07-08高等数学A1
2007-2008春季高数A试题(A卷)解答
（2） 证明
∑
n =1
∞
n = 1. ( n + 1)!
解： （1） 设 s ( x ) =
d ⎛ ex −1 ⎞ ⎜ ⎟ ，由于 dx ⎝ x ⎠
xn ∑ − 1 ∞ x n−1 e x − 1 n=0 n ! = =∑ x x n =1 n !
∞
( − ∞ < x < +∞ )
因此，
d ⎛ e x − 1 ⎞ d ⎡ ∞ x n −1 ⎤ s ( x) = ⎜ ⎟ = ⎢∑ ⎥ dx ⎝ x ⎠ dx ⎣ n =1 n ! ⎦
=∑ n − 1 n−2 ∞ n x =∑ x n −1 n=2 n ! n =1 ( n + 1) !
∞
（2）
又
s ( x) =
d ⎛ ex −1 ⎞ x ex − ex + 1 ⎜ ⎟= dx ⎝ x ⎠ x2
所以， 当 x = 1 时，
x ex − ex + 1 ∞ n =∑ x n −1 2 x n =1 ( n + 1) !
要使切平面与三个坐标面所围体积最小，只需 最小，其中 x0 , y0 , z0 满足 z0 = 4 − x0 2 − y0 2 . 构造拉格朗日函数 F ( x, y, z , λ ) =
1 3 (8 − z ) + λ ( x2 + y 2 + z − 4) xy
求解方程组
1 3 ⎧ ′ ⎪ Fx = − x 2 y ( 8 − z ) + 2λ x = 0 ⎪ 1 3 ⎪ ′ F = − 8 − z ) + 2λ y = 0 y 2 ( ⎪ xy ⎨ ⎪ 3 2 ⎪ Fz′ = − ( 8 − z ) + λ = 0 xy ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ Fλ ′ = x + y + z − 4 = 0
高等数学a1全套教材
高等数学a1全套教材高等数学对于大部分理工科学生来说是一门非常重要的课程，它为我们打下了坚实的数学基础，为日后的学习和工作打下了良好的基础。
高等数学A1是其中的一本教材，本文将对该教材的内容做一介绍。
高等数学A1教材分为多个章节，每个章节都包括了大量的数学概念、定理和例题。
下面就是该教材的主要章节内容介绍：第一章：数列与极限这一章主要介绍了数列的定义、性质以及极限的概念。
通过学习数列与极限，我们可以了解到数列中的趋势以及数列的收敛与发散情况。
第二章：函数与连续函数与连续是高等数学中非常重要的概念，这一章主要对函数的定义、性质以及连续函数的判定方法进行了详细的介绍。
通过学习这一章，我们可以更好地理解函数与连续的关系。
第三章：导数与微分导数与微分是高等数学中的核心内容，它们在数学以及其他学科中都有广泛的应用。
在这一章中，我们学习了导数的定义、性质、求导法则以及高阶导数的概念。
第四章：不定积分这一章主要介绍了不定积分的概念、性质以及一些基本的计算方法。
通过学习不定积分，我们可以更好地理解函数的积分与原函数的关系，并且学会进行不定积分的计算。
第五章：定积分与其应用定积分是高等数学中重要的内容之一，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
这一章主要介绍了定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
同时，也通过一些应用题目的讲解，使我们能够将定积分应用于实际问题的求解中。
第六章：微分方程微分方程是数学中的重要内容，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
这一章主要介绍了一阶微分方程和二阶线性微分方程的基本理论和解法。
通过学习微分方程，我们可以更好地理解动态系统的性质和行为。
第七章：级数级数是高等数学中的重要内容之一，它在数学分析以及其他领域中有着广泛的应用。
这一章主要介绍了级数的概念、性质以及一些常用的判别法则。
通过学习级数，我们可以更好地理解级数的性质和收敛情况。
以上就是高等数学A1教材的主要章节内容介绍。
通过学习这本教材，我们可以系统地学习和掌握高等数学的基本概念和方法，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
2007-2008上学期高数I试A卷答案
暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设)(x y y =是由方程0sin 21=+-y y x 所确定，则=dy dx ycos 22-. 2. 数列的极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim = __1____________________. 3. 函数xxe y =的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式为).(21332x o x x x +++4. 函数xe x y ++=4)1(的凹区间为),(+∞-∞.5. 抛物线22y x x y ==和围成的面积为____1/3________________________.二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 当时, 不为等价无穷小量的是 (D) (A) 22sin x x 和; (B)nx x n和11-+;(C) x x 和)1ln(+; (D) 2cos 1x x 和-.2.设]1,0[上0)(">x f ,则)1()0()0()1(),1('),0('f f f f f f --或几个数的大小顺序为(B)(A) );0()1()0(')1('f f f f ->> (B) );0(')0()1()1('f f f f >-> (C) );0(')1(')0()1(•f f f f >>- (D) ).0(')1()0()1('f f f f >-> 3. 以下函数有可去间断点的是 (B )(A) ⎩⎨⎧>-≤-=;0,3,0,1)(x x x x x f (B) ;39)(2--=x x x f(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=;0,0,0,1sin )(x x xx f (D) .|sin |)(x x x f = 4. 摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (θθθa y a x 的一摆)20(πθ≤≤的长度为 (D)(A) a 2; (B) a 4; (C) a 6; (D) a 8.5. 函数],[)(b a x f 在区间上连续是],[)(b a x f 在可积的 (A) (A) 充分条件; (B) 必要条件;(D) 即不是充分条件也不是必要条件.三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1. 求定积分⎰210arcsin xdx ;解: 原式⎰--=21022101|arcsin dx xx x x ----------------------------------4⎰--+=21022)1(112112x d x π----------------------------------5 2102112x -+=π--------------------------------------------6.12312-+=π----------------------------------------------7 2. 求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→;解: 原式)sin 1tan 1()sin 1(tan 1lim3x x x x x x ++++-+=→-------------------------------------------------230sin tan lim21x xx x -=→ )21~cos 1,~sin ,0(cos )cos 1(sin lim 21230x x x x x xx x x x -→-=→时当 --------5.4121lim 21320=⋅=→x x x x -----------------------------------------------------------------73. 设)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin ,cos 所确定，求22dx y d ; 解:)sin (cos t t e dt dx t -=, )cos (sin t t e dtdyt +=,-------------------------------------2,s in c o s c o s s in t t t t dtdx dt dy dx dy -+==-------------------------------------------------------4dx dtt t t t dt d dx dy dx d dx y d ⋅-+==)sin cos cos sin ()(22------------------------------------------------6 )sin (cos 1)sin (cos )cos (sin )cos (sin 222t t e t t t t t t t -⋅-++-=.)s i n (c o s 23t t e t -=--------------------------------------------------------------------74. 求不定积分⎰+x x xdxcos sin cos ;解: 原式⎰+-++=dx x x x x x x cos sin )sin (cos )sin (cos 21-------------- -- ----------------------3⎰⎰+++=x x x x d dx cos sin )cos (sin 2121----------------------------------------------------5C x x x +++=|cos sin |ln 2121.---------------------------------------------------75. 求极限2020222)1(limxdte t x x tx ⎰-→+;解: 原式22222)1(limxdt e t ex t x x ⎰+=-→------------- ---------------------------------------222022)1(limx dt e t x t x ⎰+=→-----------------------------------------------------------4xxe x x x 22)1(lim 440⋅+=→------------------------------------------------------------61)1(lim 440=+=→x x e x .-------------------------------------------------------------76. 求过点)0,23(与曲线21xy =相切的直线方程; 解: 设切点为)1,(20x x , 32'xy -=, 所以切线方程为-----------------------------1 )(21032x x x x y --=-.-----------------------4因)0,23(过切线, 所以)23(210032x x x --=-.-----------------------6 解得.10=x 因此切线方程为 .032=-+x y --------------------------------------7 7. 讨论瑕积分⎰10q x dx(q >0)的收敛性，如果收敛则计算其值.解: 对任意)1,0(∈ε,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=-=-==--⎰.1),1(1111,1,ln |ln 11111q q x q q x x dx q q q εεεεε------------------------------------------3因此⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰+→.1,,1,11lim10q q q x dx qεε--------------------------------------------------------------------6即1≥q 发散,当1<q 时收敛,其值为q-11.----------------------------------------------------------7四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）h m, 底面半径为r m , 桶内盛满了某种液体. 试问要把桶内的液体全部吸出需要作多少功? 已知这种液体的密度为ρ.解: 建立如图所示的坐标. 在任一小区间 上的一薄液体的 O的重力为dx r g 2ρπ(KN)----------------------------------3这薄层液体吸出桶外所做的功(功元素)为 xdx r g dW 2ρπ=----------------------------5所求的功为 hh x r g xdx r g W 02202|21ρπρπ==⎰2221h r g ρπ=(KN).---------------------8 2. 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒, 怎样设计才能使所用的材料最省? 解: 设底面半径为r , 则高为2r Vπ,表面积为 .0,2222222>+=⋅+=r r Vr rV r r S ππππ------------------------------------3令022'2=-=rV r S π得3πV r =,--------------------------------------------------------------------------5 又0|)42(|'333>+===πππV r Vr r V S , 因此当3πV r =时S 取最--------------------------------------7 即当底面半径为3πV,高为3πV时所用的材料最少.--------------------------------------------------8五、证明题（共1小题，每小题5分，共5分）1. 设)(x f 在区间],[b a 上连续,且0)(>x f ,⎰⎰∈+=x bx ab a x t f dtdt t f x F ],[,)()()(. 证明: (1) 2)('≥x F ; (2) 方程0)(=x F 在),(b a 内有且仅有一个根.证明: (1) .2)(1)(2)(1)()('=⋅≥+=x f x f x f x f x F ---------------------------------------------2 (2) )(x F 在],[b a 上连续, 且]d ,[x x x +0)()()()()()()(<-===⋅⎰⎰⎰⎰b a b a baa bdt t f t f dt •dt t f t f dt x F b F a F ,因此由介值定理)(x F 在),(b a 至少有一根, ----------------------------------------------------------4 又0)('>x F , 所以)(x F 在],[b a 上单调增, 因此)(x F 在),(b a 是只有一根.----------------5。
07级高等数学(上)试卷及答案
华东交通大学2007—2008学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学Ⅰ(A)》 课程 (工科本科07级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2008.1.14题号 一 二 三四 五 总分 1 2 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 77777779 98阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)_____sin 1sin12lim=→xx x x 极限、_________ cos sin 2='+=y x x x y 则，设、__________)2)(1(12 32的水平渐近线为曲线、-+-+=x x x x y_________ 42围成平面图形面积为及直线由曲线、x y x y == ______5的通解为微分方程、x yy =' 二、选择题(每题 3分，共15分)D. 1 C. 2 B. 3 A.)B ()23()1()( 12第一类间断点的个数为函数、+--=x x x x x x f0 D. 4!1 C. 5!1 B. 6!1 A.)D ()1(124)( 2)16(515=+-+=f x x x x f ，则设、得分 评阅人得分 评阅人x x cos 02=y cx y =C x y +=ln ln 或61dxx f x f dx x f x f dx x f dx x f a a x f aaaaa⎰⎰⎰⎰---+=-- 0)]()([ D. )]()([ C. )(2B. 0 A.)C ()( ] [)( 3则上连续，，在设函数、arctan 1D. arctan 1 C. arctan 1B. arctan 1 A.)A ()1(1422C x x C x x C x x C x x dx x x+++-++-+--=+⎰不定积分、 0D. 4 C. 2 B. A.)B (1 5 2πππ=+⎰∞+∞-dx e e xx反常积分、三、解答题(每题 7分，共49分).)( 1322limxdte exttx ⎰-→-求极限、2322limx e e x x x -→-=原式xxe xex x x 62222lim-→+=32322lim=+=-→x x x e e.? 11 0 2说明理由等价无穷小是否为与无穷小时，当、x x x x --+→xx x x --+→11limΘ)11(2lim 0x x x xx -++=→1112lim=-++=→xx x.11 0 为等价无穷小与时，当x x x x --+→∴ 得分 评阅人评阅人. )( 333dy x y y e y xy x 求，确定隐函数设方程、==++ 033 22='+'++y y y x y x x 求导得：两边对2233 y x yx y ++-='⇒dxyx y x dx y dy 2233++-='=⇒033 22=+++dy y xdy ydx dx x 或两边取微分得：dxyx y x dy 2233++-=⇒的凹凸区间及拐点求曲线、x x y ln 42= x x x x x x x y +=⋅+='ln 21ln 2 2Θ 3ln 2112ln 2 +=+⋅+=''∴x x x x y 23 0-==''e x y 得：令0 002323>''><''<<--y ex y ex 时当，时当) [23∞+-，故凹区间为e ] 0(23-e ，凸区间为 )23(323ee --，拐点为得分 评阅人评阅人dxx x ⎰+)1ln( 5求不定积分、2)1ln(21dxx ⎰+=原式 )1ln(212)1ln(22+-+=⎰x d x x xdxx x x x ⎰+-+=1212)1ln(22dxx x x x ⎰++--+=)111(212)1ln(2Cx x x x x ++-+-+=2)1ln(242)1ln(22)1()1ln(212-+=⎰x d x 或原式)1ln()1(212)1ln()1(22+--+-=⎰x d x x x dxx x x ⎰--+-=)1(212)1ln()1(2Cxx x x ++-+-=242)1ln()1(22⎰-22221 6dxx x求定积分、tdt dx t x cos sin ==则，令⎰⎰==4240 2sin cos cos sin ππtdttdt tt原式⎰-=422cos 1πdt t40)42sin 2(πt t -=418-=π得分 评阅人得分 评阅人的通解求微分方程、x e y y y =+'-''2 7012 2=+-r r 特征方程为1 21==⇒r rx e x C C Y y y y )(0221+==+'-''⇒的通解为x e ax y 2*1==解为特征方程重根，设特λ 12 *=a y 代入原方程得把x ex y a 221* 21=⇒=⇒xx ex C C e x y )(21212++=⇒原方程通解为四、综合题(每题 9分，共18分)的通解求微分方程、xxe y x y ='-''1 1则，令 )(x p y =' xxe p x p =-'1)(111C exe e p dxx xdxx+⎰⎰=⇒---⎰）1(C dx e x x +=⎰)(1C e x x+= )(1C e x y x +='⇒⎰+=dxC e x y x )(1通解212x C xde x +=⎰2212C x Ce xe x x ++-=得分 评阅人得分 评阅人周所得旋转体的体积轴旋转一绕求轴围成平面图形为及该切线与曲线的切线，经过坐标原点作曲线、 .ln ln 2y D D x x y x y == 则，，设切点坐标为 )ln (00x x)(1ln 000x x x x y -=-切线方程为)0(1ln 0 000x x x -=-由切线过原点得：)1 ( 0，即切点为，e e x =⇒ e xy =⇒切线方程为dyey dy e V y 2112)()(⎰⎰-=⇒ππ所求体积为 或13)(212⋅-=⎰e dy e V y ππ103210232ye ey ππ-=210232eey ππ-=262ππ-=e262ππ-=e五、证明题(8分).0)()(201 ) ( 0)()() ( ] [)(='+∈==ξξξf f b a b f a f b a b a x f 使得，，存在证明：，内可导且，在上连续，，在设)()(201x f e x F x=令 内可导，在上连续，，在则) ( ] [)(b a b a x F 0)()(==b F a F 且0)( ) (='∈⇒ξξF b a 使，，存在 )()(201)(201201x f e x f e x F x x '+='又0)()(201 201201='+ξξξξf e f e 故0)()(201 0201='+≠ξξξf f e 得由得分 评阅人得分 评阅人。
07-08(1)高数I(A)参考答案
2007-2008学年第一学期2007级电气、电子、工程管理、机制、教技、土木工程、计算机、农机、网络工程、物理专业高等数学Ⅰ 试卷A 参考答案一、填空题(填对每空得2分，填错或不填每空得0分，计20分) 1．982442424++++x x x x ．2．3-e．3． 3 ． 4． 3 ． 5． （ 0 ，-1 ）． 6．21．7．0144=++y x ．8．51．9． 0 ． 10．14．二、选择题（选对每题得2分，不选、选错或多选每题得0分，计10分） 1．（ D ） 2．（ B ） 3．（ C ） 4．（ A ） 5．（ B ）三、计算题（每小题5分，计20分）1．解： xx x x x x x x sin )sin 21(1lim sin 2cos 1lim 200--=-→→…………………………2分xx xx sin sin 2lim 20→= …………………………………3分 x xx sin 2lim0→=..........................................4分 2=． (5)分2．解：应用洛必达法则得xxx xtd t t x xx 2arctan limarctan lim20-=∞-→∞-→⎰………………………3分x x a r c t a nlim 21∞-→-= ………………………4分 4)2(21ππ=-⨯-=. ………………………5分3．解： ⎰dx xx2sin ⎰-=x xd cot ……………………………………1分 ⎰+-=xdx x x cot cot ， …………………………2分 ⎰+-=dx x x x x sin cos cot ……………………………3分 ⎰+-=x d x x x s i n s i n1c o t ………………………4分c x x x ++-=|s i n |ln cot ．………………………5分4．解： ⎰-+1021xx dx ⎰+=20cos sin cos sin πtt tdt tx ……………………………1分⎰++=202)cos (sin )cos (sin cos πt t dt t t t (2)分⎰+++=202sin 112cos 2sin 21πdttt t……………………3分⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=202sin 12cos 121πdt t t ………………………4分 4)2sin 1ln(212120ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=t t ．………………5分四、解答题（每小题5分，计20分） 1．解：)sin ()cos 1(t t ad t ad dxdy --= (1)分ttcos 1sin -=． …………………………………………2分)sin (cos 1sin 22t t ad t t d dxy d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ………………………………………3分)cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos 22t a t t t t ----=……………………………4分23)cos 1(1)cos 1(1cos t a t a t --=--=． …………………5分 2．解： 方程两边同时微分得)()(y x e d xy d += ………………………1分即 )(dy dx e xdy ydx y x +=++ ……………………3分 整理得 ydx dx e dy e xdy y x y x -=-++， …………………4分 从而得 dx ex yedy yx yx ++--=．……………………………5分3．解：令u e x=可得u x ln =，代入已知式得 ……………………………1分 u u f ln )(='， c u u u udu +-=⎰ln ln …………………2分 从而有 0ln )(c u u u u f +-= ……………………………………3分 由0)1(=f 得 10=c ……………………………………………4分 因此 1ln )(+-=x x x x f ． ……………………………………5分4．解：设所求平面的法线向量为0),,(≠=C B A n ，两个已知平面的法线向量分别为)4,2,1(,)2,5,3(21-=-=n n， ……………………………………1分则有n n n n⊥⊥21, 即有 ⎩⎨⎧=+-=-+0420253C B A C B A ………………………2分得 A C A B 1611,87-=-=，0≠A ……………………………………3分 所以所求平面的方程为 0)3(161187)2(=+---z A Ay x A ，………4分整理得所求平面的方程为 065111416=---z y x ． …………………5分五、证明题（6分×2题＝12分） 1．证明：由题设有hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→，所以…………………1分hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h )]()5([)()3(lim)5()3(lim 00000000----+=--+→→……………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=→h x f h x f h x f h x f h )()5()()3(lim 00000…………3分hx f h x f h x f h x f h h 5)()5(lim53)()3(lim3000000---+-+=→→……5分)(8)(5)(3000x f x f x f '='+'=． (6)分2．证：设x x x x f -++=)1ln()1()(，则0)0(=f ，………………………1分 又 )1l n ()(x x f +='． ……………………………………………2分 当0>x 时， 0)(>'x f ，函数单调增加， ……………………3分当01<<-x 时， 0)(<'x f ，函数单调减少．………………………4分 从而，当01≠<-x 时有0)(>x f ，且0)0(=f ， ………………………5分因此，当1->x 时，x x x ≥++)1ln()1(． ……………………………6分六、综合应用题（6分×3题＝18分）解：由⎩⎨⎧=+-=022y x x y 得两曲线交点为)4,2(),1,1(-， …………………1分1．图形面积为 ⎰--+=212)2(dx x x A …………………………3分 29312212132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x x ， …………………6分2．图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰--+=21222])()2[(dx x x V x π……………………………9分 57251)2(312153ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x ……………………12分3．曲线2x y =交y 轴于点)0,0(，直线02=+-y x 与y 交于点)2,0( ……………………………13分图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰⎰--=4422)2(dy y ydy V y ππ， (15)分 316)2(32423402πππ=--=y y ； ………………………18分。
0708高等数学A(一)答案
高等数学（一）、（二）（上）试题（A ）评分标准与分工一、 填空题（每小题4分, 共24分）1．e . 2． =a －１. 3．)4ln 2,2(+ .4．０ . 5． x e x C C y )(21+=）. 6.21=ξ注：该题评分原则是 非对即错二、选择题 (每小题4分, 共20分) D C BB C 三、（5分）解: 30sin tan sin limx x x x -→30tan sin lim xxx x -=→ x x x x x sin cos 1cos lim 30-=→22021lim xx x -=→21-= -------------------------------- 5分注：该题评分原则 体现方法3分、结果正确2分；主要有以下几种方法 1）洛必达法则、2）等价无穷小替换、3）其他 四、（8分）解: 212)111(22tt t tdtdxdt dy dx dt dt dy dx dy =++-==⋅=； ------------- 4分t t dt dx t dt d dx dy dx d dx y d 412222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=……. ------------- 4分 五、（8分）1）⎰-+x x e e dx ⎰+=xxede 21-------------------------------- 4分 C e x+=arctan -------------------------------- 4分2）. 解: ⎰⎰⎰⎰+=+=ππππ002200222]2cos [2122cos 1cos xdx x dx x dx x x xdx x ………2分 （第一个积分1分；第二个积分3分）⎰⎰⎰-==ππππ22122122122sin 0|2sin 2sin 2cos xdx x x x d x xdx x ………3分=⎰⎰=-=ππππ0022121212cos 0|2cos 2cos xdx x x x xd4361ππ+=∴原式 ……………………………………3分 注：本题主要考察学生对分部积分的内容的掌握情况。
高等数学a1是哪本教材
高等数学a1是哪本教材高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数等内容。
在学习高等数学之前，首先需要确定所使用的教材。
下面将对高等数学A1所使用的教材进行介绍，并分析其特点和适用情况。
高等数学A1是一门以微积分为主要内容的课程，教材的选择对于学生的学习效果起着至关重要的作用。
目前市场上存在着多种不同版本的高等数学A1教材，其中包括著名的《高等数学（上册）》、《高等数学分析教程（上册）》等。
《高等数学（上册）》是多所高校使用的一本教材，由北京大学数学系编写。
本教材的特点是内容生动易懂，详细解释了微积分的基本概念、原理和应用。
每个章节都有大量的例题和习题，便于学生进行复习和巩固知识。
该教材的难度适中，适用于初学者和希望建立坚实基础的学生。
《高等数学分析教程（上册）》则是清华大学数学系编写的一本教材，注重理论的严谨性和抽象性。
该教材的特点是从严谨的数学推导出发，深入剖析了微积分的各个概念和定理，对于注重理论构建和逻辑推理能力的学生来说，是一本极具挑战性和价值的教材。
根据个人的学习能力和学习目标，选择适合自己的高等数学教材是非常重要的。
对于初学者来说，建议选择《高等数学（上册）》这样的教材，因为它易懂且配有大量的练习题，能够帮助学生快速掌握基本概念和解题技巧。
而对于具有一定数学基础和追求深入理解的学生，可以选择《高等数学分析教程（上册）》这样的教材，通过严谨的数学推导和抽象的思维训练，提升数学思考能力和解决实际问题的能力。
除了教材的选择，学生在学习高等数学A1的过程中还应该注意以下几点：1.掌握基本概念和定理的定义和证明过程；2.多做例题和习题，巩固基本知识和解题技巧；3.注重数学思维和推理能力的培养，尝试寻找问题的本质和规律；4.积极参与讨论和互动，与同学和老师交流思想和解题思路。
综上所述，高等数学A1是一门重要的大学数学课程，教材的选择对于学生的学习效果至关重要。
根据个人的学习能力和学习目标，合理选择适合自己的教材，并结合掌握基本概念、多做练习、培养数学思维和积极参与讨论，能够帮助学生更好地掌握高等数学A1的知识和技能，为后续的学习打下坚实的基础。
2008广工高等数学A1试卷及问题详解
2. 解:函数的定义域为: ),(∞+0,ln x x x y 224-=' （1分）121102224-==''+=''ex y x y 得令,ln （3分）列表讨论如下:x(0, 1211-e)1211-e(1211-e, +) y ''+y凸61118--e凹（5分）区间 (0, 1211-e] 为曲线的凸区间, 区间 [1211-e , +) 为曲线的凹区间,曲线有拐点: (1211-e ,61118--e) （7分）3. 解:因为][cos 223ππ，x x -为 上连续的奇函数,所以0223=⎰-ππdx x x cos （2分）⎰-+22223ππx d x x x cos )sin ( =⎰-2222ππx d x x cos sin=⎰202221πx d x sin =⎰-204141πx d x )cos ( （5分）六、（7分）证明: 设,sin )()(x x f x F = （3分）由题目所给条件知: F (x )在[0,]上连续,在(0,)可导,且00==)()(F F π,所以由罗尔定理,至少存在一点),(πξ0∈,使得:0=')(ξF （5分）又 ξξ=+'='x x x f x x f F ]cos )(sin )([)( 所以 0=+'ξξξξcos )(sin )(f f因为 ),(πξ0∈,所以0≠ξsin ,从而有 ξξξξξξcot )(sin cos )()(f f f -=-=' 证毕 （7分）七、（9分）解: (1) 所求旋转体的体积为⎰∞+-=0dx xaa V a xπ)( （2分）⎰∞+--=0ax xdaaa πln⎰∞+-+∞-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0dx aa axa a a a xa x ππln ln =2⎪⎭⎫⎝⎛a a ln π （5分）（2）aa a a V 312ln )(ln )(-='π，令,)(0='a V 得e a a ==,ln 1 （7分） 当e a <<1时，)(,)(a V a V 0<' 单调减少， 当e a >时，)(,)(a V a V 0>' 单调增加， 所以当e a =时，V 最小，最小体积为22e e e e V ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ln )( .（9分）。
07-08高数A1甲卷答案
姓名 班级 学号装 订 线安徽工业大学高等数学A1期末试卷(甲卷)参考答案与评分标准一、 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）二、 填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 说明：①第10题和第16题每一小空1分 ②第16题中点b a ,,0的端点开闭均可9.45 10. 2009- ，小 11. 3234πa 12．0 13. 20092 14. 1 15. )()!1(!232n n x o n x x x x +-++++ 16. ),0(),(b a 及 -∞，0四、解答题(本题共６小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 25. (本题满分8分)解：2cos 10x x -→时， ～2)(22x , ------------------------------------ 2分2sin x ～2x --------------------------------------------------3分原式22402lim x x x x ⋅=→21= ---------------------------------------------- 8分说明：本题解法较多，可参照上述标准给分，如等价无穷小代换与洛必达法则结合使用。
26. (本题满分10分) 解：1)(-='n nxx f ，n f k ='=)1( -----------------------------------２分切线方程 )1(--=n nx y -----------------------------------４分令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ---------------------------６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e ----------10分27. (本题满分8分)解: θθx y dx dy ''= ---------------------------------------------------------------- 2分2212111θθθ++-=------------------------------------------------------- 5分2θ=---------------------------------------------------------------- 6分00==θ时，x ，------------------------------------------------- 7分 ==0x dxdy 02=θθ0=-----------------------------------------------8分说明：没有注明00==θ时，x 的扣１分 28.(本题满分８分)解: dx x x ⎰3sin +dx x x x ⎰++)1(21222---------- -----------------------1分 ⎰-=x xd 3cos 31dx x x )111(22⎰+++ )3cos 3cos (31⎰--=xdx x x x x arctan 1+-)]3(3cos 313cos [31⎰--=x xd x x x x arctan 1+--------------6分)3sin 313cos (31x x x --=c x x++-arctan 1--------------- - 8分说明：两个积分对一个给3分，丢了积分常数c 的扣2分29.(本题满分5分) 解：)1(21x xy -=' --------------------------------------------------- 1分 dx y s ⎰'+=3121-----------------------------------------------------3分dx x x⎰++=31)21(41 dx x x⎰+=31)1(21 ----------------------------------------------4分 3123)31(x x +=3432-=--------------------------------------5分30.(本题满分5分)证明：令 )()(x xf x F =，------------------------------------------------1分 则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，-----------------3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 ------------------------------4分 至少存在一点c ，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ， 也即cc f c f )()('-= 得证。
2007-2008a(参考答案)
华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。
（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。
X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。
在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0； 在点x=1处，函数取得极小值－3。
（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。
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x
x
b
(1)判断 F ( x ) 的单调性；(2)判断方程 F ( x ) = 0 在 ( a, b ) 内根的个数.
dt , x ∈ [ a, b ] . f (t )
3、求由不等式 y ≤ sin x , y > 0, x ≥ 0 及 x ≤ 积．
π
2
确定的平面图形绕 旋转而成的旋转体的体 ．y 轴 ．
安
适用专业：本科多学时各专业
五、应用题 (每小题7分, 共21分) 1、求曲线 ⎨
徽
建
筑
工
业
班级：
学
院
试
卷（ A 卷）
学号：
n →∞
共 2 页第 2 页 姓名：
考试课程：
高等数学 A1
⎧ x = 2e t
−t ⎩y =e
在 t = 0 相应的点处的切线方程与法线方程.
六、证明题 (本题8分) 设x1 = 2 ，且x n +1 = 2 + x n ，证明 lim x n 存在，并求出此极限值。
注：学 生 不 得 在 草 稿 纸 上 答 题，答 题 不 得 超 出 框 体。
七、解答题 (本题8分)
2、要做个圆锥形漏斗，其母线长 20cm，要使其体积最大，问其高应为多少？
设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续，且 f ( x ) > 0 ，又
F ( x) = ∫ f (t )dt + ∫
4 、已知 a = 3 i − j − 2 k , b = i + 2 j − k ，则 a , b 夹角的余弦是 二、单项选择题（ 每小题 3 分, 共 12 分 ） 1、 lim(1 + cos x )
x →0 3 3 cos x
=
)
1、求
∫
102 arccos x 1 − x2
d x.
π
2
ln b
ln b
eb
ea
答(
)
π π sin x 2 3 4 3、设 M = ∫ π cos 4 xdx ， N = ∫ 2π (sin 3 x + cos 4 x)dx ， P = ∫ 2 π ( x sin x − cos x ) dx ，则必有 2 − 1+ x − − 2 2 2 答( ) 关系式 （A） N < P < M ； （B） N < M < P ； （C） P < M < N ； （D） M < P < N . 4、设函数 f ( x ) 在 x0 的某个邻域内有三阶连续导数，且有 f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) = 0, f ′′′( x0 ) < 0 ，
(D ) ∞. ( A) e ; ( B ) 8; ( C ) 1 ;
2、由曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b ) 及 y 轴所围成的平面图形的面积为 A =
y x ( A) (B) (C ) ( D) ∫ ln xdx; ∫ e dy; ∫ a e dx; ∫ b ln xdx. ln a ln a e e
八、解答题 (本题6分) 若函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内满足关系式 f ′ ( x ) + f ( x ) = 0 ,且 f ( 0 ) = 1,求 f ( x ) 的表达式.
总分
一
二
三
四
五
六
七
八
安 徽 建 筑 工 业 学 院 试 卷（ A 卷）
（ 2007—2008 学年第一学期 ） 考试课程： 高等数学 A1 班级：
2、求极限 lim( x −
x→
共 2 页第 1 页
阅卷教师 复核教师
适用专业：本科多学时各专业 学号： 姓名：
一、填空题（每小题 3 分, 共 12 分） 1、设 f ( x ) 处处连续，且 f (2) = 3 ，则 lim 2、当 x = 注：学 生 不 得 在 草 稿 纸 上 答 题，答 题 不 得 超 出 框 体。
(
)
(每小题6分, 共 12分)
h →0
1、设 f ( x) 在 x = a 处可导且 f ′( a ) = b ，求极限 lim
f ( a − h) − f ( a + 2 h ) ． h
3、计算 I =
∫
π
2 0
e2 x sin 2 xdx．
俞能福《高等数学》网络课堂：http://219.231.0.164/school/SchoolSpace/CourseInfo/CourseIntro.asp?CourseId=615
⎧ 1 ⎪ ⎪ 1+ x 2、设 f ( x ) = ⎨ ⎪ 1 ⎪1 + e x ⎩
x≥0
，求
Байду номын сангаас
x<0
∫ f ( x − 1)dx ．
0
2
则下列结论正确的是 （A） f ′ ( x ) 的极小值为 0； （C） f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极小值； 三、解答下列各题
答（ ） （B） f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极大值； （D）点 x0 , f ( x0 ) 是 y = f ( x ) 的拐点.
π
2
3 、函数 y = y ( x ) 由方程 tan y = x + y 是确定，则 dy =
→ → → → → → → → → →
sin 3 x sin 2 x )= f( x →0 x x 2 时，曲线 y = a x + bx + c 的曲率最大．
．
π
)cot 2 x ．
2
． ． 四、解答下列各题 答( (每小题7分, 共21分)