【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新人教A版必修1
【成才之路】高中数学 121 函数的概念能力强化提升 新人教A版必修1.doc
【成才之路】2014高中数学 1-2-1 函数的概念能力强化提升新人教A 版必修1一、选择题1．(2012～2013安阳一中奥赛班)下列图形中表示函数图象正确的是( )[答案] C[解析] 垂直于x 轴的直线与图象最多只有一个交点，故选C. 2．(2012～2013曲阜二中月考试题)函数y ＝1－x2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12∩(－12，1)D ．(－∞，－12)∪(－12，1][答案] D[解析] 函数y ＝1－x2x 2－3x －2有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥02x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠－12且x ≠2∴x ≤1且x ≠－12故选D.3．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 4．下列各组函数相等的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A ：f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相等函数；对于B ：f (x )＝|x |·－2x 与g (x )的对应关系不同，故不是相等函数；对于C ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相等函数； 对于D ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相等函数，故选D.5．有下列等式：①x －2y ＝2；②2x 2－3y ＝1；③x －y 2＝1；④2x 2－y 2＝4. 其中，能表示y 是x 的函数的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④ [答案] A[解析] ①可化为y ＝12x －1，表示y 是x 的一次函数；②可化为y ＝23x 2－13，表示y 是x 的二次函数；③当x ＝5时，y ＝2，或y ＝－2，不符合函数的唯一性，故y 不是x 的函数； ④当x ＝2时，y ＝±2，故y 不是x 的函数．故选A.6．(2012～2013惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B.7．(2012～2013曲阜一中高一期末检测题)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上 [答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 8．已知f (x )＝xx ＋1，则f (2)－f (12)＝( ) A ．1 B.23 C.13 D ．－13[答案] C[解析] f (2)＝22＋1＝23，f (12)＝1212＋1＝13， ∴f (2)－f (12)＝23－13＝13，故选C.二、填空题9．(2012·全国高考数学广东卷)函数y ＝x ＋1x的定义域为________． [答案] [－1,0)∪(0，＋∞) [解析] y ＝x ＋1x 中的x 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ≠0⇔－1≤x <0或x >0.10．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． [答案] {－1，－2,2}11．(2012～2013安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x2x2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于________． [答案] 15[解析] 令g (x )＝1－2x ＝12得，x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15. 12．下列说法正确的是________．①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； ④对于任何一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同； ⑤f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，这是一个常量． [答案] ①③⑤[解析] ①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集．如函数f (x )＝1，x ＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的；根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x 不同时，函数值y 的值可能相同．如函数y ＝x 2，当x ＝1和－1时，y 都为1.⑤是正确的．f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值是一个常量． 三、解答题13．求下列函数的定义域，并用区间表示(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．规律总结：定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 14．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a >0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.15．已知f (x )＝x1＋x ，(1)求f (x )＋f (1x)的值；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (7)＋f (1)＋f (12)＋…＋f (17)的值．[解析] (1)f (x )＋f (1x )＝x 1＋x ＋1x 1＋1x＝1＋x1＋x＝1.(2)由(1)可知，f (1)＋f (2)＋…＋f (7)＋f (1)＋f (12)＋…＋f (17)＝7.16．(1)已知f (x )＝2x －3，x ∈{0,1,2,3}，求f (x )的值域． (2)已知f (x )＝3x ＋4的值域为{y |－2≤y ≤4}，求此函数的定义域． [解析] (1)当x 分别取0,1,2,3时，y 值依次为－3，－1,1,3， ∴f (x )的值域为{－3，－1,1,3}． (2)∵－2≤y ≤4，∴－2≤3x ＋4≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4≥－23x ＋4≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤0，∴－2≤x ≤0，即函数的定义域为{x |－2≤x ≤0}．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第1课时 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1
∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝1－ln1＝1＞0， 即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立， ∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．
1 令 f′(x)>0，得 x>2 或 x<2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)，单调 1 递减区间为(2，2)．
[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.
[正解] 由已知得 x>0，故函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． a 2 ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， b b f ′(x)＝(x＋x )′＝1－x2， 1 令 f ′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 1 令 f ′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数， ∴a≠0. 故a的取值范围是(0，＋∞)．
典例探究学案
用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； b (2)f(x)＝x＋x(b＞0)．
[解析] (1)函数 f(x)的定义域为 R， f ′(x)＝3x2－3，令 f ′(x)＞0，则 3x2－3＞0. 即 3(x＋1)(x－1)＞0，解得 x＞1 或 x＜－1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令 f ′(x)＜0，则 3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
【成才之路】2014高中数学 1-1-2-1 程序框图、顺序结构能力强化提升 新人教A版必修3
【成才之路】2014高中数学 1-1-2-1 程序框图、顺序结构能力强化提升新人教A版必修3一、选择题1．程序框图是算法思想的重要表现形式，程序框图中不含( )A．流程线B．判断框C．循环框D．执行框[答案] C[解析]程序框图是由程序框和流程线组成．其中程序框包括起止框、、输入输出框、执行框、判断框．这里并没有循环框．2．在画程序框图时如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上( )A．流程线B．注释框C．判断框D．连结点[答案] D3．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )A．连结点B．判断框C．流程线D．处理框[答案] C[解析]流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，故选 C.而连结点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连结点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A、B、D 都不对．4．下列关于程序框的功能描述正确的是( )A．(1)是处理框；(2)是判断框；(3)是终端框；(4)是输入、输出框B．(1)是终端框；(2)是输入、输出框；(3)是处理框；(4)是判断框C．(1)和(3)都是处理框；(2)是判断框；(4)是输入、输出框D．(1)和(3)的功能相同；(2)和(4)的功能相同[答案] B[解析]根据程序框图的规定，(1)是终端框，(2)是输入、输出框，(3)是处理框，(4)是判断框．5．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是( )A．终端框B．输入、输出框C．判断框D．处理框[答案] C[解析]含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框．6．如图所示的程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是( )[答案] C[解析]A项中，没有终端框，所以A项不正确；B项中，输入a，b和c＝a2＋b2顺序颠倒，且程序框错误，所以B项不正确；D项中，赋值框中a2＋b2＝c错误，应为c＝a2＋b2，左右两边不能互换，所以D项不正确；很明显C项正确．7．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21[答案] A[解析]输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：输入21,32,75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75,21,32.8．阅读图所示程序框图．若输入的x＝3，则输出的y的值为( )A．24B．25C．30D．40[答案] D[解析]a＝32－1＝8，b＝a－3＝5，c＝a×b＝8×5＝40，故输出40.二、填空题9．执行如下程序框图后，输出的结果为5，则输入的x的值为________．[答案] 3[解析]该程序框图的功能是输入自变量x，则输出y＝2x－1的函数值．令2x－1＝5，解得x＝3，即输入的x值为3.10．(2012～2013·三亚高一检测)如图所示程序框图表示的算法的运行结果是________．[答案]6 6[解析]算法执行的是已知三角形的三边为5、6、7，求三角形的面积的功能，p＝9，S＝6 6.11．如下图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填________．[解析]变量在计算时应先赋值，这里的a、b，c的值是通过输入语句得到．根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框．12．图1是计算图2中阴影部分面积的一个程序框图，则图1中①处应填________．[答案] S ＝4－π4a 2[解析] 图2中，正方形的面积为S 1＝a 2，扇形的面积为S 2＝14πa 2，则阴影部分的面积为S ＝S 1－S 2＝a 2－π4a 2＝4－π4a 2.因此图1中①处应填入S ＝4－π4a 2.三、解答题13．如下图是为解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题．(1)图框①中x ＝2的含义是什么？(2)图框②中y 1＝2x ＋3的含义是什么？ (3)图框④中y 2＝3x ＋2的含义是什么？[解析] (1)图框①中x ＝2表示把2赋值给变量x .(2)图框②中y 1＝2x ＋3表示在执行①的前提下，即当x ＝2时计算2x ＋3的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中y 2＝3x ＋2表示在执行③的前提下，即x ＝－3时计算3x ＋2的值，并把这个值赋给y 2.14．已知x ＝10，y ＝2，画出计算w ＝5x ＋8y 值的程序框图． [解析] 算法如下： 第一步，令x ＝10，y ＝2. 第二步，计算w ＝5x ＋8y . 第三步，输出w 的值． 其程序框图如图所示．[特别提醒] (1)程序框图中的每一种图形符号都有特定的含义，在画程序框图时不能混用．(2)流程线上不要忘记加方向箭头．如果不画，就难以判断各程序框间的执行次序． 15．三角形的面积公式为S ＝12ah ，用算法描述求a ＝4，h ＝2时的三角形的面积，并画出算法的程序框图．[解析] 算法如下：第一步，取底a ＝4，高h ＝2； 第二步，计算S ＝12ah ；第三步，输出S .程序框图如图所示：16．如下图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？(4)在(2)的条件下按照这个程序框图输出的f(x)值，当x的值大于2时，x值大的输出的f(x)值反而小，为什么？(5)在(2)的条件下要想使输出的值等于3，输入的x的值应为多大？(6)在(2)的条件下要想使输入的值与输出的值相等，输入的x的值应为多大？[解析](1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4.所以f(x)＝－x2＋4x.因为f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.(4)因为f(x)＝－(x－2)2＋4，所以函数f(x)在[2，＋∞)上是减函数．所以在[2，＋∞)上，x值大的对应的函数值反而小，从而当输入的x的值大于2时，x 值大的输出的f(x)值反而小．(5)令f(x)＝－x2＋4x＝3，解得x＝1或x＝3，所以要想使输出的值等于3，输入的x＝1或x＝3.所以要想使输出的值等于3，输入的x的值应为1或3.(6)由f(x)＝x，即－x2＋4x＝x，得x＝0或x＝3，所以要想使输入的值和输出的值相等，输入的x的值应为0或3.。
【成才之路】高中数学 1121 程序框图、顺序结构能力强化提升 必修3
【成才之路】2014高中数学 1-1-2-1 程序框图、顺序结构能力强化提升新人教A版必修3一、选择题1．程序框图是算法思想的重要表现形式，程序框图中不含( )A．流程线B．判断框C．循环框D．执行框[答案] C[解析]程序框图是由程序框和流程线组成．其中程序框包括起止框、、输入输出框、执行框、判断框．这里并没有循环框．2．在画程序框图时如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上( )A．流程线B．注释框C．判断框D．连结点[答案] D3．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )A．连结点B．判断框C．流程线D．处理框[答案] C[解析]流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，故选 C.而连结点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连结点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A、B、D 都不对．4．下列关于程序框的功能描述正确的是( )A．(1)是处理框；(2)是判断框；(3)是终端框；(4)是输入、输出框B．(1)是终端框；(2)是输入、输出框；(3)是处理框；(4)是判断框C．(1)和(3)都是处理框；(2)是判断框；(4)是输入、输出框D．(1)和(3)的功能相同；(2)和(4)的功能相同[答案] B[解析]根据程序框图的规定，(1)是终端框，(2)是输入、输出框，(3)是处理框，(4)是判断框．5．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是( )A．终端框B．输入、输出框C．判断框D．处理框[答案] C[解析]含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框．6．如图所示的程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是( )[答案] C[解析]A项中，没有终端框，所以A项不正确；B项中，输入a，b和c＝a2＋b2顺序颠倒，且程序框错误，所以B项不正确；D项中，赋值框中a2＋b2＝c错误，应为c＝a2＋b2，左右两边不能互换，所以D项不正确；很明显C项正确．7．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21[答案] A[解析]输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：输入21,32,75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75,21,32.8．阅读图所示程序框图．若输入的x＝3，则输出的y的值为( )A．24B．25C．30D．40[答案] D[解析]a＝32－1＝8，b＝a－3＝5，c＝a×b＝8×5＝40，故输出40.二、填空题9．执行如下程序框图后，输出的结果为5，则输入的x的值为________．[答案] 3[解析]该程序框图的功能是输入自变量x，则输出y＝2x－1的函数值．令2x－1＝5，解得x＝3，即输入的x值为3.10．(2012～2013·三亚高一检测)如图所示程序框图表示的算法的运行结果是________．[答案]6 6[解析]算法执行的是已知三角形的三边为5、6、7，求三角形的面积的功能，p＝9，S＝6 6.11．如下图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填________．[解析]变量在计算时应先赋值，这里的a、b，c的值是通过输入语句得到．根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框．12．图1是计算图2中阴影部分面积的一个程序框图，则图1中①处应填________．[答案] S ＝4－π4a 2[解析] 图2中，正方形的面积为S 1＝a 2，扇形的面积为S 2＝14πa 2，则阴影部分的面积为S ＝S 1－S 2＝a 2－π4a 2＝4－π4a 2.因此图1中①处应填入S ＝4－π4a 2.三、解答题13．如下图是为解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题．(1)图框①中x ＝2的含义是什么？(2)图框②中y 1＝2x ＋3的含义是什么？ (3)图框④中y 2＝3x ＋2的含义是什么？[解析] (1)图框①中x ＝2表示把2赋值给变量x .(2)图框②中y 1＝2x ＋3表示在执行①的前提下，即当x ＝2时计算2x ＋3的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中y 2＝3x ＋2表示在执行③的前提下，即x ＝－3时计算3x ＋2的值，并把这个值赋给y 2.14．已知x ＝10，y ＝2，画出计算w ＝5x ＋8y 值的程序框图． [解析] 算法如下： 第一步，令x ＝10，y ＝2. 第二步，计算w ＝5x ＋8y . 第三步，输出w 的值． 其程序框图如图所示．[特别提醒] (1)程序框图中的每一种图形符号都有特定的含义，在画程序框图时不能混用．(2)流程线上不要忘记加方向箭头．如果不画，就难以判断各程序框间的执行次序． 15．三角形的面积公式为S ＝12ah ，用算法描述求a ＝4，h ＝2时的三角形的面积，并画出算法的程序框图．[解析] 算法如下：第一步，取底a ＝4，高h ＝2； 第二步，计算S ＝12ah ；第三步，输出S .程序框图如图所示：16．如下图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？(4)在(2)的条件下按照这个程序框图输出的f(x)值，当x的值大于2时，x值大的输出的f(x)值反而小，为什么？(5)在(2)的条件下要想使输出的值等于3，输入的x的值应为多大？(6)在(2)的条件下要想使输入的值与输出的值相等，输入的x的值应为多大？[解析](1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4.所以f(x)＝－x2＋4x.因为f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.(4)因为f(x)＝－(x－2)2＋4，所以函数f(x)在[2，＋∞)上是减函数．所以在[2，＋∞)上，x值大的对应的函数值反而小，从而当输入的x的值大于2时，x 值大的输出的f(x)值反而小．(5)令f(x)＝－x2＋4x＝3，解得x＝1或x＝3，所以要想使输出的值等于3，输入的x＝1或x＝3.所以要想使输出的值等于3，输入的x的值应为1或3.(6)由f(x)＝x，即－x2＋4x＝x，得x＝0或x＝3，所以要想使输入的值和输出的值相等，输入的x的值应为0或3.。
【成才之路】2014高中数学 1-3-2-2 习题课能力强化提升 新人教A版必修1
【成才之路】2014高中数学 1-3-2-2 习题课能力强化提升 新人教A 版必修1一、选择题1．若函数f (x )＝x (x ∈R )，则函数y ＝－f (x )在其定义域内是( ) A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数 D ．单调递减的奇函数[答案] D2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ) A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2－1xC ．f (x )＝1－x 2D ．f (x )＝x 3[答案] D[解析] ∵对于A ，f (－x )＝(－x )＋1－x ＝－(x ＋1x)＝－f (x )；对于D ，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴A 、D 选项都是奇函数．易知f (x )＝x 3在(0,1)上递增．3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )上的表达式为( )A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (|x |＋2)C ．y ＝|x |(x －2)D ．y ＝x (|x |－2)[答案] D[解析] 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋2x .又f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.∴f (x )＝x (|x |－2)．故选D.4．(2012～2013泉州高一检测)f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (3)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (3)>f (2)C ．f (－1)<f (3)D ．f (2)>f (0)[答案] C5．已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[23，＋∞)[答案] A[解析] 由图象得2x －1<13，∴x <23，选A.6.已知函数f (x )和g (x )均为奇函数，h (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h (x )在(－∞，0)上的最小值为( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．5[答案] B[解析] 解法一：令F (x )＝h (x )－2＝af (x )＋bg (x )， 则F (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤5， ∴x ∈(0，＋∞)时，F (x )＝h (x )－2≤3. 又x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴F (－x )≤3⇔－F (x )≤3 ⇔F (x )≥－3.∴h (x )≥－3＋2＝－1，选B.7．函数y ＝f (x )对于任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，当x ＞0时，f (x )＞1，且f (3)＝4，则( )A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝3B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝3C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝2D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝2 [答案] D[解析] 设任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1.∵x 2－x 1＞0，又已知当x ＞0时，f (x )＞1， ∴f (x 2－x 1)＞1.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在R 上是增函数．∵f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)－1＝f (1)＋[f (1)＋f (1)－1]－1＝3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2.8．(胶州三中2012～2013高一模块测试)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)[答案] D[解析] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，f x －f －x x ＝2f x x<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)． 二、填空题9．(2012～2013大连高一检测)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m ＝________.[答案] －810．(上海大学附中2012～2013高一期末考试)设函数f (x )＝x ＋1x ＋a x为奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] f (x )＝1x(x ＋1)(x ＋a )为奇函数⇔g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数， 故g (－1)＝g (1)，∴a ＝－1.11．(2012～2013山东冠县武训中学月考试题)对于函数f (x )，定义域为D ＝[－2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)①若f (－1)＝f (1)，f (－2)＝f (2)则y ＝f (x )在D 上为偶函数 ②若f (－1)＜f (0)＜f (1)＜f (2)，则y ＝f (x )在D 上为增函数③若对于x ∈[－2,2]，都有f (－x )＋f (x )＝0，则y ＝f (x )在D 上是奇函数 ④若函数y ＝f (x )在D 上具有单调性且f (0)＞f (1)则y ＝f (x )在D 上是递减函数 [答案] ③④[解析] 虽然①②不正确，③④正确．12．偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，若x 1<0，x 2>0，且|x 1|>|x 2|，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是______．[答案] f (x 1)>f (x 2) [解析] ∵x 1<0，∴－x 1>0， 又|x 1|>|x 2|，x 2>0，∴－x 1>x 2>0，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (－x 1)>f (x 2)， 又∵f (x )为偶函数，∴f (x 1)>f (x 2)．此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然． 三、解答题13．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a 、b 、c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c 的值．[解析] 由条件知f (－x )＋f (x )＝0，∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx＝0， ∴c ＝0又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ， ∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得：－1<a <2，∴a ＝0或1，∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1、b ＝1、c ＝0.14．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． [分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， 即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2·[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，则需f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，∴只需使a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵x 1＋x 2>4， ∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，故a 的取值范围是(－∞，16]．15．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．[解析](1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4. ∵f(x)的图象过点A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}． 单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]． 单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．16．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (1)；(2)证明f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (x －2)≥2的x 的取值范围．[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f (x ·y )＝f (x )＋f (y )的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当配凑，将所给不等式化为f [g (x )]≥f (a )的形式，再利用f (x )的单调性来求解．[解析] (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)证明：令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x)＝－f (x )．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．由于x 2x 1>1，故f (x 2x 1)>0，从而f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f (13)＝－1，而f (13)＝－f (3)，故f (3)＝1.在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)， ∴f (x )≥f [9(x －2)]，∴x ≤94又⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －2>0，∴2<x ≤94∴x 的取值范围是(2，94]．规律总结：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f (1x)＝－f (x )实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件：1-1-2-3 循环结构、程序框图的画法
第一章 1.1 1.1.2 第3课时
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④循环结构中常量的几个变量： 计数变量：即计数器，用来记录执行循环体的次数，如i ＝i＋1，n＝n＋1. 累加变量：即累加器，用来计算数据之和，如S＝S＋i. 累乘变量：即累乘器，用来计算数据之积，如P＝P*i. ⑤在程序框图中，一般要根据实际情况先给这些变量赋 初始值．一般情况下，计数变量的初始值为1，累加变量的 初始值为0，累乘变量的初始值为1.
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温故知新 1．下列问题的算法宜用条件结构表示的是( ) A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离 B．由直角三角形的两条直角边求斜边 C．解关于x的方程ax＋b＝0 D．计算100个数的平均数 [答案] C
[解析] A，B，D只需用顺序结构即可．
(1)在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件
进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样
的循环结构是( )
A．分支型循环
B．直到型循环
C．条件型循环
D．当型循环
[答案] D
第一章 1.1 1.1.2 第3课时
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思路方法技巧
[答案] (1)81 (2)1005
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规纳总结：此类题容易在循环体执行的次数上出错，搞 不清楚最后一个数据到底是多少，做题时希望大家细心．
【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新人教A版必修1
【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新人教A 版必修1一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1、x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1、x 2∈I )，那么x 1<x 2 [答案] D2．给出下列命题：①y ＝1x在定义域内是减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] ①y ＝1x在定义域内不具有单调性；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上先减后增；④当k ＝0时，y ＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( ) A ．f (－x 1)＞f (－x 2) B ．f (－x 1)＜f (－x 2) C ．f (－x 1)＝f (－x 2) D ．无法确定[答案] B[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)＜f (－x 2)，故选B.4．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)．如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．5．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C. 6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b＞0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )在R 上是增函数D ．函数f (x )在R 上是减函数 [答案] C [解析]由f a －f b a －b＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0，f a －f b ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜0，f a －f b ＜0.∴当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )， ∴f (x )在R 上单调递增，故选C.7．(2012～2013黄中月考题)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A ．f (－1)<f (1)<f (2) B ．f (1)<f (2)<f (－1) C ．f (2)<f (－1)<f (1) D ．f (1)<f (－1)<f (2)[答案] B[解析] 因为二次函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，则f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)<f (2)<f (3)，即f (1)<f (2)<f (－1)．故选B.二、填空题9．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．[答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1][解析] 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2xx ＋x的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.10．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m2×4＝－2，解得m ＝－16∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.11．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34)[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a＋1)≤f (34)．12．已知f (x )是定义在R 上的增函数，下列结论中，①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数，其中错误的结论是________．[答案] ①②④ 三、解答题13．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．[解析] 由题意，确定函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y ＝f (x )是单调递增的．由图(2)可知，在(－3π2，0)和(3π2，5π2)内，y ＝g (x )是单调递增的．14．求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．[证明] 设x 1，x 2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－1x 1－1)－(－1x 2－1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2.因为x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．15．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性 (1)y ＝f (x )＋a ； (2)y ＝a －f (x )； (3)y ＝[f (x )]2.[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．16．求下列函数的单调区间．(1)y ＝|x 2－x －6|；(2)y ＝－x 2＋3|x |＋1.[分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间 [解析] (1)函数解析式变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋－2≤xx 2－x －x ＜－2或x ＞画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋1 x －x 2－3x ＋1 x，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －322＋134x －x ＋322＋134x，函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－32]，[0，32]，单调减区间为[－32，0]，[32，＋∞)．。
【成才之路】高中数学 2213 换底公式能力强化提升 新人教A版必修1.doc
【成才之路】2014高中数学 2-2-1-3 换底公式能力强化提升 新人教A 版必修1一、选择题 1.log 89log 23＝( ) A.23 B.32 C ．1 D ．2[答案] A[点拨] 原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A.2．log 23·log 3m ＝12，则m ＝( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．1[答案] B[解析] log 23·log 3m ＝log 2m ＝12∴m ＝2 12＝2，故选B.3．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C. 4．若2.5x ＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y＝( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3[答案] A[解析] x ＝log 2.51000，y ＝log 0.251000， ∴1x ＝log 10002.5，1y＝log 10000.25，∴1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝13，故选A. 5．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B.a ＋2b1＋a C.2a ＋b1－aD.a ＋2b1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a，故选C.6．设，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析]＝log 310∈(2,3)，故选D.7．设a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a＝4b＝6c＝m ， ∴a ＝log 3m ，b ＝log 4m ，c ＝log 6m ，∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c＝log m 6，又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B.8．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3， 那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝lg a ＋lg b 2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.二、填空题 9．log 22＋log 927＋4log 413＝________.[答案] 15[解析] 原式＝12＋log 3233＋13＝15.10．log 43·log 13 432＝________.[答案] －58[解析] 原式＝log 43·(－14log 332)＝－14×log 432＝－14×log 2225＝－14×52＝－58.11．lg9＝a,10b＝5，用a 、b 表示log 3645为________． [答案]a ＋ba －2b ＋2[解析] 由已知b ＝lg5，则log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg4＋lg9＝a ＋b a ＋2lg2＝a ＋ba ＋21－b＝a ＋ba －2b ＋2.12．(山东淄博2012～2013高一期中试题)设3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝________.[答案] 1[解析] 由3x ＝4y＝36得x ＝log36，y ＝log 436，2x ＋1y ＝2log 336＋1log 436＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. 三、解答题13．(瓮安二中2012～2013学年度第一学期高一年级期末考试数学科卷)求下列各式的值： (1)log 427·log 258·log 95； (2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解析] (1)原式＝lg27lg4·lg8lg25·lg5lg9＝3lg32lg2·3lg22lg5·lg52lg3＝98(2)解法一：原式＝log 43·log 32＋log 83·log 32＋log 43·log 92＋log 83·log 92 ＝log 223·log 32＋log 233·log 32＋log 223·log 322＋log 233·log 322＝12log 23·log 32＋13log 23·log 32＋12log 23·12log 32＋13log 23·12log 32＝12＋13＋14＋16＝54. 解法二：原式＝(log 223＋log 233)·(log 32＋log 322) ＝(12log 23＋13log 23)(log 32＋12log 32) ＝56log 23×32log 32＝54. 14．计算：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)×log 9n32.[分析] 此题是不同底数的对数运算，也需用换底公式进行化简求值． [解析] 原式＝(log 23＋2log 232log 22＋3log 233log 22＋…＋n log 23n log 22)×log 9n 32＝(log 23＋log 23＋log 23＋…＋log 23)×log 9n32 ＝n ×log 23×5n ×12log 32＝52.[点评] (1)应用换底公式时，究竟换成以什么为底？ ①一般全都换成以10为底的对数．②根据情况找一个底数或真数的因子作为底．(2)直接利用换底公式的下面几个推论，加快解题速度． log a b ＝1log b a ，log an b m ＝m nlog a b ，log an b n＝log a b .15．某化工厂生产化工产品，去年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，精确到1年)?[分析] 设x 年后每桶的生产成本为20元，由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式，解出x .[解析] 设x 年后每桶的生产成本为20元． 1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)， 2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，x 年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x ＝20.所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得x lg0.72＝lg0.4.故x ＝lg0.4lg0.72＝lg 4×10－1lg 72×10－2＝lg4－1lg72－2 ＝2lg2－13lg2＋2lg3－2≈0.3010×2－13×0.3010＋2×0.4771－2＝－0.398－0.1428≈3(年)．所以，3年后每桶的生产成本为20元． 16．设3x ＝4y ＝6x＝t >1，求证：1z －1x ＝12y.[分析] 对数与指数的底数都不相同时，首先用换底公式将底数化为相同． [解析] 证法一：∵3x＝4y＝6z＝t >1， ∴x ＝lg t lg3，y ＝lg t lg4，z ＝lg t lg6，∴1z －1x ＝lg6lg t －lg3lg t ＝lg2lg t ＝lg42lg t ＝12y . 证法二：∵3x＝4y＝6z ＝t >1，两边同时取以t 为底的对数，得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1， ∴1z －1x ＝log t 6－log t 3＝log t 2＝12log t 4＝12y. [点评] 化为同底与指对互化是解决指数、对数求值问题的常用策略．运用换底公式时，要注意选取合适的底数，以达到简化运算的作用．。
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【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新人教A 版必修1一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1、x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1、x 2∈I )，那么x 1<x 2 [答案] D2．给出下列命题：①y ＝1x在定义域内是减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] ①y ＝1x在定义域内不具有单调性；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上先减后增；④当k ＝0时，y ＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( ) A ．f (－x 1)＞f (－x 2) B ．f (－x 1)＜f (－x 2) C ．f (－x 1)＝f (－x 2) D ．无法确定[答案] B[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)＜f (－x 2)，故选B.4．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)．如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．5．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C. 6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f b a －b＞0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )在R 上是增函数D ．函数f (x )在R 上是减函数 [答案] C [解析]由f a －f b a －b＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0，f a －f b ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜0，f a －f b ＜0.∴当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )， ∴f (x )在R 上单调递增，故选C.7．(2012～2013黄中月考题)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A ．f (－1)<f (1)<f (2) B ．f (1)<f (2)<f (－1) C ．f (2)<f (－1)<f (1) D ．f (1)<f (－1)<f (2)[答案] B[解析] 因为二次函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，则f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)<f (2)<f (3)，即f (1)<f (2)<f (－1)．故选B.二、填空题9．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．[答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1][解析] 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0x ＋1 x <0的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.10．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m2×4＝－2，解得m ＝－16∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.11．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34)[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a＋1)≤f (34)．12．已知f (x )是定义在R 上的增函数，下列结论中，①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x 是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数，其中错误的结论是________．[答案] ①②④ 三、解答题13．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．[解析] 由题意，确定函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y ＝f (x )是单调递增的．由图(2)可知，在(－3π2，0)和(3π2，5π2)内，y ＝g (x )是单调递增的．14．求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．[证明] 设x 1，x 2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－1x 1－1)－(－1x 2－1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2.因为x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．15．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性 (1)y ＝f (x )＋a ； (2)y ＝a －f (x )； (3)y ＝[f (x )]2.[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．16．求下列函数的单调区间．(1)y ＝|x 2－x －6|；(2)y ＝－x 2＋3|x |＋1.[分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间 [解析] (1)函数解析式变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6－2≤x ≤3x 2－x －6x ＜－2或x ＞3画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋1 x ≥0－x 2－3x ＋1 x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －322＋134x ≥0－x ＋322＋134x <0，函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－32]，[0，32]，单调减区间为[－32，0]，[32，＋∞)．。