计量经济学第五章异方差
《计量经济学》第五章精选题及答案
第五章 异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？ （1）OLS 估计量及其方差； （2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。
2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？ 3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。
4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？ （1）图示法 （2）Park 检验 （3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。
三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+= e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。
研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。
（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？ （3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。
（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。
《计量经济学》第五章 异方差性
25
（一）残差图形分析
设一元线性回归模型为： Yi β1 β2 X i ui
运用OLS法估计,得样本回归模型为： ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 X i
由上两式得残差：
ˆ ei Yi - Yi
绘制出 ei2 对 X i的散点图 ◆如果 ei 2 不随 X i 而变化，则表明不存在异方差； ◆如果 ei 2 随 X i 而变化，则表明存在异方差。
●图示检验法 ● 帕克检验 ● 格莱泽检验 ● Goldfeld-Quanadt检验 ● White检验
24
在经济研究中，对应于一个具体的 X 值， 多数情况都只有一个样本 值。所以 Y 没有任何办法能从仅仅一个 Y 观测值去获 得 i 2 。因此在大多数的计量经济调查研 究中，异方差不过是一种直觉，深思熟虑 的猜测，先前经验或纯粹猜想。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）检验的特点
不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异
方差随某个解释变量变化的函数形式
该检验要求变量的观测值为大样本。
进行诊断。
28
（三）检验的步骤
1.建立模型并求 ei 根据样本数据建立回归模型，并求残差序列
ˆ ei = Yi - Yi
2.寻找 ei 与 X 的最佳函数形式
用残差绝对值 ei 对 X i 进行回归，用各种函数
13
一、对参数估计统计特性的影响
（一）参数估计的无偏性仍然成立 参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对无偏性 的成立没有影响。 （二）参数估计的方差不再是最小的 同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所 以随机误差项是异方差时，将不能再保证最小二 乘估计的方差最小。
《异方差的概念》PPT课件
主要包括：
（1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 （随机解释变量）；
在进行计量经济学模型的回归分析时，必须对模型是否 满足基本假定进行检验，这种检验称为计量经济学检验。
第一节 异方差的概念
一、异方差的概念
对于模型
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui
如果出现
Var
(ui
)
2 i
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为模型出现了异方 差性(Heteroskedasticity)。
概
率
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大； (2)单调递减型： i2随X的增大而减小； (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
图5.1 异方差的类型
三、实际经济问题中的异方差性
例5.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; Xi : 第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 高收入家庭随机误差项的方差明显大于低收入家 庭。
例5.2：截面资料下研究企业的成本函数
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个企业的生产成本; Xi : 第i个企业的总产值
密
Y
度
X1
X2
X3
X
异方差性干扰
存在异方差时U的方差 协方差矩阵为：
计量经济学第五章
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入删除变量名--OK • 对比删除前后的AIC与SC信息值,信息
值小的结论是应采纳的。
9
用Eviews的误设定检验3
• 第一,估计出简单(单纯)方程 • 第二,在命令窗口上写入genr v_hat=resid 或者 Procs/Generate Series中 v_hat=resid 发现 v_hat • 第三,估计出新的回归方程
无约束模型(U)
有约束模型(K) (general to simple)
计算统计量F
F=(RSSK-RSSu)/J RSSu/(n-k-1)
~F(J, n-k)
J 为表示约束条件数, K 为表示自变量数 或者 应估计的参数数, n 为表示样本数(obs)
4
2. LM检验(Lagrange Multiplier
多重共线性多出现在横截面资料上。
16
三、异方差性的检验及对策
Var(ℇi)≠Var(ℇj) (i≠j)时, ℇi中存在异方差性(Herteroskedasticity)。 即随机项中包含着对因变量的影响因素。 异方差性多发生在横截面资料上。
17
异方差性的检验
1.图示检验法 如模型为Yi=0+1X1i+2X2i+…+ℇi 时,
7
用Eviews的误设定检验1
• 首先估计出简单(单纯)方程 • View/Coefficient Tests/Omitted
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入新变量名 OK • 检验结果出现在上端,如果P值很小时, 拒
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
19
二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
10
第二节 异方差性的后果
计量经济学第五章异方差性
计量经济学第五章异⽅差性第五章异⽅差性本章教学要求：根据类型，异⽅差性是违背古典假定情况下线性回归模型建⽴的另⼀问题。
通过本章的学习应达到，掌握异⽅差的基本概念包括经济学解释，异⽅差的出现对模型的不良影响，诊断异⽅差的⽅法和修正异⽅差的若⼲⽅法。
经过学习能够处理模型中出现的异⽅差问题。
第⼀节异⽅差性的概念⼀、⼆个例⼦例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收⼊作为解释变量，数据为1998年的⾷品年制造业、饮料制造业等28个截⾯数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表⽰制造业利润函数，x表⽰销售收⼊（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较⼩，有的点分散幅度较⼤。
因此，这种分散幅度的⼤⼩不⼀致，可以认为是由于销售收⼊的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发⽣变化，⽽偏离均值的程度⼤⼩的不同，就是所谓的随机误差的⽅差存在变异，即异⽅差。
如果⾮线性，则属于哪类⾮线性，从图形所反映的特征看，并不明显。
下⾯给出制造业利润对销售收⼊的回归估计。
模型的书写格式为212.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..56.9046,152.9322213.4639,146.4905Y Y X R S E F Y s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异⽅差性。
例2，改⾰开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建⽴了⼀批医疗机构，还建⽴了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，⽽医疗服务需求与⼈⼝数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析⽐较医疗机构与⼈⼝数量的关系，建⽴卫⽣医疗机构数与⼈⼝数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与⼈⼝数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563?+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表⽰卫⽣医疗机构数（个），X 表⽰⼈⼝数量（万⼈）。
计量经济学第五章异方差讲解
计量经济学-第五章-异方差讲 解
第5章 异方差
异方差概念
异方差来源与后果
异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验）
异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角矩阵，且 主对角线上的元素都是常数且相等。
若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）
5.4 异方差检验
（3）Glejser检验（直接拟合法）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（第2版教材第115页） （第3版教材第94页）
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型
（课本第125页） Goldfeld-Quandt 检验
去掉中间9个观测值。
用第1个子样本回归：
，SSE1=150867.9
用第2个子样本回归：
，SSE2=958109.4
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
③ 构造F统计量。
因为F =6.35 > F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。
2 统计量进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具 体步骤如下。
yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。 ②做如下辅助回归式，
= 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进 行③OWLhSi回te检归验。的注零意假，设和上备式择中假要设保是留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。
计量经济学 第五章习题答案
第五章异方差性5.2答案：（1）EVIEWS估计的结果为：Yˆi= 9.3475+0.6371X iT=(2.5691) (32.0088)R2 =0.9464 F=1024.564（2）首先，用Goldfeld-Quandt法进行检验。
将样本X按递减顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即N1=N2=22。
分别对两个部分样本求最小二乘估计，在样本区为1—22的Eviews估计如下：样本区39—60的Eviews估计如下：得到两个部分各自的残差平方和，即∑e 12 =2495.840∑e 22 =603.0148求F 统计量为： F=∑∑e e 2221=2495.840/603.0148=4.1390给定α=0.05，查F 分布表，得临界值为F 0.05=(20,20)=2.12.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>F 0.05=(20,20)=2.12，说明该模型的随机误差项存在异方差。
其次，用White 法进行检验结果如下：给定α=0.05，在自由度为2下查卡方分布表，得χ2=5.9915。
比较临界值与卡方统计量值，即nR2=10.8640>χ2=5.9915，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。
（2）用权数W1=1/X，作加权最小二乘估计，得如下结果用White法进行检验得如下结果：F-statistic 3.138491 Probability 0.050925Obs*R-squared 5.951910 Probability 0.050999。
比较临界值与卡方统计量值，即nR2=5.9519<χ2=5.9915，说明加权后的模型中的随机误差项不存在异方差。
其估计的结果为：Yˆi= 10.3705+0.6309X iT=(3.9436) (34.0467)R2 =0.21144 F=1159.176 DW=0.95855.3答案：（1）EVIEWS估计结果：Yˆi= 179.1916+0.7195X iT=(0.808709) (15.74411)R2 =0.895260 F=247.8769 DW=1.461684 （2）利用White方法检验异方差，则White检验结果见下表：由上述结果可知，该模型存在异方差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
异方差较之 同方差更为
常见
5
横截面数据:对一个或多个变量在同一时点上收集 的数据.
比如我们在研究居民储蓄问题时: 对于低收入家庭，他们满足基本消费以后，所剩无几， 因此各个家庭之间的储蓄不会有很大差异；
而对于高收入家庭，他们满足基本消费后，收入剩余较多， 由于各个家庭在消费习惯、消费心理、家庭成员构成不同， 有的家庭可能储蓄较多，有的家庭可能储蓄少，各个家庭之 间的储蓄就会出现较大差异。此时用线性模型来居民储蓄问 题时就有可能会出现异方差问题
2
5.1 异方差问题及其产生原因
对于前面研究的一般线性回归模型
Yi b0 b1Xi b2 X2 bk Xk i
var(i )
2 i
常数, (i
1,2,
n)
3
5.1 异方差问题及其产生原因
对于我们所研究的一般线性回归模型：
Yi b0 b1X1i b2 X 2i bk X ki i
f ( Xi )
此时如果仍采用 var(bˆ1)
2
xi2
计算斜率参数的方差，将
会产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
当
xi2 xi2
f
(
X
i
)
1时，var(
bˆ1
)
2
xi2
,
过低估计参数的方差
当
xi2 xi2
f
(
X
i
)
1时，var(
bˆ1
)
2
xi2
,
过高估计参数的方差
19
从Y-X散点图可以看出，随着自变量的增加，因变量 随着增加，但是其分散程度也逐渐增大；同样，从残差 分布图中也可以发现残差的分散程度也随着自变量的增 加而加大。
★需要指出的是，图示检验法是判断异方差是否存 在比较粗略的一种方法，要精确地检验模型中是否存 在异方差，还要采用其他一些方法。★
20
• 2.戈德菲尔德－匡特检验法
第五章 异方差
1
图1：我国税收和GDP(p24页) 图2：1998年我国制造工业和利润(p71页)
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量
也增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，
随着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布
却没有出现这一特征。
13
2.普通最小二乘估计量不再是有效的
前面推导斜率参数的方差时，我们得到下面的公式 var(bˆ1) ki2 2
当模型满足同方差假定时 var(i ) 2 常数
var( bˆ1) 2
ki2
2
xi2
(最小方差)
但当模型中出现异方差时
var(i )
2 i
常数, (i
1,2,
n)
设
2 i
2
f
(Xi)
var(bˆ1)
ki2
2 i
ki2 2 f ( X i ) 2
ki2 f ( X i ) 2
(
xi2 xi2 )2
f ( Xi )
2
xi2
•
xi2 xi2
f ( Xi )
14
由此可见模型中出现异方差时，斜率系数方差公式中多出 了一个因子
xi2 xi2
简而言之： 此时采用普通最小二乘法 估计模型所得到的结果， 其准确性难以保证！！
17
估计模型的数学方法
估计模型的数学方法估计模型的数学方法估计模型的…数学…方法
加权最小二乘法普通最小二GL乘S法法 广义最小二乘法
（WLS法） （OLS法） WLS法
（GLS法）
OLS法
18
5.3 异方差的检验
1.图示法 (1)绘制Y-X散点图
我们假设对于不同的样本点，随机误差项的分散程度是相同 的；但是如果随机误差项随着自变量的变化而变化，分散程 度不同时，我们说模型中出现了异方差问题。
var( i
)
2 i
常数, (i
1,2,
n)
Var(Yi ) Var(i )
4
异方差产生的主要原因
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
基本原理：这种方法又称G-Q检验法，它首先将样本按照
升序排列，然后将样本分成两个部分，再对这两个子样本 分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和RSS1和 RSS2。如果这两个部分随机误差项的分散程度相同，那 么RSS1和RSS2应该相差不大；如果RSS1和RSS2相差 较大，在表明两个部分随机误差项的分散程度存在较大差 异，模型中存在异方差。
Байду номын сангаас15
3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标志 误差，因此也影响到t检验的效果
t(bˆi )
bˆi se(bˆi )
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联系， 随着随机误差项方差的增大，模型的预测区间也随之增 大，模型的预测误差也会相应增加。
16
11
5.2异方差对OLS估计量的主要影响
满足同方差假定 线性性 无偏性 最具有效性
存在异方差
OLS 估计量
线性性 无偏性 最具有效性
12
1.最小二乘估计量仍旧是线性无偏的
因为此时随机误差项仍旧满足零均值假定
可以证明线性：
bˆ1 b1 kii
E(i ) 0
无偏性
E(bˆ1) E(b1 kii ) E(b1) E( kii ) b1
8
9
年收益额 同年人均可支配收入
时间 年利率 每万元年收益 比重
1993.7 10.98% 1098元 42.6%
2002.2 1.98% 198元
2.57%
2007.12 4.14% 414元 3.00%
2008.12 2.25% 225元 1.43%
储蓄热情极高
储蓄热情极低 寻求其他投资
10
由于因变量和随机误差项的方差相同，因此通过观察 因变量和自变量的散点图，可以分析因变量的分散程度 与自变量之间是否存在关系，如果因变量的分散程度随 着自变量的增加呈现增大(减小)的趋势，那么就说明模 型中出现了递增(递减)型的异方差现象。
(2)绘制残差分布图e-x 建立线性回归模型后，以残差平方作为纵坐标，自变量 X作为横坐标，绘制残差分布图，如果残差平方随着自变 量的变化而出现系统变化趋势，也可以判断模型中存在 异方差问题。
6
研究居民家庭储蓄行为 如政策的变动，自然灾害的发生、 金融危机的爆发等。 这些偶然因素本身均会造成随机误 差项的异方差性。
7
研究居民家庭储蓄行为
Yi : 第i个家庭的储蓄额 X i : 第i个家庭的可支配收入
Yi b0 b1X i i × ln(Yi ) b0 b1 ln( X i ) i