(完整word版)算法设计与分析期末考试卷及答案a

一．填空题（每空2分，共30分）1．算法的时间复杂性指算法中 的执行次数。

2．在忽略常数因子的情况下，O 、Ω和Θ三个符号中， 提供了算法运行时间的一个上界。

3．设D n 表示大小为n 的输入集合，t(I)表示输入为I 时算法的运算时间, p(I)表示输入I 出现的概率，则算法的平均情况下时间复杂性A(n)= 。

4．分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程：⎩⎨⎧>+===00n n , g(n)af(n/c)f(n)n n , d )n (f 其中，g(n)表示 。

5. 分治算法的基本步骤包括 。

6．回溯算法的基本思想是 。

7．动态规划和分治法在分解子问题方面的不同点是 。

8．贪心算法中每次做出的贪心选择都是 最优选择。

9．PQ 式的分支限界法中，对于活结点表中的结点，其下界函数值越小，优先级越 。

10．选择排序、插入排序和归并排序算法中， 算法是分治算法。

11．随机算法的一个基本特征是对于同一组输入， 不同的运行可能得到 的结果。

12.对于下面的确定性快速排序算法，只要在步骤3前加入随机化步骤 ，就可得到一个随机化快速排序算法，该随机化步骤的功能是 。

算法 QUICKSORT输入：n 个元素的数组A[1..n]。

输出：按非降序排列的数组A 中的元素。

考生 信 息 栏 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿ 装 订 线1. quicksort(1, n)end QUICKSORT 过程 quicksort(A, low, high) // 对A[low..high]中的元素按非降序排序。

2. if low<high then 3. w=SPLIT(A, low, high) //算法SPLIT 以A[low]为主元将A[low..high]划分成两部 //分，返回主元的新位置。

4. quicksort (A, low, w -1) 5. quicksort (A, w+1, high) 6． end if end quicksort 13．下面算法的基本运算是 运算，该算法的时间复杂性阶为Θ( )。

算法 SPLIT 输入：正整数n ，数组A[1..n]。

输出：…。

i=1 x=A[1] for j=2 to n if A[j]<=x then i=i+1 if i ≠j then A[i]↔A[j] end if end forA[i]↔A[1]w =ireturn w, Aend SPLIT二．计算题和简答题（每小题7分，共21分）1．用O 、Ω、Θ表示函数f 与g 之间阶的关系，并分别指出下列函数中阶最低和最高的函数：(1) f (n)=100 g(n)=100n(2) f(n)=6n+n ⎣⎦n log g(n)=3n(3) f(n)= n/logn -1 g(n)=n 2(4) f(n)=22n n + g(n)=n 3(5) f(n)= n 3log g(n)= n 2log2．下面是一个递归算法，其中，过程pro1和pro2的运算时间分别是1和n log 2。

给出该算法的时间复杂性T(n)满足的递归方程，并求解该递归方程，估计T(n)的阶（用Θ表示）。

算法 EX1输入：正整数n ，n=2k 。

输出：…ex1(n)end EX1过程 ex1(n)if n=1 thenpro1(n)else考 生信 息 栏 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿ 装 订 线 pro2(n) ex1(n/2) end if return end ex1 3．用Floyd 算法求下图每一对顶点之间的最短路径长度，计算矩阵D 0，D 1，D 2和D 3，其中D k [i, j]表示从顶点i 到顶点j 的不经过编号大于k 的顶点的最短路径长度。

三．算法填空题（共34分） 1．（10分）设n 个不同的整数按升序存于数组A[1..n]中，求使得A[i]=i 的下标i 。

下面是求解该问题的分治算法。

算法 SEARCH 输入：正整数n ，存储n 个按升序排列的不同整数的数组A[1..n]。

输出：A[1..n]中使得A[i]=i 的一个下标i ，若不存在，则输出 no solution 。

i=find ( (1) ) if i>0 then output i else output “no solution” end SEARCH 过程 find (low, high) // 求A[low..high] 中使得A[i]=i 的一个下标并返回，若不存在，//则返回0。

if (2) then return 0elsemid=⎣⎦2/)high low (+if (3) then return midelseif A[mid]<mid thenreturn find( (4) )elsereturn (5)end ifend ifend ifend find2．(10分) 下面是求解矩阵链乘问题的动态规划算法。

矩阵链乘问题：给出n 个矩阵M 1, M 2, …, M n , M i 为r i ⨯r i+1阶矩阵，i=1, 2, …, n ，求计算M 1M 2…M n 所需的最少数量乘法次数。

记 M i, j =M i M i+1…M j , i<=j 。

设C[i, j], 1<=i<=j<=n, 表示计算M i, j 的所需的最少数量乘法次数，则⎪⎩⎪⎨⎧<++==+≤<j i , }r r r j] C[k,1]-k ,i [C {min j i , 0j] ,i [C 1j k i jk i 算法 MATCHAIN输入：矩阵链长度n, n 个矩阵的阶r[1..n+1], 其中r[1..n]为n 个矩阵的行数，r[n+1]为第n 个矩阵的列数。

输出：n 个矩阵链乘所需的数量乘法的最少次数。

考 生 信息 栏 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿ 专业 ＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿ 装订线for i=1 to n C[i, i]= （1）for d=1 to n -1for i=1 to n -dj= (2) C[i, j]= ∞ for k=i+1 to j x= (3) if x<C[i, j] then (4) =x end if end for end for end for return (5) end MATCHAIN 3．(14分) 下面是用回溯法求解马的周游问题的算法。

马的周游问题：给出一个nxn 棋盘，已知一个中国象棋马在棋盘上的某个起点位置（x0, y0），求一条访问每个棋盘格点恰好一次，最后回到起点的周游路线。

（设马走日字。

） 算法 HORSETRA VEL 输入：正整数n ，马的起点位置(x0, y0)，1<=x0, y0<=n 。

输出：一条从起点始访问nxn 棋盘每个格点恰好一次，最后回到起点的周游路线；若问题无解，则输出no solution 。

tag[1..n, 1..n]=0 dx[1..8]={2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2} dy[1..8]={1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1} flag=falsex=x0; y=y0 ; tag[x, y]=1m=n*ni=1; k[i]=0while (1) and not flagwhile k[i]<8 and not flagk[i]= (2)x1= x+dx[k[i]]; y1= y+dy[k[i]]if ((x1,y1)无越界and tag[x1, y1]=0) or ((x1,y1)=(x0,y0) and i=m) then x=x1; y=y1tag[x, y]= (3)if i=m then flag=trueelsei= (4)(5)end ifend ifend whilei=i-1(6)(7)end whileif flag then outputroute(k) //输出路径else output “no solution”end HORSETRA VEL《算法设计与分析》期考试卷(A)标准答案 一. 填空题：1. 元运算 考生 信 息 栏 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿ 专业 ＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 装订线四．算法设计题（15分） 1. 一个旅行者要驾车从A 地到B 地，A 、B 两地间距离为s 。

A 、B 两地之间有n 个加油站，已知第i 个加油站离起点A 的距离为i d 公里，0=s d d d n 21≤<<<Λ，车加满油后可行驶m 公里，出发之前汽车油箱为空。

应如何加油使得从A 地到B 地沿途加油次数最少？给出用贪心法求解该最优化问题的贪心选择策略，写出求该最优化问题的最优值和最优解的贪心算法，并分析算法的时间复杂性。

2. O3.∑∈n D I I t I p )()(4. 将规模为n 的问题分解为子问题以及组合相应的子问题的解所需的时间5. 分解，递归，组合6. 在问题的状态空间树上作带剪枝的DFS 搜索（或：DFS+剪枝）7. 前者分解出的子问题有重叠的，而后者分解出的子问题是相互独立（不重叠）的8. 局部9. 高10. 归并排序算法11. 不同12. v=random (low, high); 交换A[low]和A[v]的值随机选主元13. 比较n二. 计算题和简答题：1. 阶的关系：(1) f(n)= O(g(n))(2) f(n)=Ω(g(n))(3) f(n)=Ω(g(n))(4) f(n)= O(g(n))(5) f(n)=Θ(g(n))阶最低的函数是：100阶最高的函数是：n 32. 该递归算法的时间复杂性T(n)满足下列递归方程：⎩⎨⎧>+===1n ,n log T(n/2)T(n)1n , 1T(n)2 将n=k2, a=1, c=2, g(n)=n log 2, d=1代入该类递归方程解的一般形式得： T(n)=1+∑-=1k 0i i 22n log =1+k n log 2-∑-=1k 0i i =1+ k n log 2-2)1k (k -=n log 2122+n log 212+1 所以，T(n)= n log 2122+n log 212+1=)(log 2n Θ。

3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∞=051060320D 0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∞=051050320D 1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∞=05850320D 2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=058503270D 3三. 算法填空题：1. (1) 1, n (2) low>high (3) A[mid]=mid(4) mid+1, high (5) find(low, mid -1)2. (1) 0 (2) i+d (3) C[i, k -1]+C[k, j]+r[i]*r[k]*r[j+1](4) C[i, j] (5) C[1, n]3. (1) i>=1 (2)k[i]+1 (3) 1(4) i+1 (5) k[i]=0 (6) tag[x, y]=0(7) x=x -dx[k[i]]; y=y -dy[k[i]]四. 算法设计题：1. 贪心选择策略：从起点的加油站起每次加满油后不加油行驶尽可能远，直至油箱中的油耗尽前所能到达的最远的油站为止，在该油站再加满油。