计量第五章 异方差

异方差产生的原因
3.随着数据采集技术的改进，σi2 可能减小。例如，有 精巧数据处理设备的银行，在他们对账户的每月或 每季收支说明书中，比之于没有这种设备的银行， 会出现更少的差错。 4.异方差还会异常值的出现而产生。 5.异方差还会因为模型的设定错误而产生。
案例分析
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+ui Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支 配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较 小 ui的方差呈现单调递增型变化
参看案例分析
四、异方差的修正—加权最小二乘法
如线性回归模型为 Yi 0 1 X1i K X Ki ui 经检验，误差项有如下异方差性 Var (ui ) i2
(1)
（一）若σi2为已知 可以用σi 除模型(1)各项，得到 Yi 0 1 1 X1i K X Ki ui
（二）戈德菲尔德-夸特检验
计算统计量：
F
ei22
i2
e
i1
2 i1
T C K 1 2 T C K 1 2
e e
i2 i1
2 i2 2 i1
F(
T C T C K 1, K 1) 2 2
查表求临界值F ， 如果 F F ，拒绝原假设，误差项存在明显的递增异方差性； 如果 F F ，接受原假设，误差项没有明显的异方差性。

怀特检验是通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差的。 不妨设回归模型为三变量（二元）线性回归模型：
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
怀特检验的具体步骤为： （1）估计回归模型，得到每一个残差的平方ei2 （2）估计辅助回归模型： 2 ei2 0 1 X 1i 2 X 2i 3 X 12i 4 X 2i 5 X 1i X 2i i 即将残差平方关于所有解释变量的一次项、二次项和交 叉乘积项进行回归。若继续引入高次项会使自由度下降， 故一般只引入二次项。
（四）怀特检验
（3）得到辅助回归模型中的可决系数R的平方。可以证明， 在同方差的假定下，即在原假设为：
H 0 : 1 2 3 4 5 0
渐进的有：
TR 2 ~ 2 ( g )
自由度 g 为辅助回归模型中解释变量的个数。
（4）对于给定的显著性水平，若 TR2 2 ( g ) ，则拒 绝原假设，模型存在异方差性，反之，则认为不存在 异方差性。
政治环境、社会环境、技术环境、 经济环境等
三、异方差的后果
1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有线性性和无偏性， 但不具有有效性
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t 统计量
其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的 统计性质；
所以，当模型出现异方差性时，参数 OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y 的预测误差变大，降低预测精度，预测功能 失效。
第五章 异方差
异方差
一、异方差的概念 二、产生异方差的原因（来源）
三、异方差的后果
四、异方差的检验（诊断） 五、异方差的修正
一、异方差的概念
违背了模型假 定条件2
异方差可以表示为 Var ui i2 常数
12 或 2 2 Ω Var u E uu n2 即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常
i i i i
i
令Yi* = Yi/σi ,X0i* =1/σi , X1i* =X1i/σi =Xki/σi , ui* =ui/σi ，则上式可化为 则此模型(2)无异方差，为什么？
…, Xki*
Yi* = β0X0i* + β1X1i* +…+ βkXki+ ui* (2)
四、异方差的修正—加权最小二乘法
例2：以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为 样本建立居民消费函数： Ci 0 1Yi ui 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为 样本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的 组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差 大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 值的不同而不同，往往引起异方差性。
X 1i X 1i X 1i
X 1i
令Yi* = Yi/X1i,X1i* =1/X1i, X2i* =X2i/X1i =Xki/X1i, ui* =ui/X1i ，则上式可化为 则此模型(2)无异方差，为什么？
…, Xki*
Yi* = β1+β0X1i* + β2X2i* +…+ βkXki*+ ui* (2)
Si 0 i 1 Ii Ii Ii
S/I的残差序列图
Si i 1 2 Ii Ii Ii Ii
S/i^0.5的残差序列图
Si 0 Ii i 1 序列图
收入
17663 18575 19635 21163 22880 24127 25604 26500 27670 28300 27430
n
23 24 25 26 27 28 29 30 31
储蓄
2105 1600 2250 2420 2570 1720 1900 2100 2300
收入
29560 28150 32100 32500 35250 33500 36000 36200 38200
数，而互不相同，则认为出现了异方差性。
二、异方差产生的原因


普遍性：两类数据都有，横截面数据更多。 原因：
1.按照边错边改学习模型，人们在学习过程中，其行为误 差随时间而减少。在这种情形下，方差σi2会逐渐变小。 例如，随着打字练习小时数的增加，不仅平时打错的个 数而且打错的方差都有所下降。 2.随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支 配他们的收入有更大的选择范围。因此，在作出储蓄对 收入的回归时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有 更多的选择，σi2与收入俱增。因此，以增长为导向的公 司比之于已发展定型的公司在红利支付方面也可能表现 更多的变异。
（三）戈里瑟检验
e
e
Xj
0
a
0
b
Xj
e
0
c
Xj
（三）戈里瑟检验

通常拟合 e 和 X j 之间的回归模型：
e X
l j

根据图形中的分布选择
1 l 1,2,1或 2
Xj
j

还可以拟合 e 2 和
之间的回归模型
e 2 2 f X
e
（四）怀特检验
戈里瑟检验
ei ii i
常数项不显著，去掉再回归
戈里瑟检验
ei I i i
戈里瑟检验
ei 1 i Ii
戈里瑟检验
ei I i2 i
由于根据残差序列图可看出回归残差的绝对值有随X 线性增长的趋势，因此考虑直接对模型做变换为
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
收入I
8777 9210 9954 10508 10979 11912 12747 13499 14269 15522 16730
n
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
储蓄
950 779 819 1222 1702 1578 1651 1400 1829 2200 2017
（二）若σi2为未知 对线性回归模型为 Yi 0 1 X1i K X Ki ui (1) 假设误差项的方差正比于X1i2 ，即 Var (ui ) CX 12i 其中C为常数。 可以用X1i除模型(1)各项，得到 Yi 0 1 1 K X Ki ui
（四）怀特检验
在Eviews中首先对原模型进行回归，然后 在窗口中点击View\Residual Test\White Heteroskedasticity. 此时可选择是否包含交叉乘积项，若是原模 型只包含一个解释变量，辅助回归模型中 就没有交叉乘积项，若是含有两个及两个 以上解释变量，就应选择含有交叉乘积项。
加权最小二乘法

加权最小二乘法 在上述公式中的 Wi =
1 X 1i

理解成权重，则构成了“加权最小二乘法”
例: 参看课本P125页案例分析

在研究某地区居民的储蓄倾向时，得到了如表6－1所示的数据 资料。判断用线性回归模型研究居民储蓄倾向时，误差项是否 存在异方差，并给出处理的方法。 储蓄S
264 105 90 131 122 107 406 503 431 588 898
例3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响 被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度 不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变 量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
（二）戈德菲尔德-夸特检验



对于递减异方差性模型，检验的方法相似， 只要把前面构造的F统计量的分子分母互 换，就可以用同样的程序检验模型是否存 在递减型的异方差问题。 但该方法的有效性还依赖于C的选择，还 有，当模型出现多于一个X变量时，就可 以按任意一个X变量的大小顺序将观测值 排列。 参看案例分析
三、异方差的检验（诊断）

检验思路： 由于异方差性就是相对于不同的解释变 量观测值，随机误差项具有不同的方差。 那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项 的方差与解释变量观测值之间的相关性及 其相关的“形式”。