多阶抽样

两阶抽样与整群抽样的主要区别在于：整群抽 两阶抽样与整群抽样的主要区别在于： 样是对总体中抽取的每个样本群体所包含的基本单 元进行全面调查； 元进行全面调查；而两阶抽样则把总体中所有的群 体视为一阶单元， 体视为一阶单元，对每一个被抽中的一阶单元所包 含的二级单元（即基本单位） 含的二级单元（即基本单位），不是进行全面的调 查，而是再进行一次抽样调查（也称抽子样本）。 而是再进行一次抽样调查（ 也称抽子样本） 即两阶抽样，产生两级样本， 即两阶抽样，产生两级样本，最后综合估算出总的 一级样本指标。至于在综合估算的方式方法上， 一级样本指标。至于在综合估算的方式方法上，两 阶抽样与整群抽样也是极其相似的， 阶抽样与整群抽样也是极其相似的，只不过前者为 就被抽一级单元的样本指标进行综合估算， 就被抽一级单元的样本指标进行综合估算，后者为 就被抽样群体单元的全体指标进行综合估算。 就被抽样群体单元的全体指标进行综合估算。
对5家企业的调查结果: 家企业的调查结果:
样本企业 1 2 3 4 5 第一日 57 38 51 48 62 第二日 59 41 60 53 55 第三日 64 50 63 49 54
要求根据这些数据推算100家企业该指标的总 要求根据这些数据推算100家企业该指标的总 100 并给出估计的95 的置信区间。 95% 量，并给出估计的95%的置信区间。 对这个问题， 解 ： 对这个问题 ， 我们可以利用二阶抽样的 思路解决。 首先将企业作为初级单元， 思路解决 。 首先将企业作为初级单元 ， 将每一天 看作二级单元， 每个企业在调查月内都拥有30 30天 看作二级单元 ， 每个企业在调查月内都拥有 30 天 即拥有30个二级单元） 30个二级单元 （即拥有30个二级单元）。 在这个问题中， 在这个问题中 ， 调查人员首先在初级单元中 抽取了一个n= 的简单随机样本， n=5 抽取了一个 n=5 的简单随机样本 ， 然后对每个样 本单元的二级单元分别独立抽取了一个m= m=3 本单元的二级单元分别独立抽取了一个 m=3 的简 单随机样本， 这就是初级单元大小相等的二阶抽 单随机样本 ， 样问题。 样问题。
当我们面对的总体单元数很庞大， 当我们面对的总体单元数很庞大， 而且分布范 围很广时，如果使用单阶抽样方法，不仅工作量大， 围很广时，如果使用单阶抽样方法，不仅工作量大， 而且在精度上很难把握， 而且在精度上很难把握，此时从费用和抽样估计效 率考虑，如果改用多阶抽样方法， 率考虑，如果改用多阶抽样方法，就会避免上述困 从而达到理想的抽样效果。 难，从而达到理想的抽样效果。
1.总体均值的估计 1.总体均值的估计 对于二阶抽样， 对于二阶抽样，若两个阶段的抽样都是简单 随机的， 的无偏估计量为: 随机的，则其总体均值 Y 的无偏估计量为:
n m ˆ 1n Y = y = ∑∑ yij m0 = ∑ yi n i=1 i =1 j =1
由于在每个一阶单元中的第二阶抽样是相互独立 进行的，所以，在二阶段都用不放回方法抽样时， 进行的，所以，在二阶段都用不放回方法抽样时， Y 其总体均值估计量的方差可构造为 1 − f1 2 1 − f 2 2 V ( y) = S1 + S2 n mn 1 2 S2 2 S 2 2 S12 )+ = ( S1 − − n M mn N 可以证明其方差的无偏估计量为
第九章
第一节 第二节 第三节
多阶抽样
多阶抽样概述 一阶单元等大小的两阶抽样 一阶单元不等大小的两阶抽样
第一节 多阶抽样概述
一、多阶抽样的基本概念 单阶抽样： 1. 单阶抽样 ： 从总体中通过一次抽样就能够 产生一个完整的样本， 这类抽样即为单阶抽样。 产生一个完整的样本 ， 这类抽样即为单阶抽样 。 前面介绍的几种抽样方式均为单阶抽样。 前面介绍的几种抽样方式均为单阶抽样 。 适合用 于总体单元数相对较少的抽样过程。 于总体单元数相对较少的抽样过程。 多阶抽样： 2. 多阶抽样 ： 根据实际情况将整个抽样程序 分成若干个阶段， 一个阶段一个阶段地进行抽样， 分成若干个阶段 ， 一个阶段一个阶段地进行抽样 ， 以完成整个抽样过程，这种抽样就叫多阶抽样。 以完成整个抽样过程，这种抽样就叫多阶抽样。
ˆ ˆ ˆ V (Y ) = N 2 M 2V ( y ) = 1002 × 302 × 9.4372 = 84934800
ˆ Y 的标准差为： 的标准差为：
ˆ ˆ ˆ s (Y ) = V (Y ) = 84934800=9216
在置信度95%的条件下，对应的t=1.96，因此， 在置信度95%的条件下，对应的t=1.96，因此， 95%的条件下 t=1.96 ˆ 的置信区间为： 的置信区间为： Y
3.最佳抽样比的确定 3.最佳抽样比的确定 考虑简单线性费用函数 C = C 0 + C1 n + C 2 nm 和方差函数
二、多阶抽样的特点 便于组织抽样； (一)便于组织抽样； 抽样方式灵活， (二)抽样方式灵活，有利于提高抽样的估计效 率； (三)多阶段抽样对基本调查单元的抽选不是一 步到位的； 步到位的； (四)多阶段抽样实质上是分层抽样与整群抽样 的有机结合； 的有机结合； (五)多阶抽样在抽样时并不需要二阶或更低阶 单元的抽样框； 单元的抽样框； 多阶抽样还可用于“散料”的抽样， (六)多阶抽样还可用于“散料”的抽样，即散 料抽样。 料抽样。
160800 ± 1 . 96 × 9216
2.总体比例的估计 若两阶段的抽样都是不放回简单随机的， 若两阶段的抽样都是不放回简单随机的，则 总体比例P 总体比例P的无偏估计量为
1 n ˆ P = p = ， ∑ pi n i =1 1− f 1− f2 2 ˆ 其方差为 V ( P) = V ( p) = ， 1 S1 2 + ˆ S1 n Mn 1 − f1 2 1 − f 2 2 ˆ 方差估计量为 V ( p) = s1 + s2 n mn 1 n 1 N s12 = ( pi − p ) 2 式中 S12 = ( Pi − P)2 ∑ ∑ n − 1 i =1 N − 1 i =1 n N m M 2 2 2 s2 = pi (1 − pi )2 S2 = ∑ ∑ Pi (1− Pi ) n(m −1) i=1 N (M −1) i=1
ˆ ( y ) = 1 − f1 s 2 + f1 (1 − f 2 ) s 2 V 1 2 n mn 1 − 0.05 0.05(1 − 0.1) = × 49.3 + × 23.4 = 9.4372 5 5× 3
计算
ˆ ˆ) Y 及 Vˆ ( Y :
Yˆ = NM y = 100 × 30 × 53 . 6 = 160800
第二节 一阶单元等大小的两阶抽样
一、估计量及其方差 由于二阶抽样中，抽样过程分成两步，因此， 由于二阶抽样中，抽样过程分成两步，因此， 对于总体参数的估计量求均值和方差时， 对于总体参数的估计量求均值和方差时，必须把 这两阶抽样过程所能产生的所有样本加以平均， 这两阶抽样过程所能产生的所有样本加以平均， 即 E (θˆ ) = E 1 [E 2 (θˆ ) ]
f1 = 1 当 时，二阶抽样可视为分层抽样， f2 < 1 f1 < 1 当 时，二阶抽样可视为整群抽样 f2 = 1
两阶抽样与分层抽样的主要区别在于： 分层 两阶抽样与分层抽样的主要区别在于所有的样本进行抽查； 样 ， 再对所有的样本进行抽查 ； 而两阶抽样则把 总体中所有的群体视为一阶单元， 总体中所有的群体视为一阶单元 ， 对这些一阶单 元进行抽样， 将抽出的样本再次进行抽样（ 元进行抽样 ， 将抽出的样本再次进行抽样 （ 两次 都不是进行全面的调查） 产生两级样本， 都不是进行全面的调查 ） ， 产生两级样本 ， 最后 综合估算出总的一级样本指标。 综合估算出总的一级样本指标。
60 43 58 50 57
s
13 39 39 7 19
于是得到： 于是得到：
1 n 1 y = ∑ y i = (60 + 43 + 58 + 50 + 57) = 53.6 n i =1 5 1 n 2 s1 = ( y i − y ) 2 = 49.3 ∑ n − 1 i =1 1 n 2 2 s 2 = ∑ s 2i = 23.4 n i =1
ˆ ( y ) = 1 − f1 s 2 + f1 (1 − f 2 ) s 2 V 1 2 n mn
欲调查4月份100家企业的某项指标， 100家企业的某项指标 例 ： 欲调查 4 月份 100 家企业的某项指标 ， 首 先从100家企业中抽取了一个含有5 100家企业中抽取了一个含有 先从 100家企业中抽取了一个含有 5家样本企业的 简单随机样本， 简单随机样本 ， 由于填报一个月的数据需要每天 填写流水账，为了减轻样本企业的负担， 填写流水账 ， 为了减轻样本企业的负担 ， 调查人 员对这5家企业分别在调查月内随机抽取3 员对这 5家企业分别在调查月内随机抽取 3天作为 调查日，要求样本企业只填写这三天的流水帐。 调查日 ， 要求样本企业只填写这三天的流水帐 。 调查结果如下： 调查结果如下：
由题意，N=100 M=30 n=5,m=3 100， 30， 由题意，N=100，M=30，n=5,m=3
n 5 m 3 f1 = = = 0 . 05 ， f 2 = = = 0 .1 N 100 M 30
首先计算样本初级单元的均值
样本企业 1 2 3 4 5
yi
、方差
2 s 2i 2 2i
yi
从总体中随机抽取一部分一阶单元， 从总体中随机抽取一部分一阶单元，然后再从被 抽中的一阶单元内， 抽中的一阶单元内，随机抽取部分二阶单元并对它们 进行全面调查，我们把这种抽样技术称为两阶抽样。 进行全面调查，我们把这种抽样技术称为两阶抽样。 它是由印度统计学家马哈拉诺比斯首先提出来的。 它是由印度统计学家马哈拉诺比斯首先提出来的。 如果在被抽中的二阶单元中， 如果在被抽中的二阶单元中，再抽取部分三阶单 元组成样本，并对抽中的三阶单元进行全面的调查， 元组成样本，并对抽中的三阶单元进行全面的调查， 这就是三阶抽样。类似地， 这就是三阶抽样。类似地，可以定义四阶抽样或更高 阶的抽样，通常将两阶以上的抽样称为多阶抽样。 阶的抽样，通常将两阶以上的抽样称为多阶抽样。