ ， ｔ ∈［ ， １ ］ ．
由 Ⅳ部分不同密度 构成 的金属 支索 丝一致 截 面 的振动 问
信 阳师范学 院学报 ： 自然科 ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘｉ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２ Ａ ｐ ｒ ． ２ ０ １ ３
一类奇异二阶三点边值方程组正解的存在性
ｌ Ｅ Ｑ－Ｎ ｌ ， ａ Ｋ，Ｉ ≤ ｌ １ １ Ａｕ
容易证明： 如果 （） Ａ在 ｃ ｏ １ 中的一个 ｔ是 ［ ，］ 不 动点 ， 么边 值 问题 （ ．） 那 １ １ 有一个 解 （ ， ， 中 “ ）其
Ｉ ， ｎ Ｋ， ｌ ｕＥ ａ “
那 么 Ａ 至少 有一 个不 动点在 Ｋ Ｎ （ ＼ 。 Ｑ ） 引 理 ２２ ． 列边值 问题 设 ａ≠ １则 对 于 ｙＥ ｃ－ ，］下 ， ｌ １， ｏ
研 究 的文 章却 很少 见 。 文献 ［ ］ 究 了一类 二 阶 三 ７研
定 义 （ ）∈ Ｃ（ ，） ０ １ 被称 为边值 ， ０ １ ×ｃ（ ，） 问题 （ ．）的 一 个 正 解 ， 果 （ ， ）满 足 边 值 问 题 １１ 如 Ⅱ秽
（ ．） １ １ 且对于 Ｖ ∈ （ ，）有 （ ）＞ ０ （ ）＞ ０ ０１， ， ｔ 。
２ １ 年 ８月 ０１
廊坊师范学 院学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ａ ｇａｇＴ ａｈｒ Ｃ Ｕｇ （ ａｕｎｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｎ ｆｎ ｅｃｅｓ ｏ ｅｅ Ｎ ｔｒａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｌ ｅ ｉ
Ａｕ ２ ｇ． ０１ｌ
第 １ 卷 第 ４期 １
ｆｔ （， ）≤ Ｐ （ ） １ ， （ ， ）≤ Ｐ （ ） ２ Ｙ ， １ｔ ｑ（ ｇ ｔＹ ） ２ ｔ ｑ （ ）
点边值方程组正解的存在性 。本文主要研究下列奇 异 非线 性 二 阶三点边 值 方程组
卜 Ｍ ＝ 厂 ｔ ） ｔ （ ， ） （ ， ， ∈ ０ １ ｛ 一 ＝ ｇ（ ， ， ∈ （ ， ） ｔ ） ｔ ０ １ （ ．） １ １ “（ ）＝ （ ）＝０ Ｍ １ ０ ０ ， （）＝ 口 （ ） １ （ ） 叩 ， ）＝ （ 叼
一类奇异二阶三点边值问题正解的存在性
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２一ｌ ｌ 一 ２ １
基金项 目： 甘肃省 自然科 学基金项 目 （ ３ Ｚ Ｓ ４ ２一Ｂ ０ ２ ５—０ ２ １ ） ； 甘 肃省教 育厅科研 项 目（ １ ０ １ ３ Ｂ一 ０ ３ ）
作者简 介： 魏
２ ０
嘉（ １ ９ ８ ２ 一） ， 男， 甘 肃靖远 人． 讲 师， 硕士 ， 主要从 事微分方程边值 问题研 究．
一
类奇异 二阶 三点边值 问题正解 的存在性
魏 嘉， 王 静
（ 甘 肃联 合 大 学 师 范 学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要： 运 用锥 上的 Ｇ ｕ ｏ —Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ ’ ｓ不动点定理证明 了奇异二阶 三点边值 问题 一 ＝ Ａ ｈ （ ｔ ） ｔ ， Ｈ ） ， ０
Ｉ
— 一
一 一 ．
方程多点边值问题受到了广泛 的关注 ， 其研究成 果 如文 献 ［ ２— ６ ］ ． 在文 ［ ２］ 中， Ｓ ｕ ｎ和 Ｗｅ ｉ 通 过 运
用 锥上 的拉 伸与 压缩 不动 点定 理证 明了半 正二 阶 三 点边值 问题 ｕ ” ＋Ａ ｆ （ ｔ ， ｕ （ ｔ ） ）＝ ０， ０＜ｔ ＜１ ， ｕ （ ｏ ）
＜ ｔ ＜ １ ， ｕ （ ０ ）＝ｏ ｔ ｕ （ ｒ ／ ） ， “ （ １ ）： （ ）至 少一 个或 两个正解的存； 锥不动点定理 ； 正解
中图 分 类 号 ： ０ １ ７ ５ 文 献 标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ ４— ５ ２ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ ２ ０— ０ ４
魏
嘉， 王
静： 一类奇异二阶 三点边值 问题 正解的存在性
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[收稿日期] 2009-11-07[作者简介] 王彩华(1971-),女,中国人民武装警察部队学院基础部讲师,硕士,研究方向:微分方程与动力系统。
一类二阶微分方程三点边值问题的正解王彩华(中国人民武装警察部队学院,河北廊坊065000)摘 要 主要应用不动点指数方法,在Banach 空间C [0,1]中研究一类二阶微分方程三点边值问题u !(t )+a (t )f (u (h (t )))=0 t ∀(0,1)u #(0)=0, u ( )=u (1),至少一个或两个正解的存在性,其中 ∀(0,1),0< <1。
关键词 三点边值问题;不动点指数;锥;正解Positive Solutions to Singular Three point Boundary Value Problemsof a Class of Second Order Differential EquationsWAN G Cai huaAbstract I n this paper ,by using the fix ed point methed,w e establish the ex istence of at least one or at least two posi tive solutions to the three point boundar y v alue problem for a second order differential equation in Banach C [0,1]u !(t )+a (t )f (u (h (t )))=0 t ∀(0,1)u #(0)=0, u ( )=u (1)Wher e ∀(0,1),0< <1。
Key words thr ee point boundar y value problem;fix ed po int index ;cone;positiv e solution∃中图分类号%O 175.8 ∃文献标识码%A ∃文章编号%1674-3229(2010)01-0010-051 引言在1992年,Gupta 首先研究非线性常微分方程三点边值问题。
由于其在物理方面的重要作用,其后三点边值问题的研究引起了许多学者的关注,见文献[2]、[3]、[4]、[5]。
然而,很少有人用非线性泛函方法研究微分方程的三点边值问题。
本文受文献[6]、[7]的启发,研究下列二阶微分方程u !(t )+a (t )f (u (h (t )))=0 t ∀(0,1)u #(0)=0, u ( )=u (1)(1.1)其中 ∀(0,1),0< <1,f &C ([0,+∋),[0,+∋))。
为了导出边值问题(1.1)一解或多个正解的存在性,我们做如下假设:(H 1)a ∀C ([0,1],[0,+∋))且存在x 0∀[0,1],使得a (x 0)>0。
(H 2)h ∀C ((0,1),(0,1])且满足对t ∀(0,1),t (h (t )(1。
定义 u (t )为边值问题(1.1)的正解是指u (t )满足边值问题(1.1)且对于t ∀(0,1)有u (t )>0。
设f 0&=lim u )0+f (u )u,f ∋&=lim u )∋f (u )u。
r = (1- )1- ,m =11- ∗10(1-s )a (s )d s ,l = 1- ∗1(1-s )a (s )d s 。
本文的主要结果如下:定理1.1 假设(H 1),(H 2)成立,并且存在常数b ,c 满足0<b (min 1m,r 2c 使得,(A 1)对于0(t (1,b (u (br2时,有f (u )+1lb 成立;,10,2010年2月廊坊师范学院学报(自然科学版)F eb.2010第10卷第1期Journal of Langfang T eachers College(N aturnal Science Edition)V ol.10No.1(A2)对于0(t(1,0(u(c时,有f(u)( 1m c成立,那么边值问题(1.1)至少有一个正解。
定理1.2 假设(H1),(H2)成立,如果下列假设(A3)f0=f∋=∋;(A4)存在一个常数>0,使得f(u)<1 m,u∀[0,]成立,那么边值问题(1.1)至少有两个正解u1和u2使得0<u1<<u2。
定理1.3 假设(H1),(H2)成立,如果下列假设(A5)f0=f∋=∋;(A6)存在一个常数1>0,使得f(u)>1l1,u∀[r1,1]成立,那么边值问题(1.1)至少有两个正解u1和u2使得0<u1<1<u2。
2 预备引理定义2.1 设E是一个实Banach空间,P是E 中的一个非空、凸闭集,如果P满足下列性质: (B1)对u∀P,!+0,有!u∀P;(B2)若u,-u∀P,则u=∀(∀是E中的零元素),则P是E中的一个锥。
如果P E是一个锥,我们在P中引出序关系−(.:对于u,v∀P我们记作u(v当且仅当v-u∀P。
定义凸集P r,P r(r>0):P r={y∀P y< r},P r={y∀P y(r}。
引理2.2 设K是Banach空间E中的一个闭凸集且设D是一个有界开集使得D k&=D/K0#。
设T&D k)K是一个紧算子。
假设对于!x∀∃D k,有x0Tx:(D1)(存在性)如果i(T,D k,K)00,那么T 在D k中有一个不动点。
(D2)(正规化)如果u∀D k,那么i(u^,D k,K) =1。
其中对于x∀D k有u^(x)=u。
(D3)(同伦性)设%&[0,1]1D k)K是一个紧算子,使得对于x∀∃D k和t∀[0,1]时有x0%(t,x),那么i(%(0,,),D k,K)=i(%(1,,),D k, K)。
(D4)(可加性)如果u1,u2是D k中不相交且相对开子集,使得对x∀D k\(U12U2)时x0Tx,那么i(T,D k,K)=i(T,U1,K)+i(T,U2,K),其中i(T,U j,K)=i(T\∀U j,U j,K)(j=1,2)。
引理2.3 设K是Banach空间E中的一个锥,对于>0,定义&={x∀K x<}。
假设T&&)K是一个紧映射,使得对x∀∃&时,x 0Tx,(E1)如果对于x∀∃&,x(Tx,那么i(T,&,K)=0;(E2)如果对于x∀∃&,x+Tx,那么i(T,&,K)=1。
引理2.4 设 01,则对于y∀C[0,1],边值问题u!(t)+y(t)=0 t∀(0,1)u#(0)=0, u( )=u(1)(2.1)有唯一解,u(t)=-∗t0(t-s)y(s)d s- 1- ∗ 0( -s)y(s)d s +11- ∗1(1-s)y(s)d s。
引理2.5 设0< <1,如果y∀C[0,1]且y+0,那么问题(2.1)的唯一解u(t)满足u(t)+ 0,t∀(0,1)。
引理2.6 设0< <1,如果y∀C[0,1]且y+0,那么问题(2.1)的唯一解u(t)满足mint∀[0,1]u(t)+r u。
3 定理的证明定义P={u u∀C[0,1],u+0,mint∀[0,1]u(h(t)) +r u},显然,P是一个锥。
定义一个算子T&C[0,1])C[0,1],其中Tu(t)=-∗t0(t-s)a(s)f(u(h(s)))d s-1- ∗( -s)a(s)f(u(h(s)))d s+11- ∗1(1-s)a(s)f(u(h(s)))d s(3.1)由Ascoli Ar z ela定理,容易证明T是全连续的。
由引理2.4可知,u(t)是边值问题(1.1)的解当,11,第10卷,第1期王彩华:一类二阶微分方程三点边值问题的正解2010年2月且仅当u 是如(3.1)所定义的算子方程T u =u 的一个解。
因此由t (h (t )(1,t ∀(0,1),我们得到min t ∀[0,1]u (h (t ))+min t ∀[0,1]u (t )(3.2)由引理2.6,我们得到m in t ∀[0,1]u (h (t ))+min t ∀[0,1]u (t )+r u (3.3)这样,由引理2.5和(3.3)表明T (P ) P 。
定理1.1的证明:如果u ∀ P c ,则u (c ,即0(u (t )(c ,!t ∀[0,1],因此有u (h (t ))(c ,由(A 2)有f (u (h (t )))(1m c 。
另外,由于对t ∀(0,1)有a (t )f (u (h (t )))+0及引理2.4和2.5可知,T u (t )+0。
Tu =max t ∀[0,1]Tu (t )=max t ∀[0,1]Tu (t )=max t ∀[0,1]-∗t(t -s )a (s )f (u (h (t )))d s- 1- ∗0( -s )a (s )f (u (h (t )))d s +11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (t )))d s(max t ∀[0,1]11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (t )))d s=11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (t )))d s (11- ∗10(1-s )a (s )d s 11m c =c 因此,T & P c ) P c 。
另外,由f ∀C ([0,+∋),[0,+∋)),(H 1)及引理2.6,我们得到m in t ∀[0,1]T u (t )+r T u ,!u ∀ P c (3.4)其次,当0(t (1,b (u (t )(b r 2,我们得到:b (u (h (t ))(b r2。
由(A 1)我们有f (u (h (t )))+1lb ,又由于(Tu )!(t )=-a (t )f (u (h (t ))),t ∀[0,1],则对于0< <1,min t ∀[0,1]T u (t )=T u (1),而m in t ∀[0,1]T u (t )=Tu (1)=-∗1(1-s )a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗ 0( -s )a (s )f (u (h (s )))d s +11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (s )))d s= 1- ∗1(1-s )a (s )f (u (h (s )))d s - 1- ∗ 0( -s )a (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗10a (s )f (u (h (s )))d s-1- ∗10sa (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗ 0a (s )f (u (h (s )))d s +1- ∗ 0sa (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗10a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗1 sa (s )f (u (h (s )))d s - 1- ∗ 0a (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗1a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗1sa (s )f (u (h (s )))d s + (1- )1- ∗ 0a (s )f (u (h (s )))d s>1- ∗1a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗1 sa (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗1 (1-s )a (s )f (u (h (s )))d s + 1- ∗1(1-s )a (s )d s 1bl =b 。