-数学-七年级-下册-第八章-二元一次方程组-知识点
6 小时，那么一木筏
题型三、列二元一次方程解决商品问题
4、 在“五一”期间，某超市打折促销，已知
A 商品 7.5 折销售， B 商品 8 折销售，买 20
件 A 商品与 10 件 B 商品， 打折前比打折后多花 460 元，打折后买 10 件 A 商品和 10 件
B 商品共用 1090 元。求 A、 B 商品打折前的价格。
一、知识结构图
实际问题
第八章 二元一次方程组 设未知数，列方程
数学问题 （二元或三元一次方程）
实际问题的答案
解 代入法 方 加减法 程 （消元） 组 检验
数学问题的解 （二元或三元一次方程组的解）
二、基本定义：
1、 二元一次方程的定义： 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是
1，像这样
的方程叫做二元一次方程。
2、 甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，
1 小时
20 分相遇。 相遇后， 拖拉机继续前进， 汽车在相遇处停留 1 小时候后调转车头原速返回， 在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
3、 一轮船从甲地到乙地顺流航行需 4 小时，从乙地到甲地逆流航行需 由甲地漂流到乙地需要多长时间？
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
5、 某城市为了缓解缺水状工期为
200 千米以外的一条大河的水 50 天，甲、乙两队合作了
30 天后，乙队 因另外有任务需要离开 10 天，于是甲队加快速度，每天多修 0.6 千米， 10 天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修 0.4 千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
一次方程组的解。
三、二元一次方程的解法： 1、 代入消元法解二元一次方程组：
（ 1） 基本思路： 未知数又多变少。 （ 2） 消元法的基本方法： 将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （ 3） 代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子
表示出来， 再代入另一个方程， 实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （ 4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如 x）的代数式表示出来，即写成 y=ax+b 的形式， 即“变” 2、 将 y=ax+b 代入到另一个方程中， 消去 y，得到一个关于 x 的一元一次方程， 即 “代”。 3、 解出这个一元一次方程，求出 x 的值，即“解” 。 4、 把求得的 x 值代入 y=ax+b 中求出 y 的值，即“回代” 5、 把 x、 y 的值用｛联立起来即“联” 2、 加减消元法解二元一次方程组 (1) 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做
２、典型例题讲解 题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题
1、 某服装厂生产一批某种款式的秋装， 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只， 贤计划用 132 米这样布料生产这批秋装 （不考虑布料的损耗） ，应分别用多少布料 才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型二、列二元一次方程组解决行程问题
题型五：列二元一次方程组解决增长问题 6、 某中学现有学生 4200 人，计划一年后初中在校学生增加 8%，高中在校学生增加
这样全校在校生将增加 10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？
11%，
加减消元法，简称加减法。
(2) 用加减消元法解二元一次方程组的解
1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那
么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即
“乘”。
2、 把两个方程的两边分别相加或相减， 消去一个未知数、 得到一个一元一次方程，
即“加减”。
2、 二元一次方程组的定义： 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组
成了一个二元一次方程组。
3、 二元一次方程组的解： 一般地， 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，
叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元
3、 解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解” 。
4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，
求出另一个未知数
的值即“回代” 。
5、 把求得的两个未知数的值用 { 联立起来，即“联” 。
四、 列方程（组）解应用题
1、 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“
审、找、列、解、答 ”五步，即：
（ 1） 审 ： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表
示其中的两个未知数；
（ 2） 找 ： 找出能够表示题意两个相等关系； （ 3） 列 ： 根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （ 4） 解 ： 解这个方程组，求出两个未知数的值； （ 5） 答 ： 在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
第8章 《二元一次方程组》知识点及考点典例
第八章《二元一次方程组》知识点及考点典例一、重点知识回顾：1、二元一次方程含有______未知数，并且未知项的最高次数是___的_______方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by+c=0.2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值_____的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值________的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法（1）代入法（2）加减法※6、三元一次方程含有_______未知数，并且含有未知数的项的次数都是_____的_______方程。
※7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有____________的方程组，叫做三元一次方程组。
8、解方程组体现的数学思想：消元二、典例剖析考点一、二元一次方程（组）的概念【例1】在下列方程中，不是二元一次方程的有（）A．x+y=3 B．xy=3 C．x-y=3 D．x=3-y【举一反三】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．+=⎨⎩=⎧3x2y7xy5B．275x yx z+=+=⎧⎨⎩C．342134x yx y+==⎧-⎪⎨⎪⎩D．513222yxx⎧+=⎪⎨⎪+=⎩考点典二、二元一次方程组的解【例2】已知x2y1==⎧⎨⎩是方程组ax by5bx ay1+=+=⎧⎨⎩的解，则a﹣b的值是【】A. 1-B. 2C.3D.4【举一反三】已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为( )A ．4B ．2C ． 2D ． ±2 考点三、解二元一次方程组【例3】解方程组：⎩⎨⎧-=-=+12352y x y x ．【举一反三】解方程组⎩⎨⎧=+=-1032223y x y x考点四、已知方程(组)解的特征，求待定系数【例3】若关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x +3y =6的解，则k 的值是（ ）A 、34-B 、34C 、43D 、43- 【举一反三】已知方程组23352x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩的解x ，y 的和为12，求n 的值.※ 考点五、解三元一次方程组【例5】解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-6123243z y x z y x z y x【举一反三】已知三元一次方程组5231x y y z x z +=+=-+=-⎧⎪⎨⎪⎩．（1）求该方程组的解；（2）若该方程组的解使ax +2y +z ＜0成立，求整数a 的最大值．考点六、二元一次方程（组）的应用【例6】小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y 千克，则可列方程组为（ ）A ．46282x y x y +=⎧⎨=+⎩B ．⎩⎨⎧+==+22864x y y xC ．46282x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．⎩⎨⎧-==+22864x y y x 【举一反三】某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A 型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为62万元．求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少元？《二元一次方程组》检测题一、选择题1.若单项式22a b x y +与413a b x y --是同类项，则a ，b 的值分别为（ ）A ．a =3，b =1B ．a =﹣3，b =1C ．a =3，b =﹣1D ．a =﹣3，b =﹣12.利用加减消元法解方程组2510536x y x y +=⎧⎨-=⎩，①②，下列做法正确的是（ ） A.要消去x ，可以将①×5＋②×2 B.要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)C.要消去x ，可以将①×5＋②×3D.要消去x ，可以将①×(-5)＋②×23.若x 、y 满足方程组3735x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x ﹣y 的值等于（ ）A ． ﹣1B ． 1C ． 2D ． 34.植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）A ．523220x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．522320x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．202352x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．203252x y x y +=⎧⎨+=⎩ 二、填空题5.二元一次方程组7413563x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为6.关于x ，y 的方程组2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是13x y =⎧⎨=⎩，则|m +n |的值是7.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+12,32y x k y x 的解互为相反数，则k 的值是 ． 8.设实数x ，y 满足方程组1x y 431x y 23⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则x y += .9.某地准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天，设甲工程队平均每天疏通河道xm ，乙工程队平均每天疏通河道ym ，则（x ＋y ）的值为 ．三．解答题10. 解方程组⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x ．11.根据要求，解答下列问题.（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):1）2x+y=3⎧⎨⎩x+2y=3，的解为 . 2）2x+3y=10⎧⎨⎩3x+2y=10，的解为 . 3）⎧⎨⎩2x-y=4，-x+2y=4的解为 . （2）以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 .（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.12.已知，两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130 元，问，两件服装的成本各是多少元？13.为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A 、B 、C 三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：如果装运C 种农产品需13辆汽车，那么装运A 、B 两种农产品各需多少辆汽车？14.某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？。
人教版七年级数学下册第八章 二元一次方程组知识点整理汇总及题型分类练习
＝x的方程组直接写出它的解．两者的行程差＝开始时两者相距的路程； ；； (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4．储蓄问题： ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息× (1－利息税率) 。
5．配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 7．和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 8．数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字 9．优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 例：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？举一反三： 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
七年级数学下册第八章二元一次方程组重点知识归纳(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组重点知识归纳单选题1、已知方程组{x +2y =k 2x +y =4的解满足x +y =2，则k 的值为（ ） A ．−2B ．−4C ．2D ．4答案：C分析：将方程组中两方程相加可得3(x +y )=k +4，根据x +y =2可得关于k 的方程，解之可得．{x +2y =k①2x +y =4②①+②得：3(x +y )=k +4∵x +y =2∴k +4=6解得：k =2故选：C ．小提示：本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2、《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌，如果设甲有羊x 只，乙有羊y 只，那么可列方程组（ ）A ．{x +9=2(y −9)y +9=xB ．{x +9=2(y −9)y +9=x −9C ．{x +9=2y y +9=x −9D ．{x +9=2y y +9=x 答案：B分析：根据甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样，可以列出相应的方程组，本题得以解决．解：由题意可得{x +9=2(y −9)y +9＝x −9 ． 故选：B ．小提示：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．3、某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x ，负的场数为y ，则可列方程组为（ ）A ．{x −y =83x −y =12B ．{x +y =183x +y =12C ．{x +y =83x −y =12D ．{x −y =83x +y =12答案：C分析：根据“胜1场得3分，负一场扣1分”以及“菁英中学队在8场比赛中得到12分”列出关于x ，y 的二元一次方程组即可．解：若设该队胜的场数为x ，负的场数为y ，依题意得：{x +y =83x −y =12． 故选C ．小提示：本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系是解答本题的关键．4、若方程组{2x +y =5ax −by =4与{ax +by =8x −y =1 有相同的解，则a ，b 的值为（ ） A ．a =2，b =−3B ．a =3，b =2C ．a =2，b =3D ．a =3，b =−2答案：B分析：两个方程组有相同的解，即有一对x 和y 的值同时满足四个方程，所以可以先求出第一个方程组的解，再把求得的解代入第二个方程组中，得到一个新的关于a 、b 的方程，并解得，求出a 、b ．解：先解{2x +y =5x −y =1， 得{x =2y =1， 把{x =2y =1 代入方程组{ax −by =4ax +by =8，得{2a −b =42a +b =8， 解得{a =3b =2， 故选：B ．小提示：本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是先根据已知方程组求出未知数的值，再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组．5、如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）A ．600cm 2B ．900cm 2C ．1200cm 2D ．1500cm 2答案：B分析：设每块墙砖的长为x cm ，宽为y cm ，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可求出x ，y 的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．解：设每块墙砖的长为x cm ，宽为y cm ，由题意得：{2x −3y =302x −2y =50， 解得：{x =45y =20， ∴xy =45×20=900，∴每块墙砖的截面面积是900cm 2．故选：B小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6、关于x,y 的二元一次方程组的解{3x −4y =5−k 2x −y =2k +3满足x −3y =10+k ，则k 的值是（ ） A ．2B ．−2C ．−3D ．3答案：B分析：将①-②，得x −3y =2−3k ，再根据题意x −3y =10+k ，得10+k =2−3k ，求解即可．解：{3x −4y =5−k①2x −y =2k +3②， ①－②，得x −3y =2−3k ，∵x −3y =10+k ，∴10+k =2−3k ，解得：k =−2，故选：B ．小提示：本题考查二元一次方程组的含参问题，利用方程组进行化简，利用整体思想进行求解是解决问题的关键．7、若实数满足（x+y+2）（x+y ﹣1）=0，则x+y 的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．2或﹣1D ．﹣2或1答案：D解：因为（x +y +2）（x +y ﹣1）=0，所以（x +y +2）=0，或（x +y ﹣1）=0．即x +y =﹣2或x +y =1．故选D ．8、植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）A ．{x +y =852x +3y =35B ．{x +y =853x +2y =35C ．{x +y =352x +3y =85D ．{x +y =353x +2y =85答案：D分析：设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列二元一次方程组即可．解：设男生有x 人，女生有y 人，根据题得，{x +y =353x +2y =85， 故选D ．小提示：本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．9、若方程mx-2y=3x+4是关于x,y 的二元一次方程,则m 的取值范围是( )A ．m≠0B．m≠3C．m≠-3D ．m≠2答案：B分析：首先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求x 、y 的系数均不为0，即m -3≠0解出即可．移项合并，得（m -3）x -2y =4，∵mx -2y =3x +4是关于x 、y 的二元一次方程，∴m -3≠0，得m ≠3．故选B ．小提示：本题主要考查二元一次方程的定义，即一个方程只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程．10、五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）A ．30B ．26C ．24D ．22答案：B分析：设1艘大船与1艘小船分别可载x 人，y 人，根据“1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程组，解出（x +y ）即可．设1艘大船与1艘小船分别可载x 人，y 人，依题意：{x +2y =32①2x +y =46②（①+②）÷3得：x +y =26故选：B ．小提示：本题考查二元一次方程组的实际应用；注意本题解出（x +y ）的结果即可．填空题11、若关于x ，y 的二元一次方程组{3x +2y =22x +y =m −18的解x 、y 互为相反数，则点P(m ，y)在第_______象限． 答案：四分析：根据x 、y 互为相反数得：x +y =0，与方程组的第一个方程组成新的方程组，解出可得x 、y 的值，代入第二个方程可得m 的值．即得出P 点坐标，最后根据坐标系内点的坐标特征即可得出答案．解：由已知得：x +y ＝0，则{x +y =03x +2y =2， 解得：{x =2y =−2， 将{x =2y =−2代入2x +y =m −18，得：2×2−2=m −18， ∴m ＝20．∴P (20，-2)，∴点P 在第四象限．所以答案是：四．小提示：本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质以及坐标系内点的坐标特征．根据题意建立新的方程组是解决问题的关键．12、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ，那么关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9的解为 _____． 答案：{m =52n =−12分析：首先利用整体代值的数学思想可以得到m +n 与m ﹣n 的值，然后解关于m 、n 的方程组即可求解．解：∵关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ， ∴关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9 中{m +n =2m −n =3， ∴解这个关于m 、n 的方程组得：{m =52n =−12． 故答案为{m =52n =−12 ． 小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．13、已知方程组{x +2y =62x +y =21，则x +y 的值为______． 答案：9分析：解方程组，求得x 、y 的值，进而求得答案．解：由方程组{x +2y =62x +y =21，解得{x =12y =−3 ∴x +y =9所以答案是：9．小提示：本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．14、有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．答案：100或85．分析：设所购商品的标价是x 元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．解：设所购商品的标价是x 元，则①所购商品的标价小于90元，x﹣20+x＝150，解得x＝85；②所购商品的标价大于90元，x﹣20+x﹣30＝150，解得x＝100．故所购商品的标价是100或85元．故答案为100或85．小提示：本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．15、请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，五只没处去，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中谈到的鸦为_____只，树为_____棵．答案： 45 10分析：本题涉及两种分配方法，关键是不管怎么分配鸦的总数是不变的，可设树有x棵，即可列方程：4x+5＝5(x﹣1)求解．解：设树有x棵依题意列方程：4x+5＝5(x﹣1)解得：x＝10所以树有10棵，鸦的个数为：10×4+5＝45故答案为45，10小提示：本题是典型的分配问题．不管怎么分配鸦的个数是不变的是解题关键．解答题16、已知关于x、y的方程组{mx−12ny=12mx+ny=5的解为{x=2y=3，求m、n的值．答案：m=1，n=1．分析：把x与y的值代入方程组得出关于m、n的二元一次方程组，求得方程组的解即可．∵关于x 、y 的方程组{mx −12ny =12mx +ny =5的解为{x =2y =3 ， ∴{2m −32n =122m +3n =5， 解得：{m =1n =1． 即m =1，n =1．17、阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代入”的解法如下： 解：将方程②变形：4x +10y +y =5，即2(2x +5y)+y ③；把方程①代入③，得：2×3+y =5，所以y =−1；把y =−1代入①得，x =4，所以方程组的解为{x =4y =−1． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组{3x +2y −2=03x+2y+15−x =−25答案：{x =1y =−12分析：将方程变形为3x +2y =2，再整体代入其他一个方程得到2+15−x =−25，进而得出x 的值，再进一步得到y 的值．将方程①变形为：3x +2y =2③，将方程③整体代入②中，得2+15−x =−25，解得：x =1，将x =1代入③，得3×1+2y =2，解得：y =−12，∴方程组的解是{x =1y =−12．小提示：本题考查用整体代换法解二元一次方程组，理解示例并正确运用时关键．18、已知|x +3|+(2x +y )2=0，求(−|x |y )5的值．答案：−132 分析：根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：由题意得{x +3=02x +y =0 ，{x =−3y =6， 则(−|x |y )5=(−|−3|6)5=−132 小提示：本题考查了非负数的性质和乘方运算、代入消元法解方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键。
8 第八章二元一次方程组复习
③- ④得： y 2
∴原方程组的解是 x 4
y
2
七年级 数学
多媒体课件
方程组
5x 2y 24 ①
ax by 14
和
②
ax by 10 ③ 2x 5y 18 ④
有相同的解，求ａ和ｂ的值．
解：由① ④得 5x 2 y 24① 2x 5 y 18④
35y x 10 40( y 0.5) x
x 220
y
6
2.某中学组织初一学生春游,原计划租用 45座客车若干辆,但有15人没有座位;若 租用同样数量的60座客车,则多出了一辆 车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车 日租金为每辆220元, 60座客车日租金为 每辆300元,试问:(1)初一年级的人数是多 少?原计划租用45座客车多少辆?(2)若租 用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样 租用更合算?
你能列出方程（组）吗？
解：设牛x头，羊y只，依题意得：
5x 2 y 24 2x 5y 18
你会用两种方法解吗？ (1)代入法; (2)加减法.
七年级 数学
多媒体课件
5x 2 y 24 ① 2x 5y 18 ②
解：由① 得： y 12 5 x ③
2
2.二元一次方程的解: 使二元一次方程两边的值相等的两个未知 数的值,叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组: 由两个一次方程组成,共有两个未知数的方 程组,叫做二元一次方程组.
四、知识应用
1.二元一次方程 2m+3n=11 ( C ) A.任何一对有理数都是它的解. B.只有两组解. C.只有两组正整数解. D.有负整数解. m=1，n=3； m=4，n=1.
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第八章8-2二元一次方程(组)的解法Ⅰ-代入法(能力提升)
第八章二元一次方程（组）8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升）【要点梳理】知识点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组例1．用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得732yx-=③将③代入②733382yy-⨯-=，解得13y=．将13y=代入③，得x＝3所以原方程组的解为313 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组2320, 2352y9.7x yx y--=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【答案】解：232235297x yx yy-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②将①代入②：2529 7y++=，得 y=4，将y=4代入①：2x－12=2得 x=7，∴原方程组的解是74 xy=⎧⎨=⎩.（2）45:4:3x yx y-=⎧⎨=⎩①②解：由②，设x=4k，y=3k 代入①：4k－4·3k=5 4k－12k=5－8k=558k=-∴542x k==-，1538y k==-，∴原方程组的解为52158 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.类型二、方程组解的应用例3.如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．例4.已知2564x yax by+=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b+的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组256 3516①x yx y+=-⎧⎨-=⎩③①+③得5x＝10，解得x＝2．把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以22 xy=⎧⎨=-⎩，又联立方程组48ax bybx ay-=-⎧⎨+=-⎩，则有224228a ba b+=-⎧⎨-+=-⎩，解得13 ab=⎧⎨=-⎩．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【巩固练习】一、选择题1．解方程组347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（ ）.A ．由①得743n m +=再代入②B ．由②得25109n m +=再代入① C ．由①得347m n =+再代入② D ．由②得91025m n =-再代入①2. 若二元一次方程式组的解为x=a ，y=b ，则a+b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x ，y 的方程y kx b =+，k 比b 大1，且当12x =时，12y =-，则k ，b 的值分别是（ ）.A ．13，23- B ．2，1 C ．-2，1 D ．-1，0 4．已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ＝ax+b 的解，则（ ）.A ．125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C ．121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩D ．121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5．如果二元一次方程组4x y a x y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a 的值是（ ）.A ．3B ．2C ．7D ．66．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩二、填空题7．已知51,62x t y t =+=-，用含y 的式子表示x ，其结果是_______．8．若方程组的解为，则点P （a ，b ）在第 象限．9．方程组的解是 ． 10．若532y x a b +与2244x y a b --是同类项，则x ＝ ________，y ＝ ________．11．已知方程组3524x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解也是方程 47135x y x by -=⎧⎨-=⎩的解，则a ＝ _____，b ＝ ____ ． 12.关于,x y 的二元一次方程组1353x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩中，m 与方程组的解中的x y 或相等，则m 的值为 .三、解答题13．用代入法解方程组：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩ （2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩14．研究下列方程组的解的个数：（1）21243x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）2123x y x y -=⎧⎨-=⎩； （3）21242x y x y -=⎧⎨-=⎩.你发现了什么规律？15．若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）．16.甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c，解得，求原方程组中a、b、c的值．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；2.【答案】A．【解析】把x=a，y=b代入方程组得：，将b=15a 代入5a-b=5,解得：，∴a+b=. 3. 【答案】A ；【解析】将12x =时，12y =-代入y kx b =+得1122k b -=+ ①，再由k 比b 大1得1k b -= ②，①②联立解得13k =，23b =-. 4. 【答案】B ；【解析】将24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩分别代入方程y ＝ax+b 得二元一次方程组：2441a b a b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,32a b =-=. 5. 【答案】B ；【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得. 6. 【答案】D.二、填空题7. 【答案】151x y =-+；8.【答案】四.【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3， 则P （2，﹣3）在第四象限．9.【答案】；【解析】解：解方程组， 由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2（2﹣2y ）+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．10．【答案】2， -1；【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案.11.【答案】3， 1；【解析】由题意得：35471x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，代入 2435ax y x by -=⎧⎨-=⎩，得关于a 、b 的方程组22465a b -=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩12. 【答案】12-2或； 【解析】解：解关于x，y 的方程组得21x y m =⎧⎨=--⎩，当x m =时，2m =；当y m =时，12m =-. 三、解答题13.【解析】解：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩①②将②代入①得，0.50.30.6 1.2y y +-=，得94y =， 将94y =代入①得，38x =-， 所以原方程组的解是3894x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ .（2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩①② 把3x+2y 看作整体，直接将①代入②得，2(52)117x x +=+，解得3x =-， 将3x =-代入①得，2y =-所以原方程组的解是32x y =-⎧⎨=-⎩． 14.【解析】解：（1）无解；（2）唯一一组解；（3）无数组解.规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）；当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）；当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）.15.【答案】解：将代入得，解得：．∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），∴当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2×=6．16.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=﹣5，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1．把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组，解得．故a=，b=，c=﹣5．。
人教版七年级数学下册知识点总结(第八章-二元一次方程组)
第八章 二元一次方程组一、知识网络结构二、知识要点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。
使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。
使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。
5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。
七年级数学下册《第八章二元一次方程组》知识点归纳
第八章二元一次方程组是七年级下册数学的章节之一，主要介绍了二元一次方程组的相关知识。
本章内容比较重要，是学习方程组的基础，也是解决实际问题的基础。
以下是对该章节重要知识点的归纳：一、二元一次方程及方程组：1. 二元一次方程：二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，形式一般为ax+by=c。
其中，a、b、c为已知数，a和b不全为零。
2.方程的解：给定一个二元一次方程，如果存在一对数(x,y)，使得将这些数代入方程使等式成立，那么这对数(x,y)就是方程的解。
3.方程组：由两个或多个方程组成的集合称为方程组。
二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。
二、解二元一次方程组的方法：1.消元法：a.加法消元法：通过给每个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相同，然后将两个方程相加，消去这个未知数。
b.减法消元法：通过给其中一个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相反，然后将两个方程相减，消去这个未知数。
2.代入法：将一个方程的一元表达式代入到另一个方程中，从而将二元一次方程组转化为一个一元二次方程。
三、方程组的解的情况：1.无解的情况：当方程组中的方程互相矛盾，即无法找到同时满足所有方程的解时，方程组无解。
2.有唯一解的情况：当方程组中的方程相互独立，且无论怎样组合方程，都只能得出一个解时，方程组有唯一解。
3.有无穷多解的情况：当方程组中的方程有冗余的情况，即两个或多个方程实际上是同一个方程的时候，方程组有无穷多解。
四、应用问题：1.运用二元一次方程组解决实际问题，如两个数字之和为一些数，两数之差为一些数等。
2.通过问题中给出的条件建立方程组，然后解方程组找到问题的解。
3.运用代入法解决更复杂的实际问题，如一个数以另一个数的几倍和为一些数等。
五、实战习题：1.练习整理方程组、解方程组的方法；2.挑战实际问题，在解决问题的过程中巩固知识点；3.深入思考不同的解法对于问题的实际意义，触类旁通。
第八章 二元一次方程组知识点总结 2023-2024 学年人教版数学七年级下册
第8章二元一次方程组8.1二元一次方程组【知识点】1.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2.判断一个方程是二元一次方程必须同时满足3个条件：（1）必须含有两个未知数；（2）含未知数的项的次数都是1；（3）方程中的分母不含未知数，即方程必须是整式方程.3.一个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程租.4.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.5.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.6.二元一次方程有无数个解，但对于一些特殊解（如正整数解），它的解的个数往往是有限的. 确定二元一次方程的整数解一般用列举法求. 方法是：先用含一个未知数x（或y）的代数式表示另一个未知数y（或x），然后给x（或y）一个符合要求的值，求出y（或x）的值，就得到二元一次方程的一个解.8.2消元——解二元一次方程组【知识点】1.解二元一次方程组的基本思路是消元，这种思想初步体现了数学研究中的化未知为已知的化归思想.（一）代入法1.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2.用代入法解二元一次方程组的步骤是：（1）变：选定一个系数比较简单的方程进行变形，用x表示y，即y=ax+b（或用y表示x，即x=ay+b）的形式；（2）代：将y=ax+b代入另一个方程，消去y，得到一个关于x的一元一次方程（或代入x=ay+b，消去x）；（3）解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；（4）再代：把x的值代入y=ax+b，求出y的值（或将y的值代入x=ay+b）；（5）联：把求得的x，y的值用“{”联立，即是方程组的解.（二）加减法1.当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法.2.用加减法解二元一次方程组的步骤：（1）用一个适当的数去乘方程两边每一项，使两个方程中准备消去的未知数的系数相等或相反数；（2）把变形后的两个方程对应相加或相减，消去一个未知数，转化成一元一次方程；（3）求出一个未知数的解，再用代入法或加减法求另一个解.（三）解二元一次方程组总结1.当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；到两个方程中同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便.2.当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数关系时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单.3.任何一个二元一次方程组经过变形以后，都可以化为以下标准形式：当a2，b2，c2全不为0时，它的解的情况是：（1）当a1a2≠b1b2时，方程组有唯一的一个解；（2）当a1a2=b1b2=c1c2时，方程组有无数多个解；（3）当a1a2=b1b2≠c1c2时，方程组无解.8.3实际问题与二元一次方程组【知识点】1.列方程组解应用题的一般步骤是：（1）审题：弄清题意和题目中的数量关系；（等量关系）（2）设元：用字母表示题目中的未知数，通常有直接设和间接设两种； （3）列方程组； （4）解方程组； （5）检验作答.2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相符.3.列方程组解应用题要注意检验和作答，检验不仅要求所求的的解是否符合方程组中的每一个方程，更重要的是要检验所求得的结果是否符合客观实际要求.4.在行程问题中，若速度为v ，时间为t ，路程为s ，则有s=vt ，v= st，t= sv.5.在商品经济中，利润=售价-成本价，利润率=利润÷成本价；一件商品原价是a ，打x 折后价格是110ax.6.列方程组解应用题和列一元一次方程解应用题类似．要想正确列出方程组，必须正确掌握以下几种类型的问题：①和、差、倍、分问题，即两数和＝较大的数＋较小的数，较大的数＝较小的数×倍数±增（或减）数；②行程问题，即路程＝速度×时间；③工程问题，即工作量＝工作效率 × 工作时间； ④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量× 浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系； ⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即若个位上数字为 a ，十位上的数字为b ，百位上的数字 c ，则这个三位数可表示为100c+10b+ a ；8.4三元一次方程组的解法【知识点】1.方程组含有3个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.2.通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.(三元一次方程组——二元一次方程组——一元一次方程)具体步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；（3）再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，求出第三个未知数的值；（4）最后将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.3.在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.4.在三元一次方程组中，每一个方程可以是一元一次方程，也可以是二元一次方程，但三个方程中总的未知数的个数是3.练习题一、填空题1. 已知x｜a ｜-1+（a -2）y=2是关于x ，y 的二元一次方程，则a 的值为_________.2. 若关于x ，y 的方程x m+2-y n -1=5是二元一次方程，则m=______，n=________.3. 写出一个以{x =1,y =−3为解的二元一次方程_________. 4. 若x 2m+1+5y 3n -2=7是二元一次方程，则m=______，n=________. 5. 写出满足方程x+2y=9的两个整数解为_______. 6. 已知{x =2y =1是方程2x+ay=5的解，则a=________. 7. 已知{x =3y =−1是方程组{3x +ky =0mx +y =8的解，则k+m=_______.8.写出一个以{x =3y =−5为解的二元一次方程组________.二、选择题1. 某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x 张甲种票，y 张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）2. 关于x ，y 的方程组{3x −y =m,x +my =n 的解是{x =1,y =1，则｜m -n ｜的值是（ ） A.5 B.3 C.2 D.13. 下列选项中，是二元一次方程的是 （ ）A.xy=7B.x+π=6C.x -y=1D.3x -34=5y+3x4. 方程（1）3x -z=2；（2）y+x 2=0；（3）2x+3y=z ；（4）xy=1；（5）5x - 13y =4； （ ） （6）x=-y 中是二元一次方程的有A.1个B.2个C.3个D.4个5. 下列各组数值中，是二元一次方程组{x +y =52x −y =4的解的是（ ）A.{x =3y =2B.{x =3 y =−2C.{x =−3y =2D.{x =−3y =−26. 下列四个方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）A.{3x −y =6xy =10B.{x3−y 2=343x +2y =10C.{x +y =10y +z =20D.{5x −7y =6x +4y =5【答案解析】 一、填空题1. 答案：-22. 答案：-1 23. 答案：不唯一，如x+2y=-54. 答案：0 15. 答案：答案不唯一，如：{x =1y =4 ，{x =3y =36. 答案：17. 答案：128.答案：答案不唯一，如{x +y =−2x −y =8二、选择题1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：B5. 答案：A6. 答案：B。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第八章8-3二元一次方程(组)的解法Ⅱ-加减法(基础巩固)
第八章 二元一次方程（组）8.3 二元一次方程（组）的解法Ⅱ——加减法（基础巩固）【要点梳理】知识点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组例1. 直接加减：已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则3m n +的值为 ．【思路点拨】方程组利用加减消元法即可确定出3m n +的值．【答案】3．【解析】解：把21x y =⎧⎨=⎩代入21mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩，得2 2 2 1 m n n m +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：3=3m n +【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．例2.先变系数后加减：25214323x y x y -=-⎧⎨+=⎩①② 【思路点拨】注意到方程组中x 的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使两个方程中x 的系数相等，然后再相减消元．【答案与解析】解：②－①×2，得13y ＝65．解得y ＝5．将y ＝5代入①，得2x -5×5＝-21，解得x ＝2．所以原方程组的解为25x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．举一反三：【变式】已知关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x ﹣y=a ，求该方程组的解．【答案】 解：， ②×2﹣①得， y=a ﹣， 把y=a ﹣代入②得， x=a ﹣， 则a ﹣﹣（a ﹣）=a ， 解得，a=5方程组的解为：．例3.建立新方程组后巧加减：解方程组2511 524x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组．【答案与解析】解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1．③②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5．④解由③、④组成的方程组1,5,x yx y+=⎧⎨-=-⎩得原方程组的解为23.xy=-⎧⎨=⎩【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解．例4.先化简再加减：解方程组0.10.3 1.3123x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．【答案与解析】解：①×10，②×6，得313, 326,x yx y+=⎧⎨-=⎩③④③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．将y＝3代入③，解得x＝4．所以原方程组的解为4,3. xy=⎧⎨=⎩【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．类型二、用适当方法解二元一次方程组例5. （1）323112x y x y-=⎧⎨=-⎩ （2）5(1)2(3)2(1)3(3)m n m n -=+⎧⎨+=-⎩ 【思路点拨】观察方程特点选择方法：（1）代入消元法；（2）先化简再加减或代入消元法．【答案与解析】解：（1）323112x y x y -=⎧⎨=-⎩①② 由①得32y x =- ③将③代入②得3112(32)x x =-- 解得：53x =将53x =代入③得3y = ∴原方程组的解为：533x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．（2）原方程组可化为：52112311m n m n -=⎧⎨-=-⎩①② ①+②，得75m n =，即57m n = ③ 将③代入①得7n =，代入③得5m =∴原方程组的解为：57m n =⎧⎨=⎩． 【总结升华】方程组的解法不唯一，只是有的计算简便，有的繁琐．举一反三：【变式】用两种方法解方程组29(1)321(2)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 【答案】解：法Ⅰ：由（1）：2y=9－x将其整体．．代入（2）：3x －(9－x)=－1 解得x=2∴2y=9－x=7∴原方程组的解为：272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 法Ⅱ：（1）+（2）：4x=8，x=2，代入（1）：2+2y=9，2y=7， 72y =． ∴原方程组的解为：272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．【巩固练习】一、选择题1．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（ ）A ．某个未知数的系数是1B ．同一个未知数的系数相等C ．同一个未知数的系数互为相反数D ．某一个未知数的系数的绝对值相等2．已知2|21|(27)0x y x y --++-=，则3x y -的值是（ ）A ．3B ．1C ．﹣6D ．8 3．用加减消元法解二元一次方程组231543x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，下列步骤可以消去未知数x 的是（ ） A ．①×4+②×3 B ．①×2-②×5 C ．①×5+②×2 D ．①×5-②×24．解方程组①3759y x x y =-⎧⎨+=-⎩，②3512,215 6.x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是（ ）A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法5．方程组231498x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．013x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D ．1223x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6．若关于x ，y 的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣二、填空题7．用加减法解方程组3634x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②时，①+②得________，即________；②－①得________，即________，所以原方程组的解为________．8．已知二元一次方程1432x y +=，用含x 的代数式表示y 为________． 9．如果x=1，y=2 满足方程114ax y +=，那么a=________． 10．已知二元一次方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x-y ＝________，x+y ＝________． 11．若522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，则m ＝_______，n ＝_______． 12．已知关于x ，y 的方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩满足3x y +=，则k = ． 三、解答题13．解下列二元一次方程组（1）5(1)2(3)2(1)3(3)x y x y -=+⎧⎨+=-⎩（2）232235297x y x y y -=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩14. 若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足x+y ＞﹣，求出满足条件的m 的所有正整数值．15．代数式23ax bx ++，当x ＝-2时，代数式的值为4；当x ＝2时，代数式的值为10，则x ＝-1时，求代数式的值．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；【解析】当相同字母的系数相同时，用作差法消元，当相同字母的系数互为相反数时，用求和法消元.2. 【答案】D；【解析】由题意可得210270x yx y--=⎧⎨+-=⎩，①+②得：38x y-=.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】方程组②中将5y看作一个整体.5. 【答案】C；【解析】将选项代入验证.6.【答案】B.【解析】，①+②得：2x=14k，即x=7k，将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=﹣2k，将x=7k，y=﹣2k代入2x+3y=6得：14k﹣6k=6，解得：k=．二、填空题7. 【答案】6x＝2，13x=， 2y＝-10， y＝-5，135xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩；8.【答案】634xy-=；9.【答案】12；【解析】将x=1，y=2 代入114ax y+=，得112a+=，即12a=.10．【答案】-1，5；11.【答案】1，12 -；【解析】52263321m nm n++=⎧⎨=--⎩，解得112mn=⎧⎪⎨=-⎪⎩.12.【答案】2．【解析】23 3+4=2+1 x y k x y k +=⎧⎨⎩①② ，①×3﹣②×2得，y =﹣k ﹣2， 把y 值代入①得，x =2k +3，∵x+y =3，∴2k+3﹣k ﹣2=3，解得：k =2；三、解答题13.【解析】解：（1）5(1)2(3)2(1)3(3)x y x y -=+⎧⎨+=-⎩①②将①②去括号，整理得52112311x y x y -=⎧⎨-=-⎩③④ ③+④得750x y -=，即57x y =， 将57x y =代入④得，523117y y ⨯-=-，解得7y =， 将7y =代入57x y =得5x =， 所以原方程组的解为57x y =⎧⎨=⎩.（2）将“23x y -”看作整体，232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①② 将①代入②得，25297y ++=，解得4y =， 将4y =代入①得，7x =，所以原方程组的解为74x y =⎧⎨=⎩. 14.【解析】解：，①+②得：3（x+y ）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，代入不等式得：﹣m+2＞﹣，解得：m ＜，则满足条件m 的正整数值为1，2，3．15.【解析】解：由题意可得：423442310a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得，31,2a b ==， ∴ 代数式为2332x x ++， 将x ＝-1代入，得223353(1)(1)3222x x ++=-+⨯-+=.。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第八章8-6《二元一次方程组》章末复习(能力提升)
第八章 二元一次方程（组）8.6 《二元一次方程组》章末复习（能力提升）【要点梳理】知识点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a ＝＝y x 的形式. 3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念例1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）A . 1330x y x y +=⎧⎨+=⎩B . 1332x y x y +=⎧⎨+=-⎩C . 1334x y x y +=⎧⎨-=⎩D . 1333x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【答案】C .【解析】选项A 、B 、D 中，将方程1x y +=，两边同乘以3得333x y +=，从而可以判断A 、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C.【总结升华】在111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 均不为零）， （1）当121222a a c a b c =≠时，方程组无解；（2）当121222a a c abc ==，方程组有无数组解； （3）当1222a a a b ≠，方程组有唯一解． 举一反三：【变式1】若关于x 、y 的方程()12m m x y++=是二元一次方程，则m = ．【答案】1．【变式2】已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩有无数多个解，则a 、b 的值等于 ．【答案】a ＝﹣3，b ＝﹣14． 类型二、二元一次方程组的解法例2. 解方程组2()5335()322x y y x y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩①②【答案与解析】解：由①×9得：6(x -y )+9y ＝45 ③②×4得：6(x -y )-10y ＝-12 ④③-④得：19y ＝57，解得y ＝3．把y ＝3代入①，得x ＝6．所以原方程组的解是63x y =⎧⎨=⎩． 举一反三： 【变式】(换元思想)解方程组16105610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩ 【答案】 解：设6x y m +=，10x y n -=． 则原方程组可化为15m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=-⎩．所以36210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 即1820x y x y +=⎧⎨-=-⎩． ∴ 119x y =-⎧⎨=⎩．例3.小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案与解析】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5， 把与分别代入ax+by=2，得， 解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．举一反三： 【变式】已知二元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+175194y x y x 的解为a x =，b y =， 则=-b a .【答案】11.类型三、实际问题与二元一次方程组例4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.60cm【答案与解析】解：设每块地砖的长为xc m 与宽为ycm ，根据题意得：6023x y x x y+=⎧⎨=+⎩，解得：4515x y =⎧⎨=⎩ 答：每块地砖长为45cm ，宽为15cm举一反三：【变式】如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.【答案】解：设每个小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得：422(2)37x y x y y +=⎧⎨+-=⎩，解得103x y =⎧⎨=⎩所以阴影部分的面积为：22(73)922(79)910382y xy +-=+-⨯⨯=.答：图中阴影部分的面积为82.例5. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。