全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)
高中数学竞赛模拟题(十六套)
模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一 试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。
2．如图，在错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。
３．错误！未找到引用源。
4．单位正方体错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。
6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。
7．若错误！未找到引用源。
8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。
条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。
的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
， 求证：错误！未找到引用源。
． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。
有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。
成立．二 试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
求证：错误！未找到引用源。
N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。
．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。
四．（50分）设错误！未找到引用源。
为正整数错误！未找到引用源。
的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。
为数列错误！未找到引用源。
的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(4).pdf
加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 2、设是满足的正实数，试证： 3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。
加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK·KN＝PK·KQ， 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ① 不难证明 AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2. ② 由②即得①，命题得证. 2、设是满足的正实数，试证： 证明： 令 由均值不等式可知： 所以 另证：令 则 而 故 3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 【证】 将十个人表示为十个点，视对应的人相识或不相识而用红或蓝线段连结每对点． 已知所得的图中没有红色三角形，要证明图中有4个点，每两点之间的连线为蓝色．第一种情况：至少有4条红线由A点引出．设AB、AC、AD、AE为红线．由已知B、C、D、E中没有两点是用红线连结的，故B、C、D、E即为所求．第二种情况：至多有3条红线由A点引出．即A至少与6个点用蓝线相连，设为B、C、D、E、F、G．若B用红线连接C、D、E、F、G中3个点，不妨设为C、D、E，则A、C．D、E即为所求．若B至多与C、D、E、F、G中2点用红线相连，则B至少与其中3点用蓝线相连，不妨设BC、BD、BE为蓝线．C、D、E中至少一对用蓝线相连，例如CD是蓝线，则A、B、C、D即为所求． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。
全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(43)
加试模拟训练题（43）1、如图，已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2与⊙O内切于S、T两点，求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线．2、假设a、b、c是已知的自然数且a＜b＜c．1）．证明函数f：N→N是唯一的，f是由下列规则定义2）．找出至少有一个不动点(即f(x)＝x)的充分必要条件．3）．用a、b、c来表示这样的一个不动点．3、若干个步行者沿直线分别匀速行走．已知在某段时间内，所有步行者两两之间的距离之和严格递减．证明：在这段时间内，必有某个步行者，他与其它人的距离之和也严格递减．4、设,,a b c Z ∈使得222|a b c a b c ++++，证明：存在无穷多个正整数n ，使得 |n n n a b c a b c ++++加试模拟训练题（43）1、如图，已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2与⊙O内切于S、T两点，求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线．【证】如图，由题设，知O、O1、S共线，O、O2、T共线．连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N，则有OS＝OT．(1)充分性设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T．因△O1SN、△O2NT都是等腰三角形，故∠S＝∠O1NS＝∠T＝∠O2NT，从而O2N∥OS，O1N∥OTOO1NO2为平行四边形，故OO1＝O2N＝O2M，OO2＝O1N＝O1M．所以△O1MO≌△O2OM，则S△O1MO＝S×O2OM O1O2∥OM；又由于O1O2⊥MN，故OM⊥MN．(2)必要性设OM⊥MN，由图知OO2－OO1＝(OT－O2T)－(OS－O1S)＝O1S－O2T(定值)＝MO1－MO2所以，O1M分别在以O1、O2为焦点的双曲线的(左、右)两支上．由OM⊥MN，O1O2⊥MN，知OM∥O1O2．又由双曲线对称性，知O1O2MO是等腰梯形．所以OO2＝O1M＝O1N，OO1＝MO2＝O2N，从而OO1NO2是平行四边形．所以2∠O1NS＋2∠O2NT＋2∠O1NO2＝(∠O1NS＋∠S＋∠SO1N)＋(∠O2NT＋∠T＋∠NO2T)＝360º，∠O1NS＋∠O2NT＋∠O1NO2＝180º，S、N、T三点共线．2、假设a、b、c是已知的自然数且a＜b＜c．1）．证明函数f：N→N是唯一的，f是由下列规则定义2）．找出至少有一个不动点(即f(x)＝x)的充分必要条件．3）．用a、b、c来表示这样的一个不动点．【解】我们可以逐步求出f(x)的表达式．在n＞c时，f(n)＝n－a在c≥n＞c－(b－a)时，f(n)＝f(f(n＋b))＝f(n＋b－a)＝n＋(b－a)－a在c－(b－a)≥n＞c－2(b－a)时，f(n)＝f(f(n＋b))＝f(n＋2(b－a))＝n＋2(b－a)－a…一般地，在c－k(b－a)≥n＞c－(k＋1)(b－a)时，f(n)＝n＋(k＋1)(b－a)－a，k＝0，1，…，q这里q ∈N ，满足q(b －a)≤c ＜(q ＋1)(b －a)因此，f(n)是唯一的．若f 有不动点n ，则n ＝n ＋k(b －a)－a 即 (b －a)|a上式不但是必要条件，而且也是充分条件．事实上，在这一条件成立时，设a ＝k(b －a)，则满足c －(k －1)(b －a)≥n ＞c －k(b －a) 的自然数n 都是不动点．3、若干个步行者沿直线分别匀速行走．已知在某段时间内，所有步行者两两之间的距离之和严格递减．证明：在这段时间内，必有某个步行者，他与其它人的距离之和也严格递减． 【题说】 第二十二届(1996年)全俄数学奥林匹克十一年级题2．【证】 设有n 个步行者，分别用p 1，p 2，…，p n 表示，用V ij 表示p i 与p j 彼此靠近的速度(1≤i ≤j ≤n)．这个量可能正，也可能负．注意，在整个考察时间内V ij 不会增大(仅当p i 与p j 相遇，或其中一人追上另一人时才会减小)．已知在考察时间的最后时刻，这些速度之和是正数：因为V ij ＝V ji (1≤i ＜j ≤n)，所以从而必有某个步行者P j ，使得因为所有的V ij 在整个考察时间内不增，所以不等式(*)在整个考察时间内成立．从而原命题得证．4、设,,a b c Z ∈使得222|a b c a b c ++++，证明：存在无穷多个正整数n ，使得 |n n n a b c a b c ++++证明 设()m m m m a b c S m N +++=∈．可知数列m S 满足递推公式321()()m m m m S a b c S ab bc ca S abcS +++=++-+++．（牛顿幂和公式） ①由于222|a b c a b c ++++，2222()()2()a b c a b c ab bc ca ++=+++++，可以得到|2()a b c ab bc ca ++++．②下面证明：若|m a b c S ++，则3|m a b c S +++．（1）a b c ++为奇数，由②得|a b c ab bc ca ++++．又因为|m a b c S ++，所以21|[()()]m m m a b c a b c S ab bc ca S abcS ++++++-+++，即3|m a b c S +++．（2）a b c ++为偶数，因为a 和1m a +，b 和1m b +，c 和1m c +奇偶性相同，所以a b c ++和111m m m a b c +++++奇偶性相同，1m S +也是偶数，结合②，有1|()m a b c ab bc ca S +++++，又因为|m a b c S ++，所以21|[()()]m m m a b c a b c S ab bc ca S abcS ++++++-++-， 即3|m a b c S +++．因为1S 能被a b c ++整除，所以4710,,S S S 也能被a b c ++整除，符合要求的n 有无穷多个．。
中学生数学竞赛试题及答案
中学生数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是：A. 25π平方厘米B. 50π平方厘米C. 75π平方厘米D. 100π平方厘米5. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/2二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的立方是-27，这个数是______。
7. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8，斜边的长度是______。
8. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。
9. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
10. 一个圆的直径是14厘米，那么它的周长是______。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 解方程：2x + 5 = 17。
12. 证明：如果一个三角形的两边长分别是a和b，且a + b > c，那么这个三角形是存在的。
13. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) 的极限，当x趋近于1。
14. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，计算它的体积。
15. 一个圆的半径是7厘米，计算它的周长和面积。
答案：一、选择题1. B2. B3. C4. B5. D二、填空题6. -37. 108. 5，-59. 410. 44π厘米三、解答题11. 解：2x + 5 = 17 → 2x = 12 → x = 612. 证明：根据三角形的两边之和大于第三边的性质，如果a + b > c，则可以构成三角形。
13. 解：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) = 3x + 1，当x趋近于1时，极限为4。
全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)
加试模拟训练题（42）1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点．2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n ∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）4、 试确定使72++b ab 整除b a b a ++2的全部正整数对).,(b a加试模拟训练题（42）1、 设P 是△ABC 内一点，∠APB －∠ACB ＝∠APC －∠ABC ，又设D 、E 分别是△APB 及△APC 的内心．证明AP 、BD 、CE 交于一点． 【证】 延长AP 交BC 边于K ，交△ABC 的外接圆于F ，连结BF 、CF ．∠APC －∠ABC ＝∠AKC ＋∠PCK －∠ABC ＝∠BAK ＋∠PCK＝∠BCF ＋∠PCK ＝∠PCF同理 ∠APB －∠ACB ＝∠PBF 所以由已知 ∠PCF ＝∠PBF有正弦定理 PB sin ∠PFB ＝PF sin ∠PBF ＝PF sin ∠PCF ＝PC∠PFC所以 PB PC ＝sin ∠PFB sin ∠PFC ＝sin ∠ACB sin ∠ABC ＝ABAC即 PB AB ＝PCAB设∠ABP 的角平分线BD 交AP 于M ，则PM AM ＝PBAB同样设CE 与AP 交于N ，则PN AN ＝PC AC由此，PM AM ＝PNAN，所以M 与N 重合，即AP 、BD 、CE 交于一点.2、设N 为自然数集合，k ∈N ．如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对每个n ∈N ，都有f(f(n))＝kn ．求证，对每一个n ∈N 都有【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1．【证】由于f 严格递增且取整数值，所以f(n ＋1)≥f(n)＋1 从而对m ≥n ，有f(m)＝f(n ＋m －n)≥f(n)＋m －n 取m ＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n故f(n)≥2kn/(k ＋1)3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题） 【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符 合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==ni iX1,0 ①∑==ni iY1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数.综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线. 4、 试确定使72++b ab 整除b a b a ++2的全部正整数对).,(b a解：.7)7()(222a b b ab a b a b a b -=++-++ )7(722a b b ab -++∴（i ）若072>-a b 则有：22277.ab b b a b ++≤-<矛盾；（ii ）若072<-a b 则.77722a b a b ab <-≤++ 72<∴b ， 1=∴b 或.2=b当1=b 时，题设成为8+a 整除57)8(717,17-+=--a a a 有 得293578⨯=+a ，21a ∴=或49=a当2=b 时，a a 7494-+ 由于)94(2470+<-<a a 知：4794-=+a a 无整数解；（iii ）若072=-a b 则27,7k a k b ==其中+∈Zk 此时b a b a ++2除以72++b ab 商恰为k ，题设条件满足。
全国高中数学联赛第二试试题
全国高中数学联赛第二试试题一、选择题1、试找出最大的正整数N ，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N 。
2、设非负整数数列a 1,a 2,…,a 2007满足：a i +a j ≤a i+j ≤a i +a j +1，对一切i,j ≥1,i+j ≤2007成立。
证明：存在实数x ，使对一切1≤n ≤2007，有a n =[nx].3、以ΔABC 的三边向外作正方形ABED ，BCGF 和CAIH ，直线DI ，EF ，GH 交成ΔLMK ，其中K=DI ∩EF ，M=DI ∩GH ，L=EF ∩HG 。
求证：ΔKLM 中KM 上的中线LN ⊥BC 。
以下是答案一、选择题1、解 N=209。
先证明N ≤209，用正中的竖直直线将方格表分成两个20×10的方格表，将1至200逐行按递增顺序填入左表中，再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N ≤209。
再证N 不能小于209。
考察子集M 1={1，2，…，91}和M 2={300，301，…，400}，将凡是填有M 1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M 2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。
那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。
设有i 行和j 列被染为红色，于是，M 1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij ≥91,从而i+j ≥2ij ≥291≥19.同理，被染为蓝色的行数与列数之和.201012''2''>≥≥+j i j i2、 证明 先证对任意m,n ∈N +,1≤m,n ≤2007，有ma n a m n 1+<，即ma n <na m +n. ① （1）当m=n=1时a 1<a 1+1，结论成立；（2）设m,n 都小于k 时，命题成立，ⅰ）当m=k,n<k 时，设m=nq+r ，则a m ≥a nq +a r ≥q an +a r ，所以na m ≥nqa n +na r ，所以na m +n ≥nqa n +na r +n=ma n -ra n +na r +n>ma n ；ⅱ）当n=k, m<k 时，设n=mq+r, 0≤r<m ，则a n ≤a qm +a r +1≤a (q-1)m +a r +a m +2≤…≤q am +a r +q ，由归纳假设ra m +r ≥ma r ,所以ma n ≤mqa m +ma r +mq<mqam+ra m +r+mq=na m +n ，所以当m,n 至少有一个为k 时结论成立，而m=n=k 时，结论也成立，所以由数学归纳法，①得证。
全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(2)
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n ,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U =2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n≥≥≥,,2,121 又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序)n b b b n22212+++≥ (倒序)n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
高中数学联赛二试初等数论试题集锦
中[ x ]表示不超过 x 的最大整数， x x [ x] ） 。试求：
f (k ) 的值。
k 1
240
6、 （2007 全国）设集合 P={1，2，3，4，5}，对任意 k∈P 和正整数 m，记
f(m， k)=
m
i 1
5
k 1 ，其中[a]表示不大于 a 的最大整数。求证：对任意正整数 n，存在 k∈P i 1
242003全国设三角形的三边长分别是整数nml且nml??已知????????????????????444103103103nmt其中xxx??求这种三角形周长的最小值
高中数学联赛二试初等数论试题集锦
1、(1992 全国)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取 6 个 格点 Pi (xi，yi)(i 1，2，3，4，5，6)满足 (1) | xi |≤2，| yi |≤2，(i 1，2，3，4，5， 6)，(2) 任何三点不在同一条直线上． 试证：在以 Pi (i 1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面 积不大于 2．
示不小于实数 x 的最小整数，例如： 1 ， 1 1． 2
1 1 ．记 f r f 、 （2011A 卷）
11、 （2011A 卷）
x 3 y 3 z 3 3xyz 2011 12、 （2011B 卷）求所有三元整数组（x,y,z） ，使其满足 。 x 15, y 15
2、 (1994 全国) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列， 试求出这个数列的第 1000 项．
3、 （2001 全国）将边长为正整数 m，n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个 正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
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加试模拟训练题（42）
1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、
E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点．
2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n ∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有
3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数
为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）
4、 试确定使72
++b ab 整除b a b a ++2
的全部正整数对).,(b a
加试模拟训练题（42）
1、 设P 是△ABC 内一点，∠APB －∠ACB ＝∠APC －∠ABC ，又设D 、E 分别是△APB 及△APC 的内心．证明AP 、BD 、CE 交于一点． 【证】 延长AP 交BC 边于K ，交△ABC 的外接圆于F ，连结BF 、CF ．
∠APC －∠ABC ＝∠AKC ＋∠PCK －∠ABC ＝∠BAK ＋∠PCK
＝∠BCF ＋∠PCK ＝∠PCF
同理 ∠APB －∠ACB ＝∠PBF 所以由已知 ∠PCF ＝∠PBF
有正弦定理 PB sin ∠PFB ＝PF sin ∠PBF ＝PF sin ∠PCF ＝PC
∠PFC
所以 PB PC ＝sin ∠PFB sin ∠PFC ＝sin ∠ACB sin ∠ABC ＝AB
AC
即 PB AB ＝PC
AB
设∠ABP 的角平分线BD 交AP 于M ，则PM AM ＝PB
AB
同样设CE 与AP 交于N ，则
PN AN ＝PC AC
由此，PM AM ＝PN
AN
，所以M 与N 重合，即AP 、BD 、CE 交于一点.
2、设N 为自然数集合，k ∈N ．如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对每个n ∈N ，都有f(f(n))＝kn ．求证，对每一个n ∈N 都有
【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1．
【证】由于f 严格递增且取整数值，所以f(n ＋1)≥f(n)＋1 从而对m ≥n ，有f(m)＝f(n ＋m －n)≥f(n)＋m －n 取m ＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n
故f(n)≥2kn/(k ＋1)
3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数
为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）
【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符 合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中
),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有
∑==n
i i
X
1
,0 ①
∑==n
i i
Y
1
,0 ②
22
22222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③
不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.
当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.
当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数.
综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线. 4、 试确定使72++b ab 整除b a b a ++2
的全部正整数对).,(b a
解：.7)7()(2
22a b b ab a b a b a b -=++-++ )7(722a b b ab -++∴
（i ）若072>-a b 则有：222
77.ab b b a b ++≤-<矛盾；
（ii ）若072<-a b 则.77722a b a b ab <-≤++ 72
<∴b ， 1=∴b 或.2=b
当1=b 时，题设成为8+a 整除57)8(717,17-+=--a a a 有 得293578⨯=+a ，
21a ∴=或49=a
当2=b 时，a a 7494-+ 由于)94(2470+<-<a a 知：4794-=+a a 无整数解；
（iii ）若072
=-a b 则2
7,7k a k b ==其中+
∈Z
k 此时b a b a ++2
除以
72++b ab 商恰为k ，题设条件满足。
综上：所有满足条件的正整数对为2
(,)(21,1),(49,1)(7,7)a b k k = )(+
∈N k。